Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THÚY HÀ NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60.46.36 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình đựoc hồn thành : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: GS.TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 2: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 07 tháng 11 năm 2010 Có thể tìm hiểu luận văn Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên thư viện Trường Đại học Khoa học Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TS Nguyạn Bữớng TĂc giÊ xin by tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy và sỹ tên tẳnh hữợng dăn suốt thới gian tĂc giÊ lm luên vôn Trong quĂ trẳnh hồc têp v lm luên vôn, thổng qua cĂc bi giÊng v xảmina, tĂc giÊ thữớng xuyản nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v õng gõp nhỳng ỵ kián quỵ bĂu cừa TS Nguyạn Th Thu Thừy v cĂc thƯy cĂc cổ trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Th.s LƠm Thũy Dữỡng giÊng viản Ôi hồc Sữ PhÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tứ Ăy lỏng mẳnh, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cĂc thƯy cĂc cổ TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy, cĂc cổ Ban giĂm hiằu, Phỏng o tÔo, Tờ ToĂn - Tin Trữớng Vũng Cao Viằt Bưc,  tÔo iÃu kiằn giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v lm luên vôn cao hồc Xin chƠn thnh cÊm ỡn anh ch em hồc viản cao hồc toĂn K2 v bÔn b ỗng nghiằp gƯn xa  trao ời, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v lm luên vôn Luên vôn s khổng hon thnh ữủc náu khổng cõ sỹ thổng cÊm, giúp ù cừa nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh tĂc giÊ Ơy l mõn qu tinh thƯn, tĂc giÊ xin kẵnh tng gia ẳnh thƠn yảu cừa mẳnh vợi tĐm lỏng biát ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c T¡c gi£ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mởt số kỵ hiằu v chỳ viát tưt khæng gian Euclide n-chi·u trà tuy»t èi cõa sè thüc x ữủc nh nghắa bơng y x vợi mồi x x tỗn tÔi x I Ănh xÔ ỗng nhĐt A ⊂ B tªp A l  tªp thüc sü cõa tªp B A ⊆ B tªp A l  tªp cừa têp B A B A hủp vợi B A B A giao vợi B A ì B tẵch Ã-cĂc cừa hai têp A v B convD bao lỗi cừa têp D AT ma chuyn v cừa ma A xk x dÂy {xk } hởi tử mÔnh tợi x xk * x dÂy {xk } hởi tử yáu tợi x A toĂn tỷ liản hñp cõa to¡n tû A D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A MV I bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hđp MP b i to¡n cì b£n AP k b i to¡n phư Rn |β| x := y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M Ưu Nguyản lỵ bi toĂn phử  ữủc G.Cohen [11], [12], [13] giợi thiằu lƯn Ưu tiản vo nôm 1980 nghiản cựu bi toĂn tối ữu Sau õ nguyản lỵ ny  ữủc nghiản cựu m rëng cho c¡c tr÷íng hđp kh¡c cõa to¡n tû: Khổng ối xựng, ỡn iằu trữợc hoc para-ỡn iằu (xem [16], [17], [19], [23], [24], [26], [27], [28], [29]) Nguy¶n lỵ bi toĂn phử cho php xĂc nh nghiằm cừa c¡c b i to¡n: b i to¡n cüc tiºu hâa, b i to¡n cƠn bơng, bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung bơng c¡ch gi£i mët d¢y c¡c b i to¡n phư G.Mastroeni [21]  sỷ dửng nguyản lỵ bi toĂn phử cừa Cohen  m rởng bi toĂn cƠn bơng tờng quĂt c biằt l cĂc ựng dửng cho bĐt ng thực bián phƠn v bi toĂn tối ữu hõa A.Kaplan v R.Tichatschke [18]  sỷ dửng nguyản lỵ bi toĂn phử cho bi toĂn phữỡng phĂp im gƯn kÃ, m rởng nguyản lỵ bi toĂn phử cho bĐt ng thực bián phƠn vỵi to¡n tû a trà khỉng èi xùng khỉng gian Hilbert Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ cĂc Ănh xÔ giÊ co cht Ti , i = 1, 2, N, thuëc khæng gian Hilbert hay Banach l mởt vĐn à lợn v hiằn ữủc rĐt nhiÃu cĂc nh toĂn hồc trản thá giợi quan tƠm Trong trữớng hủp N = thẳ bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa Ănh xÔ giÊ co cht trản têp C l têp cừa khổng gian Hilbret  ữủc F.E.Browder [7], G.Marino v H.K.Xu [20], B.E.Rhoades [25] nghiản cựu Trong trữớng hủp N > thẳ bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ cĂc Ănh xÔ giÊ co cht trản têp C l tªp cõa khỉng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gian Hilbert  ữủc G.Wang, J.Peng, H.J.Lee [30] nghiản cựu Bơng phữỡng phĂp hiằu chnh cừa Tikhonov, GS.TS Nguyạn Bữớng v PhÔm Vôn Sỡn [8]  ữa phữỡng phĂp tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht khổng gian Hilbert GS.TS Nguyạn Bữớng [9]  sỷ dửng phữỡng phĂp lp hiằu chnh bêc  tẳm nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn cho Ănh xÔ liản tửc Lipschitz ỡn iằu v  l  iºm b§t ëng chung cho mët hå húu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht trản têp lỗi õng khổng gian Hilbert Trong luên vôn ny chúng tổi ch trẳnh by mởt khẵa cÔnh liản quan án phữỡng phĂp hiằu chnh kát hủp vợi nguyản lỵ bi toĂn phử  tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht khổng gian Hilbert Sỹ kát hủp ny  ữủc Baasansuren v Khan [5] l nhỳng ngữới Ưu tiản sỷ dửng cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hộn hủp Bố cửc luên vôn gỗm 02 chữỡng: Chữỡng I: CĂc khĂi niằm cỡ bÊn Trong chữỡng ny giợi thiằu mởt số ki¸n thùc cì b£n v· khỉng gian Hilbert, b i to¡n t khổng chnh, bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung, nguyản lỵ Ănh xÔ co, bĐt ng thực bián phƠn Chữỡng II: Nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Chữỡng ny gỗm phƯn: + Phữỡng phĂp hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht + Nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Do thới gian cõ hÔn nản luên vôn mợi ch dứng lÔi viằc tẳm hiu, têp hủp ti liằu, sưp xáp v trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu  cõ theo chừ à t Trong quĂ trẳnh lm luên vôn cụng nhữ quĂ trẳnh sỷ lỵ vôn bÊn chưc chưn khổng th trĂnh khọi sai sõt, rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp cừa ThƯy cổ v bÔn ồc S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Trong chữỡng ny, chúng tổi à cêp án cĂc vĐn · sau Trong mưc 1.1, chóng tỉi giỵi thi»u mët số khĂi niằm v kián thực liản quan án khổng gian Hilbert Trong mưc 1.2, chóng tỉi tr¼nh b y mët số tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ Mửc 1.3, chúng tổi trẳnh by bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung Mửc 1.4 ph¡t biºu v  minh håa v· b i to¡n °t khỉng ch¿nh Trong mưc 1.5, chóng tỉi giỵi thi»u v· nguyản lỵ bi toĂn phử và bĐt ng thực bián phƠn Ti liằu tham khÊo chẵnh cừa chữỡng ny l [1], [2], [3], [4] 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cõa khỉng gian Hilbert ành ngh¾a khỉng gian Hilbert 1.1.1 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản R Mởt tẵch vổ hữợng X l mởt Ănh xÔ h., i : X ì X R thoÊ mÂn cĂc i·u ki»n sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = ⇔ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X ; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X Khæng gian tuyán tẵnh X vợi tẵch vổ hữợng h., i ÷đc gåi l  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Φ(xn+1 ) = Axεn − Axn+1 − hA0 xn+1 , xεn − xn+1 i (1.27) Chúng ta kỵ hiằu: n = kxn xn1 k Trong chựng minh trữợc ta ch dÂy {n } n=1 b chn Ãu BƠy giớ phƠn tẵch theo cĂch khĂc: (xn ) (xn+1 ) = Axεn−1 − Axn − hA0 xn , xεn−1 − xn i − Axεn − Axn+1 − hA0 xn+1 , xεn − xn+1 i = Axεn−1 − Axεn − hA0 xn+1 , xεn − xn+1 i + Axn+1 − Axn − hA0 xn+1 , xεn − xn i = Axεn−1 − Axεn − hA0 xn+1 , xεn − xn+1 i + Axn+1 − Axn − hA0 xn , xn+1 − xn i − hA0 xn , xεn−1 − xn+1 i Sû dưng (1.23), (1.24) v  ¯ng thùc tr¶n ta câ: M m )kxn − xn+1 k2 − ( )kxεn−1 − xεn k2 2 0 n n+1 +hA xεn−1 − A x , xεn−1 − xεn i + hA x − A0 xn , xεn − xn+1 i Φ(xn ) − Φ(xn+1 ) ≥ ( (1.27) Thay z = xn+1 v o (1.15) v  ε = εn ta ÷đc: ϕ(xn+1 ) − ϕ(xεn ) ≥ hF xεn + εn Rxεn , xεn − xn+1 i hìn núa, thay z = xεn v o (1.20) ta câ: hA0 xn+1 + αn (F xn + εn Rxn ) − A0 xn , xεn − xn+1 i ≥ αn (ϕ(xn+1 ) − (xn )) Cởng vá vợi vá hai bĐt ng thực tr¶n ta câ: hA0 xn+1 −A0 xn , xεn − xn+1 i ≥ αn hF xεn + εn Rxεn , xεn − xn+1 i − hF xn + εn Rxn , xεn − xn+1 i (1.29) Cho L = (L1 + ε0 L2 ) ð ¥y L1 , L2 l  modul t÷ìng ùng cõa F, R , l  to¡n tỷ liản tửc Lipschitz Vợi mồi x1 , x2 Ω ta câ ¡nh gi¡ sau: k(F x1 + εn Rx1 ) − (F x2 + εn Rx2 )k ≤ Lkx1 − x2 k ∀x1 , x2 ∈ Ω (1.30) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 K¸t hđp (1.28), (1.29) ta câ: Φ(xn ) − Φ(xn+1 ) ≥ T1 + T2 + T3 + T4 , (1.31) ð ¥y: T1 = αn h(F xn + εn Rxn ) − (F xεn m + εn Rxεn ), xn+1 − xn i + ( )kxn − xn+1 k2 n = αn h(F xn + εn Rx ) − (F xεn−1 m + εn Rxεn−1 ), xn+1 − xn i + ( )kxn − xn+1 k2 + αn c(F xεn−1 + εn Rxn−1 ) − (F xεn + εn Rxεn ), xn+1 − xn i αn2 L2 n m m n n+1 kx − xεn−1 k2 − ( )kxn − xn+1 k2 ≥ ( )kx − x k − m m αn2 L2 kxεn − xεn−1 k2 − ( )kxn − xn+1 k2 − m 2 α L L2 ≥ − n kxn − xεn−1 k2 − ( )kxεn − xεn ; m m T2 = αn h(F xn + εn Rxn ) − (F xεn + εn Rxεn ), xn − xεn−1 i = αn h(F xn + εn Rxn ) − (F xεn−1 + εn Rxεn−1 ), xn+1 − xn i + αn h(F xεn−1 + εn R(xεn−1 ) − (F xεn + εn Rxεn ), xn − x − εn−1 i αn2 L2 n M ≥ rαn εkx − xεn−1 k − kx − xεn−1 k2 − kxεn − xεn−1 k2 ; M n T3 = αn h(F xn + εn Rx ) − (F xεn−1 + εn Rxεn−1 ), xεn−1 − xεn i M − ( )kxεn − xεn−1 k2 = αn h(F xn + εn Rxn ) − (F xεn−1 + εn Rxεn−1 ), xεn−1 − xεn i n + αn h(Fεn−1 + εn Rxεn−1 ) − (F xεn + εn Rxεn ), xεn−1 − xεn i M − ( )kxεn − xεn−1 k2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 3M L2 αn2 n ≥ rαn εkxεn−1 − xεn−1 k − kxεn−1 − xεn k − kx − xεn−1 k2 ; M 0 n T4 = hA xεn−1 − A x , xεn − xεn−1 i ≥ −M kxεn−1 − xn kkxεn−1 − xεn k M kxεn−1 − xεn k2 ; ≥ −cαn εn kxεn−1 − x k − 4cαn εn n θ = r − c > Thay T1 , T2 , T3 v  T4 v o (1.31) ta câ: Φ(xn ) − Φ(xn+1 ) ≥ θαn εn kxn − xεn−1 k2 (M + 2m)L2 αn2 n kx − xεn−1 k2 − mM M m + L2 n kx − xεn−1 k2 + rαn εn kxn − xεn−1 k2 − m ≥ θαn εn kxn − xεn−1 k2 (1.32) (M + 2m)L2 αn2 n − kx − xεn−1 k2 mM M m + L2 kxn − xεn−1 k2 − 4rm αn εn Do â:  Φ(xn+1 ) ≤ Φ(xn ) + − θαn εn kxn − xεn−1 k2 + c1 αn2 kxn − xεn−1 k2 + c2 kxεn − xεn−1 k2  αn ε n Khi c1 = (M + 2m)L2 /mM, c2 = (mM + L2 )2 /4rm2 X²t tữỡng tỹ vợi bĐt ng thực trản n = tợi N , tờng trản v (1.18), cõ: N  m M X ( )∆n+1 ≤ ( )∆1 + θαn εn ∆2n + c1 αn2 ∆2n + c2 λ2n (αn εn )−1 2 n=1 (1.33) Theo Ănh giĂ trản, v thuêt toĂn A khng nh sü bà ch°n cõa d¢y {∆n }∞ n=1 [10] Hìn núa, theo (1.33) v  sü bà ch°n cõa d¢y {∆n }∞ n=1 cho ta ¡nh gi¡ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 sau: ∞ X θαn εn ∆2n < ∞ (1.34) n=1 Do sü ph¥n ký cõa ∞ X αn ε n n=1 v kát quÊ trản cõ kát luên sau: {n } n=1 nh lỵ hon ton ữủc chựng minh Cho 21 < k1 < 1, k2 > 0, k1 + k2 < 1, dÂy cho cõ dÔng: Vẵ dö αn = n−k1 , εn = n−k2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Chữỡng Nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu sỹ kát hủp giỳa nguyản lỵ b i to¡n phư cõa G.Cohen v  thuªt to¡n hi»u ch¿nh Tikhonov,  giÊi bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ giÊ co ch°t khỉng gian Hilbert Sü k¸t hđp â cho ta mởt phữỡng phĂp mợi, thữớng ữủc gồi l nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Chữỡng ny gỗm hai phƯn: Trong phƯn mởt, chúng tổi giợi thiằu phữỡng phĂp hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Trong phƯn hai chúng tổi trẳnh by nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht 2.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co ch°t Cho H l  khæng gian Hilbert thüc v  C l têp lỗi õng H Mởt Ănh xÔ T tứ C vo H ữủc gồi l -giÊ co ch°t theo BrowderSố hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Petryshyn [7], n¸u tỗn tÔi mởt số [0, 1) cho: kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 + λk(I − T )(x) − (I − T )(y)k2 , vỵi ∀x, y ∈ D(T ), l  mi·n x¡c ành cừa Ănh xÔ T , Ơy I l toĂn tû ìn H B i to¡n iºm b§t ởng ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm u C, cho T (u∗ ) = u∗ (2.1) K½ hiằu F (T ) l têp hủp nhỳng im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T C Bi toĂn tẳm im bĐt ởng (2.1) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn: T¼m u∗ ∈ C cho: hA0 (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C, A0 = I T (2.2) Ơy A0 l liản tửc Lipschitz, ìn i»u tø C v o H (xem [17]) º hi»u ch¿nh b i to¡n (2.2) ng÷íi ta sû dưng b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn xĐp x: Tẳm u ∈ C cho: hA0 (uα ) + αuα , v − uα i ≥ 0, ∀v ∈ C, (2.3) vợi l tham số hiằu chnh ừ nhọ dƯn tỵi 0, (xem [4], [6]) Cho mët hå {Ti }N i=1 cĂc Ănh xÔ i giÊ co cht tứ C v o H cho: F := N \ F (Ti ) 6= ∅ i=1 B i to¡n °t nh÷ sau: Tẳm u F (2.4) ối vợi bi toĂn (2.4), ta xƠy dỹng nghiằm hiằu chnh u bơng viằc giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn sau: Tẳm u ∈ C cho X  N γi Ai (uα ) + αuα , v − uα ≥ ∀v ∈ C, (2.5) i=1 ð ¥y Ai = I − Ti v  γi > vỵi i = 1, 2, , N Ta cƯn nảu mởt số kián thực bờ trđ sau Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Cho G(u, v) : C × C −→ (−∞, +∞) l  mët song h m, õ C l têp lỗi õng cừa khổng gian Hilbert H Bi toĂn cƠn bơng ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm u C cho: G(u , v) ≥ ∀v ∈ C Ta ln gi£ thi¸t rơng hm G cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) G(u, u) = ∀u ∈ C; (ii) G(u, v) + G(v, u) ≤ ∀(u, v) ∈ C × C; (iii) Vỵi méi u ∈ C, G(u, ) : C (, +) l nỷa liản tửc dữợi v lỗi; (iv) limt→+0 G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C [14] Cho C l têp lỗi õng khĂc rộng cõa H v  G : C × C → (−∞, +) thọa mÂn iÃu kiằn (2.1) Vợi mội r > v x H , tỗn tÔi z C thäa m¢n: G(z, v) + hz − x, v − zi ≥ 0, ∀v ∈ C r [14] GiÊ sỷ rơng G : C ì C (, +) thọa mÂn iÃu kiằn (2.1) Vợi r > 0, x H , Ănh xÔ Tr : H C ÷đc x¡c ành nh÷ sau: Tr (x) = {z ∈ C : G(z, v) + z − x, v − x ≥ ∀v ∈ C} r Bê · 2.1 Bê · 2.2 Khi â: (i) Tr l  ỡn tr; (ii) Tr l khổng giÂn, tực l vợi méi x, y ∈ H ta câ: kTr (x) − Tr (y)k2 ≤ hTr (x) − Tr (y), x − yi; (iii) F (Tr ) = EP (G); Vỵi F (Tr ) l têp hủp cĂc im bĐt ởng cừa Ănh xÔ Tr , EP(G) l têp nghiằm cừa bi toĂn cƠn bơng (iv) EP (G) l õng lỗi S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Bê · 2.3.[10] Gi£ sû r¬ng T l mởt Ănh xÔ giÊ co cht cừa têp lỗi õng khổng gian Hilbert H Khi õ I T l demiclosed tÔi Bờ à 2.4 Cho T : C → H l  mët to¡n tû λ− gi£ co ch°t Khi â T l  mët ¡nh +λ thẳ: xÔ liản tửc Lipschitz vợi hơng số l L = 11 − λ kT x − T yk ≤ 1+λ kx − yk 1−λ Bê · 2.5 Cho T : C → H l  mët to¡n tû λ−gi£ co ch°t Khi â A := I − T l  mët toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh vợi hơng số = −2 λ Tùc l : hAx − Ay, x − yi ≥ 1−λ kAx − Ayk Ta câ nh lỵ sau nh lỵ 2.1 Cho C l têp lỗi õng khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H Cho {Ti}Ni=1 l mởt hồ Ănh xÔ i-giÊ co ch°t tø C v o H cho F := ∩Ni=1F (Ti) 6= ∅ Khi â, (i) Vỵi méi α > b i to¡n (2.5) câ nh§t mët nghi»m uα; (ii) lim uα = u∗ , u∗ ∈ F, k u∗ k≤k y k, ∀y ∈ F; α→0 (iii) kuα − uβ k ≤ |α−β | ∗ ku k α Chùng minh (i) L§y y l  iºm b§t ëng chung cõa hå {Ti}Ni=1 Tø γi kAi (x)k = γi kAi (x) − Ai (y) + Ai (y)k ≤ γi kAi (x) − Ai (y)k + γi kAi (y)k ≤ γi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên kx − yk − λi http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Suy Ănh xÔ B= N X i Ai (x) i=1 liản tửc Lipschitz vợi hơng số Lipschitz LB = PN i=1 γi v  ìn i»u − λi °t Gi (u, v) = hγi Ai (u), v − ui, i = 1, , N, th¼ b i toĂn (2.5) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn: Tẳm u C cho: Gα (uα , v) ≥ ∀v ∈ C, (2.6) ð ¥y ˜ v) + αhu, v − ui; Gα (u, v) = G(u,  X N ˜ v) = Gi (u), u − v = hB(u), u − vi G(u, i=1 ˜ v) công câ c¡c tẵnh chĐt Dạ thĐy: Gi (u, v) l song hm Do â G(u, â Sû döng Bê · 2.1 v  2.2 vỵi (1/r) = α > v  x = 0, b i to¡n (2.6) câ nghi»m nh§t nghi»m uα (ii) Trữợc tiản chựng minh: ku k kyk y F (2.7) Vẳ vợi mội y ∈ F, ta câ Ai (y) = Cho n¶n, hB(uα ), y − uα i + αhuα , y − uα i ≥ ∀y ∈ F (2.8) Do hγi Ai (uα ), y − uα i ≥ ∀y ∈ F, tø (2.8) suy kuα k ≤ kyk, ∀y ∈ F Vªy {uα } l  bà chn Do õ, tỗn tÔi mởt dÂy {uk } cừa dÂy {u } hởi tử yáu tợi phƯn tỷ u C BƠy giớ l -ngữủc ỡn i»u ta chùng minh u∗ ∈ F Tø Bê · 2.5, Al l  to¡n tû λ ˜ l = (1 l )/2 Tực l: mÔnh vợi hơng số λ hAl (x) − Al (y), x − yi ≥ (1 − λl ) kAl (x) − Al (y)k2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.9) 35 Do â, vỵi mët ch¿ sè l cè ành th¼ v  Al (y) = ta câ: ≤ γl − λl kAl (uαk ) k2 ≤ hγl Al (uαk ) , uαk − yi ∞ X ≤ hγi Ai (uαk ), uαk − yi i=1 ≤ αk huαk , y − uαk i ≤ αk hy, y − uαk i ≤ 2αk kyk2 Suy ra, lim kAl (uαk )k = k→∞ Sû döng Bê · 2.3, ta câ u∗ F (Tl ) Vẳ mội têp F (Tl ) l lỗi õng [16], cho nản F cụng l mởt têp lỗi õng M mội mởt têp lỗi õng khổng gian Hilbert ch cõ nhĐt mởt phƯn tỷ vợi chuân nhọ nhĐt Cho nản, cÊ dÂy {u } hëi tư y¸u ¸n u∗ α → Sû dửng tẵnh chĐt õ, kát hủp (2.3) vợi y ữủc thay bơng u v cĂc tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert H , ta cõ th kát luên dÂy {u } hëi tư ¸n u∗ α → (iii) Tø (2.5) v  t½nh ìn i»u cõa B ta câ: αhuα , uβ − uα i + βhuβ , uα − uβ i ≥ 0, ho°c |α − β| ∗ |α − β| kuβ k ≤ ku k, α α vợi mội , > nh lỵ ữủc chựng minh ku u k Chú ỵ: Dạ dng nhên thĐy l náu uk u, Ơy uk l  nghi»m cõa (2.6) vỵi α = αk → 0, k → +∞, th¼ F 6= ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2.2 Nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht BƠy giớ xt sỹ kát hủp giỳa bi toĂn (2.5) v thuêt toĂn cỡ bÊn chữỡng I,  thu ữủc thuêt toĂn mợi vợi tản gồi l nguyản lỵ bi toĂn phử hiằu chnh tẳm im bĐt ởng chung cho mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ giÊ co cht Chúng ta bưt Ưu vợi bữợc xuĐt phĂt z0 C v cĂc tham sè ban ¦u ε0 v  α0 Sau â, chóng ta gi£i b i to¡n sau: ∞ X ϕ(z) + hε0 (B(z0 ) + α0 z0 ) − ϕ (z0 ), zi, B = γi Ai z∈C i=1 Phiám hm chồn ữủc cho bi toĂn cỹc tiu trản cõ nhĐt nghiằm Kỵ hiằu nghiằm nhĐt õ l z1 v tiáp tửc thay , α0 v  z0 t÷ìng ùng bði ε1 , α1 v z1 Thuêt toĂn A: (i) TÔi bữợc k = bưt Ưu vợi z0 , v ; (ii) TÔi bữợc k = n, giÊi bi toĂn sau: T¼m z ∈ C cho z∈C ϕ(z) + hεn (B(zn ) + αn zn ) − ϕ0 (zn ), zi; (2.10) Kỵ hiằu zn+1 l nghiằm cừa bi toĂn trản (iii) Dứng, náu kzn+1 zn k nhọ hỡn mởt sai số cho trữợc Náu khổng Ôt ữủc mực õ, quay và bữợc (ii) ối vợi d¢y {εn }∞ n=0 v  {αn }n=0 , ta gi£ thiát thọa mÂn iÃu kiằn sau: iÃu kiằn A: < εn ≤ 1; < αn+1 ≤ αn ≤ : αn → n → ∞; ∞ X εn αn = ∞; n=0 ∞ X ε2n < ∞; n=0 ∞ X (αn − αn+1 )2 n=0 αn3 εn < ∞ Ta câ k¸t qu£ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 nh lỵ 2.2 Cho C l mởt têp õng lỗi khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H v cho {Ti}Ni=1 l mởt hồ cĂc Ănh xÔ i-giÊ co ch°t tø C v o H cho F := ∩∞i=1F (Ti) 6= ∅ Gi£ thi¸t phi¸m h m ϕ l  lỗi chẵnh thữớng v khÊ vi GƠteaux H vợi Ôo hm GƠteaux ỡn iằu mÔnh v liản tửc Lipschitz Khi õ, vợi mội n 0, tỗn tÔi nhĐt nghiằm zn+1 cừa bi toĂn (2.10) Hỡn thá nỳa, náu iÃu kiằn A ữủc thọa mÂn, thẳ: lim zn = u∗ ∈ F n→∞ Chùng minh Nh÷ chóng ta  biát bi toĂn cỹc tiu (2.10) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn sau: Tẳm zn+1 ∈ C cho hϕ0 (zn+1 ) + εn (B(zn ) + αn zn ) − ϕ0 (zn ), v − zn+1 i ≥ ∀v ∈ C (2.11) Tẵnh tỗn tÔi v nhĐt nghiằm zn+1 cừa (2.11) ữủc Êm bÊo bi tẵnh ỡn iằu mÔnh cừa Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c: kzn+1 − u∗ k ≤ kzn+1 − uαn k + kuαn − u∗ k, Ơy un l nghiằm cừa (2.6) vợi = αn , v  αn → 0, ta ch¿ c¦n ch¿ r¬ng: lim kzn+1 − uαn k = n Vợi mửc ẵch õ, ta ữa vo phiám hm: Φ(u, z) = ϕ(u) − ϕ(z) − hϕ0 (z), u zi, Ơy u v z tữỡng ựng õng vai trá cõa uαn v  zn V¼ ϕ0 l  ỡn iằu mÔnh v liản tửc Lipschitz, (u) (z) ≥ hϕ0 (z), u − zi + m ku − zk2 ; v  M ku − zk2 ; (2.12) Ơy m, M tữỡng ựng l cĂc hơng số ỡn iằu mÔnh v Lipschitz cừa (u) (z) ≤ hϕ0 (z), u − zi + ϕ0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Phiám hm thọa mÂn: M m ku − zk2 ≤ Φ(u, z) ≤ ku − zk2 2 (2.13) °t: ∆n = kzn − uαn−1 k Ưu tiản ta ch rơng {n } n=0 giợi nởi  lm iÃu õ, ta phƠn tẵch hiằu: Φ(uαn−1 , zn ) − Φ(uαn , zn+1 ) = {ϕ(uαn−1 ) − ϕ(zn ) − hϕ0 (zn ), uαn−1 − zn i} − {ϕ(uαn ) − ϕ(zn+1 ) − hϕ0 (zn+1 ), uαn − zn+1 i} = ϕ(uαn−1 ) − ϕ(uαn ) + hϕ0 (zn+1 ), uαn − zn+1 i + ϕ(zn+1 ) − ϕ(zn ) − hϕ0 (zn ), uαn−1 − zn i = ϕ(uαn−1 ) − ϕ(uαn ) + hϕ0 (zn+1 ), uαn − zn+1 i + ϕ(zn+1 ) − ϕ(zn ) − hϕ0 (zn ), zn+1 − zn i − hϕ0 (zn ), uαn−1 − zn+1 i Sỷ dửng cĂc bĐt ng thực trản, ta thu ÷đc: M m kzn − zn+1 k2 − kuαn−1 − uαn k2 2 0 + hϕ (uαn−1 ) − ϕ (zn ), uαn−1 − uαn i Φ(uαn−1 , zn ) − Φ(uαn , zn+1 ) ≥ + hϕ0 (zn+1 ) − ϕ0 (zn ), uαn − zn+1 i (2.14) M°t kh¡c, °t v = zn+1 v  α = αn v o (2.5), ta thu ÷đc hB(uαn ) + αn uαn , zn+1 − uαn i ≥ 0, v  °t v = uαn (2.11), ta thu ÷đc: hϕ0 (zn+1 ) + εn (B(zn ) + αn zn ) − ϕ0 (zn ), uαn − zn+1 i ≥ Cởng cĂc bĐt ng thực trản lÔi, ta cõ: h0 (zn+1 ) − ϕ0 (zn ), uαn − zn+1 i ≥εn hB(uαn ) + αn uαn , uαn − zn+1 i − εn hB(zn ) + αn zn , uαn − zn+1 i Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 °t L = γ + α0 â, vỵi måi x1 , x2 ∈ C , ta câ ¡nh gi¡ sau: k(B(x1 ) + αn x1 ) − (B(x2 ) + αn x2 )k Lkx1 x2 k Kát hủp (2.12) vợi (2.13), ta câ: Φ(uαn−1 , zn ) − Φ(uαn , zn+1 ) ≥ E1 + E2 + E3 + E4 , (2.15) Vỵi: m kzn − zn+1 k2 =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ), zn+1 − zn i m + kzn − zn+1 k2 + εn h(B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ) − (B(uαn ) + αn uαn ), zn+1 − zn i E1 =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn ) + αn uαn ), zn+1 − zn i + m ε2 L2 m kzn − zn+1 k2 − n kzn − uαn−1 k2 − kzn − zn+1 k2 m 2 ε L m − n kuαn − uαn−1 k2 − kzn − zn+1 k2 m 2 ε L L ≥ − n kzn − uαn−1 k2 − kuαn − uαn−1 k2 ; m m ≥ E2 =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn ) + αn uαn ), zn − uαn−1 i =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ), zn − uαn−1 i + εn h(B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ) − (B(uαn ) + αn uαn ), zn − uαn−1 i ≥rεn αn kzn − uαn−1 k2 − − εn L2 kzn − uαn−1 k2 M M kuαn − uαn−1 k2 ; < r ≤ 1; E3 =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ), uαn − uαn−1 i M − kuαn − uαn−1 k2 =εn h(B(zn ) + αn zn ) − (B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ), zn − uαn−1 i + εn h(B(uαn−1 ) + αn uαn−1 ) − (B(uαn ) + αn uαn ), uαn − uαn−1 i M − kuαn − uαn−1 k2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 3M L2 ε2n ≥rεn αn kuαn − uαn−1 k − kuαn − uαn−1 k − kzn − uαn−1 k2 ; M E4 = hϕ0 (uαn−1 ) − ϕ0 (zn ), uαn − uαn−1 i ≥ −M kuαn−1 − zn kkuαn − uαn−1 k M kuαn − uαn−1 k2 ; ≥ −cεn αn kuαn−1 − zn k − 4cεn αn Vỵi θ = r − c > Thay E1 , E2 , E3 , v  E4 v o (2.15), ta thu ÷đc: Φ(uαn−1 , zn ) − Φ(uαn , zn+1 ) ≥ θεn αn kuαn−1 − zn k2 (M + 2m)L2 ε2n M m + L2 kuαn−1 − zn k − kuαn − uαn−1 k2 − mM m + rεn αn kuαn − uαn−1 k ; (M + 2m)L2 ε2n kuαn−1 − zn k2 ≥θεn αn kuαn−1 − zn k − mM 2 ku (mM + L ) αn − un1 k 4rm2 n n Vẳ vêy,  Φ(uαn , zn+1 ) ≤Φ(uαn−1 , zn ) + −θεn αn kuαn−1 − zn k2 2 ku − u k α α n n−1 + c1 ε2n kuαn−1 − zn k2 + c2 , εn αn ð ¥y c1 = (M + 2m)L2 /mM v  c2 = (mM + L2 )2 /4rm2 Xt bĐt ng thực tữỡng tỹ nhữ trản vợi n = án N , cởng tĐt cÊ cĂc bĐt ng thực õ lÔi, ta thu ÷đc:     m M ∆2n+1 ≤ ∆21 2 N  X + −θεn αn ∆2n + c1 ε2n ∆2n n=1  + c2 αn − αn+1 αn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 2 ∗ −1 ku k (εn αn )  http://www.lrc-tnu.edu.vn