Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
352,54 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TốNG VĂN HUY PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh kh«ng gian banach Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tống văn huy PHƯƠNG PHáP LặP TìM ĐIểM BấT Động ánh xạ giả co mạnh không gian banach Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngưới hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Thái Nguyên – 2013 Mục lục Mở đầu Ánh xạ giả co toán điểm bất động 1.1 1.2 Một số định nghĩa ký hiệu 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ giả co Bài toán điểm bất động 10 1.2.1 Bài toán điểm bất động 10 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 14 2.1 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp xác 14 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu 24 2.3 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng xác định tồn khơng gian 28 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Bảng ký hiệu X Không gian Banach thực X∗ Không gian liên hợp X ∅ Tập rỗng x := y x định nghĩa y ∀x Với x ∃x Tồn x I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J A∗ Toán tử liên hợp toán tử A hx∗ , xi Giá trị phiếm hàm x∗ điểm x D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền ảnh toán tử A N (A) Tập khơng điểm tốn tử A F ix(A) Tập điểm bất động toán tử A xn → x∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ Mở đầu Một số định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Browder năm 1912 nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 Các kết mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác nhau, chẳng hạn ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải toán điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước giới Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh không gian Banach sở phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm không gian Banach trơn đều, không gian Banach lồi đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co toán điểm bất động Một số phương pháp cổ điển xấp xỉ điểm bất động không gian Hilbert đề cập phần cuối chương Chương trình bày số định lý hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa điểm bất động ánh xạ giả co mạnh không gian Banach Phần đầu chương nghiên cứu hội tụ dãy lặp cho xác Phần thứ hai nghiên cứu hội tụ Mở đầu dãy lặp cho có nhiễu Phần cuối chương dành để trình bày nghiên cứu điều kiện để dãy lặp Mann Ishikawa xác định miền xác định ánh xạ tập thường tồn khơng gian Đóng góp tác giả tìm đọc, dịch tổng hợp kiến thức [1]-[4] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Tống Văn Huy Chương Ánh xạ giả co toán điểm bất động Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết ánh xạ giả co số phương pháp xấp xỉ điểm bất động không gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5] 1.1 1.1.1 Một số định nghĩa ký hiệu Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X hx∗ , xi ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) N (T ) tập không điểm F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T tương ứng, nghĩa N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX {x ∈ X : kxk = 1} = Chương Ánh xạ giả co toán điểm bất động Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi không gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SX , x 6= y k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ kx − yk ≥ ε suy tồn δ = δ(ε) ≥ cho Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh hội tụ mạnh tới điểm bất động T Chứng minh Nếu F ix(T ) 6= ∅ F ix(T ) phải có giá trị, giả sử q điểm bất động T Vì T : K → K ánh xạ giả co mạnh, t−1 nên tồn tạ số k = ∈ (0, 1) cho t hT x − T y, j(x − y)i ≤ (1 − k)||x − y||2 , (2.19) với x, y ∈ K Đặt en = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi en → 0, n → ∞ Thật vậy, nhận xét {xn }, {T xn } {T yn } dãy bị chặn K, n → ∞, (xn+1 − q) − (yn − q) = (βn − αn )xn + αn T yn − βn T xn → Sử dụng tính liên tục j tập bị chặn X ta suy en → 0, n → ∞ Chú ý rằng: xn+1 − q = (1 − αn )(xn − q) + αn (T yn − T q) Tác động j(xn+1 − q) hai vế đẳng thức ta ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )hxn − q, j(xn+1 − q)i + αn hT yn − T q, j(xn+1 − q)i ≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q|| + αn hT yn − T q, j(xn+1 − q) − j(yn − q)i (2.20) + αn hT yn − T q, j(yn − q)i ≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q|| + (1 − k)αn ||yn − q||2 + o(αn ) Chú ý thêm ||yn − q|| ≤ ||xn − q|| + M βn , ||y − q||2 ≤ ||x − q||2 + M β n n n 22 (2.21) Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Vì thay (2.21) vào (2.20) ta ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )||xn − q||||xn+1 − q|| + (1 − k)αn ||xn − q||2 + o(αn ) − αn ≤ (||xn − q||2 + ||xn+1 − q||2 ) + (1 − k)αn ||xn − q||2 + o(αn ) (2.22) Từ (2.22) suy kα n ||xn+1 − q||2 ≤ − 1+αn ||xn − q||2 + o(αn ) (2.23) ≤ (1 − kαn )||xn − q||2 + o(αn ), Suy xn → q n → ∞ Định lý chứng minh xong Hệ 2.1.5 Cho X không gian Banach thực, trơn K tập lồi đóng, bị chặn, khác rỗng X Cho T : K → K ánh xạ liên tục giả co mạnh Cho {αn }, {βn } {xn } Định lý 2.1.4 Khi kết luận Định lý 2.1.4 giữ nguyên Chứng minh Sử dụng Định lý 1.2.1, ta suy T có điểm bất động K, F ix(T ) 6= ∅ Phần lại chứng minh suy từ Định lý 2.1.4 Hệ 2.1.6 Cho X, K, T {αn } Định lý 2.1.4 Định nghĩa dãy lặp Mann sau x0 ∈ K x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ Khi dãy {xn } hội tụ mạnh đến điểm bất động T Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1.4 với βn = với n ≥ 23 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 2.2 Xấp xỉ điểm bất động với dãy lặp có nhiễu Trong mục ta nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa xấp xỉ điểm bất động ánh xạ giả co mạnh trường hợp có nhiễu Định lý 2.2.1 Cho X không gian Banach thực, K tập lồi, đóng, khác rỗng bị chặn X Cho T : K → K ánh xạ giả co mạnh liên tục Giả sử {αn }, {βn }, {γn }, {ˆ αn }, {βˆn } {ˆ γn } sáu dãy lặp [0, 1] thỏa mãn điều kiện sau: (i) βn → 0, βˆn → 0, γˆn → n → ∞, ∞ ∞ P P βn = ∞, γn < ∞, (ii) n=0 n=0 (iii) αn + βn + γn = α ˆ n + βˆn + γˆn = 1, n ≥ Cho {un } {vn } hai dãy bị chặn K Định nghĩa dãy lặp Ishikawa {xn } có nhiễu sau x0 ∈ K, xn+1 = αn xn + βn T yn + γn un , n ≥ 0, yn = α ˆ n xn + βˆn T xn + γˆn , n ≥ (2.24) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.24) hội tụ mạnh tới điểm bất động ánh xạ T Chứng minh Với giả thiết định lý ta suy T có điểm bất động q ∈ K Vì K tập lồi T : K → K tự ánh xạ, nên ta suy {xn } {yn } nằm K, {xn }, {yn }, {T xn } {T yn } dãy bị chặn K K tập bị chặn X Mặt khác T : K → K ánh xạ giả co mạnh, nên suy tồn 24 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh số k ∈ (0, 1) j(x − y) ∈ J(x − y), với x, y thuộc X cho hT x − T y, j(x − y)i ≤ (1 − k)||x − y||2 (2.25) Đặt fn = ||T yn − T xn+1 || Khi fn → n → ∞ Thật vậy, ta ý yn − xn+1 = (ˆ αn − αn )xn + βˆn T xn − βn T yn + γˆn − γn un → 0, n → ∞ Do tính liên tục T ta suy fn → n → ∞ Mặt khác, ta có αn2 ≤ − kβn , − 2(1 − k)βn với n đủ lớn Sử dụng Định lý 1.1.1 (2.24), ta ||xn+1 − q||2 ≤αn2 ||xn − q||2 + 2βn hT yn − q, j(xn+1 − q)i + 2γn hun , j(xn+1 − q)i ≤αn2 ||xn − q||2 + 2βn hT yn − T xn+1 , j(xn+1 − q)i + 2βn hT xn+1 − q, j(xn+1 − q)i + 2M γn ≤αn2 ||xn − q||2 + 2M βn fn + 2(1 − k)βn ||xn+1 − q||2 + 2M γn , (2.26) với M số dương Từ (2.26) ta suy ||xn+1 − q||2 ≤ αn2 ||xn − q||2 + o(βn ) + cn − 2(1 − k)βn (2.27) ≤ (1 − kβn )||xn − q|| + o(βn ) + cn , với n đủ lớn, ∞ P cn < ∞ Sử dụng Bổ đề 1.2.1 ta suy n=0 xn → q n → ∞ Định lý chứng minh xong Hệ 2.2.1 Cho X, K, T , {αn }, {βn }, {γn } {un } 25 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Định lý 2.2.1 Định nghĩa dãy lặp Mann {xn } có nhiễu sau x0 ∈ K (2.28) x n+1 = αn xn + βn T xn + γn un , n ≥ Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.28) hội tụ mạnh tới điểm bất động ánh xạ T Chứng minh Trong Định lý 2.2.1 thay βˆn = γˆn = ≡ 0, với n ≥ Định lý 2.2.2 Cho X không gian Banach thực, trơn K tập lồi, khác rỗng, bị chặn X Cho T : K → K ánh xạ giả co mạnh với điểm bất động q ∈ K Giả sử {αn }, {βn }, {γn }, {ˆ αn }, {βˆn } {ˆ γn } sáu dãy lặp [0, 1] thỏa mãn điều kiện sau: (i) βn → 0, βˆn → 0, γˆn → n → ∞, ∞ ∞ P P (ii) βn = ∞, γn < ∞, n=0 n=0 (iii) αn + βn + γn = α ˆ n + βˆn + γˆn = 1, n ≥ Cho {un } {vn } hai dãy bị chặn K Định nghĩa dãy lặp Ishikawa {xn } có nhiễu sau x0 ∈ K, xn+1 = αn xn + βn T yn + γn un , n ≥ 0, yn = α ˆ n xn + βˆn T xn + γˆn , n ≥ (2.29) Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.29) hội tụ mạnh tới điểm bất động ánh xạ T Chứng minh Đặt gn = ||j(xn+1 − q) − j(yn − q)|| Khi gn → n → ∞ Khẳng định j liên tục tập bị chặn X xn+1 − yn → 0, n → ∞ Sử dụng Định lý 1.1.1 26 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh (2.29), ta ||yn − q||2 ≤ˆ αn2 ||xn − q||2 + 2||yn − q||(βˆn ||T xn − q|| (2.30) + γˆn ||vn − q||) ≤ˆ αn2 ||xn − q||2 + 2M (βˆn + γˆn ) Sử dụng Định lý 1.1.1 (2.29), ta ||xn+1 − q||2 ≤αn2 ||xn − q||2 + 2βn hT yn − q, j(xn+1 − q)i + 2γn hun , j(xn+1 − q)i ≤αn2 ||xn − q||2 + 2βn hT yn − q, j(xn+1 − q) − j(yn − q)i + 2βn hT yn − q, j(yn − q)i + 2M γn ≤αn2 ||xn − q||2 + 2M βn gn + 2(1 − k)βn ||yn − q||2 + 2M γn ≤[αn2 + 2(1 − k)βn α ˆ n2 ]||xn − q||2 + o(βn ) + 2M γn (2.31) Từ đó, suy ||xn+1 − q||2 ≤ (1 − kβn )||xn − q||2 + bn + cn , (2.32) với n đủ lớn, bn = o(βn ) cn = 2M γn Từ Bổ đề 1.2.1 ta suy xn → q n → ∞ Định lý chứng minh xong Hệ 2.2.2 Cho X, K, T, {αn }, {βn }, {γn } {un } Định lý 2.2.2 Định nghĩa dãy lặp Mann {xn } có nhiễu sau x0 ∈ K (2.33) x n+1 = αn xn + βn T xn + γn un , n ≥ Khi dãy lặp {xn } định nghĩa (2.33) hội tụ mạnh tới điểm bất động ánh xạ T Chứng minh Trong Định lý 2.2.2 thay βˆn = γˆn = ≡ 0, với n ≥ 27 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh 2.3 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không xác định tồn khơng gian Chú ý rằng, nhiều ứng dụng, ánh xạ không cần xác định tồn khơng gian Nói chung miền xác định D(T ) ánh xạ T tập thường không gian Banach X Trong trường hợp dãy lặp Mann Ishikawa khơng xác định cần tìm điều kiện cho dãy xác định kết hay quan tâm nghiên cứu Các định lý mục viết lại từ Chương 4, Mục 4.1 [1] Định lý 2.3.1 Cho X không gian Banach thực T : D(T ) ⊂ X −→ X ánh xạ Lipschitz giả co mạnh thỏa mãn điều kiện tập ảnh sau: D(T ) ⊆ R[(1 + α))I − αT ], với ∀α > Giả sử T có điểm bất động x∗ ∈ D(T ) Khi tồn s số dương α = với s ∈ (0, − k) cho (1 + L)2 [(1 − α)I + αT ] ánh xạ giả co mạnh Chứng minh Từ điều kiện tập ảnh tính giả co mạnh ánh xạ T , ta thấy Jα = [(1 − α)I + αT ]−1 : D(T ) ⊂ X −→ X hoàn toàn xác định ánh xạ giả co mạnh với α > Điều suy từ định nghĩa Jα (1 − α)x + αT x = Jα x + α2 (T Jα x − Jα x) + α(T x − T Jα x) (2.34) Với α > 0, định nghĩa ánh xạ H : D(T ) ⊂ X −→ X xác định Hx = (1 − α)x + αT x 28 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh với x ∈ D(H) Ta nhận thấy Hx∗ = x∗ Jα x∗ = x∗ , ta có Hx − Hx∗ = Jα x − Jα x∗ + α2 (T Jα x − Jα x) + α(T x − T Jα x) Vì α ≤ s , với s ∈ (0, − k) x ∈ D(T ) nên ta có (1 + L)2 ||x − x∗ || + (1 + L)α2 ||T Jα x − Jα x|| + (1 − k)α + α2 (1 + L)2 ≤ ||x − x∗ || + α(1 − k) s ≤ − α ||x − x∗ || s Trong trường hợp riêng, đặt α = , suy (1 + L)2 ||Hx − Hx∗ || ≤ ||Hx − Hx∗ || ≤ τ ||x − x∗ ||, (2.35) (2.36) s2 ∈ (0; 1) Định lý chứng minh xong τ = − 2(1 + L)2 Định lý 2.3.2 Cho T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ liên tục Lipschitz giả co mạnh với miền xác định D(T ) tập mở Giả thiết T có điểm bất động x∗ ∈ D(T ) Giả thiết thêm T thỏa mãn điều kiện ảnh D(T ) ⊆ R[(1 + α)I − αT ], với ∀α > Cho {αn } {βn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện sau: s , s ∈ (0, − k), n ≥ (1 + L)2 s ii) ≤ βn ≤ , s ∈ (0, − k), n ≥ 4(1 + L)2 ∞ P iii) αn = ∞ i) ≤ αn ≤ n=0 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} nằm 29 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh D(T ) dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa x0 ∈ B yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.37) nằm trong B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn s αn = , ∀n ≥ (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ρ = − ∈ (0, 1) 2(1 + L)2 Chứng minh Đặt B(y, r) = {x ∈ X : ||x − y|| ≤ r} Khi tồn r1 > cho B(x∗ , r1 ) ⊆ D(T ) Vì D(T ) miền mở T Để ý dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa dãy lặp (2.37) viết sau xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn + αn (T yn − T xn ), (2.38) với n ≥ Bây ta dãy lặp {xn } hoàn toàn xác định quy nạp Đầu tiên ta yn ∈ B xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi từ cơng thức (2.37) Định lý 2.3.1 ta có ||yn − x∗ || ≤ (1 − s βn )||xn − x∗ || ≤ r, 2(1 + L) từ ta suy yn ∈ B Bây ta xn ∈ B với n ≥ Thật vậy, theo cách chọn x0 ta có x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B Khi sử dụng Định lý 2.3.1 công thức (2.38), ta s ||xn+1 − x∗ || ≤ (1 − αn )||xn − x∗ || ≤ r, 4(1 + L) (2.39) từ suy xn+1 ∈ B ta có xn ∈ B với n ≥ Quy nạp từ công thức (2.39) ta suy kết luận Định lý 2.3.2 30 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Hệ 2.3.1 Cho X, T αn Định lý 2.3.2 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || < r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa x0 ∈ B x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.40) nằm B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn nữa, αn = s , ∀n ≥ 0, (1 + L)2 ||xn+1 − x∗ || ≤ ρn ||x0 − x∗ ||, s2 ) ∈ (0, 1) ρ = (1 − 2(1 + L)2 Chứng minh Sủ dụng Định lý 2.3.2 với βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.3 Cho X không gian Banach thực, trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ nửa co mạnh liên tục Lipschitz địa phương với miền mở D(T ) nằm X điểm bất động x∗ ∈ D(T ) Khi tồn hình cầu đóng B nằm D(T ) cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa x0 ∈ B yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ (2.41) nằm B hội tụ mạnh tới điểm bất động x∗ T với αn βn thỏa mãn điều kiện: δ i) αn + βn ≤ min{k, }, n ≥ 0; (1 + L)r ∞ P ii) αn = +∞, n=0 k, δ, L r số dương cố định Chứng minh Vì T ánh xạ Lipschit địa phương nên tồn r > ¯ = Br (x∗ ) = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} ⊆ cho T Lipschit B 31 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh t−1 ∈ (0, 1) L ≥ tương ứng với số nửa co t mạnh số Lipschitz Vì X không gian Banach trơn nên D(T ) Đặt k = ánh xà đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục tập bị chặn kr X Vậy, với ε = > ta định nghĩa số dương δ cho 2L ||j(x) − j(y)|| ≤ ε, x, y ∈ BLr = {x ∈ X : ||x − x∗ || ≤ Lr} ||x − y|| ≤ δ Tại điểm ta chọn tham số αn βn thỏa mãn điều kiện i) ii) định nghĩa dãy lặp {xn } (2.41) Khẳng định 1: yn ∈ B với xn ∈ B với n ≥ Giả sử xn ∈ B Khi ||xn − x∗ || ≤ r Sử dụng Định lý 1.4 công thức đệ quy (2.41), ta có ||yn − x∗ ||2 ≤ (1 − βn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2βn hT xn − x∗ , j(yn − x∗ )i ≤ (1 − βn )2 r2 + 2(1 − k)βn r2 + 2Lβn kr 2L (2.42) ≤ r2, từ suy yn ∈ B Khẳng định 2: xn ∈ B với n ≥ Chọn x0 ∈ B Giả sử xn ∈ B với só nguyên n cố định Khi ta chứng minh xn+1 ∈ B với n Đầu tiên ta có yn ∈ B, tức ||yn − x∗ || ≤ r Đặt en = ||j(xn+1 − x∗ ) − j(yn − x∗ )|| Sử dụng lại Định lý 1.4 công thức (2.41) ta ||xn+1 − x∗ ||2 ≤ (1 − αn )2 ||xn − x∗ ||2 + 2αn hT yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ )i ≤ (1 − αn )2 r2 + 2αn hT yn − x∗ , j(xn+1 − x∗ )i ≤ (1 − αn )2 r2 + 2(1 − k)αn r2 + 2Lrαn en ≤ r2, 32 (2.43) Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh từ suy xn+1 ∈ B Bằng cách quy nạp ta khẳng định xn ∈ B với n ≥ Khẳng định 3: xn → x∗ n → ∞ Làm tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 Hệ 2.3.2 Cho X, T αn Định lý 2.3.3 Khi tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x∗ || ≤ r} nằm D(T ) dãy lặp Mann {xn } định nghĩa x0 ∈ B x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.44) giữ nguyên B hội tụ mạnh tới x∗ Hơn αn = δ min{k, } với n ≥ (1 + L)r ||xn+1 − x∗ || ≤ Qn ||x0 − x∗ ||, Q ∈ (0, 1) Định lý 2.3.4 Cho X không gian Banach thực T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh, liên tục với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh k ∈ (0, 1) Giả sử với giá trị lặp ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) Khi tồn số k dương M , δ cho dãy lặp Ishikawa {xn } định nghĩa x0 ∈ B (2.45) yn = (1 − βn )xn + βn T xn , n ≥ xn+1 = (1 − αn )xn + αn T yn , n ≥ hội tụ mạnh tới điểm bất động q T , miễn αn βn thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || , }, n ≥ 0, i) αn ≤ min{k, 2M kM 33 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh δ ||x0 − T x0 || ii) βn ≤ min{k, , }, n ≥ 0, 4M kM ∞ P iii) αn = ∞, n=0 iv) αn → 0, βn → n → ∞ Chứng minh Vì T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh Khi (I − T ) ánh xạ accretive mạnh tồn số k ∈ (0, 1) j(x − y) ∈ J(x − y) cho hx − T x − y + T y, j(x − y)i ≥ k||x − y||2 , (2.46) với x, y ∈ D(T ) Từ công thức ta suy hT x − T y, j(x − y)i ≤ (1 − k)||x − y||2 , (2.47) với x, y ∈ D(T ) Từ công thức (2.47) ta có ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k (2.48) Vì T liên tục D(T ) nên T bị chặn D(T ) Đặt M = sup{||x − T x|| : x ∈ B} Khi M < ∞ Hơn nữa, từ tính liên tục T , với ε = ||x0 − T x0 || Khi phải tồn số δ cho ||T x − T y|| ≤ ε, (2.49) mà ||x − y|| ≤ δ Trước hết ta dãy lặp {xn } định nghĩa cơng thức (2.45) hồn tồn xác định Sau hai dãy lặp {xn } {yn } nằm B, với n ≥ Đầu tiên ta chứng minh 1 ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || với ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, từ (2.45) ta có k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || (2.50) k 34 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Sử dụng Định lý 1.4, công thức (2.45) (2.47) ta ||yn − q||2 ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn hT xn − q, j(yn − q)i ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + 2βn ||T xn − T yn ||||yn − q|| + 2βn (1 − k)||yn − q||2 (2.51) ≤(1 − βn )2 ||xn − q||2 + βn ||x0 − T x0 ||2 k + 2βn (1 − k)||yn − q||2 , từ suy ||x0 − T x0 ||2 , (2.52) k điều có nghĩa ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Bây ta k ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 ||, với n ≥ Ta kết thúc bước k quy nạp Bằng định nghĩa ánh xạ T , ||x0 − q|| ≤ ||x0 − T x0 || k Giả sử ||xn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Khi lý luận trên, k ||yn − q|| ≤ ||x0 − T x0 || Chú ý k ||yn − q||2 ≤ ||xn+1 − q|| ≤ (1 − αn )||xn − q|| + αn ||T yn − q|| ≤ (1 − αn ) ||x0 − T x0 || ||x0 − T x0 || + αn (M1 + ) (2.53) k k ≤ ||x0 − T x0 ||, k xn+1 ∈ B Sử dụng Định lý 1.4 (2.45), ta có ||xn+1 − q||2 ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn hT yn − q, j(xn+1 − q)i ≤(1 − αn )2 ||xn − q||2 + 2αn ||T yn − T xn+1 ||||xn+1 − q|| + 2αn (1 − k)||xn+1 − q||2 (2.54) 35 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ giả co mạnh Để ý ||yn − xn+1 || ≤βn ||xn − T xn || + αn ||xn − yn || + αn ||T yn − yn || ≤βn M + αn βn M + αn M (2.55) ≤(αn + 2βn )M ≤δ, ||x0 − T x0 || Thay (2.53) (2.55) vào (2.54) cho ||x0 − T x0 || ta ||xn+1 − q|| ≤ Bằng quy nạp ta ||xn − q|| ≤ k ||x0 − T x0 || , với n ≥ Do xn , yn ∈ B với n ≥ Phần k lại lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.3 để ||T yn −T xn+1 || ≤ Hệ 2.3.3 Cho X, T B1 Định lý 2.3.3 Khi tồn số dương M , δ cho dãy lặp Mann {xn } định nghĩa x0 ∈ D(T ) x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ (2.56) hội tụ mạnh tới điểm bất động q T miễn {αn } thỏa mãn điều kiện sau: δ ||x0 − T x0 || i) αn = min{k, , }, n ≥ 0, 2M kM ∞ P ii) αn = ∞, n=0 iii) αn → n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.3.4 thay βn = 0, với n ≥ Định lý 2.3.5 Cho X không gian Banach thực trơn T : D(T ) ⊂ X → X ánh xạ giả co mạnh với điểm bất động q ∈ D(T ) số giả co mạnh t > Đặt k = t−1 (t − 1) Giả sử với giá trị ban đầu x0 ∈ D(T ), tồn hình cầu đóng B2 = {x ∈ D(T ) : ||x − x0 || ≤ ||x0 − T x0 ||} cho B ⊂ D(T ) (I − T )B bị chặn k 36