Dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 14 1.3.1 Định nghĩa 14 1.3.2 Các phép toán hàm lồi 18 1.3.3 Tính liên tục hàm lồi 18 1.3.4 Hàm liên hợp 20 Dưới vi phân hàm lồi 2.1 Định nghĩa ví dụ 23 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 25 2.2.1 2.3 Các tính chất 31 Một số ví dụ 41 Ứng dụng vi phân vào nghiên cứu toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi 48 3.2 Bài tốn lồi khơng có ràng buộc 49 3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức 49 3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 50 3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư trường Đại học Khoa học, Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện luận văn Hải phòng, ngày 19 tháng năm 2012 Đào Văn Phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi phận quan trọng giải tích tốn học, nghiên cứu tập lồi hàm lồi Trong giải tích lồi, khái niệm vi phân khái niệm Có thể xem vi phân mở rộng khái niệm đạo hàm Nhiều tác giả nước nghiên cứu thu kết quan trọng vi phân hàm lồi ứng dụng giải tích phi tuyến mơn tốn ứng dụng Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung vi phân hàm lồi không gian Banach số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Chương trình bày vi phân hàm lồi không gian Banach Chương trình bày ứng dụng vi phân vào việc nghiên cứu toán tối ưu lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu R Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :D→R δ (x|D) E∗ int A A domf epif f (x) fG0 (x) f (x; v) ∂f (x) ||.|| |x| hx∗ , xi KA NA (¯ x) af f A coA f ≤g đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều tập số thực suy rộng ánh xạ từ D vào R hàm tập D không gian liên hợp E phần A bao đóng A miền hữu hiệu f đồ thị f đạo hàm Fréchet f x đạo hàm Gâteaux f x đạo hàm theo hướng v f x vi phân f x chuẩn không gian Banach trị tuyệt đối số x giá trị x∗ x nón lồi sinh A nón pháp A x¯ bao lồi affine A bao lồi A f (x) ≤ g(x) với x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tập lồi không gian Banach hàm lồi khơng gian Banach với tính chất đặc trưng Những kiến thức trình bày chương chọn chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8] 1.1 Không gian Banach Cho E không gian vectơ trường số R Định nghĩa 1.1 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, E ánh xạ từ E vào R thỏa mãn điều kiện: 1) ||x|| ≥ với x ∈ E ; 2) ||x|| = x = θ (θ kí hiệu phần tử khơng); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với số λ ∈ R x ∈ E ; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y ∈ E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số ||x|| gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ x ∈ E Một không gian vectơ E với chuẩn xác định không gian ấy, gọi không gian định chuẩn Mệnh đề 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn Với x, y ∈ E , đặt ρ(x, y) = ||x − y|| Khi đó, ρ metric E Định nghĩa 1.2 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn k.k Nếu E với khoảng cách sinh chuẩn E : ρ(x, y) = ||x − y||, không gian metric đầy đủ E gọi khơng gian Banach Nếu khơng có giả thiết thêm, suốt luận văn này, khơng gian Banach kí hiệu E Chuẩn khơng gian Banach ln kí hiệu k.k Định nghĩa 1.3 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn k.k.Ta gọi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R phiếm hàm tuyến tính xác định E Nếu x∗ ∈ E ∗ x ∈ E giá trị x∗ x kí hiệu hx∗ , xi, nghĩa hx∗ , xi = x∗ (x) Dễ dàng kiểm tra rằng, tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E với phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành khơng gian tuyến tính thực Ta gọi khơng gian khơng gian liên hợp E kí hiệu E ∗ Không gian liên hợp E ∗ gọi không gian liên hợp thư hai E kí hiệu E ∗∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1 Khơng gian liên hợp E ∗ E với chuẩn xác định kx∗ k = sup{hx∗ , yi : y ∈ E, kyk = 0} không gian Banach Tôpô τM sinh metric không gian định chuẩn E ∗ nêu định lý vừa nêu gọi tôpô mạnh E ∗ Định nghĩa 1.4 Tôpô τY E ∗ gọi tôpô yếu hệ thống lân cận của E ∗ tập có dạng ∗ {x∗ ∈ E ∗ : hx∗∗ i , x i < ε, i = 1, , k}, ∗∗ với i =, , k ε > x∗∗ i ∈E Định nghĩa 1.5 Tơpơ τ ∗ E ∗ gọi tôpô yếu* hệ thống lân cận của E ∗ tập có dạng {x∗ ∈ E ∗ : hx∗ , xi i < ε, i = 1, , k}, xi ∈ E với i = 1, , k Định nghĩa 1.6 Tập A ⊂ E mà đóng (compact, bị chặn) theo tơ pơ yếu E gọi tập đóng (compact, bị chặn) yếu Tập A đóng (compact, bị chặn) theo tơ pơ yếu* khơng gian liên hợp E ∗ E gọi tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) 1.2 Tập lồi Giả sử E không gian Banach, R tập số thực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ E gọi lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A Ví dụ 1.1 Cả khơng gian E tập lồi Tập A = ∅ tập lồi Mệnh đề 1.2 Giả Aα ⊂ E (α ∈ I) tập lồi, với I tập số T Khi A = Aα lồi α∈I Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 A1 + + λm Am tập lồi Mệnh đề 1.4 Giả sử Ei không gian Banach, tập Ai ⊂ Ei lồi (i = 1, 2, , m) Khi tích Đềcác A1 × × Am tập lồi E1 × × Em Mệnh đề 1.5 Giả sử E1 , E2 không gian Banach, T : E1 → E2 tốn tử tuyến tính Khi đó, a) A ⊂ E1 lồi T (A) lồi; b) B ⊂ E2 lồi nghịch ảnh T −1 (B) B tập lồi Định nghĩa 1.8 Véc tơ x ∈ E gọi tổ hợp lồi véctơ m P x1 , , xm thuộc E , ∃λi ≥ (i = 1, 2, , m) , λi = cho i=1 x= m X λi xi i=1 Định lí 1.2 Giả sử tập A ⊂ E lồi; x1 , , xm ∈ A Khi A chứa tất tổ hợp lồi x1 , , xm Định nghĩa 1.9 Giả sử A ⊂ E Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi (convex hull) tập A, kí hiệu coA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không giảm ϕ+ (t) < +∞ t ∈ int (domϕ) Ví dụ 2.4 Giả sử f cho sau:   x < 0, f (x) = x = 0,  +∞ x > Ta có domf = (−∞; 0] ⇒ domf 6= ∅, f (x) > −∞, ∀x Vậy f hàm lồi thường Ta có: f [0 + λ(−1)] − f (0) 0−1 = lim = −∞, λ λ→0 λ→0 λ f (0 + λ0) − f (0) 1−1 f (0, 0) = lim = lim = 0, λ λ→0 λ→0 λ f (0 + λ1) − f (0) ∞−1 f (0, 1) = lim = lim = +∞ λ λ λ→0 λ→0 f (0, −1) = lim Suy f (0, ) khơng hàm thường Định lí 2.1 Cho f hàm lồi thường E Khi f có đạo hàm theo phương điểm x ∈ domf Đồng thời f (x + λd) − f (x) λ λ>0 f (x, d) := lim Chứng minh Lấy x ∈ domf, d ∈ E Đặt ϕ (t) := f (x + td) Khi đó, ϕ hàm lồi thường R ∈ domϕ Bởi ϕ0+ (.) hàm khơng giảm Định lí chứng minh Mệnh đề 2.2 Cho f hàm dương E Khi đó, i) Nếu f liên tục điểm tập U ⊂ E f liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 điểm nón KU sinh tập U , trừ điểm 0; ii) Nếu f liên tục lân cận f liên tục E Chứng minh i) Lấy x0 6= thuộc KU Khi ∃λ > : λx0 ∈ U Do f liên tục điểm λx0 , với ε > 0, tồn lân cận V λx0 cho |f (x) − f (λx0 )| < λε (∀x ∈ V ) Ta có λ1 V lân cận x0 với x ∈ λ1 V, |f (x) − f (λx0 )| < λ−1 |f (λx) − f (λx0 )| < ε Do f liên tục x0 ii) Nếu f liên tục lân cận W 0, theo chứng minh phần f liên tục điểm nón x0 sinh tập W , trừ điểm Ta lại có KW = E ta giả thiết f liên tục Vì vậy, f liên tục tồn E Định lí 2.2 Cho f hàm lồi thường E x ∈ domf Khi x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x, d) ≥ hx∗ , di (∀d ∈ E) Chứng minh Nếu x∗ ∈ ∂f (x), với d ∈ E, λ > 0, ta có f (x∗ + λd) − f (x∗ ) ≥ λ hx∗ , di Theo định lí 2.1, f có đạo hàm x theo phương d, f (x; d) ≥ hx∗ , di Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Ngược lại, (2.3) đúng, ta lấy x ∈ E, d = x − x , từ định lí (2.1) ta nhận hx∗ , x − xi ≤ f (x, x − x) ≤ f (x + (x − x) − f (x)) Do x∗ ∈ ∂f (x) Hệ 2.1 ∂f (x) = ∂d f (x; 0) , Trong ∂d vi phân f (x; d) theo biến d Chứng minh Do f (x; 0) = 0, theo định lí 2.2, ta có x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x; d) − f (x; 0) ≥ hx∗ , di (∀d ∈ E) ⇔ x∗ ∈ ∂d f (x; 0) Suy điều phải chứng minh Định lí 2.3 Cho f hàm lồi thường E x ∈ domf Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x) + f ∗ (x∗ ) = hx∗ , xi Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∂f (x) Khi đó, f (x) − f (x) ≥ hx∗ , x − xi (∀x ∈ E) , Suy hx∗ , xi − f (x) ≥ hx∗ , xi − f (x) (∀x ∈ E) , Do hx∗ , xi − f (x) ≥ sup {hx∗ , xi − f (x)} = f ∗ (x∗ ) (2.4) Mặt khác theo bất đẳng thức Young - Fenchel (nhận xét 1.1) hx∗ , xi − f (x) ≤ f ∗ (x∗ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.5) 30 Từ (2.4), (2.5) suy f (x) + f ∗ (x∗ ) = hx∗ , xi Vậy f (x + λd) ≥ hx∗ , x + λdi − (hx∗ , xi − f (x)) Do f (x + λd) − f (x) hx∗ , λdi ⇒ ≥ = hx∗ , di λ λ ⇒ f (x, d) ≥ hx∗ , di (∀d ∈ E) ⇒ x∗ ∈ ∂f (x) (theo định lí 2.2) Định lí 2.4 Giả sử f hàm lồi thường E , liên tục điểm tập U ⊂ E Khi đó,   e e i) Nếu điểm d ∈ E thỏa mãn x + d ∈ U mà f x; de hữu hạn, f (x; ) liên tục điểm nón KU −x sinh tập U − x, trừ điểm 0; ii) Nếu f liên tục x, f (x; ) hữu hạn liên tục E Chứng minh i) Theo mệnh đề 2.2, ta cần chứng minh f (x; ) liên tục điểm tập hợp U − x Trước hết ta chứng minh f (x; ) hàm thường   Do f x; de < +∞, nên x ∈ domf Từ định lí 2.1 ta nhận f (x; d) ≤ f (x + d) − f (x) (∀d ∈ E) Nếu ∃d1 ∈ E : f (x; d1 ) = −∞ Theo định lí 1.20, x + de ∈ int (domf ) Bởi x + λde = ε (x + λd2 ) + (x + λd1 ) , 1+ε 1+ε Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31   e f x + λd ≤ ε f (x + λd2 ) + f (x + λd1 ) , 1+ε 1+ε Suy ε f (x; d2 ) + f (x; d1 ) (2.6) 1+ε 1+ε Do x + d2 ∈ domf , nên f (x; d2 ) < +∞ Vì từ (2.6) ta suy