Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS TS Nguyễn Bường Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Phạm Thanh Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên (ĐHTN) hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Trong trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Đinh Nho Hào, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TS Trần Vũ Thiệu, GS TS Nguyễn Văn Hiền, GS TS Jean Jacques Strodiot, PGS TS Cung Thế Anh, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Hà Trần Phương, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Nguyễn Công Điều, TS Vũ Mạnh Xuân TS Trịnh Thị Diệp Linh Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Bộ phận đào tạo Sau đại học - Ban đào tạo ĐHTN, Bộ phận đào tạo Sau đại học - Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm (ĐHSP), Ban Giám hiệu Trường ĐHSP - ĐHTN Ban Giám hiệu Trường Đại học Nông Lâm (ĐHNL) - ĐHTN tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Trường ĐHSP Khoa Khoa học - Trường ĐHNL ĐHTN toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu, seminar hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Phạm Thanh Hiếu iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh sách ký hiệu chữ viết tắt Danh sách hình vẽ i ii iii v vii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng hình học khơng gian Banach 7 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi trơn 1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu 12 1.1.4 Giới hạn Banach 14 1.1.5 Ánh xạ liên tục Lipschitz ánh xạ j-đơn điệu 15 1.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn toán Cauchy với ánh xạ m-j-đơn điệu 18 1.2.1 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 18 1.2.2 Bài toán Cauchy với ánh xạ m-j-đơn điệu 20 1.3 Bất đẳng thức biến phân cổ điển số toán liên quan 21 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 21 iv 1.3.2 Một số toán liên quan 21 1.4 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 24 1.4.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 24 1.4.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 25 1.4.3 Phương pháp lai ghép đường dốc 27 1.4.4 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 29 Kết luận chương 30 Chương Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 32 2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc 32 2.2 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 48 2.3 Ví dụ số minh họa 60 Kết luận chương 67 Chương Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach 69 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 69 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính 76 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 83 3.4 Ví dụ số minh họa 86 Kết luận chương 89 Kết luận chung đề nghị 90 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 91 Tài liệu tham khảo 92 v Danh sách ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm sgn hàm dấu ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng c khơng gian dãy số hội tụ vi c0 không gian dãy số hội tụ C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p l∞ không gian dãy số bị chặn Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] L∞ không gian hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Jq ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f Wpm (Ω) không gian Sobolev n số bước lặp int(C) phần tập hợp C CVI(F, C) bất đẳng thức biến phân cổ điển tập C VI(F, C) bất đẳng thức biến phân tập C với F : E → E ∗ VI∗ (F, C) bất đẳng thức biến phân tập C với F : E → E n→∞ vii Danh sách hình vẽ 2.1 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.9) 65 2.2 2.3 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.10) 65 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.32) 66 2.4 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.32) (2.46) 3.1 3.2 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (3.3) (3.14) 88 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (3.3) (3.23) 89 67 Mở đầu Cho H không gian Hilbert, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality), ký hiệu CVI(F, C), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn: hF x∗ , x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (Lions Stampacchia, 1967 [52]; Stampacchia, 1964 [68]), đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân chủ đề mang tính thời sự, thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu vai trò quan trọng toán lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân chẳng hạn tốn cân mạng giao thơng [35], [58], tốn cân thị trường độc quyền nhóm, tốn cân tài [56] tốn cân di cư [11], [48] Các nghiên cứu bất đẳng thức biến phân chia theo hai hướng bao gồm tồn nghiệm (Chen, 1992 [29]; Giannessi, 2000 [37]) phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Cho đến người ta thiết lập nhiều kĩ thuật giải bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn phương pháp chiếu Lions (1977) [51], nguyên lý toán phụ Cohen (1980) [33], phương pháp điểm gần kề Martinet (1970) [55], phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch (2001) [6] đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov (Browder, 1966 |tm − tn | |tm − tn | ≤ − tn M1 + M1 = M1 tn tm tm tm Sử dụng bất đẳng thức cuối vào (3.12), ta thu đánh giá (3.5) Định lý chứng minh 76 Chú ý 3.1 Đánh giá (3.5) Định lý 3.1 dùng để chứng minh kết Định lý 3.2 Định lý 3.5 Ngoài ra, tham số tn , tm εn , εm chọn thích hợp vế phải (3.5) hội tụ n, m → ∞, chẳng hạn m = n + tn , εn thỏa mãn điều kiện (i) (iv) Định lý 3.2 phát biểu sau 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính Khi dùng phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, toán thường xét với việc xây dựng thuật toán toán chọn tham số hiệu chỉnh, tham số hiệu chỉnh εn → 0, n → ∞ tính đặt chỉnh tốn giảm tốn hiệu chỉnh trở nên khó giải Phương pháp điểm gần kề quán tính cho ta kĩ thuật hiệu chỉnh khác giúp tránh khó khăn phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov Phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez (2000) [5] đề xuất cho toán tối ưu lồi khơng gian Hilbert H Sau đó, Attouch Alvarez (2001) [6] dùng phương pháp để xét tốn tìm khơng điểm cho tốn tử đơn điệu cực đại A H dạng: ∈ cn Azn+1 + zn+1 − zn − γn (zn − zn−1 ), z0 , z1 ∈ H Khi γn = 0, phương pháp điểm gần kề quán tính trở thành phương pháp điểm gần kề Rockafellar [61] nghiên cứu năm 1976 cho tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại A Tuy nhiên, phương pháp điểm gần kề phương pháp điểm gần kề quán tính cho hội tụ yếu Năm 2008, dựa kết có mình, Buong (2008) [19] nghiên cứu kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với phương pháp điểm gần kề quán tính cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi thường nửa liên tục fi , i = 1, 2, , N không gian Hilbert H Phương pháp Buong (2008) [19] thiết lập dạng cn X N i=1 αni Ani zn+1 + αnN +1 zn+1  +zn+1 − zn γn (zn − zn−1 ), (3.13) 77 z0 , z1 ∈ H, {cn }, {αn }, {γn } dãy số thực không âm Ani toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử vi phân ∂fi theo nghĩa H(Ani x, ∂fi (x)) ≤ hn g(kxk), với g hàm giới nội không âm Sự kết hợp cho kết thú vị hội tụ mạnh phương pháp (3.13) Dựa vào phương pháp hiệu chỉnh (3.3), kết hợp hiệu chỉnh với phương pháp điểm gần kề quán tính để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính sau Phương pháp 3.2 Xuất phát từ hai điểm z0 , z1 ∈ E bất kỳ, ta xây dựng dãy {zn } xác định phương trình đây: cn (An + εn F )(zn+1 ) + zn+1 − zn = γn (zn − zn−1 ), (3.14) {cn } {γn } dãy tham số dương Sự hội tụ mạnh phương pháp (3.14) phát biểu chứng minh định lý sau Định lý 3.2 Giả sử E, F, F thỏa mãn điều kiện tương tự Định lý 3.1 Giả sử dãy tham số cn , εn , tn γn chọn cho (i) < m < cn < M, ≤ γn < γ0 ; ≥ εn & 0, tn → ∞; ∞ X (ii) bn = +∞, bn = ηcn εn /(1 + ηcn εn ); n=1 (iii) lim γn b−1 n kzn − zn−1 k = 0; n→∞ |tn − tn+1 | εn − εn+1 = lim = n→∞ n→∞ ε2n ε2n tn+1 (iv) lim Khi đó, dãy lặp {zn } xác định (3.14) hội tụ mạnh điểm p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.19) n → +∞ Chứng minh Ta viết lại (3.3) (3.14) dạng νn An xn + (1 − ξn )F xn = νn An zn+1 + (1 − ξn )F zn+1 + ξn (zn+1 − zn ) = ξn γn (zn − zn−1 ), 78 νn = cn ξn , ξn = 1/(1 + cn εn ) Khi ta thu đẳng thức sau: νn hAn zn+1 − An xn , j(zn+1 − xn )i + (1 − ξn )hF zn+1 − F xn , j(zn+1 − xn )i + ξn hzn+1 − zn , j(zn+1 − xn )i = ξn γn h(zn − zn−1 ), j(zn+1 − xn )i, hay, νn hAn zn+1 − An xn , j(zn+1 − xn )i + (1 − ξn )hF zn+1 − F xn , j(zn+1 − xn )i + ξn hzn+1 − xn , j(zn+1 − xn )i (3.15) = ξn hzn − xn , j(zn+1 − xn )i + ξn γn h(zn − zn−1 ), j(zn+1 − xn )i Sử dụng tính chất j-đơn điệu mạnh An , tính chất η-j-đơn điệu mạnh ánh xạ F , tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j, ta có hAn zn+1 − An xn , j(zn+1 − xn )i ≥ 0, hF zn+1 − F xn , j(zn+1 − xn )i ≥ ηkzn+1 − xn k2 , hzn+1 − xn , j(zn+1 − xn )i = kzn+1 − xn k2 Sử dụng ba đánh giá cho (3.15), ta thu [η(1 − ξn ) + ξn ]kzn+1 − xn k2 ≤ ξn kzn − xn kkzn+1 − xn k + ξn γn kzn − zn−1 kkzn+1 − xn k hay kzn+1 − xn k ≤ Hơn nữa, ξn ξn γn kzn − xn k + kzn − zn−1 k η(1 − ξn ) + ξn η(1 − ξn ) + ξn ξn η(1−ξn )+ξn = 1+ηcn εn < từ (3.5) dẫn đến kzn+1 − xn+1 k ≤ kzn+1 − xn k + kxn+1 − xn k ≤ kzn − xn k + γn kzn − zn−1 k + ηcn εn   εn − εn+1 2|tn − tn+1 | M1 + + εn εn tn+1 η ≤ (1 − ζn )kzn − xn k + ζn ηn , 79  ζn = bn ; ζn ηn = γn kzn − zn−1 k +  εn − εn+1 2|tn − tn+1 | M1 + εn εn tn+1 η Do (iii), ta có lim γn kzn − zn−1 k/bn = n→∞ Mặt khác, từ (i) (iv) ta có   εn − εn+1 2|tn − tn+1 | + /bn εn εn tn+1   εn − εn+1 2|tn − tn+1 | + ηcn εn = + εn εn tn+1 ηcn εn   εn − εn+1 2|tn − tn+1 | + ηM ≤ + → ε2n ε2n tn+1 ηm Suy ra, lim supn→∞ ηn ≤ Ngồi ra, (ii) ta có, ∞ X ζn = n=1 ∞ X bn = +∞ n=1 Vậy, theo Bổ đề 2.2 (với θn = 0), ta suy lim kzn − xn k = (3.16) n→+∞ Theo (ii) Định lý 3.1, dãy {xn } hội tụ mạnh điểm p∗ , ta kết luận dãy {zn } hội tụ mạnh p∗ n → ∞ Định lý chứng minh Nhận xét 3.1 (a) Các dãy {εn } {γn } xác định εn = (1 + n)−p , < p < 1/2, γn = (1 + n)−τ kzn − zn−1 k + kzn − zn−1 k2 với τ > + p thỏa mãn điều kiện Định lý 3.2 (xem thêm [19] [26]) (b) Trong trường hợp {T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn tập lồi đóng khác rỗng C E, chúng tơi xét phương trình hiệu chỉnh sau: (I − Tn QC )xn + εn F xn = (3.17) 80 Với điều kiện tương tự Định lý 3.1, thu kết tương tự (i), (ii) (iii) Định lý 3.1 Hệ 3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach lồi trơn E cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Cho F : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz với η L số thực dương cố định Khi ta có: (i) Với tn > εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (3.17) có nghiệm xn (ii) Nếu tham số tn εn chọn cho limn→∞ tn = limn→∞ εn = dãy nghiệm hiệu chỉnh {tn } hội tụ mạnh điểm p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.19) (iii) Hơn nữa, với xn xm nghiệm hiệu chỉnh ứng với tham số tn , εn tm , εm , ta có đánh giá sau:   |tm − tn | M1 |εm − εn | +2 kxn − xm k ≤ εn ε n tm η (c) Khi E ≡ H, nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (s) : s ≥ 0} tập C lồi đóng khơng gian Hilbert H có F = ∩s≥0 Fix(T (s)) 6= ∅ mà không dùng đến tích phân Bochner Bài tốn phát biểu dạng Tìm điểm p ∈ F thỏa mãn: kx∗ − pk = kx∗ − yk, y∈F (3.18) x∗ điểm thuộc H không thuộc F Điểm p ∈ F thỏa mãn (3.18) gọi điểm có x∗ -chuẩn nhỏ Xuất phát từ ý tưởng hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn dạng (3.3), xây dựng phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm tốn (3.18) mà khơng Rt dùng đến tích phân Bochner Tn x = t1n n T (s)xds dạng: tìm phần tử xn ∈ H cho AC (tn )xn + εn (xn − x∗ ) = 0, AC (tn ) = I − T (tn )PC , (3.19) 81 I ánh xạ đồng H, PC ánh xạ chiếu mêtric từ H lên tập C {tn }, {εn } hai dãy thực dương thỏa mãn số điều kiện xác định Định lý 3.3 Cho H không gian Hilbert, C tập khác rỗng lồi đóng H, {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C thỏa mãn F = ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Khi ta có (i) Với εn , tn > 0, phương trình (3.19) có nghiệm xn (ii) Nếu εn tn chọn cho lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = lim εn = 0, n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim xn = p, nghiệm tốn (3.18) n→∞ Ngồi ra, ta có đánh giá cho kxn − xm k với xn , xm nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm bổ đề sau Bổ đề 3.1 dùng để chứng minh hội tụ phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề phương pháp hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm khơng giãn mà ta xét Định lý 3.4 Định lý 3.6 (xem báo [4.] Danh mục cơng trình cơng bố để biết thêm chi tiết) Bổ đề 3.1 Cho H, C, {T (t) : t ≥ 0} F giả thiết Định lý 3.3 Cho xn xm nghiệm hiệu chỉnh phương trình (3.19) với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm Nếu kT (t)x−T (h)xk ≤ |t−h|γ(x) với x ∈ C, γ(x) hàm bị chặn kxn − xm k ≤ |tn − tm | |εn − εm | ky − x∗ k + γ1 εn εn với εn , εm , tn , tm > 0, y ∈ F, số dương γ1 Phương pháp thứ hai thiết lập dựa việc kết hợp phương pháp điểm gần kề Rockafellar (1976) [61] đề xuất với phương pháp hiệu chỉnh (3.19) gọi phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề Phương pháp Ryazantseva (2002) [62] nghiên cứu để giải phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại m-j-đơn điệu Ý tưởng để xây dựng thuật toán thứ hai thiết lập dãy lặp {zn } cho toán (3.18) 82 sau Từ điểm z0 ∈ H, dãy {zn } xác định từ phương trình sau cn [AC (tn )zn+1 + εn (zn+1 − x∗ )] + zn+1 = zn , n ≥ 0, (3.20) với {cn } thực dương dãy bị chặn Định lý 3.4 Cho H không gian Hilbert, C tập khác rỗng lồi đóng H, {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C thỏa mãn F = ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Giả sử tham số cn , tn εn chọn cho (i) < m < cn < M ; (ii) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = 0; n→∞ n→∞ P∞ n→∞ |εn −εn+1 | = lim (iii) εn ≤ 1, n=0 εn = +∞, với lim ε2 n→∞ n |tn −tn+1 | ε2n n→∞ = 0; kT (t)x − T (h)xk ≤ |t − h|γ(x) với x ∈ C, γ(x) hàm bị chặn Khi đó, dãy {zn } xác định (3.20) hội tụ mạnh đến điểm p ∈ F thỏa mãn tốn (3.18), n → +∞ Chúng tơi thu hội tụ mạnh phương pháp (3.19) (3.20) điểm p nghiệm có x∗ chuẩn nhỏ F Nhận xét 3.2 (a) Trong trường hợp C ≡ H phương pháp (3.19) (3.20) có dạng sau: (I − T (tn ))xn + εn (xn − x∗ ) = 0, cn [(I − T (tn ))zn+1 + εn (zn+1 − x∗ )] + zn+1 = zn , n ≥ (b) (xem [70]) Có thể chọn dãy tn thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3 Định lý 3.4 sau Xác định dãy βn ∈ [−1/2; 1/2] theo công thức  Pk−1 Pk−1 1 j ≤ n ≤ j=1 j=1 j + k, k ∈ N, βn = 2k (3.21) Pk−1 Pk − j + k ≤ n ≤ j, k ∈ N j=1 j=1 2k Khi đó, dãy tn ∈ [0, 1/2] xác định tn = n X k=1 βk , k ∈ N (3.22) 83 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Bằng cách kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với phương pháp lặp hiện, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân (1.19) điểm w1 ∈ E dạng sau: wn+1 = wn − βn [An wn + εn F wn ], n ≥ 1, (3.23) với An = I − Tn dãy {βn } thỏa mãn vài điều kiện xác định Định lý 3.5 Cho E không gian Banach lồi q-trơn với số cố định q : < q ≤ Cho F F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 Giả sử (i) < βn < β0 , εn & 0, (ii) ∞ X |εn − εn+1 | |tn − tn+1 | = lim = 0, n→∞ βn ε2n tn n→∞ εn βn lim εn βn = ∞, n=0 (2 lim sup Cq βnq−1 n→∞ + εn L)p < 1, εn η với Cq số q-trơn E Khi đó, dãy lặp {wn } xác định (3.23), hội tụ mạnh điểm p∗ , thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.19) Chứng minh Giả sử xn nghiệm (3.3) với εn > Khi đó, ta có kwn+1 − xn+1 k ≤ kwn+1 − xn k + kxn − xn+1 k Theo Bổ đề 1.1 (3.3), ta có kwn+1 − xn kp = kwn − βn [An wn + εn F wn ] − xn kq = kwn − xn − βn [(I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn (F wn − F xn )]kq ≤ kwn − xn kq − qβn h(I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn [F wn − F xn ], jq (wn − xn )i + Cq βnq k(I − Tn )wn − (I − Tn )xn + εn [F wn − F xn ]kq (3.24) 84 Do tính j-đơn điệu I − Tn tính η-j-đơn điệu mạnh F , ta thu h(I − Tn )wn − (I − Tn )xn , jq (wn − xn )i =kwn − xn kq−2 h(I − Tn )wn − (I − Tn )xn , j(wn − xn )i ≥ hF wn − F xn , jq (wn − xn )i ≥ ηkwn − xn kq Suy kwn+1 − xn kq ≤ kwn − xn kq [1 − qβn εn η + Cq βnq (2 + εn L)q ] Do đó, ta có kwn+1 − xn k ≤ kwn − xn k[1 − qβn εn η + Cq βnq (2 + εn L)q ]1/q Do Cq βnq (2 + εn L)q ≤ βn εn η (1 + t)s ≤ − st với < s < 1,   q−1 kwn+1 − xn k ≤ kwn − xn k − εn βn η (3.25) q Từ (3.24), (3.25) (3.5), ta thu   q−1 kwn+1 − xn+1 k ≤ − εn βn η kwn − xn k q   M1 |tn+1 − tn | + |εn − εn+1 | + εn η tn hay kwn+1 − xn+1 k ≤ (1 − ζn )kwn − xn k + ζn ηn với   M1 |εn − εn+1 | q−1 |tn − tn+1 | ζn = βn εn η, ζn ηn = +2 q η εn εn tn thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2 (với θn = 0) điều kiện (i) (ii) Áp dụng Bổ đề 2.2, ta thu lim kwn − xn k = Sử dụng kết n→∞ Định lý 3.1, ta có kxn − p∗ k → n → ∞ Điều dẫn đến ≤ kwn − p∗ k ≤ kwn − xn k + kxn − p∗ k → n → ∞ Từ suy wn → p∗ ∈ F thỏa mãn (1.19) n → ∞ Định lý chứng minh 85 Nhận xét 3.3 (a) Các dãy εn = (1 + n)−p , < 2p < βn = γ0 εn với < γ0 < 1/q−1 Cq (2 + ε0 )q/q−1 thỏa mãn điều kiện Định lý 3.5 q = Khi < q < 2, dãy 1/q−1 εn = (1 + n)−p với p < (q − 1)/2q βn = γ0 εn kiện định lý (xem thêm [24]) thỏa mãn điều (b) Các tác giả Buong Phuong [24] năm 2012 Thuy [75] năm 2015 sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp với cấu trúc tương tự (3.23) để tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn (1.19), đó, Buong Phuong [24] sử dụng V -ánh xạ Vn , Thuy [75] sử dụng S-ánh xạ Sn thay cho ánh xạ Tk (3.23) tập F = ∩∞ i=1 Fix(Ti ) tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi trơn Phương pháp hiệu chỉnh lặp xét Định lý 3.5 mở rộng cho kết Tuy nhiên kết cần thêm tính trơn khơng gian Banach E (c) Dựa ý tưởng kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov với lược đồ lặp để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn phát biểu dạng (3.18) không gian Hilbert, xây dựng chứng minh hội tụ mạnh dãy {xn } xác định lược đồ lặp sau đây: wn+1 = wn − βn [AC (tn )wn + αn (wn − x∗ )], n ≥ 0, w0 ∈ H, (3.26) {βn } dãy thực dương thỏa mãn số điều kiện xác định Thuật toán (3.26) Bakushinsky [12] nghiên cứu gọi phương pháp lặp hiệu chỉnh bậc không Định lý 3.6 Cho H, C, {T (t), t ≥ 0}, F giả sử Định lý 3.3 Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: n+1 | n+1 | với n, lim |αnα−α = lim |tnα−t = 0, 2β 2β n n n n n→∞ n→∞ αn → 0; n=0 αn βn = +∞, (i) βn ≤ P∞ αn 4+4αn +4αn2 (ii) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = 0; n→∞ n→∞ n→∞