Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM TRUNG HẢO HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM TRUNG HẢO HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Nửa nhóm không giãn bất đẳng thức biến phân 1.1 Nửa nhóm khơng giãn 1.1.1 Không gian Banach lồi 1.1.2 1.1.3 1.2 Nửa nhóm khơng giãn Giới hạn Banach tính chất 13 Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan 14 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 14 1.2.2 Một số tốn liên quan 16 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 2.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung 19 nửa nhóm khơng giãn 19 2.1.1 Bài toán 19 2.2 2.3 2.1.2 Sự tồn nghiệm 20 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 20 2.2.1 Mô tả phương pháp 21 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ 21 Ví dụ minh họa 26 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 28 2.3.1 Mô tả phương pháp 28 iv 2.3.2 Sự hội tụ 29 2.3.3 Ví dụ minh họa 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X X∗ không gian Banach không gian đối ngẫu X SX R mặt cầu đơn vị X tập số thực R+ ∅ tập số thực không âm tập rỗng ∀x với x D(A) R(A) miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A A−1 I toán tử ngược toán tử A toán tử đồng C[a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian hàm liên tục đoạn [a, b] không gian dãy số khả tổng bậc p l∞ Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian dãy số bị chặn không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) c tập điểm bất động ánh xạ T không gian dãy số hội tụ Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều nhà toán học người Italia G Stampacchia đồng đưa vào năm 1960 (xem [16]) nghiên cứu toán biên tự Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều sử dụng rộng rãi hiệu phương trình vật lý tốn Bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, vận trù học v.v Vì vai trị quan trọng bất đẳng thức biến phân lý thuyết toán học ứng dụng thực tế nên ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói chung, thuộc lớp tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa tốn (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh nhà tốn học A.N Tikhonov (1963) [14], M.M Lavrentiev (1967) [11] V.K Ivanov (1978) [10] v.v Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp nhiều khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Kể từ năm 1963 A.N Tikhonov [14] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng, gọi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển sơi động có mặt hầu hết tốn thực tế Trên sở ý tưởng hiệu chỉnh A.N Tikhonov, F Browder, Ya.I Alber, I.P Ryazansteva, O.A Liskovets v.v phát triển phương pháp hiệu chỉnh cho lớp toán bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ tốn tuyến tính sang tốn phi tuyến, từ toán đơn trị sang toán đa trị v.v (xem [4], [8], [12] tài liệu trích dẫn đó) Đề tài luận văn trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach báo [13] Nguyễn Thị Thu Thủy đồng tác giả công bố năm 2017 Nội dung đề tài trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Nửa nhóm khơng giãn bất đẳng thức biến phân", trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach, ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Chương với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn", trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, trình bày định lý hội tụ mạnh hai phương pháp hai ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - Người tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Ân Thi, Hưng Yên tập thể thầy giáo tổ Tốn Tin Trường tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian tác giả tham gia học cao học Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Trung Hảo Chương Nửa nhóm khơng giãn bất đẳng thức biến phân Chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh không giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, giới hạn Banach, bất đẳng thức biến phân số toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] tài liệu trích dẫn 1.1 Nửa nhóm khơng giãn Mục trình bày định nghĩa, ví dụ khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều; định nghĩa, ví dụ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach, tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; định nghĩa, ví dụ ánh xạ j-đơn điệu, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach; định nghĩa giới hạn Banach tính chất 1.1.1 Khơng gian Banach lồi Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối ngẫu X hx, x∗ i ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ SX , x 6= y ta có k(1 − λ)x + λyk < với λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 phát biểu dạng tương đương: Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ SX , x 6= y x + y < Ví dụ 1.1.3 Không gian Hilbert H không gian lồi chặt Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
kx + yk2 + kx − yk2 = kxk2 + kyk2 , suy với x, y ∈ SH , x 6= y ta có  x + y  2 = kxk + kyk − kx − yk2 = − kx − yk2 < 2 4 Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X gọi không gian lồi với ε > 0, với x, y ∈ X thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε, tồn δ = δ(ε) > cho x + y ≤ − δ Ví dụ 1.1.5 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành
kx + yk2 + kx − yk2 = kxk2 + kyk2 , với kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, x 6= y kx − yk ≥ ε ta có kx + yk2 ≤ − ε2 Từ suy x + y ≤ − δ(ε), với δ(ε) = − p − ε2 /4 21 giãn, trình bày định lý hội tụ, đồng thời lấy ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp 2.2.1 Mơ tả phương pháp Ta xét phương trình hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân (2.1) dạng (xem [13]): Fn xn + εn Axn = 0, n≥0 Fn = I − Tn , với Tn xác định Z tn Tn x = T (s)xds ∀x ∈ X, tn (2.3) (2.4) {tn } {εn } dãy tham số dương thỏa mãn tn → ∞ εn → n → ∞ Để chứng minh hội tụ dãy nghiệm hiệu chỉnh, ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 (xem [18]) Cho dãy số thực không âm {sn } thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − ζn )sn + ζn ηn + θn , n ≥ 0, dãy {ζn }, {ηn } {θn } thỏa mãn điều kiện: P (i) {ζn } ⊂ [0, 1], ∞ n=0 ζn = ∞; (ii) lim supn→∞ ηn ≤ 0; P (iii) θn ≥ 0, ∞ n=0 θn < ∞ Khi limn→∞ sn = 2.2.2 Sự hội tụ Sau định lý hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh phương trình (2.3) tới nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) 22 Định lý 2.2.2 (xem [13]) Cho X khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A : X → X ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz với η L số dương, {T (t) : t ≥ 0} : X → X nửa nhóm ánh xạ khơng giãn X cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Khi đó, (i) Với tn > εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (2.3) có nghiệm xn (ii) Nếu dãy tham số tn εn chọn cho lim tn = +∞ n→∞ lim εn = 0, n→∞ dãy nghiệm hiệu chỉnh {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ F-nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) (iii) Ta có đánh giá sau:  kxn − xm k ≤  |εm − εn | |tm − tn | M1 +2 εn ε n tm η (2.5) M1 số dương, xn , xm nghiệm phương trình hiệu chỉnh (2.3) với dãy tham số tương ứng tn , εn tm , ε m Chứng minh (i) Ta có Z Z tn tn T (s)xds − T (s)yds kTn x − Tn yk = tn tn Z tn
= T (s)x − T (s)y ds tn Z tn kx − ykds = kx − yk, ≤ tn với x, y ∈ X Từ bất đẳng thức suy Tn ánh xạ khơng giãn X Khi đó, Fn = I − Tn ánh xạ j-đơn điệu Do vậy, k(Fn + εn A)x − (Fn + εn A)yk ≤ kFn x − Fn yk + εn kAx − Ayk ≤ k(I − Tn )x − (I − Tn )yk + εn Lkx − yk ≤ k(x − y) − (Tn x − Tn y)k + εn Lkx − yk ≤ (2 + εn L)kx − yk, 23 h(Fn + εn A)x − (Fn + εn A)y, j(x − y)i = hFn x − Fn y, j(x − y)i + εn hAx − Ay, j(x − y)i ≥ εn ηkx − yk2 Suy Fn + εn A (2 + εn L)-liên tục Lipschitz εn η-j-đơn điệu mạnh X với εn > Do đó, phương trình hiệu chỉnh (2.3) có nghiệm xn , với εn > (ii) Bây ta dãy {xn } bị chặn Thật vậy, với p tùy ý thuộc F, ta có Fn p = (I − Tn )p = p − Tn p = 0, đó, từ (2.3) dẫn đến hFn xn − Fn p, j(xn − p)i + εn hAxn , j(xn − p)i = Kết hợp đẳng thức với tính j-đơn điệu ánh xạ Fn εn > 0, ta thu hAxn , j(xn − p)i ≤ Suy kxn − pk2 ≤ hAp, j(p − xn )i , η (2.6) A ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh Do đó, kxn − pk ≤ kApk/η Điều chứng tỏ dãy {xn } dãy bị chặn Do Tn ánh xạ không giãn, A ánh xạ giả co nên {Tn xn } {Axn } dãy bị chặn Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử dãy bị chặn số dương M1 với n ≥ Vì kFn xn k = εn kAxn k ≤ εn M1 εn → n → ∞ nên kFn xn k → n → ∞ Giới hạn viết lại dạng Z tn = lim x − T (s)x ds (2.7) n n n→∞ tn 24 Tiếp theo, ta kxn − T (t)xn k → n → ∞, với t tùy ý thỏa mãn t ≥ Thật vậy,   Z tn kT (t)xn − xn k ≤ T (s)x ds T (t)x − T (t) n n tn   Z tn Z tn 1 + T (s)x ds − T (s)x ds T (t) n n tn tn Z tn T (s)x ds − x + n n tn Z tn ≤ x − T (s)x ds n n tn   Z tn Z tn 1 T (s)x ds − T (s)x ds + T (t) n n tn tn Sử dụng Bổ đề 1.1.30 (2.7) ta thu lim kxn − T (t)xn k = n→∞ (2.8) Bây giờ, với giới hạn Banach µ, ta xét ánh xạ ϕ : X → R xác định ϕ(x) = µ kxn − xk2
∀x ∈ X Ta thấy ϕ(x) hàm lồi liên tục Đặt  C ∗ = u ∈ X : ϕ(u) = inf ϕ(x) x∈X Vì X khơng gian Banach phản xạ nên C ∗ tập khác rỗng Hơn nữa, tính lồi liên tục ϕ nên tập C ∗ tập lồi đóng X Sử dụng tính khơng giãn ánh xạ T (t) (2.8), với u ∈ C ∗ ta có


ϕ T (t)u = µ kxn − T (t)uk2 ≤ µ (kxn − T (t)xn k + kT (t)xn − T (t)uk)2 ≤ µ(kxn − uk2 ) = ϕ(u) Suy ra, T (t)u ∈ C ∗ , T (t)C ∗ ⊂ C ∗ , tức C ∗ tập bất biến tác động ánh xạ T (t) Lấy điểm p ∈ F, tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach lồi chặt phản xạ X tập Chebyshev nên tồn điểm p ∈ C ∗ cho kp − pk = inf∗ kp − xk x∈C 25 Mặt khác, p = T (t)p p ∈ F, T (t)p ∈ C ∗ T (t) ánh xạ không giãn nên kp − T (t)pk = kT (t)p − T (t)pk ≤ kp − pk, T (t)p = p với t ≥ 0, tính p ∈ C ∗ Suy p ∈ F ∩ C ∗ Theo Bổ đề 1.1.38, p cực tiểu hàm ϕ(u) X
µ hu − p, j(xn − p)i ≤ ∀u ∈ X (2.9) Đặt u = (I − F )(p) (2.9), ta thu
µ hAp, j(p − xn )i ≤ (2.10) Từ (2.6) (2.10) suy

≤ µ kxn − pk2 ≤ µ hF p, j(p − xn )i ≤ Do đó, µ(kxn − pk2 ) = Theo tính chất giới hạn Banach ta có
≤ lim inf kxn − pk2 ≤ µ kxn − pk2 = n→∞ Suy ra, tồn dãy {xni } dãy {xn } hội tụ mạnh p i → ∞ Một lần nữa, sử dụng (2.6) tính liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j tập bị chặn X, ta thu hAp, j(p − p) ≤ ∀p ∈ F (2.11) Do p p thuộc tập lồi đóng F X, nên thay p (2.11) sp + (1 − s)p với s ∈ (0, 1), sử dụng tính chất
j s(p − p) = sj(p − p), s > 0, ta có

hA sp + (1 − s)p , j p − sp − (1 − s)p i ≤ Chia hai vế bất đẳng thức cuối cho s cho s → ta hAp, j(p − p)i ≤ ∀p ∈ F 26 Điều chứng tỏ p nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) Tính p∗ (2.1) bảo đảm p = p∗ Vậy dãy {xn } hội tụ mạnh đến p∗ n → ∞ (iii) Từ phương trình hiệu chỉnh (2.3), ta có Fn xn + εn Axn = 0, Fm xm + εm Axm = Khi đó, hFn xn − Fn xm , j(xn − xm )i + hFn xm − Fm xm , j(xn − xm )i +εn hAxn − Axm , j(xn − xm )i + (εn − εm )hAxm , j(xn − xm )i = Sử dụng j-đơn điệu ánh xạ Fn , tính η-j-đơn điệu mạnh ánh xạ A, ta nhận kxn − xm k ≤ |εm − εn | kF xm k + kFm xm − Fn xm k ηεn ηεn (2.12) Ta đánh giá kFm xm − Fn xm k sau: kFm xm − Fn xm k = kTn xm − Tm xm k Z tn Z tm 1 = T (s)x ds − T (s)x ds m m tn t m  Z tn Z tm 1 T (s)x ds − T (s)x ds = − m m tn tm tm t n 1 |tm − tn | |tm − tn | ≤ − tn M1 + M1 = M1 tn tm tm tm Sử dụng bất đẳng thức cuối vào (2.12), ta thu đánh giá (2.5) Định lý chứng minh  2.2.3 Ví dụ minh họa Xét toán ϕ(x), x∈C (2.13) với C tập khác rỗng lồi đóng khơng gian Hilbert thực H, với ϕ : H → R hàm lồi thường nửa liên tục yếu H có 27 dạng ϕ(x) = kx − 1k2 , phần tử đơn vị khơng gian Hilbert H Khi đó, ta có gradient 5ϕ : H → H hàm ϕ 5ϕ(x) = 2(x − 1), điều kiện cần tối ưu cho toán (2.13) bất đẳng thức biến phân ϕ(x∗ ) = ϕ(x) ↔ h5ϕ(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, x∈C ∀x ∈ C Xét trường hợp H = R3 C = F tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : R3 → R3 , t ≥ 0} xác định sau:    cos t − sin t x1    T (t)x =  sin t cos t 0 x2  , 0 x3 t cố định x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 với tập điểm bất động chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } Khi nghiệm tốn (2.13) x∗ = (0, 0, 1) ∈ R3 Nhằm minh họa cho hội tụ phương pháp hiệu chỉnh (2.3), ta sử dụng phương pháp (2.3) để giải toán (2.13) với A(x) = 5ϕ(x) = 2(x − 1) hàm 2-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz R3 Viết lại phương trình (2.3) dạng (1 + 2εn )xn − Tn xn = 2εn , với Tn xn = tn R tn T (s)xn ds tích phân Bochner xác định phép nhân ma trận Tn xn ,   sin(tn ) cos(tn ) − 1   Tn = − cos(tn ) + sin(tn ) 0 tn 0 tn xn = (xn1 , xn2 , xn3 )T ∈ R3 Để tiện tính tốn, phương pháp (2.3) biểu diễn thành phương