Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRẦN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN -2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS.TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2018 i Lời cam đoan Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS.TS Nguyễn Bường Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình người khác Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Trần Thị Hương ii Lời cảm ơn Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, PGS.TS Phạm Ngọc Anh, PGS.TS Hà Trần Phương, PGS.TS Phạm Hiến Bằng, TS Nguyễn Công Điều, TS Vũ Mạnh Xuân, TS Bùi Thế Hùng, TS Trương Minh Tuyên, TS Nguyễn Đình Dũng TS Lâm Thùy Dương Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm thầy cô giáo Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh ngành Tốn Giải tích, bạn bè đồng nghiệp ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu, seminar hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh sách ký hiệu, chữ viết tắt v Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi 1.1.2 Toán tử không gian Banach 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.2.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh 1.3 Hệ phương trình tốn tử đơn điệu 1.3.1 Hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh số toán liên quan 1.3.2 Một số kết phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu 9 12 20 20 22 23 23 26 Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu không gian Banach 31 2.1 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử 32 iv 2.1.1 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử 32 2.1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử ngược đơn điệu mạnh 36 2.2 Tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ 39 2.2.1 Tham số hiệu chỉnh 2.2.2 Tốc độ hội tụ 2.3 Ứng dụng thử nghiệm số 2.3.1 Bài toán tối ưu 2.3.2 Hệ phương trình tích phân 39 46 49 49 51 Chương Xấp xỉ hữu hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh lặp 3.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ 3.1.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều 3.1.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 55 55 55 60 62 3.2.1 Mô tả phương pháp 63 3.2.2 Sự hội tụ 66 3.3 Thử nghiệm số 68 Kết luận đề nghị 72 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 v Danh sách ký hiệu, chữ viết tắt R tập hợp số thực H không gian Hilbert E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E hx∗ , xi giá trị x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Gr(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng c không gian dãy số hội tụ c0 không gian dãy số hội tụ C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p l∞ không gian dãy số bị chặn Lp [a, b], ≤ p < ∞ khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] L∞ không gian hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C ∅ tập rỗng vi ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy{xn }hội tụ yếu x0 αm & dãy {αm } hội tụ giảm Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T m số bước lặp vii Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 Kết tính tốn cho phương pháp hiệu chỉnh (2.5) 51 Kết tính tốn cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) 51 Kết tính tốn cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 53 2.4 Kết tính tốn cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 53 3.1 Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) p = 1/15 p = 1/19 69 3.2 Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) phương pháp (2.11) [78] 69 Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) phương pháp (2.11) [78] 70 3.3 Mở đầu Nhiều vấn đề lĩnh vực khoa học kỹ thuật kinh tế xã hội dẫn đến tốn tìm đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ kiện ban đầu (f0 , f1 , , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, E không gian Banach, F = E ∗ -không gian đối ngẫu E, E không gian Hilbert F = E (xem [33]) Trên thực tế, kiện (f0 , f1 , , fN ) nhận việc đo đạc trực tiếp tham số thường khơng biết xác mà cho xấp xỉ fiδ ∈ F thỏa mãn kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, , N, (0.1) với δi > sai số cho trước Bài tốn mơ hình hóa tốn học hệ phương trình Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.2)
Ai : D(Ai ) ⊂ E → F tốn tử từ khơng gian Banach E vào khơng gian Banach F D(Ai ) ký hiệu miền xác định toán tử Ai Nhiều toán thực tế khác, tốn khơi phục ảnh (xem [48]), tốn khơi phục tín hiệu (xem [35]), tốn điều khiển tối ưu (xem [49]), số mơ hình tốn kinh tế dẫn đến dạng tốn bù (xem [41]), tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn (xem [66]), toán chấp nhận lồi (xem [16]), toán cực trị khơng ràng buộc (xem [22]) có mơ hình tốn học dạng hệ phương trình tốn tử (0.2) với Ai toán tử đơn điệu Như vậy, hệ phương trình tốn tử đơn điệu thường gặp nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, lớp tốn lại có đặc điểm khơng có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh, chúng thường tốn đặt khơng chỉnh (xem [1, 8, 18] tài liệu trích dẫn đó) 67 (ii) ≥ αm & 0, βm → m → +∞; (iii) (iv) lim |αm+1 − αm | m→+∞ ∞ P m=0 2(µ+1) βm µ+1 = 0; m→+∞ αm = 0, lim βm αm µ+1 βm αm = +∞ Khi đó, lim zm = x0 ∈ S có x∗ -chuẩn nhỏ m→+∞ Chứng minh: Trước tiên ta có kzm − x0 k ≤ kzm − xm k + kxm − x0 k, theo Định lý 3.4 số hạng thứ hai vế phải bất đẳng thức dần đến m → +∞ Vì vậy, ta cần chứng minh zm xấp xỉ xm m → +∞ Giả sử 4m = kzm − xm k, ta có 4m+1 = kzm+1 − xm+1 k N X   µ+1 µ Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) = zm − xm − βm A0 (zm ) + αm i=1 − (xm+1 − xm ) (3.21) N X   µ+1 µ (z − x ) ≤ A (z ) + α z − x − β A (z ) + α m ∗ i m m m m m m m i=1 + kxm+1 − xm k Ta có đánh giá sau N X  2  µ+1 µ zm − xm − βm A0 (zm ) + αm Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) i=1 2 N X 2 µ+1 µ = kzm − xm k + βm A0 (zm ) + αm Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) i=1 N X  µ − 2βm zm − xm , A0 (zm ) + αm µ+1 Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) i=1  N X   µ µ+1 Ai (xm ) + αm (xm − x∗ ) − A0 (xm ) + αm i=1
µ+1 ≤ − 2βm αm kzm − xm k2 N X µ µ+1 + βm A0 (zm ) + αm Ai (zm ) + αm (zm − x∗ ) i=1 Do A0 liên tục Lipschitz, Ai λi -ngược đơn điệu mạnh nên ta có (3.22) 68 N X µ µ+1 A0 (zm ) + αm A (z ) + α (z − x ) i m m ∗ m i=1 N X
µ µ+1 A (z ) − A (x ) + α A (z ) − A (x ) + α (z − x ) = m m i m i m m m m m i=1 ≤ ckzm − xm k2 , c số dương Từ (3.21), (3.22) bất đẳng thức cuối ta có  1/2   | α − α | m+1 m µ+1 4m+1 ≤ 42m (1 − 2βm αm + cβm ) +O µ+1 αm Bình phương hai vế bất đẳng thức này, sau áp dụng bất đẳng thức sơ cấp (xem [13])  (a + b) ≤ (1 + αm βm )a + + b2 , αm βm 2  ta nhận µ+1 2 µ+2 42m+1 ≤42m − 2βm αm + αm βm + cβm − 2βm αm + cαm βm   2  | αm+1 − αm | O + 1+ µ+1 αm βm αm
(3.23) Các điều kiện Bổ đề 3.1 cho dãy số {4m } thỏa mãn (3.23) điều kiện (ii)-(iv) định lý với µ+1 2 µ+2 am = 2βm αm − αm βm − cβm + 2βm αm − cαm βm ,    2 | αm+1 − αm | bm = + O µ+1 αm βm αm Nhận xét 3.1 (i) Các dãy tham số βm = (1 + m)−1/2 αm = (1 + m)−p , < 2p < 1/(N + 1) thỏa mãn điều kiện (ii)-(iv) Định lý 3.5 (ii) Khi N = 0, phương pháp (3.17) trùng với phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không Bakushinski (xem [14]) cho phương trình A(x) = 3.3 Thử nghiệm số Chúng tơi viết phương trình thực nghiệm ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính Lenovo 1,73GHz, Ram 504MB Các ký hiệu bảng kết phần sau: 69 err: Sai số hai xấp xỉ liên tiếp M : Số điểm chia đoạn [0,1] tính tích phân m: Số bước lặp Ví dụ 3.1 Ta xét toán (2.37) trường hợp ma trận Ai , i = 0, 1, , cho Ví dụ 2.1 Ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) để tìm nghiệm xấp xỉ cho ví dụ x∗ = 0, αm = (1+m)−p , < p < 1/12, βm = (1+m)−1/2 , xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, , 1) ∈ RM , M = 15, µ = 2/3 Trong tính tốn, (j) (j) err = max | zm+1 − zm |≤ ε, dừng tính toán, ε sai số cho trước Sau 1≤j≤4 kết tính tốn m p = 1/15 err kzm − x0 k p = 1/19 err kzm − x0 k 14 2.0984 × 10−4 7.4303 × 10−4 1.6068 × 10−4 5.3029 × 10−4 54 2.3099 × 10−7 2.1930 × 10−6 1.1414 × 10−7 9.8703 × 10−4 85 1.2066 × 10−8 1.5725 × 10−7 4.6344 × 10−9 5.4848 × 10−8 126 6.5173 × 10−10 1.1696 × 10−8 1.8825 × 10−10 3.4834 × 10−9 Bảng 3.1: Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) p = 1/15 p = 1/19 Bằng cách sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (2.11) [78] với cách cách chọn αm , βm , z0 M trên, ta thu kết sau: m phương pháp (3.17) err kzm − x0 k phương pháp (2.11) [78] err kzm − x0 k 29 8.4938 ×10−6 5.3174 ×10−5 3.1290 ×10−4 5.1791 ×10−3 52 3.6156 ×10−7 3.4483 ×10−6 6.6247 ×10−5 1.8881 ×10−3 97 6.5786 ×10−9 9.7441 ×10−8 1.1791 ×10−5 6.0686 ×10−4 152 2.2072 ×10−10 5.0957 ×10−9 3.2798 ×10−6 2.6136 ×10−4 Bảng 3.2: Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) phương pháp (2.11) [78] Nhận xét 3.2 Dựa kết Bảng 3.1 ta có nhận xét: Tính hiệu phương pháp lặp (3.17) phụ thuộc vào việc chọn giá trị tham số p dãy αm Trong ví dụ này, với M = 15, p = 1/19 với sai số số lần lặp nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác tốn ban đầu so với trường hợp chọn p = 1/15 70 Ví dụ 3.2 Ta tính tốn thử nghiệm so sánh việc thực phương pháp (3.17) phương pháp (2.11) [78] để tìm nghiệm xấp xỉ cho ví dụ sau Xét hệ phương trình tích phân Fredholm tuyến tính (2.39) với [a, b] = [0, 1], fi (t) = 0, i = 0, 1, hạch tích phân cho Ví dụ 2.2 Áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) dạng   X δ µ δ µ+1 e0 (xm ) − f0 + αm ei (xm ) − fi ) + αm xm , xm+1 = xm − βm A (A i=1 với M  ei = A hKi (tj , tl ) , h= j,l=0 T x e = (xe0 , xe1 , , xf M) , , M xel = x(tl ), l = 0, 1, , M Bảng tính tốn kết sau tính với µ = 1/2, M = 50, xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, , 1)T ∈ RM , αm = (1 + m)−1/16 , βm = (1 + m)−1/2 sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (3.17) (2.11) [78] m Phương pháp (3.17) err kzm − x0 k Phương pháp (2.11) [78] err kzm − x0 k 35 1.2818 ×10−5 9.4794 ×10−5 6.2948 ×10−5 6.7655 ×10−4 72 2.0512 ×10−7 2.4153 ×10−6 3.0939 ×10−6 5.6000 ×10−5 116 7.0725 ×10−9 1.1248 ×10−7 3.0434 ×10−7 7.7352 ×10−6 171 2.8796 ×10−10 5.8310 ×10−9 3.6756 ×10−8 1.2287 ×10−6 Bảng 3.3: Kết tính tốn cho phương pháp (3.17) phương pháp (2.11) [78] Nhận xét 3.3 Dựa vào kết tính tốn số Ví dụ 3.1 Ví dụ 3.2 ta thấy: Khi so sánh kết tính tốn số nhận từ phương pháp lặp (2.11) [78] phương pháp lặp (3.17) với số bước lặp tốc độ hội tụ phương pháp (3.17) tốt nhiều Tuy nhiên cần nói thêm rằng, so sánh dựa vào kết thực nghiệm chưa có nghiên cứu lý thuyết so sánh tốc độ hội tụ phương pháp 71 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương kết hợp kỹ thuật xấp xỉ hữu hạn chiều với phương pháp hiệu chỉnh Chương để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu Đồng thời, xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert thực H xấp xỉ nghiệm cho tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu, phương pháp thử nghiệm số ví dụ khơng gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều, phần mềm sử dụng MATLAB 7.0, kết đạt cho thấy phương pháp có khả thực thi hiệu 72 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt khơng chỉnh khơng gian Banach sở giải phương trình tốn tử phụ thuộc tham số • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với tốn xấp xỉ hữu hạn chiều cho hệ phương trình toán tử đơn điệu sở chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh không gian Hilbert thực H, trường hợp đặc biệt khơng gian Banach, với tốn tử ngược đơn điệu mạnh Các kết nhận luận án gồm: Xây dựng phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh với toán tử đơn điệu, toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach ví dụ minh họa Đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng Dựa cách chọn này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá sai số δ dần tới không Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều cho tốn tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu, hội tụ phương pháp thiết lập dựa sở chọn dãy tham số thích hợp điều kiện đơn điệu, liên tục Lipschitz toán tử, đưa ví dụ số mang tính chất minh họa cho phương pháp đề xuất Từ kết đạt luận án, đề xuất hướng nghiên cứu tốn mở tiếp tục nghiên cứu sau: 73 (i) Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên toán tử Ai điều kiện đặt lên không gian Banach E Chẳng hạn làm giảm nhẹ điều kiện λi -ngược đơn điệu mạnh toán tử Ai xuống điều kiện đơn điệu, hemi-liên tục (ii) Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp nghiên cứu (iii) Nghiên cứu xây dựng ví dụ số không gian phức tạp tổng quát ví dụ nghiên cứu luận án 74 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN (1) Buong N., Huong T T., Thuy N T T (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Russian Mathematics, 60(3), 47-55 (2) Huong T T., Kim J K., Thuy N T T (2018), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces", Journal of the Korean Mathematical Society, 55(4), 849-875 (3) Buong N., Thuy N T T., Huong T T (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20(2), 187-197 (4) Trần Thị Hương (2017), "Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng giải hệ phương trình tốn tử phi tuyến đơn điệu đặt khơng chỉnh", Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 173(13), 159-164 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Anh P K., Buong N., Hieu D V.(2013), " Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators", Appl Anal http://dx.doi.org/10.1080/00036811.2013.872777 [4] Anh P K., Chung C V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput, 212, 542550 [5] Anh P K., Chung C V (2011), "Parallel regularization Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numerical Algorithms, 58, 379-398 [6] Anh P K., Dung V T (2010), "Parallel iterative regularization algorithms for large overdetermined linear systems", Inter J Comput Methods, 7(4), 525-537 [7] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D.R (2000), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [8] Alber Y I (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, 3-11 76 [9] Alber Y.I., Ryazantseva I.P (1975), "Regularization for nonlinear equations involving monotone operators", Zh Vychisl Math i Math Fiz SSSR, 15, 1283-1289 [10] Alber Y.I., Ryazantseva I.P (2006), Nonlinear ill-posed Problems of monotone Types, Springer Verlag [11] Baillon J.B, Haddad G (1977), "Quelques propriétés des opérateurs anglebornés et n-cycliquement monotones", Israel J Math, 26(2), 137-150 [12] Barbara K., Neubauer A., and Scherzer O (2008), Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems, Walter de Gruyter,BerlinNew York [13] Bakushinskii A B., Goncharskii A G (1989),Ill-Posed Problems: Numerical Methods and Applications, Moscow Univ Press [14] Bakushinskii A B., Goncharskii A G (1994),Ill-Posed Problem: Theory and Application, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, London [15] Bakushinskii A B., Kokurin M Y (2004), Iterative methods for approximate solution of inverse problems, Springer, Dordrecht [16] Bauschke H H., Borwein J M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review, 38, 367-426 [17] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Acad.Bucuresti Romania [18] Baumeister J., Kaltenbacher B., Leitao A (2010), "On LevenbergMarquardt Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear ill-posed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), 335-350 [19] Buong N (2003), "Convergence rates in regularization under arbitrarily perturbative operators", Zh Vychisl Mat i Mat Fiz, 43(3), 323-327 [20] Buong N (2004), "Generalized dicscrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators", Nonlinear Functional Analysis and Applications, Korea, 9(1), 73-78 [21] Buong N (2005), "On monotone ill-posed problems", Acta Mathematica Sinica, 21(5), 1001-1004 77 [22] Buong N (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372-378 [23] Buong N (2008), "Regularization extragradient method for Lipschitz continuous mappings and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces" Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 48(11), 1927-1935 [24] Buong N., Dung N D (2011), "Regularization for for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings", Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781-3788 [25] Buong N., Dung N D (2013), "A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 54(3), 397-406 [26] Buong N., Phuong N T H (2013), "Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Iz VUZ, 57(2), 58-64 [27] Browder F.E (1963), "Nonlinear elliptic boundary value problems", Bull, AMS, 69, 862-874 [28] Browder F.E (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sei, 56(4), 1080-1086 [29] Censor Y (2001), "On sequential and parallel projection algorithms for feasibility and optimization", Proc SPIE, 4553, 1-9 [30] Cezaro A D., Haltmeier M., Leitao A., Scherzer O (2008), "On steepestdescent Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear ill-posed equations", Appl Math Comput., 202(2), 596-607 [31] Cezaro A D., Baumeister J., Leitao A (2011), "Modified iterrated Tikhonov method for solving system of nonlinear ill-posed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), 1-17 [32] Chidume C E (2009), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer-Verlag 78 [33] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [34] Clarkson J A (1936), "Uniformly convex spaces", Trans Amer Math Soc, 40, 396-414 [35] Combettes P L (2003), "A block-iterative surrogate constraint splitting method for quadratic signal recovery", IEEE trans Signal Process, 51, 17711782 [36] Diestel J (1975), The Geometry of Banach spaces, Lecture Notes Math, 485, Springer Verlag, New York - Berlin [37] Ekeland I., Temam R (1970), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [38] Engl H.W (1987), "Discrepancy principle for Tikhonov regularization of illposed problems leading to optimal convergence rates", J of Optim Theory and Appl , 52, 209-215 [39] Engl H.W., Kunish K., Neubauer A (1988), "Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems", Inverse Problem, 523-540 [40] Engl H.W., Hanke M., Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer Dordrecht [41] Ferris M C., Pang J S (1997), "Engineering and Economic Applications of Complementarity problems", SIAM Rev, 39(4), 669-713 [42] Hadamard J (1932), Le Probléme de Cauchy et équations aux dérivées partielles hyperboliques, Paris, Hermann [43] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: convergence analysis", Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298 [44] Hanke M., Neubauer A., Scherzer O (1995), "A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems", Numer Math, 72, pp 21-37 [45] Hao D N (1994), "A mollification method for ill-posed problems", Numer Math, 68, 469-506 79 [46] Hao D N (1996), "A mollification method for a noncharacteristic Cauchy Problem for a Parabolic equation", J Math Anal Appl, 199, 873-909 [47] O’Hara J.G., Pillay P., Xu H K (2003), "Iterative approaches to finding nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonlinear Analysis, 54, 1417-1426 [48] Herman G T (2009), Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections, Springer, New York [49] Iiduka H (2013), "Fixed point optimization algorithms for distributed optimization in network systems", SIAM J Optim, 23, 1-26 [50] Ivanov V K (1962), "On linear problem with are not well-posed", Dolk Acad Nauk SSSR , 145, 270-272 [51] Ivanov V K (1963), "On ill-posed problems", Math Sbornik, 61, 211-223 [52] Jin Q., Wang W (2013), Landweber iteration of Kaczmarz type with general nonsmooth convex penalty functionals Inverse Problems 29 085011 [53] Jung J S., Cho Y J., Agarwal R P (2005), "Iterative schemes with some control conditions for a family of finite nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2, 125-135 [54] Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O (2008), Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems Walter de Gruyter, Berlin [55] Kaltenbacher B., Schăopfer F., Schuster T (2009), Iterative methods for nonlinear ill-posed problems in Banach spaces: convergence and applications to parameter identification problems Inverse Problems 25, 065003 [56] Kaczmarz S (1993), "Approximate solution of systems of linear equations", Inter J Control, 57(6), 1269-1271 [57] Khanh P D (2014), "On the Tikhonov regularization of affine pseudomonotone mapping", Optim Lett, 8, 1325-1336 [58] Kim J K., Buong N (2010), "Regularization inertial proximal point algorithm for monotone hemicontinuous mapping and inverse stronglymonotone mappings in Hilbert spaces", J of Inequalities and Applications, Article ID 451916 80 [59] McCormick S (1977), "The methods of Kaczmarz and row orthogonalization for solving linear equations and least squares problems in Hilbert space", Indiana Univ Math J, 26(6), 1137-1150 [60] Minty G J (1963), "On a monotonicity method for the solutions of nonlinear equations in Banach spaces", Proc Nat Acad Sc USA, 50, 1038-1041 [61] Minty G J (1964), "On the monotonicity of the gradient of a convex function", Pacific J Math, 14, 243-247 [62] Morozov V A (1993), Regularization Methods for Ill-Posed Problems CRC Press, Florida [63] Lavret’ev M M (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New York [64] Liu F., Nashed M Z (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, 313-344 [65] Natterer F (1997), Algorithms in Tomography In ’The State of the Art in Numerical Analysis’, Clarendon Press, Oxford [66] Neumann J V (1949), "On rings of operators Reduction theory", Annals of Mathematics, 50, 401-485 [67] Neubauer A (1988), "An a-posteriori parameter choice for Tikhonov regularization in Hilbert scales leading to optimal convergence rates", SIAM Journal Numer Math, 25, 1313-1326 [68] Prenter P M (1975), Splines and Variational Methods , Wiley-Intetscince Publishers, New York, London, Sydney, Toronto [69] Resmerita E (2005), "Regularization of ill-posed problems in Banach spaces: convergence rates", Inverse Problems, 21, 1303-1314 [70] Ryazantseva I P (1983), "The principle of the residual for nonlinear problems with monotone operators", Differential Equations, 19, 1079-1080 [71] Ryazantseva I P (1989), "On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 29, 1572-1576 [72] Tam N N., Yao J C., Yen N D (2008), "Solution methods for pseudomonotone variational inequalities", J Optim Theory Appl, 138, 253-273 81 [73] Tautenhahn U (2004), "Lavrantiev regularization of nonlinear ill-posed problems", Vietnam Journal of Mathematics, 32, 29-41 [74] Tikhonov A N (1943), "On the Stability of inverse problems", Acad Sci USS, 39, 176-179 [75] Tikhonov A N (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 4, 1624-1627 [76] Tikhonov A N., Arsenin V Y (1977), Solutions of Ill-Posed Problems, Wiley, New York [77] Thuy N T T., Buong N (2006), "Finite-dimensional approximation for ill-posed vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Tạp chí Tin học Điều khiển học, 22(3), 235-243 [78] Thuy N T T (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations", Nonlinear Funct Anal Appl, 17(1), 71-87 [79] Vainberg M M (1973), Variational Method and Method of Monotone Operators in the theory of Nonlinear Equations, New York, John Wiley