Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN, 5/2018 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tun, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám Hiệu trường Trung Học Phổ Thơng Hiệp Hịa số Bắc Giang, tồn thể đồng nghiệp, người thân gia đình quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018 Tác giả luận văn NGUYỄN ĐÌNH LÝ iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi 1.1.3 Không gian Banach trơn 1.1.4 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.2 Toán tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co ánh xạ không giãn 14 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 17 1.4 Giới hạn Banach 19 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 23 Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 28 2.1 Phương pháp lặp ẩn 28 2.2 Phương pháp lặp 35 Kết luận 43 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vơ bé bậc cao t Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Một toán xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ không giãn Những kết cổ điển lĩnh vực phải kể đến phương pháp lặp Mann [9], phương pháp lặp Halpern [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết [10] Cho đến có nhiều phương pháp đưa dựa cải biên phương pháp cho lớp toán liên quan, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach khơng có tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp ứng dụng vào việc giải tốn cực trị dạng tồn phương (xem [8]) tập lồi, đóng C (tập điểm bất động phép chiếu mêtric) Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh ánh xạ không giãn; giới hạn Banach Ngoài ra, chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải toán điểm bất động với số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chương sau luận văn Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Jung [7] phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn toán tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co mạnh ánh xạ không giãn Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, với x∗ ∈ E Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn * x nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } khơng bị chặn tồn dãy {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy {xnj } {xn } cho xnj * x0 ∈ C Vì f nửa liên tục tơpơ yếu nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do đó, m = f (x0 ) Mệnh đề chứng minh 1.1.2 Không gian Banach lồi Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Chú ý 1.3 Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : kxk = 1} Mệnh đề 1.4 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng không gian  Banach lồi chặt phản xạ E Khi đó, tập C = x ∈ C : kxk = inf{kyk : y ∈ C} gồm phần tử Chứng minh Đặt d = inf{kyk : y ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho kxn k → d, n → ∞ Từ tính bị chặn {xn } Mệnh đề 1.1, tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk * x Từ tính đóng yếu C (Mệnh đề 1.2), suy x ∈ C Do đó, từ tính nửa liên tục yếu chuẩn ta có kxk ≤ lim kxn k = d n→∞ 15 với x ∈ E kaI − bAk = sup h(aI − bA)x, j(x)i, kxk≤1 với a ∈ [0, 1] b ∈ [−1, 1], I ánh xạ đồng E Mệnh đề 1.9 [3] Giả sử A tốn tử tuyến tính bị chặn dương mạnh với hệ số γ > 0, < ρ < kAk−1 không gian Banach trơn E Khi đó, kI − ρAk ≤ − ργ Định nghĩa 1.13 Cho h : E −→ E ánh xạ (i) h gọi giả co, với x, y ∈ E, tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kx − yk2 ; (i) h gọi giả co mạnh, tồn k ∈ (0, 1) với x, y ∈ E, tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kkx − yk2 Định nghĩa 1.14 Giả sử T : D(T ) ⊂ E −→ E ánh xạ Phần tử x ∈ D(T ) gọi điểm bất động T x = T x Tập điểm bất động T thường kí hiệu F ix(T ) hay F (T ) Chú ý 1.7 Tập điểm bất động ánh xạ giả co mạnh có khơng q phần tử Thật vậy, giả sử h : E −→ E ánh xạ giả co mạnh với hệ số giả co k ∈ (0, 1) Giả sử F ix(h) 6= ∅ x, y ∈ F ix(h) Khi đó, từ tính giả co mạnh h ta có kx − yk2 = hx − y, j(x − y)i = hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kkx − yk2 Suy (1 − k)kx − yk2 ≤ Do đó, x = y Mệnh đề 1.10 [2] Giả sử E khơng gian Banach, C tập lồi, đóng khác rỗng E T : C −→ C ánh xạ liên tục, giả co mạnh Khi T có điểm bất động C, tức F ix(T ) 6= ∅ 16 Định nghĩa 1.15 Cho E không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E gọi Lipschitz tồn số L ≥ cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, với x, y ∈ D(T ) Nếu L = T gọi không giãn L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co với hệ số co L Nhận xét 1.4 Mọi ánh xạ co ánh xạ giả co Thật vậy, giả sử T : D(T ) −→ E ánh xạ co với hệ số co L ∈ [0, 1) Khi đó, với x, y ∈ D(T ) j(x − y) ∈ J(x − y), ta có hT (x) − T (y), j(x − y)i ≤ kT (x) − T (y)k.kj(x − y)k ≤ Lkx − yk2 Suy T ánh xạ giả co Chú ý 1.8 Trong trường hợp E không gian lồi chặt tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn T khác rỗng tập lồi đóng E (xem [5]) Thật vậy, giả sử F ix(T ) 6= ∅ Tính đóng F ix(T ) suy từ tính liên tục T Ta F ix(T ) tập lồi Lấy x, y ∈ F ix(T ) α ∈ [0, 1], đặt z = αx + (1 − α)y Khi đó, ta có kx − T (z)k = kT (x) − T (z)k ≤ kx − zk = (1 − α)kx − yk, ky − T (z)k = kT (y) − T (z)k ≤ ky − zk = αkx − yk Do kx − yk ≤ kx − T (z)k + kT (z) − yk ≤ kx − yk Từ suy kx − yk = kx − T (z)k + ky − T (z)k Đặt a = x − T (z), b = T (z) − y ta có ka + bk = kak + kbk Do X không gian lồi chặt nên tồn số dương λ cho a = λb Suy T (z) tổ hợp tuyến tính x y, tức T (z) = βx + (1 − β)y với β ∈ R Từ đó, ta nhận kx − T (z)k = kx − zk = (1 − α)kx − yk = (1 − β)kx − yk, 17 ky − T (z)k = ky − zk = αkx − yk = βkx − yk Suy α = β z ∈ F ix(T ) 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Bài toán Cho T : C −→ C ánh xạ khơng giãn từ tập lồi, đóng khác rỗng C khơng gian Hilbert H vào ánh xạ khơng giãn với F (T ) 6= ∅ Tìm phần tử x∗ ∈ F (T ) Đã có nhiều phương pháp tiếng đề xuất để giải toán trên, phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm Chú ý 1.9 Nếu T ánh xạ co C dãy lặp Picard xác định x0 ∈ C xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh điểm bất động T Tuy nhiên điều khơng cịn lớp ánh xạ không giãn Phương pháp lặp Mann Năm 1953, W R Mann [9] nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp sau: ( x0 ∈ C phần tử bất kì, (1.11) xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , n ≥ 0, {αn } dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, < αn < 1, n ≥ 1, ∞ P αn = ∞ n=0 Dãy lặp (1.11) gọi dãy lặp Mann Mann W R chứng minh rằng: ∞ P dãy {αn } chọn thỏa mãn αn (1 − αn ) = ∞ dãy {xn } xác định n=1 (1.11) hội tụ yếu tới điểm bất động ánh xạ T Chú ý H không gian Hilbert vơ hạn chiều dãy lặp (1.11) cho hội tụ yếu Phương pháp lặp Halpern Năm 1967, B Halpern [6] đề xuất phương pháp lặp ( x0 ∈ C phần tử bất kì, xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n≥0 (1.12) 18 u ∈ C {αn } ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.12) gọi dãy lặp Halpern Ông chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (1.12) điểm bất động ánh xạ không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1) Phương pháp lặp xấp xỉ mềm Năm 2000, Moudafi [10] đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert chứng minh kết sau: (1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi: x0 ∈ C, xn = εn T xn + f (xn ), ∀n ≥ 0, + εn + εn (1.13) hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân: x ∈ F (T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ), {εn } dãy số dương hội tụ (2) Với phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi: εn T zn + f (zn ), ∀n ≥ (1.14) + εn + εn ∞ P − = {zn } hội tụ mạnh Nếu lim εn = 0, εn = +∞ lim n→∞ n→∞ εn+1 εn n=1 nghiệm bất đẳng thức biến phân: zn+1 = x ∈ F (T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ), f : C → C ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C Chú ý 1.10 Khi f (x) = u với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern Phương pháp lặp tổng quát Năm 2006 Marino Xu [8], đưa phương pháp lặp tổng quát cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T : H −→ H không gian Hilbert H xn+1 = (I − αn A)T xn + αn γf (xn ), n ≥ 0, (1.15) 19 A tốn tử tuyến tính dương mạnh H Hai nhà toán học chứng minh dãy {αn } thỏa mãn điều kiện i) lim αn = 0; n→∞ ii) ∞ P αn = ∞; n=1 iii) ∞ P |αn+1 − αn | < ∞, n=1 dãy {xn } xác định (1.15) hội tụ mạnh điểm bất động x∗ T , đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân h(A − γf )x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ H (1.16) Bất đẳng thức biến phân (1.16) điền kiện tối ưu tốn cực tiểu hóa hàm tồn phương g(x) = hAx, xi − h(x), với h hàm vị γf , tức h (x) = γf (x) với x ∈ H Năm 2011, Wangkeeree cộng [11] mở rộng kết Marino Xu cho toán bất đẳng thức biến phân (1.16) tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy 1.4 Giới hạn Banach Tiếp theo, đề cập đến khái niệm giới hạn Banach: Cho f phiếm hàm tuyến tính liên tục l∞ Ta sử dụng fn (xn+m ) để ký hiệu f (xm+1 , xm+2 , , xm+n , ), với m = 0, 1, 2, Định nghĩa 1.16 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f l∞ gọi giới hạn Banach kf k = f (1) = fn (xn ) = fn (xn+1 ) với x = (x1 , x2 , ) ∈ l∞ Chú ý 1.11 Ta ký hiệu giới hạn Banach LIM Khi đó, kLIM k = lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với (xn ) ∈ l∞ n→∞ n→∞ (1.17) 20 Mệnh đề 1.11 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ E, {xn } dãy bị chặn C, LIM giới hạn Banach ϕ hàm nhận giá trị thực xác định C cho ϕ(z) = LIMn kxn − zk2 , z ∈ C Khi đó, tập M xác định M = {u ∈ C : ϕ(u) = ϕ(z)} z∈C lồi, đóng, khác rỗng bị chặn Hơn nữa, E khơng gian lồi đều1.1 M có điểm Chứng minh Trước hết, ta ϕ hàm lồi, liên tục Giả sử {yn } ⊂ C thỏa mãn yn → y ∈ C Đặt L = sup{kxn − ym k + kxn − yk : m, n ∈ N} Ta có kxn − ym k2 − kxn − yk2 ≤ (kxn − ym k + kxn − yk)(kxn − ym k − kxn − yk) ≤ L| kxn − ym k − kxn − yk | ≤ Lkym − yk, với m, n ∈ N Từ đó, suy LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 Tương tự, ta có LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 Do đó, ta nhận |ϕ(ym ) − ϕ(x)| ≤ Lkym − xk Suy ϕ liên tục C Với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1], dễ thấy ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y) 1.1 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ(ε) 21 Do đó, ϕ hàm lồi C Từ bất đẳng thức ((a + b)/2)2 ≤ (a2 + b2 )/2 với a, b ≥ ta có kym k2 ≤ 2kym − xn k2 + 2kxn k2 , kym k2 ≤ 2ϕ(ym ) + sup kxn k2 , n∈N tức là, ϕ(ym ) → ∞ kym k → ∞ Như ϕ hàm lồi liên tục ϕ(z) → ∞ kzk → ∞ Vì E khơng gian phản xạ nên theo Mệnh đề 1.2, ϕ đạt cực tiểu C Do M tập lồi, đóng khác rỗng Ta M bị chặn Thật vậy, lấy u ∈ M ta có kuk2 ≤ 2ku − xn k2 + 2kxn k2 , ∀n ∈ N, suy kuk2 ≤ 2ϕ(u) + 2K = inf ϕ(z) + 2K, với K = supn {kxn k2 } Vậy M z∈C tập bị chặn Giả sử E không gian Banach lồi Lấy z1 , z2 ∈ M Vì M tập lồi nên (z1 + z2 )/2 ∈ M Chọn r > đủ lớn cho {xn } ∪ M ⊂ SE [0, r] = {x ∈ E : kxk ≤ r} Khi đó, xn − z1 , xn − z2 ∈ SE [0, 2r] với n Từ Mệnh đề 2.8.171.2 , trang 105 tài liệu [1] ta có z + z ≤ kxn − z1 k2 + kxn − z2 k2 − g2r (kz1 − z2 k) xn − 2 Nếu z1 6= z2 inf ϕ(z) ≤ ϕ z∈C 1.2 1 z1 + z2
≤ ϕ(z1 ) + ϕ(z2 ) − g2r (kz1 − z2 k) 2 = inf ϕ(z) − g2r (kz1 − z2 k) z∈C Mệnh đề 2.8.17 Cho E khơng gian Banach Khi khẳng định sau tương đương: i) E không gian lồi đều; ii) Với p ∈ (1, ∞) r > 0, tồn hàm lồi tăng ngặt gr : R+ −→ R+ thỏa mãn gr (0) = ktx + (1 − t)ykp ≤ tkxkp + (1 − t)kykp − t(1 − t)gr (kx − yk), với x, y thỏa mãn kxk ≤ r, kyk ≤ r t ∈ (0, 1)