Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THÚY HÒA PHƢƠNG PHÁP ĐẾM HAI LẦN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THÚY HÒA PHƢƠNG PHÁP ĐẾM HAI LẦN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đặt vấn đề 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm 1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Một số phương pháp giải toán đếm toán tổ hợp 13 1.2.1 Sử dụng công thức bao hàm loại trừ 13 1.2.2 Sử dụng phương pháp hệ thức truy hồi 16 1.2.3 Sử dụng phương pháp liệt kê trường hợp 18 1.2.4 Xây dựng song ánh giải số toán tổ hợp 21 Vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải toán đếm 25 2.1 Ý tưởng phương pháp đếm hai lần 2.2 Một số ngun lý, tính chất tốn tổ hợp thường vận dụng vào giải toán đếm 2.3 2.4 25 29 Vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải toán đếm 32 2.3.1 Đếm số tập con, số cặp số hoán vị 32 2.3.2 Phương pháp đếm hai lần đồ thị hữu hạn 47 2.3.3 Phương pháp ma trận liên thuộc 51 Một số toán đề nghị 62 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Mở đầu Tốn tổ hợp tốn khó, thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế Chính tốn tổ hợp ln dành quan tâm lớn từ bạn học sinh, thầy, cô giáo nhà toán học Mặc dù vậy, tài liệu cho toán tổ hợp dành cho học sinh giỏi Việt nam cịn hạn chế Phương pháp đếm hai lần “double counting” nhóm tác giả Law Ka Ho, Leung Tat Wing Li Kim Jin đăng tải tạp chí Mathematical Excalibur (Volume 13, Number 4, 2008) đưa minh họa sinh động cho việc vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải vài đề thi toán quốc tế Xuất phát từ thực tế với mục đích tích lũy thêm kiến thức cách giải toán đếm toán tổ hợp với phương pháp đếm hai lần vận dụng vào giải số toán đếm đề thi học sinh giỏi nước quốc tế làm tư liệu cho công việc giảng dạy thân, lựa chọn hướng nghiên cứu vận dụng phương pháp đến hai lần vào giải số toán đếm Luận văn tập trung vào hồn thành nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu toán đếm toán tổ hợp ngun lý, tính chất tốn tổ hợp thường vận dụng để đưa lời giải cho tốn đếm • Cơ sở tốn học phương pháp “Đếm hai lần” việc tìm lời giải cho tốn đếm tốn tổ hợp • Sưu tầm số toán, đề thi toán đếm toán tổ hợp dành cho học sinh giỏi • Đưa lời giải cách vận dụng phương pháp “Đếm hai lần” cho số toán đếm dành cho học sinh giỏi Ngoài luận văn đưa cách giải khác toán đếm so sánh phương pháp giải với việc vận dụng phương pháp đếm hai lần để có nhận xét thú vị Thái Nguyên, ngày 31 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Đỗ Thị Thúy Hòa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đặt vấn đề Như biết, khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp hình thành từ phép đếm Các khái niệm đời giúp trình bày tốn đếm đơn giản Tuy nhiên, gặp chứng minh đẳng thức liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường sử dụng biến đổi đại số khai triển nhị thức Newton để chứng minh Do đó, việc chứng minh tốn tổ hợp khái niệm khơng có mối quan hệ Điều nhiều làm vẻ đẹp khái niệm tốn học nói chung khái niệm hốn vị, chỉnh hợp nói riêng Trong nội dung chương luận văn, giới thiệu cách chứng minh toán tổ hợp phương pháp đếm Nội dung mục tham khảo chủ yếu tài liệu [1] số toán hay đề thi học sinh giỏi tác giả sưu tầm trình bày 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm Một toán tổ hợp thường liên quan mật thiết với việc “đếm” số khả thực hành động Phép đếm có hai quy tắc phép cộng phép nhân Quy tắc 1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử có k cơng việc T1 , T2 , , Tk Các việc làm tương ứng n1 , n2 , , nk cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời Khi số cách làm k việc n1 + n2 + · · · + nk Quy tắc cộng phát biểu dạng ngơn ngữ tập hợp sau: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, tức ∀1 ≤ i, j ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j Khi số cách chọn a1 , n S a2 , , an số cách chọn phần tử a thuộc Ak | n S k=1 Ak | = n P k=1 |Ak | k Ví dụ 1.1 Trong tiết tự học, bàn giáo viên có 10 sách tiếng Anh, 10 tập Tốn tập Hóa Hỏi có cách chọn sách? Chứng minh Gọi A1 , A2 , A3 tập sách tiếng Anh, tập Tốn tập Hóa Khi đó, có 10 cách chọn sách tiếng Anh, tức |A1 | = 10 Có 10 cách chọn tập Toán, tức |A2 | = 10 Có cách chọn tập Hóa, nghĩa |A3 | = Vậy, theo quy tắc cộng, số cạch chọn sách |A1 | + |A2 | + |A3 | = 10 + 10 + = 25 Bản chất toán học quy tắc cộng cơng thức tính số phần tử hợp n tập hợp hữu hạn đôi không giao Tuy nhiên nhiều toán tổ hợp, phải tính số phần tử hợp n tập hợp (khơng thiết rời nhau) Khi đó, ta có quy tắc cộng cho số phần tử hợp n tập hợp bất kỳ, thường gọi công thức bao hàm loại trừ Định lý 1.1 (Công thức bao hàm loại trừ) Cho n ≥ tập hợp hữu hạn A1 , , An Khi ta có |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = n X |Ai | − i=1 X |Ai ∩ Ak | + + ··· + |Ai ∩ Aj ∩ Ak | 1≤i Ri ai,j = r ≥ c 1 ai,j ai,j ≥ Do ≥ Ri Cj Ri Cj với ≤ i ≤ r, ≤ j ≤ c Theo mệnh đề 2.3 ta có X ai,j X ai,j r= ≥ = c R C i j i,j i,j Chứng minh Khi ai,j = 1, Ri ≤ Cj kéo theo Quay trở lại chứng minh toán 2.22 Vì đơn ánh từ số hàng i vào số cột j nên Cj ≥ Ri ai,j = Do r ≥ c hay |S| ≥ n Mở rộng thêm tốn 2.22 trường hợp khơng thể so sánh Ri Cj ai,j = ta so sánh hai giá trị ai,j = Mệnh đề tương tự mệnh đề 2.4 Mệnh đề 2.5 [6] Cho A = (ai,j ) ma trận (0, 1) cấp r × c với tổng hàng Ri tổng cột Cj Nếu < Ri < c < Cj < r với ≤ i ≤ r, ≤ j ≤ c Cj > Ri ai,j = r ≥ c Chứng minh Giả sử ngược lại, r < c Khi < r − Cj < c − Ri ai,j = Do 1 Ri Cj < ⇒ < c − Ri r − Cj c − Ri r − Cj Kí hiệu M số số ma trận A, ta có M= r X i=1 = = Ri = r X (c − Ri ) i=1 X (1 − ai,j )Ri i,j c X j=1 c − Ri (r − Cj ) < Ri = c − Ri r c X X i=1 X (1 − ai,j )Cj i,j r − Cj ! (1 − ai,j ) i=1 c X r X j=1 i=1 = Ri c − Ri ! (1 − ai,j ) Cj = M r − Cj Mâu thuẫn Do giả sử ban đầu ta sai, nghĩa r ≥ c Cj r − Cj 61 Bài toán 2.23 [6] Gọi S1 , S2 , , Sm tập rời {1, 2, , n} thảo mãn |Si ∩ Sj | = với i 6= j Chứng minh m ≤ n Bài toán 2.23 trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Fisher Để chứng minh tốn đơn giản sử dụng đại số tuyến tính Tuy nhiên áp dụng phương pháp đếm hai lần để giải toán Chứng minh Hiển nhiên toán với trường hợp m = m = Chúng ta giả sử m ≥ Dễ thấy tập Si khác rỗng Nên giả thiết với m ≥ tất tập khác rỗng Xét ma trận liên thuộc A cho họ tất tập m hàng ma trận A tương ứng với tập n cột ma trận A tương ứng với phần tử, ai,j phần tử j thuộc tập Si ngược lại Chúng ta giả thiết mệnh đề 2.5 thỏa mãn Nếu hàng có tất phần tử 1, không tổng quát giả sử hàng với giả thiết |Si ∩ Sj | = với i 6= j kéo theo |Si | = suy m = n ≥ tập rời Nếu cột có tất phần tử phần tử khơng thuộc tập đơn giản xóa cột Chúng ta thực điều đến cột có Cj ≥ kết thu cho ma trận thu gọn, thỏa mãn với ma trận ban đầu A Cuối cùng, tất cột số 1, không tổng quát giả sử cột đầu tiên, |Si ∩ Sj | = kéo theo khơng có cột chứa hai số Như vây, nhiều hàng chứa toàn số (trên cột đầu tiên) hàng thứ r − phải có hàng thứ hai khác cột Do đó, số cột phải lớn số hàng, hay m ≤ n Khi giả thiết mệnh đề 2.5 thỏa mãn       →   · · · · · · a = · · · · · ·  i,j       ↑     ←   62 Chúng ta xét với ai,j = Theo giả thiết toán, với phần tử cột j đại diện cho tập giao với Ai Vì biểu diễn Cj với phần tử hàng i cho phần tử biểu diễn Ri thuộc tập tương ứng Cj Chú ý phép biểu diễn đơn ánh, có hai phần tử Cj đồng thời biểu diễn cho Ri kéo theo vài hai tập giao hai phần tử Ánh xạ đơn ánh suy có nhiều số hàng thứ i nhiều số cột thứ j Do đó, Ri ≥ Cj với ai,j = theo mệnh đề 2.5 suy m ≤ n 2.4 Một số toán đề nghị Bài tốn 2.24 (Iran 2010 ] 6,[5]) Một trường có n sinh viên, sinh viên tham dự lớp học Mỗi lớp học có sinh viên Biết có lớp học có chung sinh viên số sinh viên hai lớp học khác Chứng minh số lớp học không lớn (n − 1)2 Bài toán 2.25 (MOP pratice test 2007,[5]) Trong bảng n × n, phần tử từ tập {1, 2, , n} xuất n lần Chứng minh có √ cột hàng với n số khác Bài tốn 2.26 (China 1993) Có nhóm 10 học sinh vào hiệu sách Biết (i) Mỗi người mua sách; (ii) Với cặp học sinh, có sách chọn mua giống Có người mua sách chọn bỏi nhiều người nhất? Bài toán 2.27 (China 1996) Tám ca sĩ luyện tập biểu diễn lễ hội văn hóa có m ca khúc trình bày Mỗi ca khúc trình bày ca sĩ cặp ca sĩ biểu diễn số Tìm số m nhỏ có 63 Kết luận Với mục tiêu tích lũy thêm kiến thức phương pháp giải toán đếm, luận văn tập trung vào tìm hiểu "Phương pháp đếm hai lần" ứng dụng vào giải số toán đếm đề thi học sinh giỏi làm hướng nghiên cứu luận văn Luận văn hoàn thành nhiệm vụ: Đọc báo “double counting” nhóm tác giả Law Ka Ho, Leung Tat Wing Li Kim Jin đăng tải tạp chí Mathematical Excalibur (Volume 13, Number 4, 2008) để tìm hiểu sở toán học phương pháp “Đếm hai lần” ý tưởng phương pháp “Đếm hai lần” để tìm lời giải cho toán tổ hợp Đọc nghiên cứu toán nhắc đến MOP 2007 Black Group “Đếm hai lần” tác giả Yufei Zhao ý tưởng giải cho toán giải phương pháp ma trận liên thuộc Sưu tầm số toán tổ hợp dành cho học sinh khá, giỏi Luận văn thu kết sau: Trình bày ý tưởng phương pháp đếm lần giải toán tổ hợp Trình bày việc vận dụng phương pháp “Đếm hai lần” để đưa lời giải cho số toán Đối với số toán, luận văn cố gắng để đưa cách giải khác toán đếm so sánh phương pháp giải với việc vận dụng phương pháp đếm hai lần để có nhận xét thú vị 64 Hướng nghiên cứu luận văn mở kết nội dung luận văn tư liệu cho thân việc giảng dạy Trường trung học phổ thông 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Văn Thông (2012), Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tổ hợp - rời rạc, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olimpic Toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] Law Ka Ho, Leung Tat Wing and Li Kim Jin (2008), Double counting, Mathematical Excalibur (Volume 13, Number 4) [5] Victoria Krakovna (2010), Double counting, IMO Training 2010: http://euclid.ucc.ie/mathenr/IMOTraining/2010 [6] Yufei Zhao (2007), Counting in Two Ways Incidence Matrices, MOP 2007 Black Group, 26 June