I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o HONG TH HU PHìèNG PHP LAI GHP GII MậT LẻP BT NG THÙC BIN PH N LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 5/2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o HONG THÀ HU PH×ÌNG PHP LAI GHP GII MậT LẻP BT NG THC BIN PHN Chuyản ngnh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 8460112 LUN VN THC S TON HC GIO VIN HìẻNG DN PGS.TS NGUYN TH THU THếY THI NGUYN, 5/2019 iii Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng Mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach 1.1 1.2 Khæng gian Banach 1.1.1 Khæng gian Banach phÊn xÔ, lỗi Ãu 1.1.2 Php chiáu mảtric khổng gian Banach 1.1.3 nh xÔ loÔi ìn i»u khỉng gian Banach BĐt ng thực bián phƠn loÔi ỡn iằu 12 1.2.1 BĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu 1.2.2 BĐt ng thực bián phƠn j - ỡn iằu 12 13 Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p lai ghp giÊi mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn 15 2.1 2.2 Phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt 15 2.1.1 B i to¡n 15 2.1.2 Ph÷ìng ph¡p 16 Sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p 18 2.2.1 Sü hëi tư cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.2) 18 2.2.2 Sü hëi tư cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.3) 24 2.2.3 Sü hëi tö cõa Ph÷ìng ph¡p (2.1.4) 29 2.2.4 V½ dư minh håa 34 iv Kát luên Ti liằu tham khÊo 36 37 BÊng kỵ hiằu H khổng gian Hilbert thỹc E khổng gian Banach E khổng gian ối ngău cừa E SE mt cƯu ỡn v cừa E R têp cĂc số thỹc R+ têp cĂc số thỹc khổng Ơm têp rộng ∀x vỵi måi x D(F ) mi·n x¡c ành cõa Ănh xÔ F R(F ) miÃn giĂ tr cừa Ănh xÔ F F Ănh xÔ ngữủc cừa Ănh xÔ F I Ănh xÔ ỗng nhĐt lp , p < ∞ khỉng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bêc p l khổng gian cĂc dÂy số b chn Lp [a, b], ≤ p < ∞ khæng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] d(x, C) khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C lim supn xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf n xn giợi hÔn dữợi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hởi tử mÔnh và x0 xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 J Ănh xÔ ối ngău chuân tưc j Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr Fix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T M Ưu Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian vổ hÔn chiÃu ữủc nh to¡n håc ng÷íi Italia l Stampacchia (xem [12]) v cĂc ỗng sỹ ữa lƯn Ưu tiản vo nhỳng nôm Ưu cừa thêp niản 60 thá k XX nghiản cựu và bi toĂn biản tỹ BĐt ng thực bián phƠn cõ vai trỏ quan trồng nghiản cựu toĂn hồc lỵ thuyát và bi toĂn tối ữu, bi toĂn iÃu khin, bi toĂn cƠn bơng, bi to¡n bị, b i to¡n gi¡ trà bi¶n v.v Do õ, viằc nghiản cựu cĂc phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực bián phƠn ang l mởt nhỳng à ti thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc v  nhên ữủc nhiÃu kát quÊ hay, sƠu sưc Bản cÔnh õ, bĐt ng thực bián phƠn cỏn cõ nhiÃu ựng dửng cho cĂc bi toĂn thỹc tá nhữ mổ hẳnh cƠn bơng kinh tá, giao thổng, bi toĂn khỉi phưc t½n hi»u, b i to¡n cỉng ngh» låc khỉng gian, bi toĂn phƠn phối thổng v.v (xem [8], [10], [11]) Cho án văn cỏn nhiÃu vĐn à mợi v khõ cừa bĐt ng thực bián phƠn cƯn ữủc quan tƠm nghiản cựu vợi nhỳng cổng cử toĂn hồc hiằn Ôi Mởt nhỳng hữợng nghiản cựu ang ữủc quan tƠm l xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực bián phƠn vợi têp rng buởc l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ Ănh xÔ khổng giÂn, têp khổng im chung cừa mởt hồ Ănh xÔ loÔi j - ỡn iằu, têp nghiằm chung cừa bi toĂn cƠn bơng, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn im bĐt ởng khổng gian Hilbert v khỉng gian Banach Mưc ti¶u cõa · t i luên vôn l trẳnh by phữỡng phĂp lai ghp ữớng dốc nhĐt giÊi mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn b i b¡o [5], [6] v [9] cõa Nguy¹n Bữớng, Nguyạn Song H v Nguyạn Th Thu Thừy cổng bố nôm 2016, 2017 v 2018 Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng "Mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach" Chữỡng ny giợi thiằu mởt số kián thực cỡ bÊn và khổng gian Banach phÊn xÔ, lỗi Ãu, Ănh xÔ ỡn iằu, j - ỡn iằu khổng gian Banach ỗng thới, trẳnh by và bi toĂn bĐt ng thực bián ph¥n ìn i»u v j - ìn i»u khỉng gian Banach Chữỡng "Phữỡng phĂp lai ghp giÊi mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn" Chữỡng ny trẳnh by ba phữỡng phĂp lai ghp giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn j - ỡn iằu khổng gian Banach cĂc nh lỵ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp PhƯn cuối cừa chữỡng l mởt vẵ dử minh hồa cho cĂc iÃu kiằn cĂc nh lỵ hởi tử mÔnh ữủc thọa mÂn Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc thƯy, cổ Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản c biằt, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban giĂm hiằu trữớng THPT Hm Long  tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ ữủc tham gia hồc têp, nghiản cựu ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn Hong Th Hêu Chữỡng Mởt lợp bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach Chữỡng ny giợi thiằu mởt số kián thùc v· khỉng gian Banach v b i to¡n b§t ¯ng thực bián phƠn ỡn iằu, j - ỡn iằu khổng gian Banach Cư thº Mưc 1.1 tr¼nh b y v· khỉng gian Banach phÊn xÔ, lỗi Ãu, php chiáu mảtric khổng gian Banach, Ănh xÔ ỡn iằu, Ănh xÔ j - ìn i»u khỉng gian Banach Mưc 1.2 tr¼nh b y khĂi niằm v vẵ dử và bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu v bĐt ng thực bián ph¥n j - ìn i»u khỉng gian Banach Nëi dung cừa chữỡng ữủc viát trản cỡ s tờng hủp kián thùc tø c¡c t i li»u [1], [2], [3] v [7] 1.1 Khæng gian Banach Cho E l khæng gian Banach v kỵ hiằu E l khổng gian ối ngău cừa E Trong luên vôn ny ta sỷ dửng kỵ hiằu k.k cho chuân cừa cÊ hai khổng gian E v E ∗ Vỵi méi x ∈ E v x∗ ∈ E ∗ ta vi¸t hx∗ , xi hoc hx, x i (tẵch ối ngău) thay cho x (x) Náu E = H l khổng gian Hilbert thẳ tẵch ối ngău chẵnh l tẵch vổ hữợng h., i v cÊm sinh chuân tữỡng ựng k.k 1.1.1 Khổng gian Banach phÊn xÔ, lỗi Ãu nh nghắa 1.1.1 (xem [1]) Khỉng gian Banach E ÷đc gåi l ph£n xÔ, náu vợi mồi phƯn tỷ x E , khỉng gian li¶n hđp thù hai cõa E , Ãu tỗn tÔi phƯn tỷ x E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ nh lỵ 1.1.2 (xem [2]) Cho E l khổng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ữỡng: (i) E l khổng gian phÊn xÔ (ii) Mồi d¢y bà ch°n E ·u câ mët d¢y hởi tử yáu Vẵ dử 1.1.3 CĂc khổng gian nh chuân hỳu hÔn chiÃu, khổng gian Hilbert H , khổng gian lp , Lp [a, b], < p < l cĂc khổng gian Banach phÊn xÔ Kỵ hiằu SE := {x ∈ E : kxk = 1} l m°t c¦u ìn cõa khỉng gian Banach E nh nghắa 1.1.4 (xem [2]) Khổng gian Banach E ữủc gồi l (i) lỗi cht náu vợi mồi im x, y ∈ SE , x 6= y , suy k(1 − λ)x + λyk < ∀λ ∈ (0, 1); (ii) lỗi Ãu náu vợi mồi (0, 2] v c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk 1, kx yk thọa mÂn thẳ tỗn tÔi = () > cho (x + y) ≤ − δ; (iii) trỡn náu giợi hÔn kx + tyk kxk t0 t lim tỗn tÔi vợi mồi x, y SE V½ dư 1.1.5 (i) Khỉng gian E = Rn vợi chuân kxk2 ữủc xĂc nh bi 1/2 X n xi , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn kxk2 = i=1 l khổng gian lỗi cht Khổng gian E = Rn , n vợi chuân kxk1 xĂc nh bði kxk1 = |x1 | + |x2 | + + |xn |, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn khæng phÊi l khổng gian lỗi cht (ii) Khổng gian Hilbert H l khổng gian lỗi Ãu Mằnh à 1.1.6 (xem [2]) Mồi khổng gian Banach lỗi Ãu l khổng gian phÊn xÔ v lỗi cht nh nghắa 1.1.7 (xem [2]) (i) Chuân cừa khổng gian Banach E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu vợi mội y SE giợi hÔn kx + tyk kxk t0 t lim (1.1) tỗn tÔi vợi x SE , kỵ hiằu hy, 5kxki Khi õ 5kxk ữủc gồi l Ôo hm GƠteaux cừa chuân (ii) Chuân cừa E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mội y SE , giợi hÔn (1.1) Ôt ữủc Ãu vợi mồi x SE (iii) Chuân cừa E ữủc gồi l khÊ vi Frchet náu vợi mội x SE , giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi mồi y SE (iv) Chuân cừa E ữủc gồi l khÊ vi Frchet Ãu náu giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi måi x, y ∈ SE V½ dư 1.1.8 Khỉng gian Hilbert H l khỉng gian câ chu©n kh£ vi GƠteaux vợi 5kxk = x/kxk, x 6= Thêt vêy, vỵi méi x ∈ H vỵi λk+1 λ λk+1 k 2M1 (1 − τ1 ) kxk+1 − xk k + 2M1 + − ≤ − hk+1 − hk+1 − hk − λk+1 + s1 α1 kxk+1 − xk k s˜k+1 (1 − hk+1 ) − λk+1 − λ k M + − s˜k+1 (1 − hk+1 ) s˜k (1 − hk ) (1 − λk+1 )sk+1 (1 − λk+1 )(˜ sk+1 − s1 ) kxk+1 − xk k + 2M1 s˜k+1 (1 − hk+1 ) s˜k+1 (1 − hk+1 )