I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN QUANG KHU XP X NGHIM CÕA BI TON KHỈNG IM CHUNG TCH TRONG KHỈNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HC Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 46 01 12 NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS Trữỡng Minh Tuy¶n Th¡i Nguy¶n 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ii Líi c£m ìn Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa ToĂn Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng Tổi xin ch¥n th nh c£m ìn Sð Gi¡o dưc v o tÔo tnh H Giang, Ban GiĂm ốc Trung tƠm GiĂo dửc thữớng xuyản - Hữợng nghiằp tnh H Giang, cụng nhữ ton th cĂc ỗng nghiằp,  quan tƠm v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi thỹc hiằn úng ká hoÔch hồc têp v nghiản cựu iii Mửc lửc Lới cÊm ỡn ii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt iv M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mởt số vĐn à và hẳnh håc c¡c khæng gian Banach 1.2 nh xÔ ối ngău chu©n tc 10 1.3 Php chiáu mảtric v ph²p chi¸u têng qu¡t 14 1.3.1 Ph²p chiáu mảtric 14 1.3.2 Ph²p chi¸u têng qu¡t 16 To¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach 19 1.4 Chữỡng XĐp x nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch 2.1 2.2 22 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch 22 2.1.1 Phữỡng phĂp chiáu co hàp 22 2.1.2 Phữỡng phĂp lai chiáu 25 31 Ùng döng 2.2.1 B i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch 31 2.2.2 Bi toĂn chĐp nhên tĂch 33 Kát luên 35 Ti liằu tham khÊo 36 iv Mởt số kỵ hiằu v vi¸t tt E khỉng gian Banach E∗ khỉng gian èi ngău cừa R têp hủp cĂc số thỹc R+ têp c¡c sè thüc khỉng ¥m ∩ ph²p giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số argminxX F (x) têp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m ∅ tªp réng ∀x vỵi måi D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A−1 to¡n tû ng÷đc cõa toĂn tỷ I toĂn tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc E M trản X A A A {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cõa d¢y sè {xn } xn −→ x0 d¢y {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và n n F x giợi hÔn trản cừa dÂy số lim sup xn M x0 x0 p trản p v JE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trản jE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr trản E () mổ un lỗi cừa khỉng gian Banach ρE (τ ) mỉ un trìn cõa khæng gian Banach F ix(T ) ho°c F (T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi M bao õng cừa têp hủp PC php mảtric lản C php chiáu tờng quĂt lản iC hm ch cừa têp lỗi f M C C C E T E E E Mð ¦u Cho H1 v C H2 , v Q l c¡c tªp lỗi, õng v khĂc rộng cừa cĂc khổng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 l to¡n tû li¶n hđp cừa l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn v T Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅ (SFP) Mỉ h¼nh b i toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghiản cùu bði Y Censor v T Elfving [4] cho mæ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc Bi toĂn ny õng vai trá quan trång khỉi phưc h¼nh £nh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ tr iÃu tr bằnh ung thữ, khổi phửc tẵn hiằu (xem [2], [3]) hay câ thº ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi (xem [13]) GiÊ sỷ C l mởt têp lỗi v âng cõa khỉng gian Hilbert H1 Ta bi¸t rơng têp im cỹc tiu cừa hm ch iC (x) = 0, n¸u ∞, l arg minH1 iC (x) vi phƠn cừa iC Ôi) Ngoi ra, A = I − PC = C x ∈ C, náu x /C Do õ, ta nhên ữủc (Rockafellar [11]  ch rơng C C = (iC )1 (0), iC vợi iC l dữợi l mởt toĂn tỷ ỡn i»u cüc cơng l tªp khỉng iºm cõa to¡n tû ìn i»u A x¡c ành bði Do â, ta câ th xem bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) l trữớng hđp ri¶ng cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch B i toĂn khổng im chung tĂch ữủc phĂt biu dÔng sau: Cho v B : H2 −→ 2H2 l c¡c toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v cho A : H1 −→ 2H1 T : H1 −→ H2 l mët toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn Tẳm mởt phƯn tỷ x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ (SCNPP) Cho ¸n B i to¡n (SCNPP) ¢ v ang l chõ · thu hót nhiÃu ngữới lm toĂn v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn ny l trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ cừa Takahashi cĂc ti liằu [14] v [15] và phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho Bi toĂn (SCNPP) khổng gian Banach Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng gian Banach nhữ khổng gian Banach lỗi Ãu, khổng gian Banach trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc; php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt; toĂn tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i mảtric v toĂn tỷ giÊi tờng quĂt Chữỡng XĐp x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt c¡ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Takahashi [14], [15] và cĂc phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chi¸u lai gh²p cho b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch khổng gian Banach Ngoi ra, chữỡng ny luên vôn cụng à cêp án hai ựng dửng cừa phữỡng phĂp chiáu lai ghp ( nh lỵ 2.2) cho bi toĂn im cỹc tiu tĂch v bi toĂn chĐp nhên tĂch Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by mởt số vĐn à và mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc 1.2 giợi thiằu và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 trẳnh by và php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng Mửc 1.4 trẳnh by và to¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v to¡n tû gi£i m¶tric Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c t i li»u [1, 5, 6, 8, 9, 10] 1.1 Mët sè v§n · v· h¼nh håc c¡c khỉng gian Banach Cho E l mët khæng gian Banach v E∗ l khæng gian ối ngău cừa nõ cho ỡn giÊn v thuên tiằn hỡn, chúng tổi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu chuân trản E v E ; Sỹ hởi tử mÔnh v yáu cừa dÂy lƯn lữủt ữủc kẵ hiằu l xn → x v xn * x {xn } v· ph¦n tû k.k x º ch¿ E to n bở luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh à 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: i) ii) E l khổng gian phÊn xÔ Mồi dÂy b chn E , Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Mằnh à 1.2 Náu C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu Chựng minh cho xn * x, ng°t x v C, Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 {xn } C x X ∗ t¡ch cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi y ∈ C °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi n ≥ Ngo i ra, vẳ ng thực trản, cho n , xn * x , n¶n hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do õ, bĐt ta nhên ữủc hx, x i ≤ hx, x∗ i − ε, i·u n y l vổ lỵ Do õ, iÃu giÊ sỷ l sai, hay C l têp õng yáu Mằnh à ữủc chựng minh Chú ỵ 1.1 Náu C l têp õng yáu, thẳ hin nhiản C l têp õng Mằnh à dữợi Ơy cho ta mởt iÃu kiằn và sỹ tỗn tÔi im cỹc tiu cừa mởt phiám hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi khổng gian Banach phÊn xÔ Mằnh à 1.3 Cho C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ E v f : C (, ] l mởt hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi trản C , cho f (xn ) → ∞ kxn k → Khi õ, tỗn tÔi x0 dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chùng minh cho f (xn ) → m {xnk } vỵi °t cõa {xn } m = inf{f (x) : x ∈ C} n → ∞ cho Náu {xn } kxnk k Khi õ, tỗn tÔi dÂy {xn } C khổng b chn, thẳ tỗn tÔi mởt dÂy Theo giÊ thiát, f (xnk ) , mƠu thuăn m 6= Do â, {xn } bà ch°n Theo M»nh · 1.1 v Mằnh à 1.2, tỗn tÔi dÂy {xnj } {xn } cõa cho x nj * x C Vẳ f l nỷa liản tửc dữợi tổpổ yáu, nản ta cõ m f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do â, m = f (x0 ) Mằnh à ữủc chựng minh Tiáp theo, mửc ny chúng tổi à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn và cĐu trúc hẳnh hồc cĂc khổng gian Banach, nhữ: tẵnh lỗi, tẵnh trỡn, mổ un lỗi, mổ un trỡn nh nghắa 1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y ∈ E, x 6= y m kxk = 1, kyk = ta câ x + y < Chú ỵ 1.2 nh nghắa 1.1 cỏn cõ th phĂt biu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y ∈ SE thäa m¢n kx + yk = 1, suy x = y ho°c vỵi måi x, y ∈ SE v x 6= y ta câ ktx+(1−t)yk < vỵi måi t ∈ (0, 1), â sau: Khæng gian Banach SE = {x ∈ E : kxk = 1} M»nh · 1.4 Cho E l mởt khổng gian Banach lỗi cht Khi õ, vợi mội f E \ {0}, tỗn tÔi nhĐt ph¦n tû x ∈ E cho kxk = v hx, f i = kf k Chùng minh Gi£ sỷ tỗn tÔi x, y E thọa mÂn kxk = kyk = v x 6= y cho hx, f i = hy, f i = kf k Khi õ, vợi t (0, 1), tứ tẵnh lỗi ch°t cõa E, ta câ kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i = htx + (1 − t)y, f i ≤ ktx + (1 − t)ykkf k < kf k Suy mƠu thuăn Vêy tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ hx, f i = kf k x ∈ E cho kxk = v x xn * Suy kxn k → x ta câ kxn k kxk xnk x x ≤ lim inf ≤ − δ, + 1= kxk k→∞ kxnk k kxk V¼ l khổng gian lỗi Ãu nản tỗn tÔi suy mƠu thuăn Vêy nh nghắa 1.4 x SE , hay E Cho E fx ∈ E ∗ cho câ tẵnh chĐt Kadec-Klee Khổng gian Banach tỗn tÔi nhĐt ành ngh¾a 1.5 E xn → x ta câ cho E ữủc gồi l trỡn náu vợi mội hx, fx i = kxk v kfx k = l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Chuân trản ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi im x SE náu vợi mội y SE , tỗn tÔi giợi hÔn nh nghắa 1.6 a) Chuân trản x SE d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t Cho E E (1.1) l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ: ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu nõ khÊ vi GƠteaux tÔi mồi b) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mồi (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi mồi c) Chuân trản E d) Chuân trản vợi mồi E giợi hÔn x SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet náu vợi mồi tỗn tÔi Ãu vợi mồi y SE x SE , giợi hÔn (1.1) y SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet Ãu náu giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu x, y SE nh lỵ 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E l mët khæng gian Banach Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) Náu E l khổng gian lỗi cht thẳ E l khỉng gian trìn b) N¸u E ∗ l khỉng gian trỡn thẳ E l khổng gian lỗi cht nh ngh¾a 1.7 Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach E l h m sè x¡c ành bði ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhªn x²t 1.2 Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach tưc v tông trản khoÊng Vẵ dử 1.3 [10] Náu E [0; +∞) E l h m sè x¡c ành, li¶n (xem [1] trang 95) l khæng gian lp ho°c Lp (Ω), th¼ ta câ (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1 τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 ành l½ dữợi Ơy cho ta biát và mối liản hằ giỳa mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach E vỵi mỉ un lỗi cừa nh lỵ 1.2 a) b) E (xem [6] trang 70) v ngữủc lÔi Cho E l mởt khæng gian Banach Khi â ta câ τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > ρE ∗ (τ ) = sup{ Nhªn x²t 1.3 Tø ành l½ 1.2, suy â ε0 (E ∗ ) ε0 (E) , ρE (τ ) ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 τ ρ0 (E) = v ρ0 (E ∗ ) = ành ngh¾a 1.8 Khỉng gian Banach E ữủc gồi l trỡn Ãu náu E ( ) = τ →0 τ lim Tø Nhªn x²t 1.3, ta cõ nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 1.3 Cho E l mët khæng gian Banach Khi â ta (xem [6] trang 70) câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E l khỉng gian trìn ·u th¼ E ∗ l khổng gian lỗi Ãu; b) Náu E l khổng gian lỗi Ãu thẳ E l khổng gian trỡn Ãu V½ dư 1.4 Måi < p < +∞ ·u l khổng gian Banach lỗi Ãu v trỡn Ãu (xem [5] trang khæng gian Hilbert, khæng lp gian Lp (Ω) hay vợi 54) Cuối mửc ny luên vôn giợi thiằu và giợi hÔn cừa dÂy têp hủp khỉng gian Banach theo ngh¾a cõa Mosco [9] {Cn } Cho l mởt dÂy cĂc têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach phÊn xÔ x s-Lin Cn v ch tỗn tÔi dÂy vợi mồi dÂy E Ta xĂc nh cĂc têp s-Lin Cn n ≥ 1; x ∈ {yk } ⊂ E w-Lsn Cn = C0 , E nh÷ sau: x v x n Cn hởi tử mÔnh và w-Lsn Cn v ch tỗn tÔi dÂy cho th¼ {xn } ⊂ E v w-Lsn Cn cõa C0 yk * x v yk Cnk vợi mồi ữủc gồi l giợi hÔn cừa dÂy {Cnk } k {Cn } cõa{Cn } v N¸u s-Lin Cn = theo nghắa cừa Mosco [9] v giợi hÔn ny ữủc kỵ hiằu bi C0 = M- limn Cn Chú ỵ 1.3 l mởt dÂy giÊm cĂc têp lỗi, õng cừa Ta biát rơng, náu khổng gian Banach phÊn xÔ Thêt vêy, ró rng náu vợi xn = x vỵi måi n≥1 E {Cn } C = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, v x ∈ C0 th¼ x∈ hởi tử mÔnh và thẳ s-Lin Cn v x C0 = M- limn→∞ Cn x∈ Do â, ta câ w-Lsn Cn , vẳ dÂy {xn } C0 C0 ⊂ s-Lin Cn v w-Lsn Cn B¥y gií ta s³ ch¿ r¬ng C0 ⊇ s-Lin Cn v tø nh nghắa cừa s-Lin Cn , tỗn tÔi dÂy xn → x, v måi n → ∞ k ≥ vợi mồi Vẳ Do õ, cho n Suy {Cn } w-Lsn Cn L§y {xn } ⊂ E , xn ∈ Cn l mët d¢y gi£m, nản k x C0 C0 v tứ tẵnh õng cừa v vêy C0 vợi mồi xn+k ∈ Cn Cn , x∈ s-Lin Cn , n ≥ cho vợi mồi ta nhên ữủc n1 x Cn s-Lin Cn Tiáp theo, lĐy bĐt ký 10 y∈ w-Lsn Cn , tø ành ngh¾a cõa w-Lsn Cn , tỗn tÔi mởt dÂy v dÂy dÂy {yk } ⊂ E {Cn }, yk * x cho yk ∈ C n k v vỵi måi k ≥ {Cnk } cõa Tø t½nh gi£m cõa ta câ yk+p ∈ Cnk vỵi måi k ≥ k≥1 p ≥ v V¼ Cnk Do â, (1.2), cho Ck Cnk , nản y Ck vợi måi p → ∞, k ≥ = C nk ta nhên ữủc Suy y C0 v w-Lsn Cn y ∈ C nk v â = C0 E l õng yáu Vêy vợi mồi C0 vợi mồi k Vẳ w-Lsn Cn C0 = M- limn Cn nh xÔ ối ngău chuân tưc nh nghắa 1.9 tr (1.2) l lỗi v õng, nản Tõm lÔi, ta thu ữủc s-Lin Cn 1.2 {Cn } J : X −→ 2X ∗ Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, Ănh xÔ a x¡c ành bði J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} ữủc gồi l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa Chú ỵ 1.4 a)Trong khổng gian Hilbert, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trũng vợi Ănh xÔ ỗng nhĐt I b) nh xÔ ối ngău chuân tưc J xÔ ỡn tr thẳ ta kỵ kiằu nõ bi Nhên xt 1.4 J(x) 6= X nõi chung l mởt Ănh xÔ a trà Khi x ∈ X, l ¡nh j Trong khổng gian tuyán tẵnh nh chuân bĐt kẳ vợi mồi J X, ta luæn câ i·u n y suy trüc tiáp tứ hằ quÊ cừa nh lỵ Hahn - Banach Mằnh à dữợi Ơy à cêp án mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Mằnh à 1.7 (xem [1] trang 69) X Cho X l mët khổng gian tuyán tẵnh nh chuân v J l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa nõ Khi õ, i) ii) J l mởt Ănh xÔ l, tực l J(x) = J(x), x X ; J l thuƯn nhĐt d÷ìng, tùc l J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X ; 11 iii) J bà ch°n, tùc l náu D l mởt têp b chn cừa X thẳ J(D) l mởt têp hủp b chn X ; iv) v) Náu X l lỗi cht th¼ J l ìn trà; J l ìn trà v liản tửc Ãu trản mội têp b chn cừa X v ch¿ X l khæng gian Banach trìn ·u V½ dư 1.5 gian lp X²t khỉng gian lp , vợi p > Vẳ khổng gian ối ngău l lỗi Ãu, nản Ănh xÔ ối ngău chuân tc J cõa lp lq cõa khỉng l ìn trà v thĐy nõ ữủc xĂc nh nhữ sau: J(x) = θ n¸u x=θ {ηn } ∈ lq â ηk = |ξk |p−1 sgn(ξk )kxk2−p n¸u vỵi måi x = {ξn } = θ, k ≥ M»nh · 1.8 Gi£ sû X l mët khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ, ta cõ a) kx + yk2 ≤ kyk2 + 2hx, j(x + y)i, vỵi måi j(x + y) ∈ J(x + y), b) kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i, vỵi måi j(x) ∈ J(x), vỵi måi x, y ∈ E Chựng minh Trữợc hát, ta ch kyk2 kxk2 ≥ 2hy − x, j(x)i, vỵi måi x, y ∈ E Thªt vªy, ta câ kyk2 − kxk2 − 2hy − x, j(x)i = kxk2 + kyk2 − 2hy, j(x)i ≥ kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk = (kxk − kyk)2 ≥ Suy ra, (1.3) óng a) Trong (1.3) thay x bi x + y, ta nhên ữủc iÃu ph£i chùng minh b) Trong (1.3) thay y bði x + y, ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh (1.3) 12 M»nh · 1.9 Cho E l mët khæng gian Banach trìn Khi â, hx − y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E Hìn nỳa, náu E l khổng gian lỗi cht v hx − y, j(x) − j(y)i = 0, th¼ x = y Chùng minh Vỵi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, j(x) − j(y)i = kxk2 − hx, j(y)i − hy, j(x)i + kyk2 ≥ kxk2 − 2kxkkyk + kyk2 = (kxk − kyk)2 ≥ Do õ, ta nhên ữủc hx y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E GiÊ sỷ E l khổng gian Banach lỗi cht v hx − y, j(x) − j(y)i = Khi õ, tứ cĂc Ănh giĂ trản, ta nhên ữủc hx, j(y)i = hy, j(x)i = kxk2 = kyk2 Do õ, náu x = 0, thẳ y=0 v ngữủc lÔi Gi£ sû kxk = kyk = d > Khi â, ta câ Theo M»nh · 1.4, ta x y h , j(x)i = h , j(x)i = kj(x)k d d x y nhên ữủc = hay x = y d d M»nh · 1.10 Cho s > v cho E l mët khæng gian Banach Khi â, E l lỗi Ãu v ch tỗn tÔi mởt hm lỗi, liản tửc, tông ngt g : [0, ∞) −→ [0, ∞), g(0) = cho kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i + g(kyk) vỵi måi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s} v måi j(x) ∈ J(x) ành ngh¾a 1.10 Cho õ, dữợi vi phƠn cừa g g : X (, ] tÔi x0 kỵ hiằu l l mởt hm lỗi, g(x0 ) x0 dom(g) v ữủc xĂc nh bði ∂g(x0 ) = {f ∈ X ∗ : g(x) − g(x0 ) ≥ hx − x0 , f i} Ta nõi g l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x0 náu g(x0 ) 6= Khi 13 Vẵ dử 1.6 måi x ∈ X Cho X l mët khæng gian tuyán tẵnh nh chuân, g(x) = kxk2 vợi Khi â, 0, x = 0, ∂g(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= Thªt vªy, f ∈ ∂g(0) v ch¿ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X Thay y λy bi vợi > 0, ta nhên ữủc kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X Cho λ → 0, hy, f i ≥ Gi£ sû ta nhên ữủc Suy ra, x 6= 0, hy, f i ≤ hy, f i = vỵi måi y ∈ X Thay y ∈ X Do â, f = vợi mồi y bi Vêy y ta thu ữủc g(0) = {0} dng kim tra ữủc rơng {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x) Thªt vªy, gi£ sû f ∈ X∗ thäa m¢n kxk2 = kf k2 Khi â, vỵi måi y ∈ X, ta câ hy − x, f i = hy, f i − kxk2 ≤ kyk.kxk − kxk2 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) g(x) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f ∈ ∂g(x) Khi â, ta câ hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) vỵi måi y ∈ X Thay y = x + λz vỵi λ∈R v z ∈ X, theo M»nh · 1.8 a), ta nhên ữủc 1 hz, f i (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk) 2 Khi λ > 0, tø (1.4), ta nhên ữủc hz, f i (kxzk2 + 2kxkkzk) (1.4)