Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THÚY VIỆT HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THÚY VIỆT HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Toán tử không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tốn tử khơng giãn khơng gian Hilbert 1.3 Tốn tử khơng giãn trung bình 10 1.4 Phép chiếu lên tập lồi đóng 12 1.5 Dưới vi phân hàm lồi, thường 16 Chương Hợp tổ hợp lồi tốn tử khơng giãn trung bình ứng dụng 2.1 23 Các tốn hợp tổ hợp lồi toán tử khơng giãn trung bình khơng gian Hilbert 23 2.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn số hệ 29 2.3 Ứng dụng 39 Tài liệu tham khảo 49 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận quan tâm hướng dẫn bảo tận tình GS.TS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bên cạnh tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán Tin quý thầy trực tiếp giảng dậy lớp cao học Tốn K10Y trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu Để hoàn thành luận văn tơi gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp người động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để theo học thực luận văn Trong trình làm luận văn cố gắng không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý Thầy, Cơ để luận văn tơi hồn thiện Thái Ngun, ngày 29 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Thúy Việt Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực R tập số thực ∅ tập rỗng ∀x với x k.k chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Id toán tử đồng Fix(T ) tập điểm bất động toán tử T T∗ toán tử liên hợp tốn tử T PC (x) hình chiếu x lên C NC nón chuẩn tập lồi C domf miền hữu dụng f ∂f vi phân hàm lồi f ri(domf ) tập điểm tương đối domf xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 L2 [a, b] khơng gian hàm khả tích bậc đoạn [a, b] L∞ không gian hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C Mở đầu Các tính chất hợp tổ hợp lồi tốn tử khơng giãn trung bình đề xuất báo nhóm hai tác giả: P Com-Bettes (trường Đại học Sorbonne Universite’s - UPMC Univ Pais06) Isao Yamada (Học viện công nghệ Tokyo) nghiên cứu ứng dụng để thiết kế thuật tốn điểm bất động khơng gian Hilbert Kết đạt dạng mở rộng thuật tốn tách tiến lùi để tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu Các tốn tử khơng giãn chứng minh ứng dụng giải tích giải tốn số phát sinh giải tích phi tuyến tính Điều giới thiệu [4] Các tốn tử trung bình ổn định với phép hợp tổ hợp lồi, toán tử tạo động lực nhiều thuật toán điểm bất động kết hợp khác Các số xác định giá trị hàm số phương pháp lặp Đây điều quan trọng số tác động lớn đến tốc độ hội tụ Nội dung luận văn đề cập đến số trung bình hợp tổ hợp lồi tốn tử trung bình xây dựng lên thuật toán điểm bất động dựa số Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Giới thiệu số kiến thức khơng gian Hilbert thực, tốn tử khơng giãn, tốn tử trung bình Ngồi cịn trình bày số khái niệm tính chất phép chiếu lên tập đóng lồi vi phân hàm lồi Chương 2: Trình bày hợp tổ hợp lồi toán tử khơng giãn, tốn tử trung bình Đồng thời nêu ứng dụng vào thuật tốn tìm điểm bất động thuật toán tách tiến lùi Chương Toán tử khơng gian Hilbert Chương trình bày số kiến thức không gian Hilbert số khái niệm, định nghĩa tập lồi, hàm lồi Đồng thời trình bày tốn tử khơng giãn tốn tử khơng giãn trung bình Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X gọi tổng x y X, kí hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X gọi tích α x X, kí hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X; (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X; (iii) Tồn phần tử khơng (kí hiệu: 0) cho: x+0 = 0+x, ∀x ∈ X; (iv) Với x ∈ X ta có: 1.x = x.1 (1 gọi phần tử đơn vị); (v) Với x ∈ X, tồn phần tử đối x kí hiệu −x và: x + (−x) = 0; (vi) (α + β)x = αx + βy, ∀x ∈ X α, β ∈ R; (vii) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X α, β ∈ R; (viii) α(x + y) = αx + αy với x ∈ X α ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian véctơ R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ h., i : H × H → R (x, y) 7→ (x, y) thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ H; (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ H; (iii) (αx, y) = α(x, y), ∀x, y ∈ H, α ∈ R; (iv) (x, x) > x 6= (x, x) = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta có: (i) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) với x, y, z ∈ H; (ii) (x, αy) = α(x, y) với x, y ∈ H, α ∈ R Định nghĩa 1.1.4 Cặp (H, h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi khơng gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H với x, y ∈ H ta ln có đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, yi hx, yi Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định bởi: p kxk = hx, xi, ∀x ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định từ Định lý 1.1.6 H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Không gian ( l2 = x = (xn )n ∈ R : ∞ X ) |xn |2 < +∞ n=1 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng, hx, yi = ∞ X x n yn , x = (xn )n∈N , y = (yn )n ∈ l2 n=1 chuẩn v u∞ ∞ X p uX kxk = hx, xi = t |xn |2 = ( |xn |2 ) n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng Zb hx, yi = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] , a chuẩn  b  21 Z kxk =  |x(t)|2 dt a Định nghĩa 1.1.10 Trong không gian Hilbert H (i) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H lim hxn , yi = hx, yi , ∀y ∈ H (ii) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H lim kxn − xk = Kí hiệu xn * x hội tụ yếu, xn → x hội tụ mạnh dãy {xn } đến phần tử x ∈ H Chú ý 1.1.11 : (i) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu điều ngược lại không 36 int S 6= ∅ (iv) (xn )n∈N hội tụ mạnh tới điểm S limdS (xn ) = Chứng minh: Cho n ∈ N, x ∈ S Ta viết: xn+1 = xn + λn [T1,n (T2,n ( Tm−1,n (Tm,n xn +em,n ) + em−1,n ) + e2,n ) + e1,n − xn ] thành sau: xn+1 = xn + λn [Tn xn + en − xn ] Trong đó: Tn = T1,n Tm,n en = T1,n (T2,n ( Tm−1,n (Tm,n xn + em,n ) + em−1,n ) + e2,n ) + e1,n − T1,n Tm,n xn Từ Mệnh đề 2.1.2 suy ra: Tn αn − trung bình, αn = φ(α1,n , , αm,n ) Vì (1 − ε)(1 + εαn ) (1 − ε)(1 + ε) − ε2 < = < αn ∈ (0, 1) , αn αn αn αn   Do λn ∈ 0, αn , theo Mệnh đề 2.2.9(i) (i) Sử dụng tính khơng giãn tốn tử (Ti,n )i∈[1,m] en = T1,n (T2,n ( Tm−1,n (Tm,n xn + em,n ) + em−1,n ) + e2,n ) +e1,n − T1,n Tm,n xn ta suy ra: ken k ≤ ke1,n k + kT1,n (T2,n ( Tm−1,n (Tm,n xn + em,n ) + em−1,n ) + e2,n ) + e1,n − T1,n Tm,n xn k 37 ≤ ke1,n k + kT2,n (T3,n ( Tm−1,n (Tm,n xn + em,n ) + em−1,n ) + e3,n ) + e2,n − T2,n Tm,n xn k ≤ ke1,n k + ke2,n k + kT3,n (T4,n ( Tm−1,n (Tm,n xn + em,n ) + em−1,n ) + e4,n ) + e3,n − T3,n Tm,n xn k ≤ m X kei,n k i=1 Mà theo với i ∈ {1, , m} , P λn kei,n k < +∞ nên ta có n∈N X λk kek k < +∞ k∈N Từ Mệnh đề 2.2.9(i) suy ra: X v= λk kek k + sup kxk − xk < +∞ k∈N k∈N Từ Mệnh đề 2.2.9(ii) suy ra: X λk ( − λk )kTk xk − xk k2 < +∞ αk k∈N (ii) Từ Mệnh đề 1.3.2, ta suy ra: ∀i ∈ {1, , m} , (∀(u, v) ∈ H ) kTi,n u − Ti,n vk2 ≤ ku − vk2 − − αi,n k(Id − Ti,n )u − (Id − Ti,n )vk2 αi,n Dùng bất đẳng thức m lần, ta được: kTn xn − xk2 = kT1,n Tm,n xn − T1,n Tm,n xk2 ≤ kxn − xk − m X − αi,n i=1 ≤ kxn − xk2 − αi,n k(Id − Ti,n )Ti+1,n xn − (Id − Ti,n )Ti+1,n xk2 βn λn Trong đó: βn = λn max ( i∈[1,m] − αi,n k(Id − Ti,n )Ti+1,n xn − (Id − Ti,n )Ti+1,n xk2 ) αi,n 38 Chú ý rằng: λn ≤ (1 − ε)(1 + εαn ) + εαn ⇒ λn ≤ αn (1 + ε)αn 1 ⇔ (1 + )λn ≤ +1 ε εαn 1 ⇔ λn − ≤ ( − λn ) ε αn Từ Mệnh đề 2.2.9(i), xn+1 = xn + λn[Tn xn + en − xn], [5, Hệ 2.14] suy ra: kxn+1 − xk2 ≤ k(1 − λn )(xn − x) + λn (Tn xn − x)k2 + vλn ken k = (1 − λn )kxn − xk2 + λn kTn xn − xk2 + λn (λn − 1)kTn xn − xn k2 + vλn ken k ≤ (1 − λn )kxn − xk2 + λn kTn xn − xk2 + εn Trong đó: εn = λn ( − λn )kTn xn − xn k2 + vλn ken k ε αn Từ X λk kek k < +∞, k∈N v= X λk kek k + sup kxk − xk < +∞, k∈N k∈N X k∈N λk ( − λk )kTk xk − xk k2 < +∞, αk suy ra: X k∈N εk < +∞ 39 Mặt khác, kết hợp kết trên, ta có: kxn+1 − xk2 ≤ kxn − xk2 − βn + εn Từ Bổ đề 2.2.8 cho thấy: X βk < +∞ k∈N (iii) (iv) suy từ Mệnh đề 2.2.9 (iii), (iv) 2.3 Ứng dụng Thuật toán tiến lùi thuật toán hữu dụng để tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại Trong [7], tác giả trình bày lý thuyết tốn tử khơng giãn trung bình góp phần hỗ trợ phân tích thuật tốn Trong phần này, khai thác kết phần 2.1 2.2 để mở rộng phân tích nhận phiên thuật toán tiến lùi với miền xác định tham số lặp Nhớ lại khái niệm tốn tử có giá trị đơn điệu giải tích lồi [4] Đặt A : H → 2H tốn tử có giá trị Miền đồ thị tập hợp không điểm A xác định là: domA = {x ∈ H/Ax 6= ∅} , graA = {(x, u) ∈ H × H|u ∈ Ax} , zerA = {x ∈ H|0 ∈ Ax} Toán tử ngược A A−1 với A−1 : H 7→ 2H : u 7→ {x ∈ H|u ∈ Ax} toán tử giải A là: JA = (Id + A)−1 40 Toán tử không giãn chặt A đơn điệu, tức là: (∀(x, y) ∈ H × H), (∀(u, v) ∈ Ax × Ay) hx − y, u − vi ≥ domJA = H A đơn điệu cực đại, khơng tồn tốn tử đơn điệu B : H → 2H cho graA 6= graB A 6= B Ta kí hiệu Γ0 (H) lớp hàm lồi bán liên tục f : H → (−∞, +∞) Đặt f ∈ Γ0 (H), với x ∈ H, f + kx−.k 2 có cực tiểu kí hiệu là: proxf x Ta có: proxf x = J∂f , với ∂f :H → 2H x 7→ {u ∈ H/(∀y ∈ H) hy − x/ui + f (x) ≤ f (y)} sai số phụ Moreau f Sau ta có hệ Định lý 2.2.10
Hệ 2.3.1 Cho ε ∈ 0, 12 x0 ∈ H Với n ∈ N,

1 Cho α1,n ∈ 1, 1+ε , α2,n ∈ 1, 1+ε , T1,n : H → H α1,n − trung bình, T2,n : H → H α2,n - trung bình , cho e1,n ∈ H, e2,n ∈ H Thêm với n ∈ N ta đặt:   (1 − ε)(1 + εφn , λn ∈ ε, φn φn = α1,n + α2,n − 2α1,n α2,n − α1,n α2,n (2.15) 41 cho: xn+1 = xn + λn (T1,n (T2,n xn + e2,n ) + e1,n − xn ) (2.16) Giả sử rằng: S= \ F ix(T1,n T2,n ) 6= ∅, n∈N X λn ke1,n k ≤ +∞, n∈N X λn ke2,n k < +∞ (2.17) n∈N Suy ra: P (i) Với x ∈ S, kT1,n T2,n xn − T2,n xn + T2,n x − xk2 < +∞ n∈N P (ii) Với x ∈ S, kT2,n xn − xn − T2,n x + xk2 < +∞ P n∈N (iii) Với x ∈ S, kT1,n T2,n xn − xn k2 < +∞ n∈N (iv) Giả sử chùm điểm yếu (xn )n∈N nằm S Do (xn )n∈N hội tụ yếu tới điểm S hội tụ mạnh S 6= ∅ (v) Giả sử limds (xn ) = Do (xn )n∈N hội tụ mạnh tới điểm S Chứng minh: Với n ∈ N, φn (0, 1) , ε < − ε < (1 − ε)( + ε), φn   (1 − ε)(1 + εφn λn ∈ ε, φn (i)-(ii): Cho x ∈ S Từ Định lý 2.2.10(ii) với m = 2, ta có:  P λn (1−α1,n )   k(Id − T1,n )T2,n xn − (Id − T1,n )T2,n xk2 < +∞  α1,n n∈N    P n∈N λn (1−α2,n ) k(Id α2,n − T2,n )xn − (Id − T2,n )xk < +∞ (2.18) 42 Tuy nhiên, theo giả sử ta có ∀n ∈ N, T1,n T2,n x = x, λn (1 − α1,n ) λn (1 − α2,n ) ≥ ε2 ≥ ε2 (2.19) α1,n α2,n Kết hợp (2.18) (2.19), suy điều phải chứng minh (iii) Cho x ∈ S, với ∀n ∈ N, ta có: kT1,n T2,n xn − xn k2 = k(T1,n T2,n xn − T2,n xn + T2,n x − x) + (T2,n xn − xn − T2,n x + x)k2 ≤ 2kT1,n T2,n xn − T2,n xn + T2,n x − xk2 + 2kT2,n xn − xn − T2,n x + xk2 Do khẳng định suy từ (i)-(ii) (iv) Khẳng định suy từ Định lý 2.2.10 (iii)-(iv)  Định nghĩa 2.3.2 Một toán tử A : H → 2H demi quy x ∈ domA với chuỗi ((xn , un ))n∈N A ∀u ∈ Ax cho xn * x un → u ta có: xn → x Sau vài tính chất tốn tử đơn điệu demi quy Bổ đề 2.3.3 Cho A : H → 2H đơn điệu giả sử x ∈ domA Khi A demi quy x trường hợp sau: (i) A đơn điệu x,tức tồn hàm đồng biến θ : [0, +∞) → [0, +∞) mà nhận giá trị cho: ∀u ∈ Ax, (∀(y, v) ∈ graA), hx − y, u − vi ≥ θ(kx − yk) (ii) A đơn điệu mạnh, tức tồn α ∈ (0, +∞) cho A − αId đơn điệu (iii) JA compact, tức với tập hợp giới nội C ∈ H, phần bao 43 đóng JA (C) compact Cụ thể, domA compact tương đối giới nội phần đóng với hình cầu đóng tập compact (iv) A : H → H có đơn trị với phần ngược liên tục đơn trị (v) A đơn trị domA Id − A demi compact có nghĩa với (xn )n∈N domA cho (Axn )n∈N hội tụ mạnh, (xn )n∈N có khơng điểm hội tụ mạnh (vi) A = ∂f , f ∈ Γ0 (H) hoàn toàn lồi x, tồn hàm đồng biến θ : [0, +∞) → [0, +∞) không tồn tại cho: với α ∈ (0, 1) với y ∈domf : f (αx + (1 − α)y) + α(1−α)θ(kx − yk) (2.20) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) (vii) A = ∂f , f ∈ Γ0 (H) ∀ξ ∈ R, {x ∈ H/f (x) ≤ ξ} giới hạn compact Giờ ta lập sơ đồ phân tách tiến lùi mở rộng  Mệnh đề 2.3.4 Cho β ∈ (0, +∞),ε ∈ (0, 12 , β ), đặt x0 ∈ H, A : H → 2H đơn điệu cực đại đặt B : H → H β - đồng bức, tức là: ∀x ∈ H, y ∈ H, hx − y, Bx − Byi ≥ βkBx − Byk2 (2.21)   2β Hơn nữa, cho (γn )n∈N dãy ε, , cho (an )n∈N (bn )n∈N 1+ε dãy H cho: X X kan k < +∞ kbn k < +∞ n∈N n∈N Giả sử zer(A + B) 6= ∅ với n ∈ N, cho   γn , λn ∈ ε, (1 − ε)(2 + ε − 2β xn+1 = xn + λn (Jγn A (xn − γn )(Bxn + bn )) + an − xn ) (2.22) 44 Khi ta có kết luận sau: P (i) kJγn A (xn − γn Bxn ) − xn k2 < +∞ n∈N P (ii) Cho x ∈ zer(A + B) Khi kBxn − Bxk2 < +∞ n∈N (iii) (xn )n∈N hội tụ yếu tới điểm zer(A + B) (iv) Giả sử điều thỏa mãn: (a) A demi quy điểm zer(A + B) (b) B demi quy điểm zer(A + B) (c) int S 6= ∅ Khi (xn )n∈N hội tụ mạnh tới điểm zer(A + B) Chứng minh: Chúng ta thiết lập kết ứng dụng Hệ 2.3.1 ∀n ∈ N, T1,n = Jγn A , T1,n = Id − γn B, e1,n = an e2,n = −γn bn [5, Chú γn α2,n − trung bình với α2,n = [5, 2β Như với n ∈ N, T1,n α1,n − trung bình với α1,n = ý 4.26(iii) Hệ 23.8] T2,n Mệnh đề 4.33] Hơn với n ∈ N, ta có: φn = α1,n + α2,n − 2α1,n α2,n 2β = − α1,n α2,n 4β − γn đó:   + εφn λn ∈ ε, (1 − ε)( ) φn 45 Theo (2.15) Chú ý 2.1.3 suy ra: với n ∈ N, λn ≤ 1 +ε< + ε = + ε φn α1,n Kết là: X λn ke1,n k = (2 + ε) n∈N X X kan k < +∞, n∈N λn ke2,n k ≤ 2(2 + ε)β n∈N X kbn k < +∞ n∈N Mặt khác, [5, Mệnh đề 25.1(iv)] suy ra: với n ∈ N, zer(A + B) = Fix(T1,n T2,n ), S = zer(A+B) 6= ∅ xn+1 = xn +λn (Jγn A (xn −γn )(Bxn +bn ))+an −xn ) ví dụ cụ thể (2.16) (i) Đây kết Hệ 2.3.1(iii) (2.20) (ii) Hệ 2.3.1(ii) (3.10) suy ra: X X kBxn − Bxk = γ −2 kT2,n xn − xn − T2,n x + xk n∈N n∈N ≤ ε−2 X kT2,n xn − xn − T2,n x + xk n∈N (iii) Đặt (kn )n∈N dãy đồng biến N đặt y ∈ H cho xkn * y Theo Hệ 2.3.1(iv), việc lại ta phải y ∈ zer(A + B) Ta đặt, với n ∈ N yn = Jγn A (xn − γn B.xn ) un = x n − yn − Bxn γn (2.23) Chú ý rằng: với n ∈ N, un ∈ Ayn (2.24) Từ (i) suy ra: (yn − xn ) → 0, ykn * y Đặt x ∈ zer(A + B), (ii) Bxn → Bx, un → −Bx 46 Tuy nhiên, (2.21) cho thấy B đơn điệu cực đại [5, Ví dụ 20.28], nên từ xkn * y Bxkn → Bx suy By = Bx [5, Mệnh đề 20.33(ii)] Vì vậy, ykn * y ukn → −Bx theo (2.24) [5, Mệnh đề 20.33(ii)] ta có: −By ∈ Ay, i.e., y ∈ zer(A + B) (iv) Theo (iii), tồn x ∈ zer(A + B) cho xn * x Hơn nữa, theo (2.23), (i) (ii) ta có yn * x un → −Bx ∈ Ax (iv) (a): Giả sử A demi quy x Từ (2.24) suy yn → x (i) cho thấy xn → x (iv) (b): Giả sử B demi quy x Vì xn * x Bxn → Bx theo (ii), ta có xn → x (iv) (c): Điều theo (iii) Hệ 2.3.2(iv)  Chú ý 2.3.5 Mệnh đề 2.3.4 mở rộng [8, Hệ 6.5] điều mà có giả sử tham số (λn )n∈N thỏa mãn ∀n ∈ N, λn ≤ Trái lại, dãy miền giá trị tham số (2.22) đoạn lớn tùy ý [0, 2] tham số cực đại lớn Mệnh đề 2.3.6 Cho β ∈ [0, +∞), ε ∈ (0, 1 , β ), x0 ∈ H, f ∈ Γ0 (H) g : H → R hàm lồi khả vi Lipschitz với số a β giả sử tập nghiệm S giải cho toán f (x) + g(x) x∈H rỗng Hơn nữa, đặt (γn )n∈N   2β dãy ε, đặt (an )n∈N 1+ε 47 (bn )n∈N dãy H cho: X kan k < +∞, n∈N X kbn k < +∞ n∈N   γn Với n ∈ N cho λn ∈ ε, (1 − ε)(2 + ε − ) cho: 2β xn+1 = xn + λn (proxγn f (xn − γn (∇g(xn ) + bn )) + an − xn ) Suy điều sau: P (i) kproxγn f (xn − γn ∇g(xn )) − xn k2 < +∞ n∈N P (ii) Gọi x ∈ S Khi k∇g(xn ) − ∇g(x)k2 < +∞ n∈N (iii) (xn )n∈N hội tụ yếu tới điểm S (iv) Giả sử ∂f ∇g demi quy điểm S int S 6= ∅ Do (xn )n∈N hội tụ mạnh tới điểm S Chứng minh: Sử dụng lý luận [7, Phần 27.3] trường hợp đặc biệt Mệnh đề 2.3.4 A = ∂f B = ∇g 48 Kết luận Sau thời gian học tập khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa họcĐại học Thái Nguyên, thầy cô trực tiếp giảng dậy hướng dẫn, đặc biệt GS.TS Nguyễn Bường, hoàn thành luận văn với đề tài “Hợp tổ hợp lồi tốn tử khơng giãn trung bình ứng dụng” Luận văn đạt số kết sau: Trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực số khái niệm, định nghĩa tập lồi Đồng thời tìm hiểu tốn tử khơng giãn, tốn tử khơng giãn trung bình khơng gian Hilbert Các toán hợp tổ hợp lồi toán tử khơng giãn trung bình Nêu thuật tốn tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn ứng dụng vào thuật toán tách, tiến lùi 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm(1997), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải(2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Kiều Thị Thùy Linh(2017), Luận văn: Tốn tử khơng giãn trung bình ứng dụng, Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Tiếng Anh [4] J.B Baillon, R.E Bruch, S Reich (1978), "On the asymptotic behavior of nonexpansive mappings and semigroups", Houston J Math, 4, 1-9 [5] H.H Bauschke, P.L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York [6] A Cegielski (2012), "Iterative Methods", Fixed Point Problems in Hilbert Spaces, Lecture Notes in Math, 2057, Springer, Heidelberg [7] P.L Combettes (2001), "Quasi-Fejérian analysis of some optimization algorithms", D.Butnariu, Y.Cenror, S.Reich (Eds.),Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimizatinon, Elsevier,New York, 115-152 50 [8] P.L Combettes (2004), Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators, Optimization, 53, 475504 [9] Patrick L Combettes, I Yamadab (2015), "Compositions and convex combinations of averaged nonexpansive operator", J Math Anal Appl., 425, 55-70