Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THỊ LỆ THỦY MỘT PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành Mã số : Toán ứng dụng : 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS TSKH Lê Dũng Mưu Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu i Chương : Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert ………………………………………………… 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert Chương 2: Bài toán cân 15 2.1 Bài toán cân ví dụ 15 2.2 Các tính chất 20 Chương 3: Một phương pháp giải toán cân tập điểm bất động 43 3.1 Giới thiệu toán thuật toán 43 3.2 Sự hội tụ 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Danh mục ký hiệu Ký hiệu Rn Ý nghĩa Không gian Euclide n – chiều trường số thực ; N Tập số tự nhiên; xi Tọa độ thứ i x; xT Véc tơ hàng (chuyển vị x) ; =xTy x Tích vơ hướng hai véc- tơ x y; Chuẩn Euclide x; ∂f (x) Dưới vi phân f x; ∂ε f (x) ε - vi phân f x; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i MỞ ĐẦU Cân điểm bất động đề tài quan trọng có tính thời cao tốn học ứng dụng Bài tốn cân mơ tả dạng bất đẳng thức Ky Fan toán bao hàm nhiều lớp quan trọng toán học ứng dụng tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, mơ hình cân Nash v v… Lý chọn đề tài Bài toán cân tập điểm bất động có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Vấn đề nghiên cứu toán đề tài quan tâm, nghiên cứu Từ sở khoa học tính thực tiễn tốn nên tơi lựa chọn đề tài “ Một phương pháp đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động” tên tiếng Anh:“ A subgradient method for solving equilibrium problems over the set of fixed points ” làm đề tài nghiên cứu 2.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nắm trình bày cách hệ thống kiến thức toán cân bằng, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn, sở giới thiệu phương pháp đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Đây lớp toán cân hai cấp quan tâm nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức toán cân toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn - Nội dung tính hội tụ thuật toán đạo hàm giải lớp toán cân tập điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Qua việc thực hoàn thành luận văn với hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu giúp nắm hiểu sâu phương pháp đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động Tuy nhiên với vốn kiến thức cịn hạn hẹp, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong giúp đỡ dẫn thầy cô thầy giáo hướng dẫn Ngoài phần mở đầu, danh mục ký hiệu, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2:Bài toán cân Chương 3: Một phương pháp giải toán cân tập điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương ta xét kiến thức chuẩn bị cho luận văn Luận văn có liên quan đến không gian Hilbert khái niệm, kết liên quan đến không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, tập điểm bất động Do ta giới thiệu khái niệm không gian Hilbert tính chất đặc trưng Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2],[3] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Hilbert thực, tức là: X không gian vector trường số thực Trên X có tích vơ hướng 〈 ⋅ , ⋅ 〉: X × X → R thoả mãn tiên đề: i 〈 x , y 〉 = 〈 y , x 〉, ∀ x , y ∈ X; ii 〈 x+y , z 〉 = 〈 x , z 〉 + 〈 y , z〉 ∀ x , y , z ∈ X; iii 〈 αx , y 〉 = α 〈 x , y〉 ∀ x , y ∈ X, α∈ R; iv 〈x , x〉 > với x ≠ 〈 x , x 〉 = x = X trở thành không gian Banach với chuẩn định nghĩa bởi: ||x|| = 〈 x, x〉 Định nghĩa 1.1.2 Xét dãy {xn}n≥0 x thuộc không gian Hilbert thực X Khi đó: Dãy {xn} gọi hội tụ mạnh tới x, kí hiệu xn → x, như: lim ||xn - x|| = n→+∞ Dãy {xn} gọi hội tụ yếu tới x, kí hiệu xn → x, như: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lim 〈 w , xn 〉 = 〈 w , x 〉,∀w ∈ X n→+∞ Điểm x gọi điểm tụ mạnh (yếu) dãy {xn} từ dãy trích dãy hội tụ mạnh ( yếu ) tới x Ta nhắc lại kết quen thuộc giải tích hàm liên quan đến hai loại hội tụ này: Mệnh đề 1.1.3 (i) Nếu {xn} hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x (ii) Nếu {xn} hội tụ yếu đến x lim || xn || =|| x || {xn} hội tụ mạnh đến n→+∞ x (iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn (iv) Nếu không gian Hilbert X không gian hữu hạn chiều hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương (v) Nếu {xn}n≥0 dãy bị chặn khơng gian Hilbert X ta trích dãy hội tụ yếu (vi) Nếu {xn}n≥0 dãy bị chặn không gian Hilbert hữu hạn chiều X ta trích dãy hội tụ mạnh Định nghĩa 1.1.4 Tập C không gian Hilbert X gọi lồi với x, y ∈ C λ ∈ (0,1) ta có: λx + (1 - λ) y ∈ C 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ánh xạ khơng giãn tốn tử Lipschitz liên tục với số Nó đóng vai trị quan trọng tốn ứng dụng nhiều vấn đề tốn học mơ tả tốn tính điểm bất động ánh xạ khơng giãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2.1 Cho C tập không gian Hilbert X T: C → X Khi đó, ta có định nghĩa sau: i) T không giãn ổn định với x y thuộc C ta có: Tx − Ty + ( Id − T ) x − ( Id − T ) y ≤ x− y ii)T khơng giãn Lipschitz liên tục với số 1, tức với x y thuộc C ta có: Tx − Ty ≤ x − y iii) T tựa khơng giãn ta có: T x − y ≤ x − y ∀x ∈ C , ∀y ∈ FixT ; iv)T tựa không giãn chặt ta có: T x − y < x − y ∀x ∈ C, ∀y ∈ FixT Định nghĩa 1.2.2 Fix(T):= {x | Tx = x} Định lí 1.2.3 Nếu C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert X T ánh xạ khơng giãn C tập điểm bất động T tập lồi đóng Định nghĩa 1.2.4 Xét hàm ƒ : X → R ∪ {+∞} Khi đó: Hàm f gọi lồi tập lồi C nếu: ƒ( λx+(1- λ)y ) ≤ λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y), ∀x, y ∈ X,∀λ ∈ [0,1] Hàm ƒ gọi lồi chặt C nếu: ƒ (λx+(1- λ)y ) < λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y), ∀x, y ∈ X; x ≠ y ,∀λ ∈ [0,1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm ƒ gọi lồi mạnh C, với hệ số η > nếu: ƒ(λx+(1- λ)y) ≤ λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y)-η λ (1 − λ ) ||x-y||2, ∀x,y∈X, ∀λ ∈ [0,1] Ví dụ: Mọi hàm afine ƒ(x) = aTx+b hàm lồi Nó thoả mãn đẳng thức: ƒ(λx+(1- λ)y) = λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y), ∀x, y Do khơng lồi chặt Trong khơng gian Hilbert thực ta có khai triển: x y λx + (1 − λ ) y + (1 − λ ) − 2 2 λ =λ = = 2 2 x y x y + (1 − λ ) − λ2 − (1 − λ ) − λ (1 − λ )〈 x, y〉 2 2 λ (1 − λ ) λ (1 − λ ) ( x + y − 2〈 x , y 〉 ) 2 x− y 2 Do hàm ƒ(x) = x hàm lồi mạnh với hệ số Giả sử C tập khác rỗng Hàm khoảng cách dC(x) định nghĩa sau: x− y dC(x) = inf y∈C Khi đó, C tập lồi dC hàm lồi Thực vậy, xét x, y ∈ X λ ∈ (0, 1) Đặt z = λx+ (1-λ)y Theo định nghĩa, tồn dãy {xk}, {yk} C cho: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lim k → ∞ x − x k = d C ( x ) lim k →∞ y − y k = d C ( y ) Do C lồi nên zk := λxk + (1-λ) yk ∈ C Ta có: dC( z ) ≤ || z - zk || = || λ(x-xk) + (1-λ)(y-yk) || ≤ λ|| x -xk ||+(1-λ)|| y-yk || Cho k → ∞ ta có: dC(z) ≤ λdC(x) + (1-λ)dC(y) Nếu tồn π ∈ C cho || x-π || = dC ( x ) π gọi hình chiếu x lên C Khi π nghiệm tốn tối ưu: y ∈C x− y 2 Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để π hình chiếu x lên C trường hợp C lồi Mệnh đề 1.2.5 Giả sử C tập lồi khác rỗng X Đặt: NC(x) = {w ∈ X| w, y − x ≤ 0, ∀ y ∈ C} Khi π hình chiếu x lên C khi: x - π ∈ NC (π) Chứng minh Giả sử π hình chiếu x lên C Lấy y thuộc C Đặt : yλ = λy + (1 - λ) π Do C lồi nên yλ ∈ C với λ ∈ (0, 1) Theo định nghĩa hình chiếu ta có: || x- π ||2 ≤ || yλ - x ||2 = || (π - x) + λ (y-π) ||2 Khai triển vế phải giản ước ta thu : λ y − π + π − x, y − π ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Khi ta thấy tập nghiệm toán (EP) toán bất đẳng thức biến phân trùng Ta có bổ đề sau u, y − x Bổ đề Giả sử φ ( x, y ) := umax ∈F ( x ) Khi F Lipschitz C với số L > φ thỏa mãn điều kiện Lipschitz (M), cụ thể là: φ ( x, y ) + φ ( y , z ) ≥ φ ( x, z ) − L Lδ 2 x− y − y−z 2δ ρ > Vậy ta dùng Thuật tốn để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Chú ý để áp dụng Thuật toán 1, ta cần có L1 < τ Để có điều ta cần lấy δ > L 2τ Bài toán bù (CP) với C = R+n F ánh xạ đơn trị Bài toán bù viết dạng: x * ≥ 0, F ( x * ) ≥ : F ( x * ), x * = Trong trường hợp toán phụ đơn giản, cụ thể là: 2  x k +1 = arg  pf ( x k , y ) + x − x k  y∈C   (Pk) Khi Thuật tốn với F đơn điệu mạnh C có hệ số τ , trở dạng sau: 2  x k +1 = arg  F ( x k ) , y − x k + y − x k  y∈C   Theo định nghĩa toán tử chiếu, ta viết được: x k +1 = PR n ( x k − ρF ( x k )) , + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 PR toán tử chiếu (theo chuẩn Euclidean) điểm x k − ρ F ( x k ) lên n + R+n Do ta tính cách tường minh Thật vậy, y = ( y1 , , yn ) hình chiếu x = ( x1 , , xn ) lên R+n , với τ τ i = 1, , n , ta có: yi = xi xi ≥ ; yi = trái lại Thuật toán giải tốn bù đơn điệu mạnh mơ tả sau: Thuật tốn 2: (cho toán bù đơn điệu mạnh) Bước khởi đầu: Cố định sai số ε > Chọn δ ρ cho δ > 0 xi  L  với r := − ρ  − τ  , dừng thuật tốn,  2δ  x k +1 nghiệm ε − xấp xỉ toán Trái lại tăng k thêm trở vể bước lặp k Tính đắn hội tụ thuật toán suy trực tiếp từ Thuật tốn 3.1.4 Giải phóng điều kiện Lipschitz Các thuật tốn địi hỏi song hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz (M), phải biết số Lipschitz Trong nhiều trường hợp, song hàm cân khơng có tính Lipschitz, có việc tính số thường khó khăn Thuật tốn cho phép giải phóng điều kiện Lipschitz Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Thuật toán Bước khởi đầu: Chọn dãy số {σ k } ⊂ ( 0,1) cho: ∞ ∑σ k = ∞; k =0 ∞ ∑σ k =0 k tham số hiệu chỉnh a) Nếu ω k = , dừng thuật tốn : x k nghiệm thuật toán (EP) b) Nếu ω k ≠ , chuyển qua bước Bước 2: Tính z k +1 = x k + σ kω k x k +1 = PC ( z k +1 ) , PC tốn tử chiếu lên C Bước 3: Cho k := k + quay lại bước Chú ý tốn phải giải thuật tốn tốn tính ω k bước Bài tốn giải sau: (i) φ ( x k , y ) có nghiệm Đặt Giả sử quy hoạch lồi y∈C y:= φ ( x k , y ) < +∞ ; y∈C chọn ω k cho: ω k , y − x k ≥ ρ mk , ∀y ∈ C Khi ω k điểm cần tìm bước thuật tốn (ii) Do φ ( x,.) lồi, khả vi phân C, nên với ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 φ ( x k , y ) − φ ( x k , x k ) ≥ g k , y − x k , ∀y ∈ C , g k ∈ ∂ 2φ ( x k , x k ) Do φ ( x k , x k ) = nên từ ta thấy ω k = − ρ −1 g k thỏa mãn bất đẳng thức: ρφ ( x k , y ) + ω k , y − x k ≥ 0, ∀y ∈ C Do ω k điểm cần tìm.□ Bây chứng minh hội tụ Thuật toán 3: Định lý hội tụ: Giả sử φ đơn điệu mạnh C với hệ số τ { x k } dãy tạo Thuật toán Khi ta có: x k +1 − x * ≤ (1 − ρτσ k ) x k − x * + σ k2 ω k , ∀k ≥ 2 2τ x * nghiệm toán (EP) Hơn < ρ < dãy {ω k } bị chặn, { x k } hội tụ đến nghiệm x * (EP) Chứng minh Giả sử x * nghiệm (EP) Thay z k +1 = x k + σ kω k , ta được: 2 z k +1 − x * = x k + σ kω k − x * = x k − x * + 2σ k ω k , x k − x * + σ k2 ω k ( 3.8 ) Sử dụng định nghĩa ω k với y = x * ta có: ρ f ( x k , x *) ≥ ω k , x k − x * (3.9) Vì φ đơn điệu mạnh C với hệ số τ x * nghiệm (EP) nên: ρφ ( x k , x * ) ≤ − ρτ x k − x * − ρφ ( x * , x k ) ≤ − ρτ x k − x * (3.10) Từ (3.8), (3.9), (3.10) ta suy : z k +1 − x * ≤ (1 − ρτσ k ) x k − x * + σ k2 ω k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.11) 54 Mặt khác x k +1 = PC ( z k +1 ) nên theo tính chất tốn tử chiếu, ta có: x k +1 − x * 2 ≤ z k +1 − x * Từ (3.11), ta được: x k +1 − x * ≤ (1 − ρτσ k ) x k − x * + σ k2 ω k 2 Để chứng tỏ lim x k = x * , ta giả sử dãy {ω k } bị chặn Theo điều vừa k →∞ chứng minh ta có: x k +1 − x * ≤ (1 − ρτσ k ) x k − x * Với M > số Do + σ k2 M ∞ ∞ k =1 k =1 ∀k (3.12) ∑σ k = +∞, ∑σ k2 < +∞ nên từ (6), ta có: x k +1 − x * → k → +∞ Định lý chứng minh.□ Để ý rằng, để kiểm tra xem điểm lặp có phải nghiệm ε − nghiệm, ta dùng hàm đánh giá cho tốn (EP) Đó hàm : g ( x ) := sup φ ( x, y ) y∈C  2 h ( x ) := max −φ ( x, y ) − y − x ; y∈C 2ρ   ρ > đóng vai trị tham số hiệu chỉnh Hàm g thường gọi hàm đánh giá Auslender hàm h gọi hàm đánh giá Fukushima ( hàm đánh giá có hiệu chỉnh) Do φ ( x,.) lồi C, nên để tính giá trị hàm đánh giá này, ta phải giải quy hoạch lồi hàm Auslender quy hoạch lồi mạnh hàm đánh giá hiệu chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 3.1.5 Thuật toán đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động Cho ánh xạ f: RN × RN → R thoả mãn: (i) f(x,x) = ∀x ∈RN; (ii) f hàm liên tục ; (iii) f hàm lồi theo biến thứ hai RN Chúng ta giải toán cân tập điểm bất động sau: Cho T: RN → RN ánh xạ đơn điệu mạnh ngược Vấn đề đặt tìm: u ∈ EP (Fix(T), f): = {u∈Fix(T):f(u,y) ≥0 ∀y ∈Fix(T)} với giả thiết EP (Fix(T), f) ≠ φ Để giải tốn ta có thuật tốn sau: Thuật toán: (dưới đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động.) Bước khởi đầu Chọn sai số ε1 ≥ 0, λ1 > x1 ∈ RN đặt: ρ1: = ||x1|| với n = Bước Với xn ∈ RN ρ n ≥ , chọn εn ≥ λn > 0, λn ∈ [a, b] ⊂ ( 0,2/M2) (n ∈N),với a, b > 0.(xem 3.15) Tìm điểm yn ∈ Kn thoả mãn: f(yn, xn) ≥ 0, max f(y, xn) ≤ f (yn, xn) + εn y∈K n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.13) 56 đó: Kn:={x ∈RN: ||x|| ≤ ρn + 1} Bước Tính ξn ∈ ∂f (yn ,.)(xn); xn+1= T(xn - λnƒ(yn, xn) ξn) ρn+1= max{ρn, ||xn+1||} (3.14) Sau chọn tiếp n: = n + quay lại bước Chú ý rằng: Theo định nghĩa Kn (3.14), x n ∈ K n ≠ φ K n ⊂ K n +1∀n ∈ N Vì ánh xạ f liên tục tính compact Kn đảm bảo tồn yn thỏa mãn (3.2) Do thuật tốn (3.13) ln xác định Cho D ⊂ R N tập lồi, đóng, khác rỗng, f hàm cân xác định D × D cho f(x,x) = với x thuộc D, T: R N → R N ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với Fix (T ) ≠ φ Giả sử D tập biểu thị cho phép chiếu Nghiệm toán cân tập điểm bất động Fix (T ) ⊂ D tìm : u ∈ EP( Fix(T ), f ) := {u ∈ Fix(T ) : f (u, y ) ≥ 0∀y ∈ Fix(T )} Theo cách xác định khác hàm cân F R N × R N như: F ( x, y ) := f ( PD ( x), PD ( y )), ∀x, y ∈ R N Dễ dàng nhận thấy tốn cân f : D × D → R trở thành toán cân F : R N × R N → R 3.2 Sự hội tụ Cho T: RN → RN ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với Fix(T) ≠ φ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Giả sử dãy (ξn)n∈N thuật toán 3.2 bị chặn nghĩa tồn M > thỏa mãn ξ n ≤ M (n ∈ N ) , dãy (xn)n∈N (yn)n∈N có thuật tốn thoả mãn tính chất sau: (a) Xấp xỉ đơn điệu nghĩa là: Nếu Ωn: = {u∈Fix(T):f(yn, u) ≤ 0}≠φ thì: ||xn+1-u(n)||2 ≤ ||xn - u(n)||2 + λn (M2λn-2)f(yn, xn)2; ∀u(n) ∈ Ωn Do đó: ||xn+1-u(n)|| ≤ ||xn - u(n)|| ∀ λn ∈ 0,  (3.15)  M  (b) Tối ưu, tiệm cận bị chặn theo nghĩa: Giả sử: Ω: = ∞ ∩Ω n ≠ φ λn∈[a, b] ⊂ (0,2/M2),(n ∈ N), với a, b > n =1 đó, dãy (xn)n∈N (yn)n∈N bị chặn Ngồi ta có: lim f(yn, xn) = lim ||xn - Txn|| = n →∞ n →∞ (c) Tính hội tụ cụ thể là: Nếu ta lấy λn ∈ [a, b] ⊂ ( 0,2/M2) (n ∈N),với a, b > εn ≥ (n∈N) cho: lim ε n = dãy (xn)n∈N hội tụ tới điểm thuộc EP(Fix (T), f ) (3.16) n→∞ Chứng minh (a) Theo định nghĩa ∂f ( y n ,.) u(n) ∈Ωn, ta có: x n − u ( n ) , ξ n ≥ f (yn, xn) - f (yn; u(n)) ≥ f (yn, xn) Do ∀ u(n) ∈Ωn Vì T ánh xạ đơn điệu mạnh ngược nên: x n +1 − u ( n ) = T ( x n − λ n f ( y n , x n )ξ n ) − Tu ( n ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 ≤ ( x n − λ n f ( y n , x n )ξ n ) − u ( n ) = xn − u (n) − 2λ n f ( y n , x n ) x n − u ( n ) , ξ n + λ2n f ( y n , x n ) ξ n ≤ xn − u(n) = xn − u (n) 2 − 2λn f ( y n , x n ) + M λ2n f ( y n , x n ) + λ n ( M λ n − 2) f ( y n , x n ) , (3.17) (b) Cố định Fix u ∈ Ω tùy ý cho: , (n ∈N), xn+1 − u ≤ xn − u tồn L ≥ ρn := max { xk } n k =1 (n∈N), lim ||xn - u|| đảm bảo thoả n→∞ mãn Ngoài theo định nghĩa Kn ta có ||yn|| ≤ L + (n ∈N) Do (yn)n∈N bị chặn Theo (3.17) suy ra: ≤-a(M2b - 2)ƒ(yn, xn)2 ≤ - λn (M2λn - 2) ƒ(yn, xn)2 ≤ xn − u − x n+1 − u ∀u ∈Ω, n∈N lim f(yn; xn) = (3.18) n→∞ Do T ánh xạ đơn điệu mạnh ngược từ (3.17) , ta có: x n +1 − u ≤ ≤ ( x n − λ n f ( y n , x n )ξ n ) − u , x n +1 − u = { ( xn − u ) − λn f ( y n , xn )ξ n ≤ { ( xn − u 2 + x n +1 − u 2 + x n +1 − u − x n − x n +1 − λ n f ( y n , x n )ξ n − x n − x n +1 − λ n f ( y n , x n )ξ n { ( xn − u + xn+1 − u − xn − x n+1 x −x n n +1 ≤ x −u n − x n +1 −u 2 } + 2λn f ( y n , x n ) x n − x n +1 , ξ n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên }, + 2Mbf ( y , x ) x − x n n n n +1 http://www.lrc-tnu.edu.vn } 59 ∀u∈Ω, n∈N Hơn tồn lim xn − u , dãy (x n )n∈N bị chặn (3.7) thoả mãn n →∞ lim x − x n +1 n− > ∞ n =0 (3.19) Dựa vào (3.18) (3.19), ta viết được: x n +1 − Tx n +1 = T ( x − λ f ( y , x )ξ n ) − Tx n n n n n +1 ≤ || (xn - λnƒ(yn, xn)ξn) - xn+1|| ≤ ||xn - xn+1|| + Mbƒ(yn, xn), Vậy: lim ||xn - Txn|| = n − >∞ (3.20) (C) Dãy (xn)n∈N bị chặn nên tồn dãy ( xn )i∈N (xn)n∈N z ∈RN i x ni = z cho ilim − >∞ Đặt ρ: = sup {ρn:n∈N} < ∞ Lấy δ δ∈(0,1) xác định hình cầu mở: B(ρ+1-δ): ={ x∈RN: ||x|| < ρ + - δ } Chứng minh phần lại chia thành bước sau: Bước 1: Chứng minh z ∈ Fix(T) ∩ B(f + - δ) f(y,z)≤ ∀ y ∈B(ρ+1-δ) Thật vậy: theo định nghĩa ρ, ∃no∈N thỏa mãn: ρ n ≥ ρ − δ Điều có nghĩa : B(ρ + - δ) ⊂ Kn ∀ n ≥ n0; ||xn||≤ ρn ≤ ρ < ρ + + δ ∀ n ∈ N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Ta có: ||z|| = lim || x n || ≤ ρ < ρ + - δ , i →∞ i z ∈ B (ρ + - δ) Giả sử z ≠ Tz theo (3.9) suy ra: lim || x ni -z||< lim inf || x ni - Tz|| i→∞ i→∞ = lim inf || x n - T x n + T x n - Tz|| i→∞ i i i = lim inf ||T x n - Tz|| ≤ lim || x n -z|| i→∞ i→∞ i i Điều mâu thuẫn với z ∈ Fix(T) ∩B(ρ+1-δ) Cho y ∈ B (ρ+1-δ) theo (3.13); (3.18) lim ε n = ta có: n→∞ f(y, z) = lim f(y, x n ) ≤ lim (f( y n , x n ) + ε n ) = i→∞ i i i i Điều có nghĩa là: f(y, z) ≤ ∀ y ∈ B (ρ+1-δ) (3.21) Bước 2: Chứng minh f(z, y) ≥ ∀ y ∈ B (ρ+1-δ) Với y ∈ B (ρ + - δ) với B (ρ+1-δ) lồi suy ra: wt : = ty + (1-t)z ∈ B (ρ+1-δ) ∀ t ∈ (0,1) Do theo (3.21) điều kiện (i) (iii) f nên: = f(wt, wt) ≤ tf(wt, y) + (1-t)f (wt , z) ≤ tf (wt, y) Hơn nữa, theo điều kiện (ii) f, ta được: f (z, y) ≥ ∀y ∈B(ρ +1-δ) Bước 3:Chứng minh z ∈EP (Fix (T), f) Ta thấy tồn điểm z ∈Fix(T) ∩ B (ρ + - δ) cho: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 f(z, y) ≥ ∀y ∈ Fix (T) ∩ B(ρ + - δ) (3.22) Đặt g(.): = f(z,.) Theo điều kiện (i) (iii) f, hàm g lồi với g(z)= Theo (3.22) ta có: = g(z) ≤ g(y) ∀y ∈ Fix(T) ∩ B(ρ + - δ) Vậy z điểm cực tiểu toàn cục g tập Fix(T) z∈EP (Fix (T), f) Bước 4:Chứng minh: z ∈Ω Từ (3.10) ta có: f(y, z) ≤ ∀ y ∈ RN với ||y|| < ρ+1-δ với δ ∈ (0, 1) Từ suy ra: f(y, z) ≤ ,∀ y ∈RN cho ||y|| < ρ + Hơn theo điêu kiện (ii) f, ta có : f(y, z) ≤ ,∀ y ∈ RN cho ||y|| ≤ ρ + Từ ||yn|| ≤ ρ + ta có f (yn , z) ≤0 ∀ n ∈ N Suy z ∈ Ω Bước 5: Chứng minh dãy (xn)n∈N hội tụ Giả sử tồn dãy ( x nj )j∈N dãy (xn)n∈N cho lim x nj = z' ∈RN j →∞ Từ chứng minh bước (1) -> bước (4) ta có: z' ∈ EP (Fix (T), f) ∩Ω Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử z ≠ z' Ta thấy: lim ||xn-z|| = lim || x ni -z|| < lim || x ni -z'|| = lim || xn-z' || n→∞ i→∞ i→∞ n→∞ = lim || xnj - z'|| < lim j→∞ j→∞ || xnj - z|| = lim ||xn - z|| n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Điều vô lý Suy điều giả sử sai Từ suy dãy (xn)n∈N hội tụ điểm EP (Fix (T), f) Định lý chứng minh hồn tồn □ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 KẾT LUẬN Trong tốn học ứng dụng, tốn cân đóng vai trị quan trọng Về mặt lý thuyết, có dạng phát biểu đơn giản tổng quát nhiều dạng toán khác Về mặt thực tế, xuất tốn nhiều lĩnh vực khác Vật Lý; Cơ học; Tin học; mơ hình kinh tế v v… Để giải xác nghiệm tốn cân nói chung khơng đơn giản Vì có thuật toán xấp xỉ đủ tốt nghiệm chúng Vấn đề giải toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn đề tài quan tâm nghiên cứu phạm vi ứng dụng rộng rãi lớp toán Phương pháp đạo hàm giải toán cân tập điểm bất động phương pháp cho phép giải toán Kết đạt luận văn: Luận văn trình bày kiến thức không gian Hilbert, khái niệm kết liên quan; toán cân không gian Hilbert cách đầy đủ Trên sở luận văn giới thiệu số thuật tốn giải tốn cân trình bày thuật toán giải toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Các kết chứng minh đầy đủ xác Với kết đạt được, hy vọng luận văn đóng góp hiệu việc giải toán cân trường hợp riêng; mảng nhỏ trường hợp tổng quát Mặc dù cố gắng nghiên cứu học hỏi, tìm hiểu song giải tốn cân vấn đề khó, phức tạp tập lớn Do vậy, nội dung luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp thầy giáo độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Dũng Mưu, Bài toán cân Bài giảng cao học, Viện Toán học (2010) [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải Giải tích lồi, Nhà xuất KHKT, (2000) [3] Combettes, Convex Analysis and Operator Theory in Hilbert Spaces Spinger, (2011) [4] I Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer (2003) [5] Rockafellar R T Convex Analysis, Princeton University Press,(1970) [6] Zi Ming Wang et al, A new iterative algorithm for equilibrium and fixed point problem of a nonexpansive mapping Journal of Global Optimization, DOI 10 – 10007( 2010) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn