Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 39 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
39
Dung lượng
400,76 KB
Nội dung
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o HONG THÀ THO MËT PH×ÌNG PHP CHIU GII BI TON BT NG THÙC BIN PH N HAI CP LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, NM 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o HONG THÀ THO MËT PH×ÌNG PHP CHIU GII BI TON BT NG THÙC BIN PHN HAI CP Chuyản ngnh: M số: TON NG DệNG 8460112 LUN VN THC S TON HC CĂn bở hữợng dăn khoa hồc PGS.TS NGUYN TH THU THếY THI NGUYN, NM 2020 iii Mưc lưc Líi c£m ìn B£ng kỵ hiằu Danh sĂch bÊng M Ưu Chữỡng BĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert 1.1 1.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert 1.1.1 Sü hëi tư y¸u, hởi tử mÔnh 1.1.2 To¡n tû chi¸u khỉng gian Hilbert 1.1.3 Nân ph¡p tuy¸n 1.1.4 nh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ìn i»u Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v mởt số bi toĂn liản quan 1.2.1 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn 1.2.2 Mët b i to¡n thüc tá ữủc mổ tÊ dữợi dÔng bĐt ng thực bián ph¥n 1.2.3 Mët sè b i to¡n li¶n quan 1.2.4 Mởt phữỡng phĂp lp giÊi bĐt ng thực bián ph¥n 11 11 12 14 16 Chữỡng Mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp khổng gian Hilbert 22 2.1 Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp 22 2.1.1 B i to¡n bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp 22 2.1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan 23 iv 2.1.3 2.2 Thuêt toĂn Ôo hm tông phƠn hai cĐp Phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ng 2.2.1 Mổ tÊ ph÷ìng ph¡p 2.2.2 Sü hëi tư c÷íng gi£i b§t ¯ng thùc thực bián phƠn hai c§p bi¸n 24 26 26 27 Kát luên 32 Ti liằu tham khÊo 33 Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tổi ữủc tham gia hồc têp, nghiản cựu Tổi xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban giĂm hiằu, Phỏng o tÔo, Khoa ToĂn - Tin Trữớng Ôi hồc Khoa hồc v quỵ thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K12A (khõa 2018 2020)  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc hon thnh luên vôn mởt cĂch hon chnh tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS NGUYN THÀ THU THÕY Tổi xin tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cổ v xin gỷi lới tri Ơn cừa tổi ối vợi nhúng i·u cỉ ¢ d nh cho tỉi Tỉi xin gûi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ luên vôn Hong Th ThÊo BÊng kỵ hiằu H C hÃ, Ãi VI(F, C) NC (x0 ) S(F,C) OP(F, C) FP(F, C) PC BVI(F, G, C) S(G,C) Ω khỉng gian Hilbert thüc mët tªp lỗi õng khĂc rộng cừa H tẵch vổ hữợng bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn vợi Ănh xÔ giĂ F v têp rng buởc C nõn phĂp tuyán ngoi cừa C tÔi x0 têp nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn VI(F, C) bi toĂn tối ữu bi toĂn im bĐt ởng php chiáu mảtric chiáu H lản C bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp têp nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn VI(G, C) tªp nghi»m cõa b i to¡n BVI(F, G, C) Danh s¡ch b£ng 1.1 1.2 1.3 B£ng t½nh to¡n vỵi x0 = (5, 5, 5)T ∈ R3 , chån µ = 1/(k + 2) 21 B£ng tẵnh toĂn vợi x0 = (20, 60, 10)T R3 , = 1/(k + 2) 21 BÊng tẵnh to¡n vỵi x0 = (−20, −60, −10)T ∈ R3 , µ = 1/(k + 4) 21 Mð ¦u Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi v chuân k à k Cho C l mởt têp lỗi õng khĂc rộng cừa H, v Ănh xÔ F : C H thữớng ữủc gồi l Ănh xÔ giĂ (trong mởt vi trữớng hủp, F i tứ H tợi H) Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ( ỡn tr) H, viát tưt VI(F, C), ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm x C cho hF (x∗ ), x − x∗ i vợi mồi x C Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn VI(F, C) ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản vo nôm 1966 bi G.J Hartman v G Stampacchia, nghi¶n cùu vi»c gi£i b i to¡n i·u khiºn tối ữu v cĂc bi toĂn biản cho phữỡng trẳnh Ôo hm riảng [7] Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn cõ quan hằ mêt thiát vợi nhiÃu bi toĂn thỹc tiạn nhữ mổ hẳnh cƠn bơng mÔng giao thổng, bi toĂn biản tỹ do, bi toĂn xỷ lỵ Ênh Nôm 1971, M Sibony [13]  xt bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trữớng hủp têp rng buởc C l têp nghiằm cừa phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu Cụng nghiản cựu và bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trữớng hủp ny, I Yamada [18]  xt bi toĂn vợi têp C l têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn (trữớng hủp riảng C l têp nghiằm cừa phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu) Nhỳng nôm gƯn Ơy, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn l mởt à ti ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm nghiản cựu bi tẵnh ựng döng cõa b i to¡n n y mët sè ng nh khoa hồc Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc nghiản cựu m rởng thnh cĂc dÔng tờng quĂt hỡn nhữ bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn a tr vợi Ănh xÔ F l Ănh xÔ a tr, bi toĂn cƠn bơng, bi toĂn tẳm im chung cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v bi toĂn im bĐt ởng, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp Luên vôn nghiản cựu mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi mởt lợp bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp khổng gian Hilbert thỹc bi bĂo [4] Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng "BĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert" Chữỡng ny giợi thiằu và toĂn tỷ chiáu, Ănh xÔ khổng giÂn, toĂn tỷ ỡn iằu khổng gian Hilbert mởt số tẵnh chĐt; trẳnh by bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert; giợi thiằu mởt bi toĂn thỹc tá dăn án bĐt ng thực bián phƠn v phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng giÊi bĐt ng thực bián phƠn Chữỡng "Mởt phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp khổng gian Hilbert" Chữỡng ny giợi thiằu và bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hai c§p khỉng gian Hilbert cịng mët sè b i to¡n liản quan; mổ tÊ phữỡng phĂp chiáu giÊi bĐt ng thực bián phƠn hai cĐp khổng gian Hilbert, chựng minh sü hëi tư cõa ph÷ìng ph¡p Ch÷ìng BĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert Chữỡng ny giợi thiằu và bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert thỹc H, mởt bi toĂn thỹc tá dăn án bĐt ng thực bián phƠn v phữỡng phĂp Ôo hm tông cữớng giÊi bĐt ng thực bián phƠn Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát trản cì sð têng hđp c¡c t i li»u [1, 2, 5, 8, 10, 11, 12, 15, 17] 1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khỉng gian Hilbert Cho H l mët khỉng gian Hilbert thỹc, C l mởt têp con, lỗi, õng khĂc rộng cừa H Ta kỵ hiằu tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi v chuân tữỡng ựng ữủc xĂc nh p bði kxk = hx, xi vỵi måi x ∈ H 1.1.1 Sỹ hởi tử yáu, hởi tử mÔnh nh nghắa 1.1.1 (xem [1]) Mởt dÂy {xk } H ữủc gồi l hởi tử mÔnh (hởi tử yáu) tợi x H, kỵ hiằu xk x (tữỡng ựng xk * x∗ ), n¸u kxk − x∗ k → (tữỡng ựng hu, xk x i vợi måi u ∈ H) k → ∞ Mët d¢y {xk } H hởi tử mÔnh án x thẳ cụng hởi tử yáu án x , iÃu ngữủc lÔi khổng úng Tuy nhiản, tẵnh chĐt KadecKlee ch r¬ng kxk k → kx∗ k v xk * x∗ =⇒ xk → x∗ Cho C 6= ∅, C ⊂ H α + γ(k − 1)) ρ − < α + γ(k − 1) − (β − γ )k(2 − k)) , k < β2 − γ2 β2 − γ2 q α > γ(1 − k) + (β − γ )k(2 − k) v γ(1 − k) < α, â {xk+1 } l d¢y l°p x¡c ành bði (1.7) v x∗ l nghi»m cõa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn hA(x ), g(x) − g(x∗ )i ≥ hT (x∗ ), g(x) − g(x∗ )i g(x) C (1.11) chựng minh nh lỵ ny, ta cƯn bờ à sau Ơy Bờ à 1.2.8 (xem [12]) Náu C l mởt têp lỗi khỉng gian Hilbert thüc H th¼ x∗ ∈ H l nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (1.11) v ch x thọa mÂn phữỡng trẳnh g(x ) = PC [g(x∗ ) − ρ(A(x∗ ) − T (x∗ ))], (1.12) â ρ > l h¬ng số, PC l php chiáu mảtric chiáu H lản C Chùng minh Theo Bê · 1.2.8, nghi»m x∗ cõa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (1.11) cõ th ữủc mổ tÊ bi phữỡng trẳnh im bĐt ởng (1.12) Do õ, tứ (1.12) v (1.6), sỷ dửng tẵnh chĐt khổng giÂn cừa Ănh xÔ PC ta nhên ữủc k xk+1 − x∗ k =k xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ )) + PC [g(xk ) − ρ(A(xk ) − T (x∗ ))] − PC [g(x∗ ) − ρ(A(x∗ ) − T (x∗ ))] k 18 hay k xk+1 − x∗ k ≤ xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ )) + kPC [g(xk ) − ρ(A(xk ) − T (x∗ ))] − PC [g(x∗ ) − ρ(A(x∗ ) − T (x∗ ))]k ≤ k xk − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ )) k + k xk − x∗ − ρ(A(xk ) − A(x∗ )) + ρ(T (xk ) − T (x∗ )) k (1.13) Vẳ A l Ănh xÔ ỡn iằu mÔnh v g l Ănh xÔ liản tửc Lipschitz nản k x − x∗ − (g(xk ) − g(x∗ ))
2 ≤ (1 − 2δ + σ ) xk − x∗ (1.14) v k x − x∗ − ρ(A(xk ) − A(x∗ ))
2 ≤ (1 − 2ρα + ρ2 β ) xk − x∗ (1.15) Tứ (1.13), (1.14), (1.15) v Ăp dửng tẵnh liản tửc Lipschitz cõa T , ta ÷đc p p k+1 ∗ x − x ≤ {(2 − 2δ + σ ) + ργ + − 2αρ + ρ2 β } xk − x∗ = {k + ργ + t(p)} xk − x∗ = θ xk − x∗ , â p k = − 2δ + σ , p t(ρ) = − 2αρ + ρ2 β , v θ = k + ργ + t(ρ) Gi¡ trà cüc tiºu cõa t(ρ) l ρ¯ = α/β vỵi t(ρ) = p − α2 /β Ta s³ ch¿ θ < Thªt vªy, cho ρ = ρ¯, k + ργ + t(¯ ρ) < k²o theo q k < v α > γ(1 − k) + (β − γ )k(2 − k) Do â, θ = k + ργ + t(ρ) < vỵi måi ρ vỵi p 2 α + γ(k − 1)) ρ − < α + γ(k − 1) − (β − γ )k(2 − k)) , β2 − γ2 β2 − γ2 k γ(1 − k) + q (β − γ )k(2 − k) v γ(1 − k) < α Bi vẳ < nản bi toĂn im bĐt ëng câ mët nghi»m nh§t x∗ v â, dÂy lp xn+1 thu ữủc hởi tử án x l nghiằm chẵnh xĂc cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ban Ưu Chú ỵ 1.2.9 Ta cõ cĂc trữớng hủp c biằt sau Ơy: Náu g(x) = x C thẳ bi toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tẳm phƯn tỷ x C cho hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ hT (x∗ ), x − x∗ i ∀x ∈ C (1.16) N¸u T (x) = thẳ bi toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tẳm phƯn tỷ x C cho g(x∗ ) ∈ C v thäa m¢n hA(x∗ ), g(x) − g(x∗ )i ≥ ∀g(x) ∈ C (1.17) N¸u T (x) = v g = I , Ănh xÔ ỡn v khổng gian Hilbert thỹc H , thẳ bi toĂn (1.11) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tẳm phƯn tỷ x C cho hA(x ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1.18) Ơy chẵnh l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn (1.2) vợi Ănh xÔ giĂ F ữủc thay bi A Nhên xt 1.2.10 (xem [12]) Náu g = I , Ănh xÔ ỗng nhĐt Trong trữớng hủp ny k = v (1.6) trð th nh F (x) = PC [x − ρ(Ax − T (x))], v θ = ργ + t(p) < vỵi < ρ < 2(α − γ)/(β − γ ), ργ < v < Do õ, Ănh xÔ F (x) câ mët iºm b§t ëng, l nghi»m cõa b i toĂn (1.16) Náu g = I , Ănh xÔ ỗng nhĐt v T (x) = Trong trữớng hủp n y, k = 0, γ = v (1.6) trð th nh F (x) = PC [x − ρAx],