ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 Tai ngay!!! Ban co the x[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2017 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Người viết luận văn Vũ Thị Hải Phượng Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, giáo sư, tiến sĩ khoa học Viện Toán học Việt Nam Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Trong suốt trình làm luận văn, thầy dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn, thầy ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học học viên lớp Cao học khóa K23 tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cảm ơn người thân bạn bè giúp đỡ, động viên, ủng hộ để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2017 Người viết luận văn Vũ Thị Hải Phượng iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Bất đẳng thức biến phân 1.3 Toán tử đơn điệu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 11 1.4 Tốn tử chiếu tính chất 13 1.5 Phép chiếu metric tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 20 1.6 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với bất đẳng thức biến phân 1.7 Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân Một số phương pháp chiếu cải biên 24 26 29 iv 2.1 Phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân 29 2.2 Phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên 31 2.3 Phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân khơng có hệ số ưu tiên Tài liệu tham khảo 36 42 Mở đầu Ngày nay, toán tối ưu bất đẳng thức biến phân toán cân trở thành công cụ để giải nhiều vấn đề thực tế Các toán toán lý thuyết tối ưu vấn đề liên quan Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời từ năm 1960 Năm 1972, Ky Fan năm 1978 Browder – Minty phát biểu toán bất đẳng thức biến phân cách tổng quát chứng minh tồn nghiệm với giả thiết khác Kết Ky Fan nặng tính nửa liên tục trên, cịn kết Browder – Minty nặng tính đơn điệu hàm số Đầu tiên người ta nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều vào Sau mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón, tạo quan hệ phần khơng gian Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển nhu cầu phát triển toán học lĩnh vực khác Từ người ta tìm cách phát biểu toán liên quan đến ánh xạ đa trị chứng minh kết quen biết từ đơn trị sang đa trị Khái niệm giả đơn điệu giới thiệu Karamardian S [5], tổng quát quan trọng toán tử đơn điệu Trong báo này, tác giả hàm giả lồi ánh xạ gradient giả đơn điệu Từ đó, Karamardian S Schaible S [6] đưa số khái niệm đơn điệu tổng quát đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh tựa đơn điệu Tác giả thiết lập mối quan hệ đơn điệu tổng quát toán tử với khái niệm hàm lồi tổng quát Bất đẳng thức biến phân đơn điệu sử dụng để nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic parabolic, nghiên cứu toán tối ưu toán cân Chúng cho phép xây dựng thuật toán hội tụ tới lời giải toán Cho tới bất đẳng thức biến phân đơn điệu chủ đề quan tâm nhiều nhà nghiên cứu toán học Phương pháp tìm nghiệm khác đề xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: Phương pháp chiếu metric, phương pháp hiệu chỉnh TiKhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient kéo dài Trong năm gần tồn nghiệm thuật tốn tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu tựa đơn điệu nghiên cứu nhiều tài liệu Người ta tìm thuật toán để giải toán nhiều trường hợp đặc biệt Một số phương pháp chiếu cải biên phương pháp nghiên cứu để giải tốn bất đẳng thức biến phân Với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, gợi ý, giúp đỡ tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân” làm luận văn thạc sĩ Luận văn giới thiệu số phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân: Cho H không gian Hilbert, C tập khác rỗng H , ánh xạ T : C → H Bài tốn: Tìm vectơ x∗ ∈ C cho hT (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, với x ∈ C, gọi bất đẳng thức biến phân Bài tốn đóng vai trị quan trọng lý truyết phương trình tốn tử phương trình vi phân, lĩnh vực khác khoa học Việc xét tồn nghiệm việc tìm thuật tốn để giải nghiệm toán bất đẳng thức biến phân số phương pháp chiếu cải biên vấn đề quan trọng, nhà toán học quan tâm nghiên cứu sâu rộng Để làm điều này, nghiên cứu phạm vi ứng dụng số phương pháp chiếu cải biên tìm hiểu ứng dụng phương pháp, cụ thể thuật toán chiếu cải biên với hệ số ưu tiên thuật tốn chiếu cải biên khơng có hệ số ưu tiên Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân , tồn nghiệm Sau đó, tìm mối liên hệ toán với tốn khác Mục đích luận văn giới thiệu số phương pháp giải toán trên, qua việc sử dụng tính chất phép chiếu Luận văn tổng quan việc giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu cải biên Cụ thể, ta xây dựng dãy lặp qua toán tử chiếu hội tụ nghiệm toán Cấu trúc luận văn gồm chương Chương luận văn dành để nhắc lại số kiến thức chuẩn bị: Không gian Hilbert; Phát biểu bái toán bất đẳng thức biến phân; Toán tử đơn điệu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân; Toán tử chiếu; Phép chiếu metric; Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov; Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân Chương giới thiệu số phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân Mục chương giới thiệu phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên, mục chương giới thiệu phương pháp chiếu cải biên giải tốn bất đẳng thức biến phân khơng có hệ số ưu tiên 29 Chương Một số phương pháp chiếu cải biên Trong chương này, ta trình bày số phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân Việc đánh giá sai số xét hội tụ mạnh cho dãy lặp nghiên cứu thông qua phương pháp: độ dài bước chọn cách ngẫu nhiên từ khoảng đóng khơng đổi cho độ dài bước hình thành dãy không khả tổng giảm dần số thực dương Nội dung chương dựa vào tài liệu [7] 2.1 Phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân Xét toán V I(C, T ) đưa toán bất đẳng thức biến phân nêu với giả thiết C ⊂ H tập lồi, đóng khác rỗng Khi đó, phương pháp chiếu cải biên dùng để giải tốn V I(C, T ) mơ tả sau: Thuật toán 2.1 Giả thiết: x0 ∈ C {λk } ⊂ (0, +∞) Bước 0: Cho k = Bước 1: Nếu xk = PC (xk − λk T (xk )) dừng lại 30 Bước 2: Tính xk+1 = PC (xk − λk T (xk )), thay k k + 1, quay lại bước Khi việc tính tốn dừng lại bước k, ta đặt xk = xk với k ≥ k+1 Từ độ dài bước dãy cho {λk } ⊂ (0, +∞) Thuật toán 1.2 đưa cho điểm ban đầu x0 ∈ C dãy lặp {xk } Định lý trình bày sử dụng xuyên suốt nội dung Định lý 2.1 Cho T giả đơn điệu mạnh C với hệ số γ liên tục Lipshitz C với hệ số L Cho {xk } dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu x∗ nghiệm V I(C, T ), [1 + λk (2γ − λk L2 )] ||xk+1 − x∗ ||2 ≤ ||xk+1 − x∗ ||2 , ∀k ∈ N (2.1) Chứng minh Từ xk+1 = PC (xk − λT (xk )), theo Định lí 1.8 ta có hxk − λk T (xk ) − xk+1 , x − xk+1 i ≤ 0, ∀x ∈ C Thay x = x∗ ∈ C vào ta thu bất đẳng thức sau: hxk − λk T (xk ) − xk+1 , x∗ − xk+1 i ≤ 0, 2hxk − xk+1 , x∗ − xk+1 i ≤ 2λhT (xk ), x∗ − xk+1 i (2.2) Do x∗ ∈ Sol(C, T ), với x ∈ C có hT (x∗ ), x − x∗ ≥ 0i Do đó, từ tính chất giả đơn điệu mạnh T ta có hT (x), x − x∗ i ≥ γ||x − x∗ ||2 , với x ∈ C Từ đó, theo Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz tính liên 31 tục Lipshitz T 2λk hT (xk ), x∗ − xk+1 i = 2λk hT (xk ) − T (xk+1 ), x∗ − xk+1 i − 2λk hT (xk+1 ), xk+1 − x∗ i ≤ 2λk ||T (xk ) − T (xk+1 )|| ||xk+1 − x∗ || − 2λk γ||xk+1 − x∗ ||2 ≤ 2λk L||xk − xk+1 || ||xk+1 − x∗ || − 2λk γ||xk+1 − x∗ ||2 Kết hợp với bất đẳng thức 2λk L||xk − xk+1 || ||xk+1 − x∗ || ≤ ||xk − xk+1 ||2 + (λk L)2 ||xk+1 − x∗ ||2 , ta thu 2λk hT (xk ), x∗ − xk+1 i ≤ −2λk γ||xk+1 − x∗ ||2 + ||xk − xk+1 ||2 (2.3) + (λk L)2 ||xk+1 − x∗ ||2 Trong phép cộng, dễ có 2hxk − xk+1 , x∗ − xk+1 i = ||xk − xk+1 ||2 + ||xk+1 − x∗ ||2 − ||xk − x∗ ||2 (2.4) Kết hợp (2.2) với (2.3) (2.4) ta có ||xk − xk+1 ||2 + ||xk+1 − x∗ ||2 − ||xk − x∗ ||2 ≤ −2λk γ||xk+1 − x∗ ||2 + ||xk − xk+1 ||2 + (λk L)2 ||xk+1 − x∗ ||2 Theo trên, ta có (2.1) 2.2 Phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên Cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu hội tụ tuyến tính, với điều kiện tốn cho có nghiệm Biết rằng: Nếu giả sử dãy số 32 {xk } hội tụ λ dãy hội tụ tuyến tính lim k |xk+1 − λ| = µ, |xk − λ| với < µ < Số µ gọi tốc độ hội tụ Ta chứng minh dãy lặp sinh Thuật toán 2.1 cho toán Định lý 2.2 Cho T giả đơn điệu mạnh C với hệ số γ liên tục Lipshitz C với hệ số L Giả sử < a ≤ λk ≤ b < 2γ L2 , ∀k ∈ N, (2.5) a, b số dương Cho {xk } dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu x∗ nghiệm V I(C, T ), dãy {xk } hội tụ tuyến tính tới x∗ Mặt khác, ưu tiên đánh giá sai số sau: ||x k+1 µk+1 ||x − x0 ||, − x || ≤ 1−µ ∗ (2.6) ||xk+1 − x∗ || ≤ µ ||xk+1 − xk ||, 1−µ (2.7) cố định với k ∈ N Ở µ := p ∈ (0, 1) + a(2γ − bL2 ) (2.8) Chứng minh Từ (2.5) [1 + λk (2γ − λk L2 )] ≥ [1 + a(2γ − bL2 )] > 1, với k ∈ N Theo (2.1) từ bất đẳng thức [1 + a(2γ − bL2 )] ||xk+1 − x∗ ||2 ≤ ||xk − x∗ ||2 , ∀k ∈ N Nên ||xk+1 − x∗ || ≤ µ||xk − x∗ ||∀k ∈ N, (2.9) 33 với µ xác định (2.8) Ta có µ ∈ (0, 1) Tính chất (2.9) chứng tỏ {xk } tuyến tính hội tụ tới x∗ Ta chứng minh (2.6) (2.7) Từ (2.9) ta có ||xk+1 − x∗ || ≤ µ||xk − x∗ || ≤ µ2 ||xk−1 − x∗ || ≤ ≤ µk+1 ||x0 − x∗ || Do ||xk − x∗ || ≤ ||xk − xk+1 || + ||xk+1 − x∗ || ≤ ||xk − xk+1 || + µ||xk − x∗ ||, ||xk − xk+1 || với k ∈ N Vì Ta có ||xk − x∗ || ≤ 1−µ µk+1 ||x − x || ≤ µ ||x − x || ≤ ||x − x1 ||, 1−µ µ ||xk+1 − x∗ || ≤ µ||xk − x∗ || ≤ ||xk − xk+1 || 1−µ k+1 ∗ k+1 ∗ Chú ý 2.1 Khi a = b = λ, độ dài bước khơng đổi, phương pháp chiếu cải biên biến thành phương pháp chiếu sở µ (2.8) trở thành µ= p (2.10) + λ(2γ − λL2 ) 2γ Để thỏa mãn (2.5), ta có λ ∈ 0, Đánh giá (2.6) (2.7) chặt chẽ L 2γ µ cực tiểu Xét µ (2.10) hàm λ ∈ 0, , ta L L γ tìm giá trị cực tiểu µ∗ = p µ đạt λ = λ∗ := L L2 + γ Đặc biệt, Giá trị µ (2.8) coi hàm µ = µ(a, b) biến (a, b) thuộc miền 2γ (a, b) ∈ R : < a ≤ b < L Đặt b = ta với t ∈ [1, +∞) không đổi, dễ dàng nhận thấy hàm γ µ(a, b) = µ(a, ta) đạt giá trị cực tiểu r a = tL γ2 1+ tL 34 Từ r 1+ γ2 tL2 L : ≤ t < +∞ = p , + γ2 L ta kết luận 2γ µ(a, b) : < a ≤ b < L L L2 + γ L Hơn nữa, Bởi vậy, giá trị tốt cho µ (2.8) µ∗ = p + γ2 L γ γ , đạt cặp (a∗ , b∗ ) (a∗ , b∗ ) := L2 L2 Chú ý 2.2 Sự đánh giá sai số Định lí 1.8 thuận tiện việc =p áp dụng Thuật toán 2.1 vào bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Cụ thể, (2.6) cho phép ta đánh giá số bước lặp cần để đạt cách µk+1 xác Cụ thể là, cho ε > 0, ||x − x0 || ≤ ε theo 1−µ (2.6) ta có ||xk+1 − x∗ || ≤ ε Hệ 2.1 Trong cách ký hiệu Định lí 2.2, T đơn điệu mạnh liên tục Lipshitz C, dãy {xk } sinh Thuật toán 2.1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm V I(C, T ) đánh giá sai số (2.6) (2.7) thỏa mãn Chứng minh Từ giả thiết V I(C, T ) có nghiệm ([4] phần chứng minh) Ta áp dụng Định lí 2.2 cho lớp tốn bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh vô hạn chiều ví dụ 2.1 Ví dụ 2.1 Cho khơng gian Hilbert H = `2 gồm phần tử dãy bình phương khả tổng, nghĩa ( H= x = (x1 , x2 , , xi , ) : ∞ X i=1 ) |xi |2 < +∞ 35 Tích chuẩn H xác định hx, yi = ∞ X xi yi ||x|| = ∞ X i=1 !1/2 xi , i=1 với x = (x1 , x2 , , xi , ) y = (y1 , y2 , , yi , ) H Cho α, β ∈ R thỏa mãn β > α > β > định nghĩa Cα = {x ∈ H : ||x|| ≤ α}, Tβ = (β − ||x||)x, α β vai trò tham số Ta thấy Sol(C0 , Tβ ) = {0} Toán tử Tβ vừa liên tục Lipshitz vừa giả đơn điệu Cα Thật vậy, với x, y ∈ Cα , ta có ||Tβ (x) − Tβ (y)|| = ||(β − ||x||)x − (β − ||y||)y|| = ||β(x − y) − ||x||(x − y) − (||x|| − ||y||)y|| ≤ β||x − y|| + ||x|| ||x − y|| + | ||x|| − ||y|| | ||y|| ≤ β||x − y|| + α||x − y|| + ||x − y||α = (β + 2α) ||x − y|| Tức Tβ liên tục Lipshitz Cα với hệ số L := β + 2α Giả sử x, y ∈ Cα cho hTβ (x), y −xi ≥ Từ ||x|| ≤ α < β, ta có hx, y −xi ≥ Nhận thấy hTβ (y), y − xi = (β − ||y||)hy, y − xi ≥ (β − ||y||)(hy, y − xi − hx, y − xi) ≥ (β − α)||x − y||2 Vì vậy, Tβ giả đơn điệu mạnh Cα với hệ số γ := β − α Chọn x0 ∈ Cα đặt λk = λ với k ∈ N, 2(β − α) 2γ , λ ∈ 0, = 0, L (β + 2α)2 xem lấy cách tùy ý Từ Định lí 2.2 suy dãy {xk } sinh Thuật tốn 2.1 tuyến tính hội tụ tới 0, với nghiệm 36 toán V I(Cα , Tβ ) Hơn nữa, nhìn vào (2.6) (2.7), k+1 ||x µk+1 x1 − x0 ||xk+1 − 0|| ≤ µ xk+1 − xk − 0|| ≤ 1−µ 1−µ với k ∈ N, µ=p + λ[2(β − α)λ(β + 2α)2 ] Theo Chú ý 2.1, giá trị cực tiểu µ tính µ∗ = p đạt λ = λ∗ = 2.3 β + 2α , (β + 2α)2 + (β − α)2 β−α (β + 2α)2 Phương pháp chiếu cải biên giải tốn bất đẳng thức biến phân khơng có hệ số ưu tiên Mục dùng cho phép chiếu cải biên khơng có hệ số ưu tiên Ta có Định lý 2.3 Cho T giả đơn điệu mạnh C với hệ số γ liên tục Lipshitz C với hệ số L Giả sử {λk } dãy vô hướng dương với ∞ X k=0 λk = +∞, lim λk = k→∞ (2.11) Cho {xk } dãy sinh Thuật toán 2.1 Nếu V I(C, T ) có nghiệm x∗ , dãy {xk } hội tụ theo chuẩn tới x∗ Hơn nữa, tồn số k0 ∈ N cho với k ≥ k0 thỏa mãn λk (2γ − λk L2 ) ≥ 0, k x − x∗ ||xk+1 − x∗ || ≤ qQ k i=k0 [1 + λi (2γ − λi L )] (2.12) Chứng minh Với λk → 0, tồn k0 ∈ N cho λk L2 < λ với k ≥ k0 Do λk (2γ − λk L2 ) > λk (2γ − γ) = γλk > 0, 37 với k ≥ k0 Theo (2.1) suy k x − x∗ + λk (2γ − λk L2 ) k−1 1 ∗ x ≤ − x [1 + λk (2γ − λk L2 )] [1 + λk−1 (2γ − λk−1 L2 )] ||xk+1 − x∗ ||2 ≤ ≤ Qk i=k0 [1 k x − x∗ + λi (2γ − λi L2 ) Từ ta có (2.12) Tiếp theo, ta cần chứng minh {xk } hội tụ chuẩn tới x∗ Với k0 ∈ N, đặt αk = λk (2γ − λk L2 ), viết lại (2.12) sau ||xk+1 − x∗ || ≤ qQ k ||xk0 − x∗ || i=k0 [1 (2.13) + αi ] Từ αk = λk (2γ − λk L ) > γλk với k ≥ k0 , từ (2.11) ∞ X αk = +∞ k=k0 Do k Y i=k0 (1 + αi ) ≤ 1+ k X → 0, αi i=k0 k → ∞ Vậy, (2.13) đưa đến {xk } hội tụ chuẩn tới x∗ Chú ý 2.3 Tuy giả thiết Định lí 2.3 giống giả thiết dùng Định lí 2.2 khơng có kiến thức hệ số Lipshitz L môđun đơn điệu mạnh γ T yêu cầu Hệ 2.2 Với {λk } cho Định lí 2.3 Cho T đơn điệu mạnh C với hệ số liên tục Lipshitz C với hệ số L dãy {xk } sinh Thuật toán 2.1 hội tụ chuẩn tới nghiệm 38 V I(C, T ) tồn số k0 ∈ N cho (2.12) thỏa mãn với k ≥ k0 Chứng minh Theo giả thiết V I(C, T ) có nghiệm Vậy khẳng định suy từ việc ứng dụng Định lí 2.3 Ví dụ 2.2 Đặt C = R T (x) = x Ta thấy T liên tục Lipshitz, đơn điệu mạnh C, Sol(C, T ) = {0} Chọn x0 = ∈ K λ= Vì lim λk = k→∞ ∞ X , ∀k ∈ N (k + 2)2 (2.14) λk = +∞ nên hai điều kiện (2.5) (2.11) bị k=0 vi phạm Dãy lặp {xk } sinh Thuật toán 2.1 với x0 = cho xk+1 = PC (xk − λk T (xk )) = xk − λk xk = (1 − λk )xk Vì vậy, từ (2.14), x k+1 k k Y Y = (1 − λi ) = 1− i=0 i=0 (i + 2)2 , ∀k ∈ N Suy dãy {xk } dãy giảm bị chặn Do {xk } hội tụ Chú ý k+1 x = k Y i=0 1− (i + 2)2 = k Y (i + 1)(i + 3) i=0 (i + 2)2 = k+3 2(k + 2) Cho k → ∞, ta thu lim xk = Vậy {xk } không hội tụ tới nghiệm k→∞ V I(C, T ) ta xét Ta thấy rằng, Định lí 2.2 Định lí 2.3, điều kiện (2.5) (2.11) không bỏ qua Sau ta phải chứng minh dãy {xk } xét Định lí 2.3 khơng hội tụ tuyến tính tới nghiệm V I(C, T ) Hơn nữa, so sánh với trình lặp với điều kiện Định lí 2.2, tính lặp đưa 39 Định lí 2.3 có tốc độ hội tụ chậm Bên cạnh thuận lợi nói trên, phương pháp xét Định lí 2.3 có số hạn chế tốc độ hội tụ Ta phân tích điều kiện (2.5) (2.11) dùng để tách Định lí 2.2 Định lí 2.3 Ví dụ 2.3 Cho H, C cho giống Ví dụ 2.2 x0 ∈ R \ {0} Cho λk ⊂ (0, +∞) thỏa mãn (2.11) λk 6= với k ∈ R Cơng thức lặp Thuật tốn 2.1 trở thành xk+1 = PC (xk − λk T (xk )) = xk − λk xk = (1 − λk )xk Vì lim xk 6= với k ∈ N, ta có k→∞ ||xk+1 − 0|| = lim |1 − λk | = lim k→∞ k→∞ ||xk − 0|| Nên khơng thể tìm µ ∈ (0, 1) cho bất đẳng thức ||xk+1 − ≤ µ||xk − 0||, khơng đổi với k ∈ N Vậy {xk } khơng hội tụ tuyến tính tới nghiệm V I(C, T ) Ví dụ 2.4 Giả sử H, Cα , Tβ , u0 cho Ví dụ 2.1 cho λk = k+1 , ∀k ∈ N Nên (2.11) thỏa mãn, từ {xk } dãy sinh Thuật tốn 2.1 Theo Định lí 2.3, {xk } hội tụ tới 0, với nghiệm chuẩn 2 (β + 2α) V I(Cα , Tβ ) Đặt k0 = , λk (2γ − λk L2 ) > với k ≥ k0 2(β − α) Từ (2.3) ta có ||xk+1 −0|| ≤ s ||xk0 −0|| , ∀k ≥ k0 Qk 2(β − α) (β + 2α)2 − i=k0 + i+1 (i + 1)2 40 Chương trình bày xong với nội dung gồm số phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh cụ thể: phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân có hệ số ưu tiên phương pháp chiếu cải biên giải toán bất đẳng thức biến phân khơng có hệ số ưu tiên Trong phương pháp đầu tiên, độ dài bước chọn cách ngẫu nhiên từ khoảng đóng cố định Trong phương pháp thứ hai, độ dài bước hình thành dãy không khả tổng số thực dương Trong trường hợp thuận lợi khó khăn đưa 41 Kết luận chung Tóm lại, tốn bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng thực tế Do đó, việc tìm phương pháp giải nghiệm quan trọng Trong luận văn giới thiệu số phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân Nội dung trình bày luận văn bao gồm: Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân số toán liên quan Trình bày định nghĩa tính đơn điệu ánh xạ T, phát biểu chứng minh số định lí, mệnh đề điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Phát biểu định nghĩa phép chiếu metric trình bày tồn toán bất đẳng thức biến phân Trình bày số phương pháp chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh, chứng minh hội tụ, đánh giá sai số so sánh tốc độ hội tụ trình lặp cụ thể: phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên phương pháp chiếu cải biên giải bất đẳng thức biến phân khơng có hệ số ưu tiên 42 Tài liệu tham khảo [1] Bianchi M., Hadjisavvas N., Schaible S (2003),On pseudmonotone maps T for which - T is also pseudomonotone, Convex Analgsis, 10, 149-168 [2] Censor Y., Gabali A., Reich S (2011), The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hirbert spaces Optim J., Theory Appl., 148, 318-335 [3] Delnath L., Mikusinski P (2005), Hirbert Space with Application, Elsevier Academic Press Publications [4] Facchinei F., Pang J S (2003), Finite-dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer-Verlag, New York [5] Karamardian S (1976), Complementarity problems over cones with mono-tone and pseudomonotone maps, Optim J., Theory Appl., 18, 445-454 [6] Karamardian S., Schaible S (1990), Seven kind of monotone maps, Optim J., Theory Appl., 66, 37-46 [7] Khanh P D., Vuong P T (2014), Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities, Global Optim, 58, 341-350 [8] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York 43 [9] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [10] Tam N N., Yao J C., Yen N D (2008), Solution methods for pseudomonotone variational inequalities, Optim J., Theory Appl., 138, 253273 [11] Thanh H N (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities, Acta Math Vietnamica, 31, 283289