Phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM NGỌC ANH THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.2 Dưới vi phân 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 12 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị toán liên quan 12 1.3.2 Sự tồn nghiệm toán (M V I) 18 Phương pháp xấp xỉ với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm [1] 20 2.2 Thuật toán xấp xỉ hội tụ 23 Phương pháp xấp xỉ không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán hội tụ 33 3.2 Một số kết tính tốn cụ thể 39 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho toán (M V I) 4.1 41 Thuật toán kiểu điểm gần kề 41 4.1.1 41 Sơ phương pháp kiểu điểm gần kề Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 4.1.2 4.2 4.3 Thuật toán điểm gần kề 43 Thuật toán hội tụ 45 4.2.1 Thuật toán 45 4.2.2 Sự hội tụ thuật toán 47 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 51 Kết luận 55 Danh mục cơng trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn này, nhận hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng) Thầy ln động viên hướng dẫn tận tình cho tơi thời gian học tập, nghiên cứu làm luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Xin cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa cao học Tôi xin cảm ơn thầy, cô thuộc Bộ mơn Tốn - Tin, Phịng Đào tạo Quan hệ Quốc tế thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa (2008 - 2010) mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Xin cảm ơn bạn học viên cao học tốn khóa tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập rèn luyện trường Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9-2010 Người viết luận văn Dương Thị Bình Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài tốn bất đẳng thức biến phân cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán ứng dụng toán cân kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trị chơi, toán cân mạng, · · · Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian vơ hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An introduction to variational inequalities and their application" D.Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [8] sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problem" Baiocci Capelo xuất năm 1984 Từ đó, tốn bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khó khăn khơng phải trường hợp thực Vì nhà toán học nghiên cứu xây dựng nhiều thuật tốn vơ hạn để tìm nghiệm tốn này, nhiên việc tìm nghiệm xác khó thực Do người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ xác Những năm gần việc nghiên cứu giải tích đa trị phát triển mạnh, điều giúp cho nhà tốn học có nhìn rộng lớp tốn tối ưu, có tốn bất đẳng thức biến phân Vì việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị có bước phát triển Nhiều phương pháp đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · · Luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ giải tốn bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu viết báo Phạm Ngọc Anh " An interior proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] kết thuật toán điểm gần kề mở rộng cho toán bất đẳng thức biến phân đa trị [6] Ngồi lời nói đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương nhắc lại kiến thức giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz ánh xạ đa trị đơn điệu Phần tiếp theo, phát biểu toán bất đẳng thức biến phân đa trị, tốn liên quan số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm tốn Chương gồm hai phần chính: Phần thứ giới thiệu phương pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật tốn xấp xỉ giải toán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz chứng minh hội tụ thuật toán Chương đề xuất thuật toán giải toán (M V I) khơng có điều kiện Lipschitz Chương đưa thuật tốn xấp xỉ, có kết hợp hàm logarit tồn phương với kĩ thuật đường tìm kiếm Cuối chương trình bày số kết tính tốn cụ thể minh họa cho thuật toán chương chương Chương trình bày phương pháp để giải toán (M V I) kết tính tốn để minh họa thuật tốn đề xuất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm tính chất Trong luận văn này, làm việc không gian Euclid n chiều Rn Mỗi phần tử x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn véc tơ cột Rn Với hai véc tơ x = (x1 , x2 , · · · , xn )T ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn )T ∈ Rn hx, yi = n X xi yi i=1 gọi tích vơ hướng hai véc tơ x, y Chuẩn Euclid (hay độ dài) véc tơ x ∈ Rn , kí hiệu ||x|| xác định ||x|| = p hx, xi ¯ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Ta gọi R Sau ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, · · · 1.1.1 Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.1 [10] Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.2 [10] Một tập hợp giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện khúc lồi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 [10] Một tập C ⊆ Rn gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: (a) λC ⊆ C, ∀λ > (b) C + C ⊆ C Tập C ⊆ Rn giả thiết tập lồi (nếu khơng giải thích thêm) Định nghĩa 1.4 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngồi C x, kí hiệu NC (x), xác định công thức NC (x) := {w ∈ Rn | hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ¯ Khi đó, miền hữu hiệu f , kí hiệu Định nghĩa 1.5 Cho ánh xạ f : C → R domf , xác định domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} Hàm f gọi thường domf 6= ∅, f (x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.6 [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, hàm f gọi (i) lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] (ii) lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1) (iii) lồi mạnh với hệ số β > C với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1 [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi tập lồi C Khi đó, với x, y ∈ C, ta có f (y) − f (x) ≥ h∇f (x), y − xi (ii) Nếu f lồi chặt, khả vi tập lồi C với x, y ∈ C x 6= y, ta có f (y) − f (x) > h∇f (x), y − xi (iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi tập lồi C f (y) − f (x) ≥ h∇f (x), y − xi + β||y − x||2 , 1.1.2 ∀x, y ∈ C Dưới vi phân ¯ hàm lồi C ⊆ Rn Ta có định nghĩa vi phân hàm Giả sử f : C → R lồi sau Định nghĩa 1.7 Véc tơ w ∈ Rn gọi gradient f x0 ∈ C hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C Tập tất gradient hàm f x0 gọi vi phân f x0 , kí hiệu ∂f (x0 ), tức ∂f (x0 ) := {w ∈ Rn : hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C} Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) 6= ∅ Ví dụ 1.1 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn Xét hàm tập C  x ∈ C, δC (x) := +∞ x ∈ / C Khi ∂δC (x0 ) = NC (x0 ), ∀x0 ∈ C Thật vậy, x0 ∈ C δC (x0 ) = ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : δC (x) ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ C} Hay ∂δC (x0 ) = {w ∈ Rn : ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ C} = NC (x0 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 (Hàm lồi dương) [10] Cho f : Rn → R hàm lồi dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → R thỏa mãn f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn Khi ∂f (x0 ) = {w ∈ Rn |hw, x0 i = f (x0 ), hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C} Chứng minh Nếu w ∈ ∂f (x0 ) hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C (1.1) Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có hw, x0 i ≤ f (2x0 ) − f (x0 ) = f (x0 ) (1.2) Còn thay x = vào (1.1), ta −hw, x0 i ≤ −f (x0 ) (1.3) Kết hợp (1.2) (1.3), suy hw, x0 i = f (x0 ) Hơn hw, x − x0 i = hw, xi − hw, x0 i = hw, xi − f (x0 ) Do hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C Ngược lại, x0 ∈ Rn thỏa mãn hw, x0 i = f (x0 ) hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C hw, x − x0 i = hw, xi − hw, x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Thuật toán 4.1 Bước Chọn dãy số dương {ck } thoả mãn ck > c > với k = 0, 1, , tìm u0 ∈ C Bước k(k = 0, 1, ) Xây dựng điểm uk+1 thông qua công thức uk+1 := Pk (uk ) = (I + ck T )−1 (uk ) Trong trường hợp đặc biệt thuật toán, ck = c > ∀k = 0, 1, ánh xạ đơn điệu cực đại T xác định định lí 4.1 với C tập bị chặn, Martinet dãy điểm {uk } hội tụ tới điểm u∗ cho ∈ T (u∗ ) Hay nói cách khác, u∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu cực đại (M V I) Xét thuật toán trường hợp ck > c > C tập lồi, đóng khác rỗng, Rockafellar dãy điểm uk hội tụ yếu tới u∗ cho ∈ T (u∗ ) Trong trường hợp tổng quát, điều khó thực thuật tốn 4.1 việc tính tốn xác điểm uk+1 = Pk (uk ) Thuật toán thay cách tính xác điểm uk+1 cách tính xấp xỉ với sai số k mà thuật toán đảm bảo hội tụ Thuật toán 4.2 Bước Chọn dãy số dương {ck } : ck > c > k > với ∞ P k < +∞, tìm w0 ∈ C k = 0, 1, cho k=1 Bước k (k = 0, 1, ) Chọn điểm wk+1 thoả mãn ||wk+1 − xk+1 || ≤ k+1 , với xk+1 := Pk (wk ) = (I + ck T )−1 (wk ) Nhận xét 4.1 Nếu ta thay điều kiện ∞ P k < +∞ điều kiện k → k=0 thuật tốn không hội tụ Chẳng hạn lấy hàm f : R → R, với  −x x < 0, f (x) = x ≥ 0, dãy {k := k2 } với k = 1, 2, có tổng P∞ k=1 k = +∞ k → k → ∞ Ta có ánh xạ vi phân f xác định  x < 0, −1 ∂f (x) = [−1, 0] x = 0,  x > Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Khi đó, Pk (z) = z hay ∈ T (z) z ≥ Ta chọn dãy {z k } cho 1 Pk (z k ) = z k , ||z k+1 − z k || = k = ∀k = 1, 2, , z k+1 > z k k Ta tính tốn n z =z + n−1 X k=1 k Như vậy, dãy {z k } không hội tụ Sự hội tụ thuật toán điểm gần kề phát biểu qua định lí sau Định lí 4.3 Cho T : H → H ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, T có khơng điểm dãy điểm {wk } hội tụ yếu tới w∗ cho ∈ T (w∗ ) Nếu T khơng có khơng điểm, dãy {wk } khơng bị chặn 4.2 Thuật toán hội tụ 4.2.1 Thuật toán Ta nhắc lại thuật toán điểm gần kề (P P A) cho toán (M V I) sau: [7] Cho trước xk ∈ C, bước lặp xk+1 sinh (P P A) nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân phụ: Tìm x ∈ C, w ∈ F (x) : hw + M (x − xk ), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C, (4.2) M ma trận đối xứng, xác định dương M (x − xk ) gọi hàm xấp xỉ (P P A) Hàm xấp xỉ tuyến tính gradient hàm toàn phương, cụ thể hàm M (x − xk ) = ∇( ||x − xk ||2M ) Gần đây, số tác giả tập trung nghiên cứu dạng tổng quát (P P A) cách thay hàm tuyến tính M (x − xk ) hàm phi tuyến d(x, xk ), bắt nguồn từ hàm xấp xỉ Bregman Trong chương này, ta xét phương pháp (P P A) giải toán (M V I) với M ma trận xác định dương không cần đối xứng F ánh xạ đa trị khơng cần giả thiết Lipschitz C Kí hiệu S ∗ tập nghiệm (M V I), ta giả sử (M V I) ln có nghiệm (x∗ , w∗ ), nghĩa S ∗ 6= ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Định nghĩa 4.1 Ma trận Mn×n gọi xác định dương, tồn τ > cho hM x, xi ≥ τ k x k2 , ∀x ∈ Rn (4.3) Trong toàn chương này, ta giả sử ánh xạ F đơn điệu nửa liên tục trên C, F (x) tập lồi, đóng với x ∈ C Thuật toán 4.3 [6] Bước Cho trước ma trận xác định dương M cỡ n × n, ε > 0, x0 ∈ C, w0 ∈ F (x0 ) Cho k := Bước Tìm điểm gần kề (¯ xk , wk ) nghiệm tốn phụ (M V Ik ): Tìm x¯ ∈ C, w¯ ∈ F (¯ x) : hw¯ + M (¯ x − xk ), y − x¯i ≥ 0, ∀y ∈ C (4.4) Nếu k xk − x¯k k≤ ε, dừng thuật tốn Ngược lại, chuyển sang bước Bước Tính xk+1 = xk − αk M (xk − x¯k ) (4.5) với αk∗ = hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i , k M (xk − x¯k ) k2 αk = γαk∗ , γ ∈ [1, 2) (4.6) Đặt k := k + trở lại bước Nhận xét 4.2 Bài toán phụ (4.4) bước tương tự toán phụ (4.2) (P P A), khác ma trận M (4.4) xác định dương không cần đối xứng Do vậy, phương pháp đề xuất dạng tổng quát (P P A)- phương pháp sở với hàm xấp xỉ tuyến tính Nhận xét 4.3 Khi xét lời giải toán (4.4) ta thấy việc tính tốn thêm cho bước lặp xk+1 thơng qua (4.5) − (4.6) đơn giản Nghiệm toán (4.4), x¯k điểm gần kề bước lặp thứ k Nó xem véc tơ kiểm tra, nghiệm tốn (M V I) xk = x¯k Thực tế ta cố định ma trận M , k xk − x¯k k xem hàm sai số bị chặn, nghĩa là, hàm tính xem có nhiêu điểm x¯k khơng nghiệm (M V I) Do đó, ta có mệnh đề sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Mệnh đề 4.3 Trong bước thuật tốn 4.3, k xk − x¯k k≤ ε xk nghiệm toán (M V I), với sai số ε Bổ đề sau cho ta số tính chất quan trọng phép chiếu sử dụng phần Bổ đề 4.1 Với x, y ∈ Rn , ánh xạ PC thỏa mãn 4.2.2 hPC (x) − x, y − PC (x)i ≥ 0, ∀y ∈ C (4.7) k PC (x) − y k2 ≤k x − y k2 − k x − PC (x) k2 , ∀y ∈ C (4.8) Sự hội tụ thuật toán Như biết, với x∗ ∈ S ∗ , (xk −x∗ ) gradient hàm khoảng cách k x−x∗ k2 k ∗ ∗ điểm x 6∈ S Một hướng d gọi hướng giảm k x − x k điểm xk hxk − x∗ , di < Trong phần −M (xk − x¯k ) hướng giảm hàm khoảng cách k x − x∗ k2 điểm xk Bổ đề 4.2 Cho x¯k điểm gần kề sinh (4.4) từ xk ∈ C cho trước Khi đó, với x∗ ∈ S ∗ , ta có hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i ≥ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Chứng minh (4.9) Vì x¯k ∈ C nghiệm (4.4) nên hw¯ k + M (¯ xk − xk ), y − x¯k i ≥ 0, ∀y ∈ C Thay y x∗ ∈ C vào bất đẳng thức trên, ta hw¯ k + M (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ 0, ∀y ∈ C (4.10) Mặt khác, x∗ ∈ S ∗ , w∗ ∈ F (x∗ ), x¯k ∈ C suy hw∗ , x¯k − x∗ i ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∀y ∈ C http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.11) 48 Kết hợp (4.10) (4.11) ta hM (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ hw¯ k − w∗ , x¯k − x∗ i, sử dụng tính đơn điệu F suy hM (¯ xk − xk ), x∗ − x¯k i ≥ Do hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i ≥ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Do M ma trận xác định dương (4.3), ta có hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ k xk − x¯k k2 Khi đó, bổ đề 4.2 −M (xk − x¯k ) hướng giảm hàm điểm xk 6∈ S ∗ k x − x∗ k2 Nhận xét 4.4 Nếu ma trận M (4.4) đối xứng, từ (4.9), ta suy ra: k x¯k − x∗ k2M = k (xk − x∗ ) − (xk − x¯k ) k2M = k xk − x∗ k2M −2hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i+ k xk − x¯k k2M ≤ k xk − x∗ k2M − k xk − x¯k k2M Vì vậy, ta đặt trực tiếp xk+1 := x¯k bước lặp hội tụ suy từ bất đẳng thức Tuy nhiên, trường hợp M ma trận không đối xứng, khơng thể thiết lập tính hội tụ trực tiếp lấy xk+1 := x¯k bước lặp Trong phương pháp đề xuất, bước lặp xk+1 xác định (4.5) có mức độ tính tốn đơn giản Để giải thích ta có bước tối ưu αk∗ định nghĩa (4.6), thay tính theo cơng thức (4.5), ta xác định bước lặp sau: xk+1 = xk − αM (xk − x¯k ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.12) 49 Theo cách θ(α) :=k xk − x∗ k2 − k xk+1 (α) − x∗ k2 , (4.13) hàm lợi ích thu bước lặp thứ k cách sử dụng cơng thức dạng (4.12) Vì x∗ nghiệm tốn (M V I) nên ta khơng thể làm cực đại θ(α) cách trực tiếp Định lí sau cận θ(α), kí hiệu q(α), mà cận khơng chứa nghiệm x∗ Định lí 4.4 Với x∗ ∈ S ∗ α ≥ 0, ta có θ(α) ≥ q(α), (4.14) q(α) = 2αhM (xk − x¯k ), xk − x¯k i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 (4.15) Chứng minh Kết hợp (4.12), (4.13), (4.14) (4.15), ta có θ(α) = k xk − x∗ k2 − k (xk − x∗ ) − αM (xk − x¯k ) k2 =2hM (xk − x¯k ), xk − x∗ i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 ≥2hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i − α2 k M (xk − x¯k ) k2 =q(α) Định lí chứng minh Chú ý rằng, q(α) hàm bậc hai theo α đạt giá trị lớn điểm αk∗ = hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i , k M (xk − x¯k ) k2 Đây αk∗ định nghĩa (4.6) Bởi bất đẳng thức sử dụng chứng minh (4.14) nên q trình tính tốn ta cho γ ≥ để thuật toán hội tụ nhanh Chú ý rằng, với αk = γαk∗ từ (4.14), (4.15) (4.6), ta suy θ(γαk∗ ) ≥ q(γαk∗ ) = γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Để đảm bảo cho vế phải (4.16) dương ta lấy γ ∈ [1, 2) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (4.16) 50 Định lí quan hệ dãy {xk } sinh thuật tốn nghiệm tốn (M V I) Định lí 4.5 Với (x∗ , w∗ ) ∈ S ∗ , dãy {xk } sinh thuật toán 4.3 thỏa mãn k xk+1 − x∗ k2 ≤k xk − x∗ k2 −c0 k xk − x¯k k2 , (4.17) c0 > số Chứng minh Trước hết, ta suy từ (4.13) (4.16) k xk − x∗ k2 − k xk+1 − x∗ k2 ≥ γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i, (4.18) Vậy nên k xk+1 − x∗ k2 ≤k xk − x∗ k2 −γ(2 − γ)αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i Vì hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ k xk − x¯k k2 , (4.19) nên hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i k M (xk − x¯k ) k2 τ ≥ T kM M k αk∗ = Kết hợp với (4.19), ta αk∗ hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i ≥ τ2 k xk − x¯k k2 k MT M k (4.20) Thay bất đẳng thức vào (4.18) đặt c0 = γ(2 − γ)τ , k MT M k ta điều phải chứng minh Định lí hội tụ dãy {(xk , wk )} Định lí 4.6 Dãy {xk } {wk } sinh thuật toán 4.3 hội tụ tới x∞ w∞ nghiệm tốn (M V I) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Chứng minh Ta suy từ (4.17) rằng, dãy {k xk − x∗ k} không tăng bị chặn 0, nên phải hội tụ Do đó, dãy {xk } bị chặn Cũng từ (4.17) ta suy k xk − x¯k k= lim k→∞ Và {¯ xk } bị chặn Vậy nên theo tính chất nửa liên tục F , ta có xk } dãy {wk } bị chặn Theo định lí Weierstrass, tồn dãy {¯ xkj } {¯ xkj ), ta {wkj } {wk } cho x¯kj → x∞ wkj → w∞ Với x¯kj ∈ C, wkj ∈ F (¯ có hwkj + M (¯ xkj − xkj ), x − x¯kj i ≥ 0, ∀x ∈ C Vì F (x) đóng với x ∈ C lim j→∞ k xkj − x¯kj k= 0, nên ta có x∞ ∈ C, w∞ ∈ F (x∞ ) : hw∞ , x − x∞ i ≥ 0, ∀x ∈ C, (x∞ , w∞ ) nghiệm toán (M V I) Chú ý bất đẳng thức (4.17) với nghiệm (M V I), nên k xk+1 − x∞ k2 ≤k xk − x∞ k2 , ∀k ≥ 0, dãy {xk } hội tụ tới x∞ 4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) Trong mục này, ta kết hợp thuật toán 4.3 với nguyên lí ánh xạ co Banach để giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), hàm giá F đơn điệu, Lipschitz C Các toán phụ (V Ik ) toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh với vố ||M || Khi đó, tốn giải cách có hiệu thuật toán ánh xạ co Banach Với x ∈ C, k = 0, 1, 2, · · · , kí hiệu Fk (x) := F (x) + M (x − xk ) Thuật toán 4.4 Bước Cho trước ma trận xác định dương M cỡ n × n, ε > 0, x0 ∈ C, w0 ∈ F (x0 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Đặt k = Chọn β > L2 2kM k Bước Bước lặp thứ j, j = 0, 1, 2, · · · Chọn xk,0 = x0 , wk,0 ∈ Fk (xk,0 ) giải toán quy hoạch lồi mạnh xk,j := argmin{ β k x − xk,j k2 +hwk,j , x − xk,j i | x ∈ C} thu nghiệm xk,j+1 Nếu xk,j+1 = xk,j đặt x¯k := xk,j , wk := wk,j Ngược lại, chọn wk,j+1 ∈ Fk (xk,j+1 ), cho j := j + trở lại bước lặp j Nếu x¯k = xk dừng thuật tốn Ngược lại, chuyển sang bước Bước Tính xk+1 = xk − αk M (xk − x¯k ), (4.21) với αk∗ = hM (xk − x¯k ), xk − x¯k i , k M (xk − x¯k ) k2 αk = γαk∗ , γ ∈ [1, 2) (4.22) Đặt k := k + trở lại bước Sự hội tụ dãy {xk,j }∞ j=1 toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh (V Ik ) cho mệnh đề sau Mệnh đề 4.4 Giả sử F L-Lipschitz C Nếu thuật toán 4.4 dừng bước lặp j bước (xk , wk ) nghiệm (V Ik ) Hơn nữa, với (xk,∗ , wk,∗ ) nghiệm (V Ik ), ta có k xk,j − xk,∗ k≤ δj k xk,1 − xk,0 k − δj ∀j = 1, 2, · · · điểm tụ wk,∗ dãy {wk,j } thỏa mãn wk,∗ ∈ Fk (xk,∗ ), δ := q 1− 2β kM k + Mệnh đề 4.4 rằng, thuật toán 4.4 dừng bước Nghĩa là, xk,j nghiệm (V Ik ) Theo định lí 4.4, ta có kết hội tụ thuật tốn 4.4 Định lí 4.7 Dãy {xk } {wk } sinh thuật toán 4.4 hội tụ tới x∞ w∞ nghiệm toán (M V I) Bây ta minh họa thuật toán vừa nêu toán kinh tế bán độc quyền nêu chương Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L2 kM k2 53 Giả sử tập chiến lược C tập lồi đa diện chứa Rn cho n C := {x ∈ R | 13 ≤ n X xi ≤ 25, ≤ xi ≤ i = 1, 2, · · · , n} (4.23) i=1 Trước hết ta nhắc lại số kết Mệnh đề 4.5 Một điểm x∗ điểm cân toán kinh tế bán độc quyền nghiệm tốn (M V I), C tập lồi đa diện cho (4.23) F (x) = H(x) − p(σ)e − p (σ)x, 0 H(x) = (h1 (x1 ), · · · , hn (xn ))T , e = (1, · · · , 1)T , σ = hx, ei Mệnh đề 4.6 Cho p : C → R+ hàm lồi, khả vi liên tục cấp hai khơng tăng; hàm µτ : R+ → R+ định nghĩa µτ (σ) = σp(σ + τ ) hàm lõm với τ ≥ Ta cho hi : R+ → R i = 1, 2, · · · , n, hàm lồi khả vi liên tục cấp hai Khi đó, hàm chi phí F (x) = H(x) − p(σ)e − p (σ)x đơn điệu C Dễ thấy, hàm chi phí F Lipschitz C với số Lipschitz L < Trong ví dụ này, ta chọn (có thể chọn ngẫu nhiên) n := 7, H(x) = (2x1 + 1, 3x2 + 4, 4x3 + 2, 1.5x4 + 3, 4x5 + 1, x6 − 2, 3x7 + 1)T , p(t) := , t ∈ (0, +∞), 3t x := (1.9, 1, 1, 1, 1, 5, 1)T ∈ C, Sai số ε = 10−6 ,  0 0  M = 0 0  0 0 0  0 0 0 0 1 0 4  1.5 0 3  0 2  0 1.6 0 7×7 Khi đó, giá trị riêng ma trận M 2, 3, 1.5, 1.6, 3.4142, 0.5858, chuẩn L2 M k M k= 6.6248 β > ≈ 0.755 Nếu ta chọn β = δ ≈ 0.7209 2kM k Trong trường hợp này, ta bước lặp sau Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Bước lặp (k) 10 11 12 13 14 15 xk1 1.9 2.0475 2.0364 2.0558 2.0898 2.0813 2.0864 2.0903 2.0906 2.0920 2.0943 2.0933 2.0938 2.0940 2.0939 2.0940 xk2 1.0417 0.9797 1.0043 1.0170 0.9914 0.9997 1.0034 0.9983 1.0005 1.0017 0.9993 1.0000 1.0003 0.9998 1.0000 xk3 1.0246 0.9285 1.0409 0.9878 0.9858 1.0128 1.0072 0.9919 1.0036 0.9991 0.9982 1.0011 1.0003 0.9996 1.0003 xk4 1.6452 1.5003 1.5263 1.5089 1.4641 1.4741 1.4761 1.4641 1.4664 1.4648 1.4608 1.4617 1.4619 1.4608 1.4610 xk5 1.1338 1.0200 1.0573 1.0774 1.0368 1.0490 1.0543 1.0462 1.0493 1.0509 1.0472 1.0483 1.0487 1.0479 1.0482 xk6 5.0954 4.9796 5.0158 5.0317 4.9905 5.0025 5.0074 4.9989 5.0019 5.0029 4.9992 5.0003 5.0007 4.9998 5.0001 xk7 1.4095 1.3394 1.3717 1.4046 1.3784 1.3887 1.3948 1.3917 1.3946 1.3979 1.3955 1.3964 1.3970 1.3965 1.3968 Bảng (với n = 7,  = 10−6 , β = 1, δ ≈ 0.7209) Nghiệm xấp xỉ thu sau 15 bước x15 = (2.0940, 1.0000, 1.0003, 1.4610, 1.0482, 5.0001, 1.3968)T Kết luận chương Chương trình bày nội dung ánh xạ đơn điệu cực đại, thuật toán điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị Phương pháp dựa thuật toán điểm gần kề với M ma trận xác định dương không cần thiết phải đối xứng Đầu tiên, đề xuất thuật toán chứng minh hội tụ thuật toán Tiếp theo, kết hợp kỹ thuật với phương pháp lặp Banach để giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị Các kết tính tốn thực phần mềm Matlab 2008Ra cho thấy tính hiệu thuật tốn đề xuất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Kết luận Như trình bày trên, tốn bất đẳng thức biến phân có vai trò quan trọng để nghiên cứu giải tốn cân kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trị chơi, tốn cân mạng, · · · Bài toán bất đẳng thức biến phân có nhiều hướng nghiên cứu cách tiếp cận khác Luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ phương pháp kiểu điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị Nội dung trình bày luận văn bao gồm: • Nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân,· · · Đồng thời, trình bày khái niệm ánh xạ đa trị liên tục, Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff số ví dụ minh họa • Phát biểu tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), toán liên quan tồn nghiệm tốn • Trình bày phương phấp xấp xỉ giải tốn (M V I) giả đơn điệu, Lipschitz Phần kết hợp phương pháp với kỹ thuật tìm kiếm theo kiểu Armijo để giải tốn (M V I) mà khơng có điều kiện Lipschitz • Đề xuất thuật toán kiểu điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị (M V I), chứng minh hội tụ thuật toán trình bày ví dụ minh họa cho thuật tốn đề xuất Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Danh mục công trình có liên quan đến luận văn P N Anh, J K Kim, D T Binh and D H Phuc, Proximal Point Algorithm Using a Linear Proximal Function for nonLipschitzian Multivalued Variational Inequalities , Submitted 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1998 [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [3] Nguyễn Đông Yên, Giáo trình Giải tích đa trị, Nxb Khoa học Tự nhiên Công nghệ, 2007 Tiếng Anh [4] Anh P N., An Interior Proximal Method for Solving Pseudomonotone nonLipschitzian Multivalued Variational Inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42 [5] Anh P N., Muu L.D and Strodiot J J., Generalized Projection Method for NonLipschitz Multivalued Monotone Variational Inequalities, Acta Mathematica Vietnamica, 34 (2009), 67-79 [6] P N , Anh, J K Kim, D T Binh and D H Phuc , Proximal Point - Type Algorithm for Multivalued Variational Inequalities , Submitted, 2010 [7] B.S He, X.L Fu and Z.K Jiang , Proximal-point algorithm using a linear proximal, J Optim Theory Appl (2009) 141, 299-319 [8] D Kinderlehrer, G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications , Academic Press, 1980 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 [9] Konnov I V., Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, SpringerVerlag, Berlin (2000) [10] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, 1997 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn