Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

0 đại học thái nguyên trường đại học khoa học Phan Thế Nghĩa phương pháp lặp Banach cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN luận văn thạc sĩ toán học ứng dụng Thái Nguyên-2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học thái nguyên trường đại học khoa häc Phan ThÕ NghÜa phương pháp lặp Banach cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN Chuyên ngnh: Toán ứng dụng Mà số: 60.46.36 luận văn thạc sĩ toán học ứng dụng NGUờI HướNG DẫN KHOA HọC: TS PHạM NGọC ANH Thái Nguyên-2009 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Trang phụ bìa Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Lời nói đầu Chương Bài toán Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phát biểu toán ví dụ 10 1.3 Sự tồn nghiệm toán VI 18 Chương Phương pháp lặp Banach giải toán (VI) đơn điệu mạnh 2.1 Tính không giÃn ánh xạ nghiệm 23 2.2 Mô tả thuật toán hội tụ 27 Chương Phương pháp lặp Banach giải toán đồng 3.1 Tính không giÃn ánh xạ nghiệm 30 3.2 Mô tả thuật toán hội tụ 35 3.3 Kết tính toán thử nghiệm 3.3.1 Mô hình cân bán độc quyền 38 3.3.2 Kết tính toán thử nghiệm 43 Tài liệu tham khảo S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 44 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Phạm Ngọc Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng xêmina, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy cô trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô khoa Khoa học Cơ bản, Ban Chấp Hành Đoàn trường Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên đà đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian làm cao học Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học bạn bè đồng nghiệp gần xa đà trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Luận văn không hoàn thành thông cảm, giúp đỡ người thân gia đình tác giả Đây quà tinh thần, tác giả xin kính tặng gia đình thân yêu với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tác giả S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn || không gian Euclide x := y x x x định nghĩa y với x tồn x I AB AB ánh xạ đồng AB AB AìB A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tập convD bao lồi tËp argmin{f (x) AT xk → x VI n-chiỊu trÞ tuyệt đối số thực tập A tập thùc sù cđa tËp B tËp A lµ tËp cđa tËp B A vµ B D | x C} tập điểm cực tiểu hàm f C ma trận chuyển vị ma trận A dÃy {xk } hội tụ mạnh tới x toán bất đẳng thức biến phân S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi nói đầu Theo Harker Pang, toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampacchia Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài toán biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An introduction to variational inequalities and their application" cđa Kinderlehrer vµ Stampacchia xuất năm 1980 sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problems" cđa Baiocchi vµ Capelo xuất năm 1984 Năm 1979 Michael J Smith đưa toán cân mạng giao thông năm 1980 Defermos rằng: Điểm cần toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ toán bất đẳng thức biến phân phát triển trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi nhiều toán khác (xem [7]) Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với toán tối ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất vào năm 1964 luận án tiến sĩ Cottle, trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân (xem [5]) Gần đây, toán bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trò lý thuyết toán học ứng dụng thực tế (xem [5, 7]) Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thông thường phương pháp giải chia thành loại sau: Loại thứ phương pháp chuyển toán hệ phương trình dùng phương pháp thông dụng phương pháp Newton, phương pháp điểm để giải hệ phương trình Loại thứ hai phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu Điển hình phương pháp phương pháp gradient sau tổng quát Cohen thành nguyên S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn lý toán phụ (xem [5]), phương pháp điểm gần kề Rockafellar (xem [3]), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (xem [5]), Các phương pháp hiệu quả, dễ thực thi máy tính điều kiện hội tụ đảm bảo giả thiết khác tính chất đơn điệu Loại thứ ba phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn (xem [5]) Nội dung phương pháp chuyển toán bất đẳng thức biến phân cực tiểu hàm chắn sau sử dụng kỹ thuật tối ưu trơn không trơn để tìm cực tiểu hàm chắn Phương pháp giải toán với giả thiết nhẹ Tuy nhiên, tốc độ hội tụ thuật toán đề xuất chậm (xem [5]) Loại thứ tư phương pháp dựa cách tiếp cận điểm bất động Nội dung phương pháp chuyển toán bất đẳng thức biến phân tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm Luận văn trình bày phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân thông qua tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm viết báo "P N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), On the contraction and nonexpansiveness properties of the marginal mapping in generalized variational inequalities involving cocoercive operators, in: Generalized Convexity and Generalized Monotonicity and Applications Eds A Eberhard, N Hadjisavvas and D T Luc, Springer, pp 89-111" Ngoµi lêi nói đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương có tiêu đề "bài toán bất đẳng thức biến phân" Chương nhắc lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ, kiến thức liên quan ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân Chương gồm hai phần bản: Phần thứ trình bày mối quan hệ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ nghiệm Phần thứ hai ánh xạ nghiệm co hàm giá đơn điệu mạnh Lipschitz Chương trình bày phương pháp lặp Banach cho ánh xạ đồng vi tính toán ứng dụng thuật toán đề xuất Khi đó, ánh xạ nghiệm không giÃn việc tìm điểm bất động ánh xạ không giÃn tìm theo kiểu điểm bất động Nadler S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG I BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN 1.1 Một số khái niệm Cho hai vÐc t¬ x := (x1, x2, , xn)T , y := (y1, y2, , yn)T ∈ Rn hx, yi = n X xiyi i=1 gọi tích vô hướng hai véc tơ x y Chuẩn Euclide khoảng cách xác định tương ứng ||x|| := p hx, xi, d(x, y) := ||x − y|| Ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi dùng cho chương Định nghĩa 1.1 ã Tập C Rn gọi tập lồi, x + (1 λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ã Tập C Rn gọi nãn, nÕu λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ ã Cho C Rn hiệu tập lồi x C , nón pháp tuyến C x, ký NC (x), xác định bëi c«ng thøc NC (x) := {w ∈ Rn : hw, y − xi ≤ ∀y ∈ C} Cho C Rn tập lồi, ánh xạ f : C → Rn Khi ®ã, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 ã Miền hữu hiệu f , ký hiệu dom f , xác định domf := {x ∈ Rn : f (x) < +∞} ãf gọi thường, domf 6= , f (x) > x C ãf gọi hàm lồi C , f (x1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1, x2 ∈ C, λ ∈ [0, 1] •f gọi hàm lồi chặt C , f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1 6= x2 ∈ C, λ (0, 1) ã f gọi hàm lồi mạnh với hệ số > C , nÕu ∀x1 6= x2 ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta cã f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) − λ(1 − λ)β||x1 x2||2 Bây ta giả sử Khi đó, véc tơ f hàm lồi tập låi C kh«ng gian Rn w ∈ Rn gọi gradient hàm f x ∈ C , nÕu f (y) − f (x) ≥ hw, y − xi ∀y ∈ C TËp tÊt c¶ gradient hàm ký hiệu f x gọi vi phân f , f (x), hay ∂f (x) := {w ∈ Rn : f (y) − f (x) ≥ hw, y − xi ∀y C} Khi đó, f gọi khả vi phân C , f (x) 6= x C Ví dụ 1.1 tập Khi C Cho C tập lồi khác rỗng kh«ng gian  0 δ(x) := +∞ nÕu x ∈ C, nÕu x∈ / C Rn XÐt hµm chØ ∂δC (x) = NC (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 31 ë z NC (h(x0)) Do ánh xạ đa trị NC đơn điệu, ta có hz z , h(x) − h(x0 )i ≥ (3.27) Thay z công thức (3.25) z công thức (3.26) vào công thức (3.27), ta nhận hx − x0 − (F (x) − F (x0)) − (h(x) − h(x0 )), h(x) − h(x0 )i ≥ 0, điều tương đương với (F (x) − F (x0)), h(x) − h(x0)i α =hx − x0 − (F (x) − F (x0)), h(x) − h(x0)i α ||h(x) − h(x0)||2 ≤hx − x0 − (3.28) Nh­ vËy lµ ||h(x) − h(x0)||2 ≤ ||x − x0 − Tõ tÝnh ®ång bøc cđa (F (x) − F (x0))||2 α (3.29) F trªn C víi hƯ sè γ suy γ||F (x) − F (x0)||2 ≤ hx − x0, F (x) − F (x0)i ∀x, x0 ∈ C VËy, (F (x) − F (x0))||2 α = ||x − x0 ||2 − hx − x0 , F (x) − F (x0)i + ||F (x) − F (x0)||2 α α 2γ ||x − x0 ||2 − ||F (x) − F (x0)||2 + ||F (x) − F (x0)||2 ∀x, x0 ∈ C α α 2γ ||x − x0 ||2 − ( − )||F (x) − F (x0)||2 α α ||x − x0 − Tõ α≥ suy 2γ ||x − x0 − (F (x) − F (x0))||2 ||x − x0 ||2 ∀x, x0 ∈ C α (3.30) KÕt hợp (3.29) (3.30), ta nhận ||h(x) h(x0 )|| ≤ ||x − x0 || ∀x, x0 ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 32 Nh­ vËy, r»ng bµi toán VI không nghiệm trường hợp ánh xạ F đồng bức, nhưng, Định lý 3.1 ta tìm nghiệm toán thông qua việc tìm điểm bất động ánh xạ không giÃn h Để tìm điểm bất động ánh xạ h, ta sử dụng định lý sau Định lý 3.2 Cho C Rn tập lồi, compact, khác rỗng S : C C C Với (0, 1), ta đặt Giả sử không giÃn S := (1 )I + S Khi đó, dÃy {xk }, {y k } xác định xk+1 := (1 − λ)xk + λy k , y k = S(xk ), ||y k+1 − y k || ||xk+1 − xk || ∀k = 0, 1, 2, sÏ tho¶ m·n ||xk − y k || → k + Hơn nữa, điểm tụ dÃy ánh xạ {xk } điểm bất động S Để chứng minh định lý này, ta cần tới bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Dưới giả thiết Định lý 3.1, với i, m = 0, 1, , ta cã ||y i+m − xi|| ≥ (1 − λ)−m [||y i+m − xi+m|| − ||y i − xi ||] + (1 + λm)||y i − xi|| (3.31) Chøng minh cđa Bỉ ®Ị 3.1 Ta chứng minh quy nạp toán học theo m m = 0, (3.31) hiển nhiên với i Giả sử (3.31) với m với mäi i Thay thÕ i bëi i + (3.31), suy Víi ||y i+m+1 − xi+1|| ≥(1 − λ)−m [||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i+1 − xi+1||] + (1 + λm)||y i+1 − xi+1|| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.32) http://www.Lrc-tnu.edu.vn 33 xk+1 := (1 − λ)xk + λy k víi y k ∈ S(xk ) víi mäi k = 0, 1, suy Tõ ||y i+m+1 − xi+1|| = ||y i+m+1 − [(1 − λ)xi + λy i ]|| λ||y i+m+1 − y i || + (1 − λ)||y i+m+1 − xi|| m X i+m+1 i ||xi+k+1 − xi+k || (3.33) (1 − λ)||y − x || + k=0 Kết hợp (3.32) (3.33), ta nhận ||y i+m+1 xi|| (1 )(m+1)[||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i+1 − xi+1||] + (1 − λ)−1(1 + λm)||y i+1 − xi+1|| n X −1 ||xi+k+1 − xi+k || − λ(1 − λ) k=0 Do ||xi+k+1 − xi+k || = λ||y k+i − xk+i||, nªn d·y {||y m xm||} giảm ||y m xm|| = ||xm+1 − xm || = ||(1 − λ)xm + λy m − [(1 − λ)xm−1 − λy m−1 ]|| (1 − λ)||xm − xm−1|| + λ||y m − y m−1|| ||xm − xm−1|| = λ||y m−1 − xm−1|| Tõ + mλ (1 − λ)−m , suy ||y i+m+1 − xi|| ≥(1 − λ)−(m+1)[||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i+1 − xi+1||] + (1 − λ)−1(1 + λm)||y i+1 − xi+1|| − λ2 (1 − λ)−1(m + 1)||y i − xi|| =(1 − λ)−(m+1)[||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i − xi||] + [(1 − λ)−1(1 + λm) − (1 − λ)−(m+1)]||y i+1 − xi+1|| + [(1 − λ)−(m+1) − λ2 (1 − λ)−1(m + 1)]||y i − xi|| ≥(1 − λ)−(m+1)[||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i − xi||] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 34 + [(1 − λ)−1(1 + λm) − (1 − λ)−(m+1) ]||y i − xi|| + [(1 − λ)−(m+1) − λ2 (1 − λ)−1(m + 1)]||y i − xi || =(1 − λ)−(m+1)[||y i+m+1 − xi+m+1|| − ||y i − xi||] + [1 + λ(m + 1)]||y i − xi|| Nh­ vậy, bất đẳng thức (3.31) với m + Theo quy nạp toán học, Bổ đề 3.1 chứng minh Chứng minh Định lý 3.2 Ta chứng minh b»ng ph¶n chøng Gi¶ sư r»ng lim ||y m − xm || = r > m→∞ Chän  số dương đủ nhỏ cho (1 λ)−m < r Tõ d·y {||y m − xm ||} giảm, suy tồn số tự nhiên i cho ||y i − xi|| − ||y m+i − xm+i||  Bỉ ®Ị 3.1 dÉn ®Õn sù m©u thuÉn sau r (1 + mλ)r (1 + mλ)||y i − xi|| ||y m+i − xi|| + (1 − λ)−m[||y i − xi|| − ||y m+i − xm+i||] ||y m+i − xi|| + (1 − λ)−m < r Do vËy, r = 0, cô thể lim ||xm y m || = (∗∗) m→∞ xk ∈ C víi mäi k vµ C compact, nên tồn dÃy xkj hội tụ tới x Khi đó, (**) nên y kj = S(xkj ) cịng héi tơ tíi x∗ VËy x∗ = S(x∗) Do Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 35 3.2 Mô tả thuật toán hội tụ Bây giờ, áp dụng Định lý 3.1 cho ánh xạ không giÃn h, ta tìm nghiệm toán VI với F ánh xạ đồng với hệ số C cách tìm điểm bất động ánh xạ h Như đà thấy, xk lại nghiệm toán P (xk ), xk nghiệm toán VI Do đó, thuật toán đây, y k nghiệm toán P (xk ) ||xk y k || ≤  th× ta cã thĨ coi y k -nghiệm toán VI dừng thuật toán Thuật toán cụ thể trình bày sau Tht to¸n 3.1 B­íc Chän sai sè  ≥ vµ λ ∈ (0, 1), α ≥ tìm x0 C Đặt k = Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh P (xk ) : min{ α||y − xk ||2 + hF (xk ), y − xk i | y C} để nghiệm Nếu yk ||y k − xk || ≤ , th× dõng thuật toán Ngược lại chuyển sang Bước Bước LÊy xk+1 := (1 − λ)xk + λy k Gán k := k + trở lại Bước Định lý 3.3 Ngoài giả thiết Định lý 3.1, ta giả sử thêm compact Khi đó, Thuật toán 3.1 không dừng, dÃy tập {xk } bị chặn điểm tụ nghiệm toán VI Hơn nữa, C ||xk − h(xk )|| → k → ∞ Chứng minh Theo tính chất đồng F C víi hƯ sè γ , ta cã γ||F (xk ) − F (xk+1)||2 ≤ hxk − xk+1, F (xk ) − F (xk+1)i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 36 Do ®ã, (F (xk ) − F (xk+1))||2 α = ||xk − xk+1||2 − hxk − xk+1, F (xk ) − F (xk+1)i α + ||F (xk ) − F (xk+1)||2 α 2γ ≤ ||xk − xk+1||2 − ||F (xk ) − F (xk+1)||2 α + ||F (xk ) − F (xk+1)||2 α 2γ = ||xk − xk+1||2 − ( − )||F (xk ) − F (xk+1)||2 α α ||xk − xk+1 − V× α> 2γ , ta cã ||xk − xk+1 − (F (xk ) − F (xk+1))||2 ||xk xk+1||2 Kết hợp điều với tính chất không giÃn ánh xạ nghiệm h, ta ||y k+1 − y k || ≤ ||xk+1 − xk ||, ®ã y k = h(xk ), y k+1 = h(xk+1) Tõ ®iỊu kiƯn bøc cđa F víi hƯ sè β > hay víi mäi x, x0 ∈ C , ta cã hF (x) − F (x0), x − x0i ≥ β||F (x) − F (x0)||2 , suy ||F (x) F (x0)|| Từ giả thiÕt ||x − x0 || β C lµ tËp compact Định lý 3.2, điểm tụ x dÃy {xk } điểm bất động ánh xạ nghiệm h nghiệm toán VI Trong Thuật toán 3.1, ta có y k h(xk ), vËy ||xk − h(xk )|| ≤ ||xk − y k || ∀k = 0, 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 37 Theo Định lý 3.2, ||xk y k || → k → ∞, nªn ||xk − h(xk )|| → k → ∞ 3.3 Kết tính toán thử nghiệm 3.3.1 Mô hình cân bán độc quyền Ta dùng Thuật toán BFP để giải mô hình cân bán độc quyền Giả sử cho n công ty sản xuất sản phẩm giá sản phẩm p phụ thuộc vào lượng sản phẩm Ký hiệu hi (xi ) tỉng chi phÝ cđa c«ng ty thø i cho xi đơn vị sản phẩm Khi đó, lợi nhuận công ty thø i lµ xip(σ) − hi (xi) Nh­ vËy, công ty cần tìm cho mức độ sản xuất tương thích để đạt lợi nhuận cao Bài toán gọi toán cân thị trường Tập chiến lược chơi người lµ C := {x = (x1, x2, , xn) | Li xi Ui ∀i = 1, 2, , n}, (3.34) hàm lợi nhuận fi(x1, x2, , xn) = xip( n X xj ) − hi (xi) j=1 Nh­ th­êng lƯ, ta nãi r»ng mét ®iĨm x = (x1, x2, , xn) C điểm c©n b»ng, nÕu fi(x∗1, x∗2, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) fi (x∗1, x∗2, , x∗n) ∀yi ∈ [Li, Ui], ∀i = 1, 2, , n Quan hƯ gi÷a mô hình toán cân bán độc quyền toán VIP phát biểu qua mệnh đề sau Mệnh đề 3.1 Một điểm x điểm cân bán độc quyền nghiệm toán VIP, C cho (3.34) vµ F (x) = H(x) − p(σx) − p0 (σx)x, víi H(x) = (h01(x1), h02(x2), , h0n(xn), e = (1, 1, , 1) ∈ IRn, σx = hx, ei Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 38 p : C → IR+ lµ hàm lồi, giảm, hàm : IR+ IR+ xác định Mệnh đề 3.2 Cho khả vi liên tục lần, không () = p( + τ ), lµ mét hµm lâm víi mäi τ ≥ Gi¶ sư hi : IR+ → IR, ∀i = 1, 2, , n, hàm lồi khả vi liên tục hai lần Khi đó, ánh xạ F (x) = H(x) − p(σx) − p0 (σx)x lµ đơn điệu C Chú ý rằng, C hình hộp, nên bước lặp k , nghiệm toán P(xk ) Thuật toán 2.1 cho dạng hiển sau x IRn y = PC (x), C hình hộp cho công thức (3.34) Khi đó, toạ độ thứ i điểm y xác định công thøc    L nÕu xi ≤ Li ,   i yi = Ui nÕu xi ≥ Ui ,    L nÕu L ≤ x ≤ U i i i i Cho 3.3.2 KÕt qu¶ tính toán thử nghiệm Chúng đà viết chương trình thực nghiệm Thuật toán BFP ngôn ngữ Matlab 7.0 đà thử nghiệm máy tính Intel 845w Celeron 1.7 GHZ Ram 256 Mb cho c¸c vÝ dơ sau ®©y VÝ dơ 3.1 Cho C := {(x1, , xn)T | − i xi 15 + , ∀i = 1, , n} i 3i − H(x) := (α1 x1 + β1 , , αnxn + βn )T , ξ p(t) := , t ∈ (0, +), t > sè cho tr­íc Ta chän ck = vµ sai sè  = 10 αi , βi (i = 1, , n) chọn ngẫu nhiên kho¶ng (0, 20) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên C¸c sè http://www.Lrc-tnu.edu.vn 39 Theo Mệnh đề 3.1 3.2, ta nhận thấy ánh xạ giá 3.1 đơn điệu Lipschitz F cho bëi VÝ dơ C víi h»ng sè L < Do ®ã, ta cã thĨ chän αk = ck = với k Dựa kết tính toán thu được, ta rút số nhận xét sau ã Giống phương pháp Newton, tính hiệu thuật toán phụ thuộc nhiều vào điểm chọn ban đầu Thực tế, điểm xuất phát ban đầu gần nghiệm toán, thuật toán chạy nhanh Ngược lại, điểm bắt đầu xa với nghiệm, thuật toán chạy nhiều thời gian đặc biệt bước lặp xuất phát vòng ã Tính hiệu thuật toán phụ thuộc rÊt nhiỊu vµo viƯc chän h»ng sè Lipschitz L vµ tham số k , ck , k (chẳng hạn như, dÃy {k } đủ lớn cho vòng lặp ngoài) Trong vÝ dơ víi hc k = n = 100, αk = ck = 1, chóng ta chän k = k Trong trường hợp này, chương trình chạy nhanh nhiều so với trường hợp thứ hai T­¬ng tù víi k = 10 k2 n = 1000 chương trình chạy lâu k , chạy nhanh trường hợp k = 30 k2 ã Ta khẳng định bước lặp k với k đủ lớn (k = 180 cho ví dụ này) thuật toán chạy chậm Như vậy, ta phải khoảng thời gian dài để đạt k -nghiệm toán (VIPk ) Để khắc phục vấn đề này, ta phải bắt đầu chạy lại chương trình với điểm bắt đầu điểm lặp xk Bảng 1, Bảng Bảng có ký hiệu sau: ã j : số vòng lặp trung bình vòng lặp ã k : số vòng lặp toán ã k : số vòng lặp trung bình vòng lặp ã j1 : số vòng lặp trung bình vòng lặp trong vòng lặp k ã t: thời gian CPU trung bình toán (tính giây) ã f k : số vòng lặp bước lặp ã f k : số bước lặp trung bình vòng lặp vòng lặp Hai ký hiƯu ci chØ dïng cho B¶ng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 40 Kết Bảng tính với dÃy số dương k k = 10 , B¶ng 3, k k2 = k , Bảng 2, 30 Trong tất ví dụ tính toán, điểm k2 bắt đầu chọn điểm hình chữ nhật điểm bắt đầu = C , tức toạ độ thứ i Li +Ui Bài toán k j1 CPU-thời gian fk 112.4667 3371 386.75 1543 3 89 0.8 264 198.4 987 304.3333 910 363.2 1811 389.25 1554 876 1751 95,25 0.8 378 10 131 0.8 390 11 114.75 0.9 455 12 223.6 0.8 1114 13 21 0.7 81 14 38.6667 0.5 113 15 23.5 0.5 46 16 73 0.8 216 17 273 0.7 1089 18 325 0.8 972 19 24.25 0.7 93 20 166.6667 0.9 994 t = 0.885 f k = 906.6 k = 3.7 j = 211.4792 B¶ng (víi n = 100, k = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên k , αk = ck = 1) http://www.Lrc-tnu.edu.vn 41 Bài toán k j1 CPU-thêi gian 1.5 0.5 0.4 3 1.6667 0.5 1.1667 0.7 5 1.6 0.9 1.8 0.7 2.6667 0.7 1.25 0.8 1.6 0.7 10 1.1111 0.6 11 1.2 0.6 12 1.25 0.9 13 1.1667 0.8 14 1.4 0.7 15 2.3333 0.8 16 1.2222 0.7 17 1.6666 0.5 18 0.8 19 1.3333 0.7 20 1.4286 0.9 k = 5.15 j = 1.7431 B¶ng (víi n = 100, k = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 k , αk t = 0.695 = ck = 1) http://www.Lrc-tnu.edu.vn 42 Bài toán k j1 CPU-thời gian 12 1.1666 196 1.0102 38 1.0526 0.8 97 1.0206 110 1.0182 44 1.0455 0.8 1.4 0.9 61 1.0328 0.9 1.25 0.8 10 283 1.0071 11 95 1.0316 12 94 1.0213 0.8 13 197 1.0152 14 151 1.0132 15 147 1.0136 16 230 1.0087 17 90 1.0222 0.8 18 11 1.1818 0.8 19 175 1.0114 20 31 1.0645 0.8 k = 101.5 j = 1.0739 B¶ng (víi n = 1000, k = 30 k , αk t = 1.12 = ck = 1) Từ kinh nghiệm kết tính toán, ta khẳng định Thuật toán BFP hiệu cho toán cân bán độc quyền với số biến khoảng vài trăm Với toán cân bán độc quyền khoảng vài nghìn biến, thuật toán hiệu với việc chọn d·y sè d­¬ng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun {k } phï hỵp http://www.Lrc-tnu.edu.vn 43 Kết luận Trong luận văn ta đà dùng cách tiếp cận điểm bất động cho toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu mạnh đồng Ta đà chứng tỏ việc tìm nghiệm toán VI quy tìm điểm bất động h Bằng cách sử dụng kỹ thuật điều chỉnh, ta đà chứng tỏ ánh xạ nghiƯm h cã tÝnh chÊt co Cơ thĨ, ¸nh xạ giá đơn điệu mạnh, tính ánh xạ chất co cho phép ta xây dựng thuật toán lặp theo kiểu nguyên lý ánh xạ co Banach để giải toán VI Cách tiếp cận cho phép thiết lập dễ dàng tốc độ hội tụ phương pháp lặp Khi giảm nhẹ điều kiện đơn ®iƯu m¹nh b»ng ®iỊu kiƯn ®ång bøc, ta ®· chØ ánh xạ nghiệm h có tính chất không giÃn Tính chất cho phép ta bổ sung phương pháp lặp theo nguyên lý ánh xạ co Banach để thu phương pháp giải cho toán VI Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn 43 Tµi liƯu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 44 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] L D Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội, 1998 [2] H Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Viện Toán học, Hà Nội, 2003 Tµi liƯu tiÕng Anh [3] P N Anh and L D Muu (2004), "Coupling the Banach contraction mapping principle and the proximal point algorithm for solving monotone variational inequalites", Acta Mathematica Vietnamica, , pp 119-133 29 [4] P N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), "On the contraction and nonexpansiveness properties of the marginal mapping in generalized variational inequalities involving cocoercive operators", in: Generalized Convexity and Generalized Monotonicity and Applications Eds A Eberhard, N Hadjisavvas and D T Luc, Springer, pp 89-111 [5] F Facchinei and J S Pang (2002), Finite Dimesional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer Verlag [6] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press [7] A Narguney (1983), Network Economics: a Variational Inequality Approach, Kluwer Academic Publishers [8] H Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn