Đánh giá một số thành phần liên thông của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân affine hai mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun – 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mưc lửc Lới nõi Ưu CĂc kẵ hiằu 1 Tờng quan và bĐt ng thực bián phƠn v bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu 1.1 BĐt ng thực bián phƠn v nh lỵ tỗn tÔi nghiằm 1.1.1 BĐt ng thực bián phƠn 1.1.2 nh lỵ tỗn tÔi nghiằm 1.2 BĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu 10 1.2.1 BĐt ng thực bián phƠn vectỡ hai mửc tiảu 11 1.2.2 BĐt ng thực bián phƠn affine hai mưc ti¶u 13 Cæng thực Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu 18 2.1 Nhưc lÔi mởt số nh nghắa 18 2.2 CĂc nh lỵ cỡ bÊn 19 Cổng thực Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mưc ti¶u R2 33 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii ¡nh gi¡ sè th nh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu R2 33 3.2 Mët sè v½ dư v· b i to¡n bĐt ng thực bián phƠn 43 Ti liằu tham khÊo 55 3.1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LÍI NÂI †U Khði ¦u tø b i b¡o cõa Giannessi [5], bĐt ng thực bián phƠn (variational inequality - V I )  ữủc cĂc nh toĂn hồc quan tƠm v nghiản cựu rĐt mÔnh m ba thêp k tr lÔi Ơy ỵ nghắa quan trồng và lỵ thuyát cụng nhữ thỹc tá cừa nõ Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn vectỡ (vector variational inequality problem - V V I ) âng mët vai trá quan trồng viằc nghiản cựu cĂc cƠu họi khĂc (cĐu trúc cừa têp nghiằm, tẵnh ờn nh nghiằm, ở nhÔy cừa nghiằm, ) cừa bi toĂn tối ữu vectì Hìn núa, VVI l  mët nhúng mỉ h¼nh quan trồng cừa lỵ thuyát bi toĂn cƠn bơng vectỡ ở nhÔy cừa nghiằm v cĂc tẵnh chĐt tổpổ cừa têp nghiằm cừa bi toĂn VVI ỡn iằu mÔnh vợi cĂc Ăp dửng vo bi toĂn tối ữu vectỡ  ữủc nghiản cựu [6,7] GƯn Ơy, bơng viằc sỷ dửng kát quÊ ờn nh cừa cĂc bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu ữủc ữa bi Robinson [8, nh lỵ 2] v phữỡng phĂp vổ hữợng hõa [6,9], Yen v Yao [10] v Yen [11]  thiát lêp ữủc cĂc iÃu kiằn ừ cho tẵnh nỷa liản tửc trản cừa cĂc Ănh xÔ nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine ỡn iằu chựa tham số ( affine vector variational inequality problem - AVVIs) C¡c k¸t quÊ õ cõ ỵ nghắa thỹc tá v liản quan án tẵnh ờn nh nghiằm v tẵnh liản thổng cừa têp nghiằm cừa bi toĂn tối ữu vectỡ ton phữỡng lỗi v bi toĂn tối ựu vectỡ phƠn thực tuyán tẵnh Luên vôn trẳnh by lÔi kát quÊ cừa bi bĂo [4] Bi bĂo [4]  chựng minh ữủc rơng têp nghiằm Pareto v têp nghiằm Pareto yáu cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu vợi têp chĐp nhên ữủc m khổng nhĐt thiát phÊi compact cõ hỳu hÔn thnh phƯn liản thổng Ngoi luªn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ vôn cụng ữa Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu R2 Ton bở luên vôn trẳnh by lới giÊi cho hai cƠu họi chẵnh: Số thnh phƯn liản thổng cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu cõ hỳu hÔn khổng? ã Cổng thực Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu l nhữ thá no? ã Luên vôn gỗm chữỡng: Trẳnh by mởt số kián thực và bĐt ng thực bián phƠn, bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu v kián thực liản quan Trẳnh by kát quÊ cừa [4] và Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm Pareto v Pareto yáu cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu Rn Cử th hõa kát quÊ cừa [4] và Ănh giĂ số thnh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm Pareto v Pareto yáu cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu R2 Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS TÔ Duy Phữủng Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi thy hữợng dăn  tên tẳnh giúp ù tổi  hon thnh luên vôn Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn ối vợi Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Khoa ToĂn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, têp th lợp cao hồc ToĂn -K18, cĂc bÔn b ỗng nghiằp và sỹ quan t¥m gióp ï V  ci cịng, xin c£m ìn nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  luổn giúp ù, tÔo mồi iÃu kiằn, ởng viản v khẵch lằ cho tổi suốt thới gian di hồc têp Chữỡng Chữỡng Chữỡng ThĂi Nguyản, ngy 10 thĂng nôm 2013 TĂc giÊ Bá ẳnh Tián Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CĂc kẵ hiằu ã Rn+ = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, , n} • hx, yi l tẵch vổ hữợng cừa hai phƯn tỷ x v y khổng gian Euclid ã ||x|| l chuân cõa x khỉng gian Euclid • NK (x) l  nõn phĂp tuyán cừa K tÔi x ã B(x, ) l hẳnh cƯu õng tƠm x bĂn kẵnh ã B(x, ) l hẳnh cƯu m tƠm x bĂn kẵnh ã ri l phƯn tữỡng ối cừa ã A Rpìn l ma cĐp p ì n AT l  ma trªn chuyºn cõa ma trªn A ã x Rn thẳ xT l chuyn v cõa vectì x • Φ : Σ ⇒ Rn l  Ănh xÔ a tr tứ vo Rn vợi Ênh l têp lỗi, õng ã N l têp cĂc số tỹ nhiản trứ phƯn tỷ Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mởt số kián thực chuân b Ta nhưc lÔi mởt số kián thực quan trồng cừa Ôi số tuyán tẵnh sỷ dửng luên vôn Cho hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh trản trữớng số thỹc R cõ dÔng a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,   a x + a x + + a x = b , m1 m2 mn n m â aij , bi ∈ R N¸u b1 = b2 = = bm = 0, ta cõ nhĐt : hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0,   a x + a x + + a x = m1 m2 (1) (2) mn n Hằ (2) ữủc gồi l hằ liản kát vợi hằ phữỡng trẳnh (1) Nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1) l mởt vectì α = (α1, , αn) ∈ Rn cho ta thay x1 = α1 , , xn = n vaỏ (1) thẳ ta ữủc mởt ng thực úng Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt (2) luổn cõ nghiằm tƯm thữớng = (0, , 0) Ta gồi: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n  A=    am1 am1 amn l  ma trªn h» sè cõa h» (1) v  h» (2), cán   a11 a12 a1n b1    a21 a22 a2n b2  B=    am1 am1 amn bm l  ma trªn bê sung (ho°c ma trªn hằ số m rởng ) cừa hằ (1) Náu kẵ hi»u X = (x1 , , xn )T v  b = (b1 , , bm )T thẳ hai phữỡng trẳnh trản cõ th viát dữợi dÔng AX = b (10 ) v AX = (20 ) nh lỵ 0.1 (xem [1], trang 106) Têp nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt (2) lêp thnh mởt khổng gian cõa khỉng gian v²c tì Rn v  câ chi·u l  r = n − rankA Mët cì sð cõa khỉng gian nghi»m n y ÷đc gåi l  mët h» nghi»m cì sð M»nh · 0.2 (xem [1], trang 106) Gi£ sỷ u0 l mởt nghiằm cho trữợc cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) Khi õ u Rn l nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) náu v ch¿ n¸u u = u0 + v, â v l mởt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt (2), cỏn u0 l mởt nghiằm riảng cừa (1) Nâi c¡ch kh¡c, n¸u v1, , vr l  mët h» nghiằm cỡ s cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt (2), cỏn u0 l mởt nghiằm riảng cừa (1) thẳ ta cõ th viát nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) dữợi dÔng u = u0 + t1 v1 + + tr vr , Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ â t1, , tr ∈ R ành ngh¾a 0.3 Mët nghi»m cè ành u0 cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) ữủc gồi l  nghi»m ri¶ng, cán nghi»m u = u0 + t1v1 + + tr vr ÷đc gåi l  nghi»m têng quĂt cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) nh lỵ 0.4 (Kronecker - Capelli - xem [1] trang 107) H» phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) cõ nghiằm v ch hÔng cừa ma liản kát bơng hÔng cừa ma bờ sung, nghắa l rankA = rankB Hằ quÊ 0.5 (xem [1], trang 107) Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) cõ nghiằm nhĐt v ch rankA = rankB = n X²t ma trªn vng   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n  A=    an1 an1 ann Gi£ sû Mij l  ma trªn ữủc suy tứ A bơng cĂch bọ i hng i v  cët j chùa ph¦n tû aij Mij ữủc gồi l ma cừa ma A Ta gåi Dij = det(Mij ) l  ành thùc ựng vợi phƯn tỷ aij , v cij = (1)i+j Dij l phử Ôi số cừa phƯn tỷ aij K½ hi»u   c11 c12 c1n    c21 c22 c2n  C = (cij ) =     cn1 cn2 cnn Ta câ Bê · 0.6 N¸u det(A) 6= thẳ ma A cõ nghch Êo A1 ữủc tẵnh bði cỉng thùc sau: Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ξ(m121 − m221 ) + m221 ξ(m122 − m222 ) + m222 = det(M (ξ)) = P (ξ) = aξ + bξ + c, â P (ξ) l  mët a thùc bªc khỉng qu¡ 2, vỵi Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36 a = det(M1 − M2 ), b = detM1 − detM2 − det(M1 − M2 ), c = detM2 v  Dx1   − ξ(q1 − q12 ) + q12  =  − ξ(q2 − q22 ) + q22 ξ(m112 − m212 ) + m212 ξ(m122 − m222 ) + m222 = a1 ξ + b1 ξ + c1 , D x2 ξ(m111 − m211 ) + m211 =