Đại Học Thái Nguyên Trường Đại học Sư phạm Nguyễn Song Hà Tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - 2009 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn Đại Học Thái Nguyên Trường Đại học Sư phạm Nguyễn Song Hà Tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu Chuyên ngành: Giải tích Mà số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ Toán häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS TS T¹ Duy Phượng Thái Nguyên - 2009 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu C¸c kÝ hiƯu CÊu tróc vµ tÝnh liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 1.1 Bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 1.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1.2 Các định lí tồn t¹i nghiƯm 11 1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ 1.1.4 Tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc t¬ 1.2 17 Bất đẳng thức biến phân véc tơ affine đơn điệu 25 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biÕn ph©n affine 25 1.2.2 Các định lý tồn nghiệm toán bất đẳng thức 27 30 39 biÕn ph©n affine 1.2.3 Tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine 1.2.4 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức tuyến tính toán bất đẳng thức biến phân affine Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn C¸c thÝ dơ tÝnh tËp nghiƯm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ ®¬n ®iƯu 44 2.1 ThÝ dơ 45 2.2 ThÝ dô 49 2.3 ThÝ dô 53 2.4 ThÝ dô 58 2.5 ThÝ dô 62 2.6 ThÝ dô 67 2.7 ThÝ dô 71 2.8 ThÝ dô 75 2.9 ThÝ dô 79 87 KÕt luận Tài liệu tham khảo 89 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Do ý nghĩa quan trọng lý thuyết lẫn thực tế, toán bất đẳng thức biến phân đà nghiên cứu mạnh mẽ khoảng 30 năm trở lại Bài toán bất đẳng thức biến phân liên quan đến nhiều toán khác giải tích phi tuyến (bài toán tối ưu, toán cân bằng, toán bù, ) Nhiều vấn đề toán biến phân (tồn nghiệm, ổn định nghiệm, ) đà nghiên cứu kỹ Tuy nhiên, theo chúng tôi, cấu trúc tập nghiệm (tồn nghiệm, tính liên thông, tính co rút được) toán tối ưu đa mục tiêu đà quan tâm nghiên cứu nhiều, cấu trúc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân chưa quan tâm đầy đủ Mục đích luận văn trình bày kết báo [4], [9], [11] Đồng thời trình bày số kết thân vấn đề Luận văn nghiên cứu tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với tập chấp nhận không thiết compact Vấn đề trung tâm, xuyên suốt chương luận văn trả lời cho câu hỏi: Với điều kiện toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm? Với điều kiện tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập liên thông? Nếu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không liên thông tập nghiệm có cấu trúc nào? Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chung toán bất đẳng thức biến S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn phân véc tơ toán liên quan Chương xây dựng ví dụ làm sáng tỏ lý thuyết đà trình bày chương ®a mét sè nhËn xÐt vỊ cÊu tróc vµ tính liên thông tập nghiệm Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc thầy hướng dẫn đà tận tình giúp đỡ để có kết luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Trung tâm Đào tạo Sau đại học Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tập thể lớp cao học Toán - K15, bạn bè đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ Và cuối cùng, xin cảm ơn người thân gia đình đà giúp đỡ, động viên khích lệ nhiều thời gian dµi häc tËp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn C¸c kÝ hiƯu •Rn+ = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, , n} ãhx, yi ãkxk ãA x chuẩn phần tử ãintA ãclA tích vô hướng hai phần tử phần bao đóng biên A y không gian Hilbert không gian Hilbert A A ¯ , ) ãB(x hình cầu đóng tâm ãB(x0 , ) hình cầu mở tâm ãG : X Y X, Y x hc x0 x0 G : X ⇒ 2Y , b¸n kÝnh , b¸n kÝnh ánh xạ đa trị không gian tôpô ãA Rrìn ãx Rn ãN (x) ã0+ ma trận cấp xT rìn AT chuyển vị véc tơ nón pháp tuyến nón lùi xa tập chuyển vị ma trận x x ∆ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn A Ch¬ng Cấu trúc tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 1.1 Bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu 1.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Giả sử Rn tập lồi, đóng, khác rỗng, F : Rn toán tử (ánh xạ) cho trước Định nghĩa 1.1.1 Bài toán tìm ®iÓm x¯ ∈ ∆ tháa m·n hF (¯ x), y xi 0, y , (1.1) gọi toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality problem) hay, đơn giản bất đẳng thức biến phân (variational inequality) kí hiệu VI Tập nghiệm Sol( VI ) VI tập tất x thỏa mÃn (1.1) Nhận xét 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) viết d¹ng sau: Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tìm điểm x ∆ cho hF (¯ x), y − x¯i ∈ / −R+ \ {0}, DƠ dµng kiĨm tra r»ng ®ã N∆ (¯ x) x¯ ∈ Sol( ) ∆ VI nón pháp tuyến y chØ t¹i ∈ F (¯ x) + N∆ ( x) , x , định nghĩa ( {z ∈ Rn : hz, x − x¯i ≤ 0, ∀x ∈ ∆} N∆ (¯ x) = ∅ 1.1.2 (1.2) nÕu nÕu x¯ ∈ ∆ x¯ ∈ /∆ , (1.3) Các định lí tồn nghiệm Mệnh đề 1.1.3 Giả sư x¯ ∈ ∆ NÕu tån t¹i mét sè ε > cho ¯ x, ε) ∀y ∈ ∆ ∩ B(¯ hF (¯ x), y − x¯i ≥ 0, Khi Êy x¯ ∈ Sol( VI ) ε>0 t =∈ (0, 1) zt := x¯ + t(y − x¯) ≤ hF (¯ x), zt − x¯i = thF (¯ x), y − x¯i y∈∆ x¯ ∈ Sol( ) Chứng minh Giả sử tồn tại (1.4) thỏa mÃn (1.4) Rõ ràng, với cho y tồn x, ε) ∆ ∩ B(¯ hF (¯ x), y − x¯i ≥ thuéc tËp Theo (1.4), Tõ ®©y suy r»ng víi mäi Do ®ã VI Mệnh đề 1.1.3 nghiệm địa phương toán bất đẳng thức biến phân (nghiệm cđa (1.4)) cịng lµ nghiƯm toµn cơc (nghiƯm cđa (1.1)) Định nghiệm lí Hartman-Stampacchia bất đẳng thức biến phân Nó định lí chứng minh nhờ điểm bất động Brouwer Định lý 1.1.4 (Xem [5] trang 12) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn tån định lí Nếu Rn khác rỗng, lồi, compact F : Rn liên tục, toán VI có nghiệm Với điều kiện phù hợp (điều kiện - coercivity conditions), có định lí tồn cho trường hợp tập hạn chế không compact Định lý 1.1.5 (Xem [5] trang 14) Rn tập lồi, đóng, khác rỗng F : Rn ánh xạ liên tơc NÕu tån t¹i x ∈ ∆ cho Gi¶ sư hF (y) − F (x0 ), y − x0 i → +∞ ky − x0 k kyk +, y , (1.5) toán VI cã nghiƯm NhËn xÐt 1.1.6 BiĨu thøc (1.5) cã ý nghÜa lµ: Víi sè ρ>0 dµng cho tríc, cã thĨ tìm cho hF (y) F (x0 ), y − x0 i ≥γ ky − x0 k DÔ γ>0 nhËn thÊy r»ng ∆ x0 ∈ ∆ nÕu (1.5) thỏa Nếu tồn với compact y∈∆ th× víi tháa m·n mäi kyk > ρ x0 điều kiện cho (1.5) xảy ta nói điều kiện (coercivity condition) thỏa mÃn Điều kiện đóng vai trò quan trọng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân trường hợp tập hạn chế không compact Chú ý (1.5) nhiều dạng điều kiện Nếu tồn x0 >0 cho hF (y) − F (x0 ), y − x0 i ≥ αky − x0 k2 , ∀y ∈ (1.6) (1.5) thỏa mÃn Nếu tồn mét sè α>0 cho hF (y) − F (x), y − xi ≥ αky − xk2 , ∀x ∈ , y , (1.6) thỏa mÃn Do ®ã (1.5) cịng ®ỵc tháa m·n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.7) Trong ®ã A = −1 0 Ta cã vµ b = xác định từ tập ( x¯2 + − 3ξ2 = λ1 − λ2 ; (1) ⇔ ξ2 x¯1 − 2ξ2 = λ3 (5) (4) ⇔ λ1 x¯1 + λ2 (4 − x¯1 ) + λ3 x¯2 = (6) {¯ x = (¯ x1 , x¯2 ) : < x¯1 < 4, x2 > 0} (7) Trường hợp Từ (6) (7) suy Nếu = kết λ1 = λ2 = λ3 = ( −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = 0; (5) ⇔ ξ2 (¯ x1 2) = Do hợp với phương trình thứ (8) x1 = < < thuẫn Do từ phương tr×nh thø hai (8) suy Tõ (8) ta cã Do ®ã m·n x¯2 = {¯ x = (2, < ξ2 < − 3ξ2 ξ2 , kÕt hỵp víi (7) suy − 3ξ2 )} (8) ta tới mâu thoả nghiệm toán AVI với Trêng hỵp - Trêng hỵp 2a x¯ = (0, 0) λ2 = ( − 3ξ2 = λ1 (5) ⇔ −2ξ2 = λ3 Tõ (6) vµ (9) suy Do ®ã x¯ = (0, 0) (9) Do ®ã ( λ1 = ξ1 = 1; ⇒ λ3 = = nghiệm toán AVI ξ víi ξ = (1, 0) 76 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn - Trêng hỵp 2b x¯ = (4, 0) (10) λ1 = ( − 3ξ2 = −λ2 (5) ⇔ 2ξ2 = λ3 Tõ (6) vµ (10) suy x¯ = (4, 0) ≤ ξ2 ≤ Do Do nghiệm toán ⇒ ξ2 ≥ AVI víi ξ ξ thoả mÃn Trường hợp { x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0} λ2 = λ3 = ( −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = λ1 (5) ⇔ −2ξ2 = Tõ (6) (11) suy Do (11) Do {¯ x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0} ( λ1 = 1; ⇔ ξ2 = lµ nghiƯm toán AVI với = (1, 0) Trêng hỵp {¯ x = (¯ x1 , 0) : < x¯1 < 4} λ1 = λ2 = ( − 3ξ2 = (5) ⇔ ξ2 x¯1 − 2ξ2 = λ3 Tõ (6) vµ (12) suy Tõ (3) suy Do ®ã ξ = ; ⇔ x¯ = 3λ + x1 Hơn tõ (3) vµ (12) ta cã {¯ x = (3λ3 + 2, 0) : ≤ λ3 < } = Do thoả m·n (12) < x¯1 < ⇒ < nghiệm toán AVI ξ víi Trêng hỵp {¯ x = (4, x¯2 ) : x¯2 > 0} 77 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (13) Tõ (6) vµ (13) suy λ1 = λ3 = Do ®ã ( −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = −λ2 (5) ⇔ 2ξ2 = ( λ2 = −1; ⇔ ξ2 = M©u thuÉn víi (3) Do ®ã ξ∈Λ {x = (4, x¯2 ) : x2 > 0} không nghiệm toán AVI ξ víi mäi Tãm l¹i ta cã: {(0, 0)} ∪ {¯ x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0} − 3ξ2 x = (2, )} {¯ ξ2 )ξ = } {¯ x = (3λ + 2, 0) : ≤ λ ≤ 3 x¯ = (4, 0) Sol( nÕu nÕu AVI Sol( [ )= AVVI nÕu nÕu ξ2 = 0; < ξ2 < ; ξ2 = ; < ξ2 ≤ )ξ = {¯ x = (2, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} Sol( AVI ξ∈Λ0 ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0) : ≤ x¯1 ≤ 4} Sol( [ )w = AVVI Sol( )ξ = {¯ x = (2, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} AVI ξ∈Λ ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0) : ≤ x¯1 ≤ 4} ∪ {x = (0, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} x2 x2 x1 x1 H×nh 2.8 78 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn NhËn xét 2.8.1 Sol( ) AVVI đường gấp khúc gồm đoạn thẳng nằm biên Sol( )w gồm hai thµnh tung Ta cã Sol( ) lµ tËp thực )) không Sol( )w Hơn nữa, Sol( )w nửa đường thẳng thuộc phần trong, Sol( Sol( Sol( ) phần ) AVVI )w AVVI AVVI nửa trục cl(Sol( AVVI AVVI AVVI tập liên thông AVVI AVVI tập liên thông số thành phần liên thông Nhận xét 2.8.2 Ta có 0+ ∆ = {v = (0, v2 ) ∈ R2 : v2 ≥ 0} C¸c ma trËn M1 , M2 thí dụ ma trận đơn điệu không đồng dương chặt với v = (v1 , v2 ) ∈ 0+ ∆\{0} ta cã v T M1 v = vµ v T M2 v = nên áp dụng Định lý 1.2.16 cho thÝ dơ nµy Chän v = (0, 1) ∈ 0+ ∆\{0} ta cã (M1 x + q1 )v = với x nên Định lý 1.2.18 áp dụng cho thí dụ Các ma trËn M1 , M2 thÝ dơ nµy lµ ma trận nửa xác định dương nên áp dụng Định lý 1.2.25, Định lý 1.2.26 cho thí dụ 2.9 Thí dụ Xét toán AVI , AVVI w AVVI với gi¶ thiÕt nh sau: ∆ = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 ≥ 1, xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3} −1 −1 0 M1 = 1 0 , M2 = −1 −1 , M3 = 0 1 ; 0 −1 −1 1 − − 2 2 1 , q2 = , q3 = − q1 = − 2 2 1 1 − − 2 79 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn KÝ hiÖu Λ = {ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ∈ R3 : ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1, ξi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3} Xét toán AVI : Tìm x : h P ξi Mi x¯ + i=1 P ξi qi , x − x¯i ≥ 0, ∀x i=1 Ta đặt M = X i=1 toán AVI + ξ2 −ξ1 + ξ3 ξi Mi = ξ1 − ξ2 −ξ2 + ξ3 ; ξ1 − ξ3 ξ2 − ξ3 3ξ1 − X 3ξ2 − qξ = ξi q i = 3ξ − i=1 x¯ ∈ ∆ : hMξ x¯ + qξ , x − x¯i 0, x trở thành: Tìm Khi ¸p dông (2.1) ta cã Mξ x¯ − AT λ + qξ = 0; (1) Ax ≥ b; (2) x¯ ∈ Sol( )ξ ⇔ ∃λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ∈ R : λ ≥ 0; (3) λT (A¯ x − b) = (4) 0 0 0 0 ∆ A= b = 0 0 1 1 AVI Trong xác định từ tập Ta có 31 (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 + λ4 ; 3ξ2 − (1) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2 + λ4 ; 3ξ3 − (ξ1 − ξ3 )¯ = λ3 + λ4 x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + (5) vµ (4) ⇔ λ1 x¯1 + λ2 x¯2 + λ3 x¯3 + λ4 (¯ x1 + x¯2 + x¯3 − 1) = 80 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (6) Trêng hỵp {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} (7) λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 3ξ1 − (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = 0; 3ξ2 − (5) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = 0; 3ξ3 − (ξ1 − ξ3 )¯ x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = Tõ (6) vµ (7) suy Do (8) Hệ (8) tương đương víi hƯ sau )=0 ) = ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 )=0 ξ1 = ξ2 = ξ3 = {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} ξ∈Λ ξ (ξ2 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − (ξ3 − ξ2 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − (ξ3 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − Thay vµo hƯ (8) ta Do nghiệm toán AVI Điều vô lí với không Trêng hỵp {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯1 = 0, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} λ2 = λ3 = λ4 = 3ξ1 − (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 ; 3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = 0; 3ξ3 − (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = Tõ (6) vµ (9) suy Do Hệ (10) tương đương với hệ sau (ξ2 − ξ1 )(¯ x2 + x¯3 − (ξ3 − ξ2 )(¯ x2 + x¯3 − (ξ3 − ξ1 )(¯ x2 + x¯3 − (9) ) = λ1 )=0 ) = λ1 ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 81 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (10) Tõ phương trình thứ hai hệ suy Thay vào hệ (10) ta { x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯1 = 0, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} ξ∈Λ ξ ξ2 = ξ3 = Do = Điều vô lí nghiệm toán AVI với không Do tính đối xứng giả thiết toán ta có kết tương tự: { x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯2 = 0, x¯i > 0, ∀i = 1, 3} ξ∈Λ ξ nghiƯm cđa toán AVI với { x = ( x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯3 = 0, x¯i > 0, i = 1, 2} nghiệm toán AVI không với không Trường hợp {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} Tõ (6) vµ (11) suy (11) λ1 = λ2 = λ3 = Do ®ã 3ξ1 − (ξ − ξ )¯ x + (ξ − ξ )¯ x + = λ4 ; 2 3 3ξ2 − (5) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ4 ; 3ξ3 − (ξ1 − ξ3 )¯ x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = λ4 (12) Hệ (12) tương đương với hệ sau (ξ2 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − (ξ3 − ξ2 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − (ξ3 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − )=0 )=0 )=0 (ξ2 − ξ1 )(1 − ⇔ (ξ3 − ξ2 )(1 − (ξ3 − ξ1 )(1 − )=0 )=0 )=0 ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} ξ∈Λ ξ Thay vµo hệ (12) ta Do nghiệm toán AVI ξ1 = ξ2 = ξ3 = víi mäi Điều vô lí không 82 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Trêng hỵp {¯ x = (0, 0, x¯3 ) : x¯3 > 1} Tõ (6) vµ (13) suy (13) λ3 = λ4 = Do ®ã 3ξ1 − (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2 3ξ3 − = 3ξ1 − (ξ − ξ )¯ x + = λ1 ; 3 3ξ2 − ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2 ; ξ3 = Hay ta cã Do 3λ 1 x ¯ = + ≤ ξ ≤ ; − 3ξ1 3λ2 ≤ ξ ≤ ; ⇒ x¯3 = + + 3ξ + 3ξ1 λ2 = λ1 ξ3 = − 3ξ 3λ1 x¯3 > ⇒ + > ⇒ λ1 > − 3ξ1 12 Do ®ã mäi {¯ x = (0, 0, ξ∈Λ 3λ1 + ) : λ1 > } − 3ξ1 12 = nghiệm toán AVI với thoả mÃn Do tính đối xứng giả thiết toán ta có kết t¬ng tù : 3λ2 + , 0, 0) : λ2 > } − 3ξ2 12 ξ∈Λ ξ1 = 3 3λ3 + , 0) : λ3 > } {¯ x = (0, − 3ξ3 12 ξ∈Λ ξ2 = { x=( nghiệm toán AVI với nghiệm toán AVI với thoả mÃn thoả mÃn Trường hợp { x = (0, x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} 83 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (14) λ2 = λ3 = 3ξ1 − (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 + λ4 ; 3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ4 ; 3ξ3 − (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = λ4 Tõ (6) (14) suy Do Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ ba ta (ξ3 − ξ2 )(¯ x2 + x¯3 − ) = ⇔ ξ3 = ξ2 ξ3 = ξ2 ≥ {¯ x = (0, x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} ξ∈Λ ξ Điều vô lí Từ (3) phương trình thứ ba hệ suy Do nghiệm toán AVI với không Do tính đối xứng giả thiết toán ta có kết tương tự : { x = ( x1 , 0, x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 3} ξ∈Λ toán AVI với { x = (¯ x1 , x¯2 , 0) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2} toán AVI với không nghiệm không nghiệm Trường hợp x¯ = (0, 0, 1) λ3 = 3ξ1 − (ξ3 − ξ1 ) + = λ1 + λ4 3ξ − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 ) + = λ2 + λ4 3ξ3 − = λ4 Tõ (6) vµ (15) suy (15) Do ®ã 3(ξ3 − ξ1 ) λ1 = ; 3(ξ3 − ξ2 ) ⇒ λ2 = ; λ = 3ξ3 − 4 §iỊu kiện (3) thoả mÃn 3(3 − ξ1 ) ≥0 3(ξ3 − ξ2 ) ≥0 3ξ3 − ≥ ξ ≥ ξ1 ⇔ ξ3 ≥ ξ2 ξ3 ≥ ξ3 ≥ ; ⇒ 0 ≤ ξ1 + ξ2 ≤ 84 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn x¯ = (0, 0, 1) ≤ ξ3 ≤ 1; 0 ≤ ξ1 + ξ2 ≤ Do nghiệm toán AVI với thoả mÃn Do tính đối xứng giả thiết toán ta có kết t¬ng tù: x = (0, 1, 0)} {¯ ≤ ξ2 ≤ 1; 0 ≤ ξ1 + ξ3 ≤ x = (1, 0, 0)} {¯ ≤ ξ1 ≤ 1; 0 ≤ ξ2 + ξ3 ≤ nghiệm toán AVI với thoả mÃn nghiệm toán AVI với thoả mÃn Tãm l¹i ta cã: Sol( 3λ2 + , 0, 0) : λ2 ≥ } {¯ x=( − 3ξ2 12 3λ3 {¯ x = (0, + , 0) : λ3 ≥ } − 3ξ3 12 3λ1 {¯ x = (0, 0, + ) : λ1 ≥ } − 3ξ1 12 )ξ = x¯ = (1, 0, 0) x¯ = (0, 1, 0) x¯ = (0, 0, 1) ∅ AVI Sol( ) = Sol( AVVI w ) = AVVI [ Sol( nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu ξ1 = ; ξ2 = ; ξ3 = ; < ξ1 ≤ 1; < ξ2 ≤ 1; < ξ3 1; trường hợp khác ) = {¯ x = (0, 0, x¯3 ) : x¯3 ≥ 1} AVI ξ∈Λ ∪ {¯ x = (0, x¯2 , 0) : x¯2 ≥ 1} ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0, 0) : x¯1 ≥ 1} 85 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn x3 x2 1 O x1 H×nh 2.9 NhËn xÐt 2.9.1 TËp nghiƯm gåm ba tia nằm biên tập hạn chế điểm nghiệm toán Tập nghiệm thí dụ không bị chặn không liên thông Số thành phần liên thông tập nghiƯm lµ NhËn xÐt 2.9.2 Ta cã 0+ ∆ = R3+ C¸c ma trËn M1 , M2 thí dụ ma trận với mäi v = (v1 , v2 ) ∈ 0+ ∆\{0} ta cã v T M1 v = 0; v T M2 v = vµ v T M3 v = Hơn nữa, điều kiện đơn điệu không đồng dương chặt (1.40) Định lý 1.2.18 không thoả mÃn Nên áp dụng Định lý 1.2.16, Định lý 1.2.18 cho thí dụ Các ma trận M1 , M2 thí dụ ma trận nửa xác định dương nên áp dụng Định lý 1.2.25, Định lý 1.2.26 cho thí dụ nµy 86 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn KÕt luËn Néi dung cña luận văn nghiên cứu tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu với tập hạn chế tập khác rỗng, lồi, đóng, không thiết compact Luận văn đà trình bày số kết đáng ý sau: Trình bày số kết báo [4], [9], [11] cách có hệ thống Tính toán thí dụ đà có toán tối ưu đa mục tiêu với hàm ph©n thøc tun tÝnh (xem thÝ dơ 2, thÝ dơ 7, thí dụ 8, thí dụ 9) ngôn ngữ toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu Xây dựng tính toán thí dụ míi (xem thÝ dơ 1, thÝ dơ 3, thÝ dơ 4, thí dụ 5, thí dụ 6) toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu điều kiện định lí trình bày chương điều kiện đủ điều kiện cần Lớp toán (P ) tương ứng với lớp toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine mà ma trận tương ứng với hàm mục tiêu ma trận phản xứng Thí dụ chØ r»ng, nÕu c¸c ma trËn n»m líp ma trận đối xứng kết luận 1.2.25, Định lý 1.2.26 không Tập nghiƯm Sol( VVI ); Sol( VVI )w vµ clSol( ) VVI cã thĨ b»ng nhau, cịng cã thĨ kh«ng b»ng Mặt khác tập nghiệm liên thông tồn Trong lớp toán toán )w Sol( tối VVI (P ) ưu VVI ) không liên thông (xem thí dụ 8) đà chứng minh với đa Sol( mục tiêu với hàm phân thức m2 tuyến 87 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn tính mà tập nghiệm E(P ) = E w (P ) cã nghÜa lµ m có lớp thành phần toán liên bất thông đẳng (xem thức biến )w AVVI có m Điều phân véc Sol( tơ affine xây dựng toán mà tập nghiệm Sol( [1]) )= AVVI thành phần liên thông Bài toán ước lượng số thành phần liên thông tập nghiệm Sol( ), Sol( AVVI )w n=m=2 AVVI cã mét lêi gi¶i trän vĐn, trường hợp chưa Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu khoa học hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để nội dung luận văn ngày có bước phát triển tốt Duới xin trình bày số liên thông câu hỏi mà nội dung luận văn chưa giải được: Câu Sol( hỏi 1: )w AVVI Số thành phần tập nghiệm )w AVVI ) AVVI hữu hạn không? Câu hỏi 2: Nếu số thành phần liên thông tập nghiệm Sol( Sol( Sol( ) AVVI hữu hạn có tối đa thành phần? Câu hỏi 3: Nếu tập hạn chế không thiết compact với điều kiện giả thiết tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân liên thông? Nếu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không liên thông có cấu trúc nào? 88 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Trần Ninh Hoa (2006), Cấu trúc tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phân thức tuyến tính, Luận văn tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nxb Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [3] T N Hoa, T D Phuong, N D Yen (2005), On the parametric affine variational inequality approach to linear fractional vector optimization problems, Vietnam Journal of Mathematics Vol 33, 477-489 [4] D S Kim, G M Lee, B S Lee, N D Yen (2000), Vector Varia- tional Inequality as a Tool for Studying Vector Optimization Problems, In Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theories, (F Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers, 277-305 [5] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York - LonDon [6] G M Lee (2004), On Connectedness of Solution Sets for Affine Vector Variational Inequality, Vietnam-Korea Workshop Optimization Theory and Applications, Ho Chi Minh City, February 2004 [7] G M Lee, K B Lee (2003), On Affine Vector Variational Inequality, In Multi-objective Programming and Goal Programming (T Tanino and M Inuiguchi, Eds) Springer, 191-195 89 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [8] G M Lee, N N Tam, N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities A Qualitative Study, Series Nonconvex Optimization and its Applications, Vol [9] G M Lee, N D Yen (2000), 78, Springer Verlag, New York On Monotone and Strongly Monotone Vector Variational Inequalities, In Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theories, (F Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers, 467-478 [10] T D Phuong, N D Yen (2000), Connectedness and stability of the solution set in linear fractional vector optimization problems, In Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theories, (F Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers, 479-489 [11] J C Yao , N D Yen (2009), Monotone Affine Vector Variational In- equalities, (To appear) 90 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn