Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

www.VNMATH.com ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲ ◆❣✉②Ơ♥ ❙♦♥❣ ❍➭ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ◆❣✉②Ô♥ ❙♦♥❣ ❍➭ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ P●❙✳ ❚❙✳ ❚➵ ❉✉② P❤➢ỵ♥❣ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✳ ❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✳✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✶✳✶✳✷ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✶✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✶✳✶✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✶✳✷ ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✶✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✶✳✷✳✷ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✳ ✷✼ ✳ ✸✵ ✳ ✸✾ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✶✳✷✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡✳ ✶✳✷✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡ ♣❤➞♥ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✳ www.VNMATH.com ✷ ❈➳❝ t❤Ý ❞ơ tÝ♥❤ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✹✹ ✷✳✶ ❚❤Ý ❞ơ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✷✳✷ ❚❤Ý ❞ô ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ✷✳✸ ❚❤Ý ❞ô ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✷✳✹ ❚❤Ý ❞ô ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽ ✷✳✺ ❚❤Ý ❞ô ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷ ✷✳✻ ❚❤Ý ❞ô ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ✷✳✼ ❚❤Ý ❞ô ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✷✳✽ ❚❤Ý ❞ô ✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ ✷✳✾ ❚❤Ý ❞ô ✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✽✾ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❉♦ ý ♥❣❤Ü❛ q✉❛♥ trä♥❣ ✈Ò ❝➯ ❧ý t❤✉②Õt ❧➱♥ t❤ù❝ tÕ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠➵♥❤ ♠Ï tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ✸✵ ♥➝♠ trë ❧➵✐ ➤➞②✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥❤✐Ò✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✭❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï✱✳✳✳✮✳ ◆❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ị ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✱ ổ ị ệ ợ ứ ỹ ♥❤✐➟♥✱ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❝✃✉ tró❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ✭tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✱ tÝ♥❤ ❝♦ rót ➤➢ỵ❝✮ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ơ❝ t✐➟✉ ➤➲ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤✐Ị✉✱ t❤× ❝✃✉ tró❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ß♥ ❝❤➢❛ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ➤➬② ➤đ✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✹❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✶❪✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❜➯♥ t❤➞♥ ✈Ị ✈✃♥ ➤Ò ♥➭②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t❐♣ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❝♦♠♣❛❝t✳ ❱✃♥ ➤Ị tr✉♥❣ t➞♠✱ ①✉②➟♥ s✉èt ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐✿ ❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭♦ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠❄ ❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥➭♦ t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣❄ ◆Õ✉ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ã ❝ã ❝✃✉ tró❝ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦❄ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉♥❣ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ✈➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ❧➭♠ s➳♥❣ tá ❧ý t❤✉②Õt ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✈➭ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ♥❤❐♥ ①Ðt ✈Ị ❝✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚➵ ❉✉② P❤➢ỵ♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤è✐ ✈í✐ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ➤➲ t❐♥ tì ú ỡ ể ó ợ ết q tr ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤è✐ ✈í✐ ❚r✉♥❣ t➞♠ ➜➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❐♣ t❤Ĩ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❚♦➳♥ ✲ ❑✶✺✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈Ị sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✳ ❱➭ ❝✉è✐ ❝ï♥❣✱ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❝đ❛ t➠✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❦❤Ý❝❤ ❧Ư r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❞➭✐ ❤ä❝ t❐♣✳ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❈➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ •Rn+ = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, , n} • x, y • x •∂A x ❧➭ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ ♣❤➬♥ tư •intA •clA ❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tư ❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝đ❛ ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❧➭ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ✈➭ y tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ A ✳ A ✳ A ✳ 0, ) ãB(x ì ó t ãB(x0 , ) ì t ãG : X ⇒ Y X, Y x ❤♦➷❝ x0 x0 G : X ⇒ 2Y ✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ✳ trị ữ t ãA Rrìn ãx Rn ãN (x) •0+ ∆ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ t❤× xT r×n ✈➭ AT ❧➭ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ✈Ð❝ t➡ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ ❧➭ ♥ã♥ ❧ï✐ ①❛ ❝ñ❛ t❐♣ ∆ t➵✐ ❧➭ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ x ✳ x ✳ ∆ ✳ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn A ✳ www.VNMATH.com ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✳✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ●✐➯ sö ∆ ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✱ rỗ F : Rn ột t tư ✭➳♥❤ ①➵✮ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ➤✐Ĩ♠ x¯ ∈ ∆ t❤á❛ ♠➲♥ F (¯ x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ ∆, ✭✶✳✶✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✮ ❤❛②✱ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ❱■✳ ❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ Sol( ) ❱■ ❝đ❛ ❱■ ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ x¯ ∈ ∆ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ s❛✉✿ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚×♠ ➤✐Ĩ♠ x¯ ∈ ∆ s❛♦ ❝❤♦ F (¯ x), y − x¯ ∈ / −R+ \ {0}, ❉Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ r➺♥❣ tr♦♥❣ ➤ã N∆ (¯ x) ) ∆ ❱■ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ t➵✐ ✭✶✳✷✮ ∈ F (¯ x) + N∆ (¯ x) ✱ x¯ ✱ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ {z ∈ Rn : z, x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ ∆} ∅ N∆ (¯ x) = ✶✳✶✳✷ x¯ ∈ Sol( ∀y ∈ ∆ ♥Õ✉ ♥Õ✉ x¯ ∈ ∆ x¯ ∈ /∆ ✱ ✭✶✳✸✮ ✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ ●✐➯ sö x¯ ∈ ∆✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét sè ε > s❛♦ ❝❤♦ ¯ x, ε) ∀y ∈ ∆ ∩ B(¯ F (¯ x), y − x¯ ≥ 0, ❑❤✐ ✃② x¯ ∈ Sol( ) ❱■ ✳ ε>0 t =∈ (0, 1) zt := x¯ + t(y − x¯) ≤ F (¯ x), zt − x¯ = t F (¯ x), y − x¯ y∈∆ x¯ ∈ Sol( ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ t➵✐ ✭✶✳✹✮ tỏ õ r ỗ s y tå♥ ¯ x, ε) ∆ ∩ B(¯ F (¯ x), y − x¯ ≥ t❤✉é❝ t❐♣ ✳ ❚❤❡♦ ✭✶✳✹✮✱ ✳ ❚õ ➤➞② s✉② r❛ r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ❉♦ ➤ã ❱■ ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✶✳✹✮✮ ❝ị♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ t♦➭♥ ❝ơ❝ ✭♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✶✳✶✮✮✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❧Ý ❍❛rt♠❛♥✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ế ó ị ợ í ❝❤ø♥❣ ❜➯♥ ✈Ị ♠✐♥❤ sù ♥❤ê ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✉✇❡r✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✹✳ ✭❳❡♠ ❬✺❪ tr❛♥❣ ✶✷✮✳ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn tå♥ t➵✐ ➤Þ♥❤ ❧Ý www.VNMATH.com ∆ ⊂ Rn ◆Õ✉ rỗ t F : Rn ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝✱ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ❱í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♣❤ï ❤ỵ♣ ✭➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ✲ ❝♦❡r❝✐✈✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧Ý tå♥ t➵✐ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ợ t ế t ị ý ✭❳❡♠ ❬✺❪ tr❛♥❣ ✶✹✮✳ ∆ ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ó rỗ F : Rn ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x ∈ ∆ s❛♦ ❝❤♦ ●✐➯ sö F (y) − F (x0 ), y − x0 → +∞ y − x0 ❦❤✐ y → +∞, y ∈ ∆, ✭✶✳✺✮ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❱■ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻✳ ❇✐Ĩ✉ t❤ø❝ ✭✶✳✺✮ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ❧➭✿ ❱í✐ ρ>0 sè ❞➭♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❝ã tể tì ợ ột s F (y) F (x0 ), y − x0 ≥γ y − x0 ❉Ô γ>0 ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ∆ x0 ∈ ∆ ♥Õ✉ ✭✶✳✺✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ❝♦♠♣❛❝t y∈∆ t❤× ✈í✐ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ä✐ x0 ∈ ∆ y > ρ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛♦ ❝❤♦ ✭✶✳✺✮ ①➯② r❛ t❤× t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t❐♣ ❤➵♥ ❝❤Õ ∆ ❦❤➠♥❣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ✭✶✳✺✮ ❝❤Ø ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ❞➵♥❣ ❝đ❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x0 ∈ ∆ ✈➭ α>0 s❛♦ ❝❤♦ F (y) − F (x0 ), y − x0 ≥ α y − x0 , ∀y ∈ ∆ tì ợ tỏ ế tồ t ột sè α>0 s❛♦ ❝❤♦ F (y) − F (x), y − x ≥ α y − x , ∀x , y , tì ợ tỏ ❉♦ ➤ã ✭✶✳✺✮ ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✭✶✳✼✮ www.VNMATH.com  ❚r♦♥❣ ➤ã  A = −1 0  ✈➭  b = −4 ①➳❝ ➤Þ♥❤ tõ t❐♣ ∆ ❚❛ ❝ã −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = λ1 − λ2 ; ξ2 x¯1 − 2ξ2 = λ3 (1) ⇔ (5) ✈➭ (4) ⇔ λ1 x¯1 + λ2 (4 − x¯1 ) + λ3 x¯2 = (6) {¯ x = (¯ x1 , x¯2 ) : < x¯1 < 4, x¯2 > 0} (7) ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶ ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✼✮ s✉② r❛ λ1 = λ2 = λ3 = ✳ ❉♦ ➤ã (5) ⇔ ◆Õ✉ ξ2 = tì ết ợ x2 + 3ξ2 = 0; ξ2 (¯ x1 − 2) = ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ♥❤✃t (8) tr♦♥❣ x¯1 = < ξ2 < t❤✉➱♥✳ ❉♦ ➤ã tõ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ tr♦♥❣ ✭✽✮ s✉② r❛ ❚õ ✭✽✮ t❛ ❝ã ❉♦ ➤ã ♠➲♥ x¯2 = {¯ x = (2, < ξ2 < − 3ξ2 ξ2 ✱ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ✭✼✮ s✉② r❛ − 3ξ2 )} ξ2 ✭✽✮ t❛ ➤✐ tí✐ ♠➞✉ ξ∈Λ t❤♦➯ ✳ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✳ ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷ ✲ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷❛ x¯ = (0, 0) ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✾✮ s✉② r❛ λ2 = (5) ⇔ ❉♦ ➤ã x¯ = (0, 0) (9) ✳ ❉♦ ➤ã − 3ξ2 = λ1 −2ξ2 = λ3 λ1 = ξ1 = 1; λ3 = ξ2 = ⇒ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ξ = (1, 0) ✳ ✼✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ✲ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷❜ x¯ = (4, 0) ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✵✮ s✉② r❛ λ1 = ✳ ❉♦ ➤ã (5) ⇔ x¯ = (4, 0) ≤ ξ2 ≤ ❉♦ ➤ã ❧➭ (10) − 3ξ2 = −λ2 2ξ2 = λ3 ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ⇒ ξ2 ≥ ❆❱■ ✈í✐ ξ ξ ∈ Λ ♠ä✐ t❤♦➯ ♠➲♥ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✸ {¯ x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0} ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✶✮ s✉② r❛ ❉♦ ➤ã λ2 = λ3 = ✳ ❉♦ ➤ã −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = λ1 −2ξ2 = (5) ⇔ (11) {¯ x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0} ⇔ λ1 = 1; ξ2 = ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ξ = (1, 0) ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✹ {¯ x = (¯ x1 , 0) : < x¯1 < 4} ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✷✮ s✉② r❛ ❚õ ✭✸✮ s✉② r❛ λ1 = λ2 = ✳ ❉♦ ➤ã − 3ξ2 = ξ2 x¯1 − 2ξ2 = λ3 (5) ⇔  ξ = ; ⇔ x¯ = 3λ + x¯1 ≥ ✳ ❍➡♥ ♥÷❛ tõ ✭✸✮ ✈➭ ✭✶✷✮ t❛ ❝ã {¯ x = (3λ3 + 2, 0) : ≤ λ3 < } ξ∈Λ ξ2 = ❉♦ ➤ã ♠ä✐ t❤♦➯ ♠➲♥ (12) < x¯1 < ⇒ ≤ λ3 < ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✺ {¯ x = (4, x¯2 ) : x¯2 > 0} ✼✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (13) www.VNMATH.com ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✸✮ s✉② r❛ λ1 = λ3 = ✳ ❉♦ ➤ã −ξ2 x¯2 + − 3ξ2 = −λ2 2ξ2 = (5) ⇔ ⇔ λ2 = −1; ξ2 = ▼➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✸✮✳ ❉♦ ➤ã ξ∈Λ {x = (4, x¯2 ) : x¯2 > 0} ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ❚ã♠ ❧➵✐ t❛ ❝ã✿   {(0, 0)} ∪ {¯ x = (0, x¯2 ) : x¯2 > 0}     − 3ξ2   x = (2, )} {¯ ξ2 )ξ =  } {¯ x = (3λ + 2, 0) : ≤ λ ≤  3      x¯ = (4, 0) Sol( ♥Õ✉ ♥Õ✉ ❆❱■ Sol( )= ♥Õ✉ < ξ2 < ; ξ2 = ; < ξ2 ≤ )ξ = {¯ x = (2, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} Sol( ❆❱❱■ ♥Õ✉ ξ2 = 0; ❆❱■ ξ∈Λ0 ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0) : ≤ x¯1 ≤ 4} Sol( )w = Sol( ❆❱❱■ )ξ = {¯ x = (2, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} ❆❱■ ξ∈Λ ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0) : ≤ x¯1 ≤ 4} ∪ {x = (0, x¯2 ) : x¯2 ≥ 0} x2 ✵ x2 ✷ ✹ x1 ✵ ✷ ✹ x1 ❍×♥❤ ✷✳✽ ✼✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✽✳✶✳ Sol( ) ❆❱❱■ ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❣✃♣ ❦❤ó❝ ❣å♠ ♠ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥➺♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ Sol( )w ❣å♠ ❤❛✐ t❤➭♥❤ t✉♥❣✳ ❚❛ ❝ã Sol( ) ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ t❤ù❝ )) ❦❤➠♥❣ ❜➺♥❣ Sol( )w ❍➡♥ ♥÷❛✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ Sol( )w ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét ✈➭ ♠ét ♥ư❛ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤✉é❝ ♣❤➬♥ tr♦♥❣✱ ❝ß♥ Sol( sù ❝ñ❛ Sol( Sol( ) ❧➭ ♣❤➬♥ ❧➭ ) ❆❱❱■ )w ❆❱❱■ ❆❱❱■ ✈➭ ♥ư❛ trơ❝ ✈➭ cl(Sol( ❆❱❱■ ❆❱❱■ ❆❱❱■ ♠ét t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❆❱❱■ ✳ ❆❱❱■ t❐♣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ✈➭ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❧➭ ✷✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✽✳✷✳ ❚❛ ❝ã 0+ ∆ = {v = (0, v2 ) ∈ R2 : v2 ≥ 0}✳ ❈➳❝ ♠❛ tr❐♥ M1 , M2 tr♦♥❣ t❤Ý ❞ô ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢➡♥❣ ❝❤➷t tr➟♥ ∆ ✈× ✈í✐ ♠ä✐ v = (v1 , v2 ) ∈ 0+ ∆\{0} t❛ ❝ã v T M1 v = ✈➭ v T M2 v = ♥➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ➳♣ ❞ơ♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✻ ❝❤♦ t❤Ý ❞ơ ♥➭②✳ ❈❤ä♥ v = (0, 1) ∈ 0+ ∆\{0} t❛ ❝ã (M1 x + q1 )v = ✈í✐ ♠ä✐ x∈∆ ♥➟♥ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✽ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝❤♦ t❤Ý ❞ô ♥➭②✳ ❈➳❝ ♠❛ tr❐♥ M1 , M2 tr♦♥❣ t❤Ý ❞ơ ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ♥ư❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥➟♥ ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✺✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✻ ❝❤♦ t❤Ý ❞ô ♥➭②✳ ✷✳✾ ❚❤Ý ❞ô ✾ ❳Ðt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ , ❆❱❱■ ✈➭ w ❆❱❱■ ✈í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ s❛✉✿ ∆ = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 ≥ 1, xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3}       −1 −1 0 M1 = 1 0  , M2 = −1 −1 , M3 =  0 1 ; 0 −1 −1       1 − −    2  2      1  , q2 =   , q3 = −  q1 =  −  2    2  1  1   − − 2 ✼✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❑Ý ❤✐Ö✉ Λ = {ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ∈ R3 : ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1, ξi ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3} ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ✿ ❚×♠ x¯ ∈ ∆ : ξi qi , x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ ∆ ξi Mi x¯ + i=1 ✳ i=1 ❚❛ ➤➷t Mξ = i=1 t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ   −ξ1 + ξ2 −ξ1 + ξ3 ξi Mi = ξ1 − ξ2 −ξ2 + ξ3  ; ξ1 − ξ3 ξ2 − ξ3   3ξ1 −    3ξ2 −   qξ = ξi q i =     3ξ −  i=1 x¯ ∈ ∆ : Mξ x¯ + qξ , x − x¯ ≥ 0, ∀x ∈ ∆ trë t❤➭♥❤✿ ❚×♠ ❑❤✐ ➤ã ➳♣ ❞ô♥❣ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝ã   Mξ x¯ − AT λ + qξ = 0; (1)    Ax ≥ b; (2) x¯ ∈ Sol( )ξ ⇔ ∃λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ∈ R :  λ ≥ 0; (3)    λT (A¯ x − b) = (4)     0 0 0 0    ∆ A= b = 0 0 1 1 1 ❆❱■ ❚r♦♥❣ ➤ã ①➳❝ ➤Þ♥❤ tõ t❐♣ ✈➭ ✳ ❚❛ ❝ã  3ξ1 −   (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 + λ4 ;    3ξ2 − (1) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2 + λ4 ;    3ξ3 −  (ξ1 − ξ3 )¯ = λ3 + λ4 x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + (5) ✈➭ (4) ⇔ λ1 x¯1 + λ2 x¯2 + λ3 x¯3 + λ4 (¯ x1 + x¯2 + x¯3 − 1) = ✽✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (6) www.VNMATH.com ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} (7) λ1 = λ2 = λ3 = λ4 =  3ξ1 −   (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = 0;    3ξ2 − (5) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = 0;    3ξ3 −  (ξ1 − ξ3 )¯ x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✼✮ s✉② r❛ ✳ ❉♦ ➤ã (8) ❍Ö ✭✽✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ư s❛✉ )=0 ) = ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 )=0 ξ1 = ξ2 = ξ3 = {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} ξ∈Λ ξ    (ξ2 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 −    (ξ3 − ξ2 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 −     (ξ3 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − ❚❤❛② ✈➭♦ ❤Ö ✭✽✮ t❛ ➤➢ỵ❝ ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ✈➠ ❧Ý✳ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯1 = 0, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} λ2 = λ3 = λ4 =  3ξ1 −   (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 ;    3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = 0;    3ξ3 −  (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✾✮ s✉② r❛ ✳ ❉♦ ➤ã ❍Ư ✭✶✵✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ư s❛✉    (ξ2 − ξ1 )(¯ x2 + x¯3 −    (ξ3 − ξ2 )(¯ x2 + x¯3 −     (ξ3 − ξ1 )(¯ x2 + x¯3 − (9) ) = λ1 )=0 ) = λ1 ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 ✽✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (10) www.VNMATH.com ❚õ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ tr♦♥❣ ❤Ư s✉② r❛ ✳ ❚❤❛② ✈➭♦ ❤Ư ✭✶✵✮ t❛ ➤➢ỵ❝ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯1 = 0, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} ξ∈Λ ξ ξ2 = ξ3 = ❉♦ ➤ã ξ2 = ξ3 ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ✈➠ ❧Ý✳ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ✳ ❉♦ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝ñ❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù✿ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯2 = 0, x¯i > 0, ∀i = 1, 3} ξ∈Λ ξ ♥❣❤✐Ö♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ✳ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 > 1, x¯3 = 0, x¯i > 0, ∀i = 1, 2} ξ∈Λ ξ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✸ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✶✮ s✉② r❛ (11) λ1 = λ2 = λ3 = ✳ ❉♦ ➤ã  3ξ1 −   (ξ − ξ )¯ x + (ξ − ξ )¯ x + = λ4 ; 2 3    3ξ2 − (5) ⇔ (ξ1 − ξ2 )¯ x1 + (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ4 ;    3ξ3 −  (ξ1 − ξ3 )¯ x1 + (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = λ4 (12) ❍Ư ✭✶✷✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ư s❛✉    (ξ2 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 −    (ξ3 − ξ2 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 −     (ξ3 − ξ1 )(¯ x1 + x¯2 + x¯3 − )=0 )=0 )=0    (ξ2 − ξ1 )(1 −    ⇔ (ξ3 − ξ2 )(1 −     (ξ3 − ξ1 )(1 − )=0 )=0 )=0 ⇒ ξ1 = ξ2 = ξ3 {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2, 3} ξ∈Λ ξ ❚❤❛② ✈➭♦ ❤Ư ✭✶✷✮ t❛ ➤➢ỵ❝ ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ1 = ξ2 = ξ3 = ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ✈➠ ❧Ý✳ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✳ ✽✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✹ {¯ x = (0, 0, x¯3 ) : x¯3 > 1} ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✸✮ s✉② r❛ (13) λ3 = λ4 = ✳ ❉♦ ➤ã  3ξ1 −   (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1    3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2      3ξ3 − =  3ξ1 −   (ξ − ξ )¯ x + = λ1 ; 3    3ξ2 − ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ2 ;     ξ3 = ❍❛② t❛ ❝ã ❉♦   3λ 1    x ¯ = + ≤ ξ ≤ ;       − 3ξ1   3λ2 ≤ ξ ≤ ; ⇒ x¯3 = +   + 3ξ     + 3ξ1    λ2 = λ1 ξ3 = − 3ξ 3λ1 x¯3 > ⇒ + > ⇒ λ1 > − 3ξ1 12 ❉♦ ➤ã ♠ä✐ {¯ x = (0, 0, ξ∈Λ 3λ1 + ) : λ1 > } − 3ξ1 12 ξ3 = ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ t❤♦➯ ♠➲♥ ❉♦ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝đ❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❛ ❝ị♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ✿ 3λ2 + , 0, 0) : λ2 > } − 3ξ2 12 ξ∈Λ ξ1 = 3 3λ3 + , 0) : λ3 > } {¯ x = (0, − 3ξ3 12 ξ∈Λ ξ2 = {¯ x=( ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ξ t❤♦➯ ♠➲♥ ξ t❤♦➯ ♠➲♥ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✺ {¯ x = (0, x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} ✽✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (14) www.VNMATH.com λ2 = λ3 =  3ξ1 −   (ξ2 − ξ1 )¯ x2 + (ξ3 − ξ1 )¯ x3 + = λ1 + λ4 ;    3ξ2 − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 )¯ x3 + = λ4 ;    3ξ3 −  (ξ2 − ξ3 )¯ x2 + = λ4 ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✹✮ s✉② r❛ ✳ ❉♦ ➤ã ▲✃② ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ trõ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❜❛ t❛ ➤➢ỵ❝ (ξ3 − ξ2 )(¯ x2 + x¯3 − ) = ⇔ ξ3 = ξ2 ξ3 = ξ2 ≥ {¯ x = (0, x¯2 , x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 2, 3} ξ∈Λ ξ ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ✈➠ ❧Ý✳ ❚õ ✭✸✮ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❜❛ tr♦♥❣ ❤Ư s✉② r❛ ❉♦ ➤ã ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✳ ❉♦ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝ñ❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ✿ {¯ x = (¯ x1 , 0, x¯3 ) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 3} ξ∈Λ ξ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ✳ {¯ x = (¯ x1 , x¯2 , 0) : x¯1 + x¯2 + x¯3 = 1, x¯i > 0, ∀i = 1, 2} ξ∈Λ ξ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✻ x¯ = (0, 0, 1) λ3 =  3ξ1 −   (ξ3 − ξ1 ) + = λ1 + λ4    3ξ − (5) ⇔ (ξ3 − ξ2 ) + = λ2 + λ4      3ξ3 − = λ4 ❚õ ✭✻✮ ✈➭ ✭✶✺✮ s✉② r❛ (15) ✳ ❉♦ ➤ã  3(ξ3 − ξ1 )   λ1 = ;    3(ξ3 − ξ2 ) ⇒ λ2 = ;     λ = 3ξ3 − 4 ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✸✮ t❤♦➯ ♠➲♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐  3(ξ3 − ξ1 )   ≥0    3(ξ3 − ξ2 ) ≥0      3ξ3 − ≥   ξ ≥ ξ1   ⇔ ξ3 ≥ ξ2   ξ3 ≥   ξ3 ≥ ; ⇒  0 ≤ ξ1 + ξ2 ≤ ✽✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com x¯ = (0, 0, 1)    ≤ ξ3 ≤ 1;  0 ≤ ξ1 + ξ2 ≤ ❉♦ ➤ã ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ♠ä✐ ξ∈Λ t❤♦➯ ♠➲♥ ❉♦ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝đ❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❛ ❝ị♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù✿ x = (0, 1, 0)}  {¯   ≤ ξ2 ≤ 1;  0 ≤ ξ1 + ξ3 ≤ x = (1, 0, 0)}  {¯   ≤ ξ1 ≤ 1;  0 ≤ ξ2 + ξ3 ≤ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ♠ä✐ ξ ∈ Λ t❤♦➯ ♠➲♥ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❆❱■ ξ ✈í✐ ♠ä✐ ξ ∈ Λ t❤♦➯ ♠➲♥ ❚ã♠ ❧➵✐ t❛ ❝ã✿ Sol(  3λ2   + , 0, 0) : λ2 ≥ } {¯ x=(   − 3ξ2 12    3λ3   {¯ x = (0, + , 0) : λ3 ≥ }    − 3ξ3 12    3λ1   {¯ x = (0, 0, + ) : λ1 ≥ }   − 3ξ1 12   )ξ = x¯ = (1, 0, 0)      x¯ = (0, 1, 0)        x¯ = (0, 0, 1)      ∅     ❆❱■ Sol( ) = Sol( ❆❱❱■ )w = Sol( ❆❱❱■ ♥Õ✉ ♥Õ✉ ♥Õ✉ ♥Õ✉ ♥Õ✉ ♥Õ✉ ξ1 = ; ξ2 = ; ξ3 = ; < ξ1 ≤ 1; < ξ2 ≤ 1; < ξ3 ≤ 1; tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➳❝ )ξ = {¯ x = (0, 0, x¯3 ) : x¯3 ≥ 1} ❆❱■ ξ∈Λ ∪ {¯ x = (0, x¯2 , 0) : x¯2 ≥ 1} ∪ {¯ x = (¯ x1 , 0, 0) : x¯1 ≥ 1} ✽✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com x3 x2 ✶ ✶ ❖ x1 ✶ ❍×♥❤ ✷✳✾ ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✾✳✶✳ ❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❣å♠ ❜❛ t✐❛ ♥➺♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ t❐♣ ❤➵♥ ❝❤Õ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜✃t ❦× ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ♥➭♦ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ t❤Ý ❞ơ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✳ ❙è t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ ✸✳ ◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✾✳✷✳ ❚❛ ❝ã 0+ ∆ = R3+ ✳ ❈➳❝ ♠❛ tr❐♥ M1 , M2 tr♦♥❣ t❤Ý ❞ô ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ∆ ✈× ✈í✐ ♠ä✐ v = (v1 , v2 ) ∈ 0+ ∆\{0} t❛ ❝ã v T M1 v = 0; v T M2 v = ✈➭ v T M3 v = 0✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢➡♥❣ ❝❤➷t tr➟♥ ✭✶✳✹✵✮ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✽ ❦❤➠♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ◆➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✻✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✽ ❝❤♦ t❤Ý ❞ơ ♥➭②✳ ❈➳❝ ♠❛ tr❐♥ M1 , M2 tr♦♥❣ t❤Ý ❞ô ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ♥ư❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ♥➟♥ ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✺✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✻ ❝❤♦ t❤Ý ❞ơ ♥➭②✳ ✽✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❑Õt ❧✉❐♥ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈í✐ t❐♣ ❤➵♥ ế ột t rỗ ó t tết t trì ợ ột số ❦Õt q✉➯ ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ♥❤➢ s❛✉✿ ✶✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✹❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✶❪ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❤Ö t❤è♥❣✳ ✷✳ ❚Ý♥❤ t♦➳♥ ❝➳❝ t❤Ý ❞ô ➤➲ ❝ã tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ơ❝ t✐➟✉ ✈í✐ ❤➭♠ ♣❤➞♥ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭①❡♠ t❤Ý ❞ô ✷✱ t❤Ý ❞ô ✼✱ t❤Ý ❞ô ✽✱ t❤Ý ❞ô ✾✮ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ✸✳ ❳➞② ❞ù♥❣ ✈➭ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝➳❝ t❤Ý ❞ơ ♠í✐ ✭①❡♠ t❤Ý ❞ơ ✶✱ t❤Ý ❞ô ✸✱ t❤Ý ❞ô ✹✱ t❤Ý ❞ô ✺✱ t❤Ý ❞ô ✻✮ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ủ ị í trì tr ỉ ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❝❤ø ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✳ ✹✳ ▲í♣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ (P ) ❝❤Ø t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ t➡ ❛❢❢✐♥❡ ♠➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ỗ ụ t ột tr ①ø♥❣✳ ❚❤Ý ❞ô ✹ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✱ ♥Õ✉ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❧í♣ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ t❤× ❝➳❝ ết ủ ị ý ò ➤ó♥❣ ♥÷❛✳ ✺✳ ❚❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ Sol( )w ); Sol( ❱❱■ ❱❱■ ✈➭ clSol( ) ❱❱■ ❝ã t❤Ĩ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✱ ❝ị♥❣ ❝ã t❤Ó ❦❤➠♥❣ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ♥❣❛② ❝➯ ❦❤✐ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ✻✳ tå♥ ❚r♦♥❣ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ t➵✐ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ )w Sol( tè✐ ❱❱■ (P ) ➢✉ ) ❱❱■ ❝ã t❤Ó ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ✭①❡♠ t❤Ý ❞ơ ✽✮✳ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ➤❛ Sol( ♠ơ❝ t✐➟✉ ✈í✐ ❤➭♠ ♣❤➞♥ t❤ø❝ m≥2 t✉②Õ♥ ✽✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn tÝ♥❤ t❤× ♠➭ www.VNMATH.com t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ♥➭② ❝ị♥❣ E(P ) = E w (P ) ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tr♦♥❣ m ❝ã ❧í♣ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❜➭✐ ♣❤➬♥ t♦➳♥ ❧✐➟♥ ❜✃t t❤➠♥❣ ➤➻♥❣ ✭①❡♠ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ )w ❆❱❱■ ❝ã m ➜✐Ò✉ ♣❤➞♥ ✈Ð❝ Sol( t➡ ❛❢❢✐♥❡ ❝ã t❤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ♠➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ Sol( ❬✶❪✮✳ )= ❆❱❱■ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ Sol( ), Sol( ❆❱❱■ )w n=m=2 ❆❱❱■ ❝ã ♠ét ❧ê✐ ❣✐➯✐ trä♥ ✈Đ♥✱ ♥❣❛② ❝➯ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ❝❤➢❛ ✳ ❉♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ trì ộ ứ ọ ò ế ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✱ ❦Ý♥❤ ♠♦♥❣ q✉ý t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ✈➭ ❜ỉ s✉♥❣ ➤Ĩ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❣➭② ❝➭♥❣ ❝ã ❜➢í❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ tèt ❤➡♥✳ ❉✉í✐ ➤➞② t➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝➞✉ ❤á✐ ♠➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤➢❛ ❣✐➯✐ q✉②Õt ➤➢ỵ❝✿ ❈➞✉ ❤á✐ ✶✿ )w Sol( ❆❱❱■ ❙è t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ )w ❆❱❱■ ) ❆❱❱■ ✈➭ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣❄ ❈➞✉ ❤á✐ ✷✿ ◆Õ✉ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ Sol( Sol( Sol( ) ✈➭ ữ tì ó tố t❤➭♥❤ ♣❤➬♥❄ ❈➞✉ ❤á✐ ✸✿ ◆Õ✉ t❐♣ ❤➵♥ ❝❤Õ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❝♦♠♣❛❝t t❤× ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➭♦ t❤× t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣❄ ◆Õ✉ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ t❤× ❝ã ❝✃✉ tró❝ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦❄ ✽✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❚r➬♥ ◆✐♥❤ ❍♦❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ❈✃✉ tró❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ơ❝ t✐➟✉ ✈í✐ ❤➭♠ ♣❤➞♥ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t✐Õ♥ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✷❪ ◆❣✉②Ơ♥ ➜➠♥❣ ❨➟♥ ✭✷✵✵✼✮✱ ●✐➳♦ tr×♥❤ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ➤❛ trÞ✱ ◆①❜ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✸❪ ❚✳ ◆✳ ❍♦❛✱ ❚✳ ❉✳ P❤✉♦♥❣✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✺✮✱ ❖♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❛❢❢✐♥❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❧✐♥❡❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❱♦❧✳ ✸✸✱ ✹✼✼✲✹✽✾ ✳ ❬✹❪ ❉✳ ❙✳ ❑✐♠✱ ●✳ ▼✳ ▲❡❡✱ ❇✳ ❙✳ ▲❡❡✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✵✮✱ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛✲ t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t② ❛s ❛ ❚♦♦❧ ❢♦r ❙t✉❞②✐♥❣ ❱❡❝t♦r ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s✱ ■♥ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✱ ✭❋✳ ●✐❛♥♥❡ss✐✱ ❊❞✳✮✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✱ ✷✼✼✲✸✵✺✳ ❬✺❪ ❉✳ ❑✐♥❞❡r❧❡❤r❡r✱ ●✳ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✭✶✾✽✵✮✱ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦ ✲ ▲♦♥✲ ❉♦♥✳ ❬✻❪ ●✳ ▼✳ ▲❡❡ ✭✷✵✵✹✮✱ ❖♥ ❈♦♥♥❡❝t❡❞♥❡ss ♦❢ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❙❡ts ❢♦r ❆❢❢✐♥❡ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t②✱ ❱✐❡t♥❛♠✲❑♦r❡❛ ❲♦r❦s❤♦♣ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❍♦ ❈❤✐ ▼✐♥❤ ❈✐t②✱ ❋❡❜r✉❛r② ✷✵✵✹✳ ❬✼❪ ●✳ ▼✳ ▲❡❡✱ ❑✳ ❇✳ ▲❡❡ ✭✷✵✵✸✮✱ ❖♥ ❆❢❢✐♥❡ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t②✱ ■♥ ▼✉❧t✐✲♦❜❥❡❝t✐✈❡ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛♥❞ ●♦❛❧ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ✭❚✳ ❚❛♥✐♥♦ ❛♥❞ ▼✳ ■♥✉✐❣✉❝❤✐✱ ❊❞s✮ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✶✾✶✲✶✾✺✳ ✽✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❬✽❪ ●✳ ▼✳ ▲❡❡✱ ◆✳ ◆✳ ❚❛♠✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✺✮✱ ◗✉❛❞r❛t✐❝ Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❛♥❞ ❆❢❢✐♥❡ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❆ ◗✉❛❧✐t❛t✐✈❡ ❙t✉❞②✱ ❙❡r✐❡s ◆♦♥❝♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❱♦❧✳ ❬✾❪ ●✳ ▼✳ ▲❡❡✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✵✮✱ ✼✽✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❖♥ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❛♥❞ ❙tr♦♥❣❧② ▼♦♥♦t♦♥❡ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ■♥ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✱ ✭❋✳ ●✐❛♥♥❡ss✐✱ ❊❞✳✮✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✱ ✹✻✼✲✹✼✽✳ ❬✶✵❪ ❚✳ ❉✳ P❤✉♦♥❣✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✵✮✱ ❈♦♥♥❡❝t❡❞♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ s❡t ✐♥ ❧✐♥❡❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ✈❡❝t♦r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ■♥ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❊q✉✐❧✐❜r✐❛✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✱ ✭❋✳ ●✐❛♥♥❡ss✐✱ ❊❞✳✮✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✱ ✹✼✾✲✹✽✾✳ ❬✶✶❪ ❏✳ ❈✳ ❨❛♦ ✱ ◆✳ ❉✳ ❨❡♥ ✭✷✵✵✾✮✱ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❆❢❢✐♥❡ ❱❡❝t♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥✲ ❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ✭❚♦ ❛♣♣❡❛r✮✳ ✾✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ➤➢ê♥❣ ♥Õ✉ s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ? ?? ✳ ψ : X × [0, 1] → X ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a ❳ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝♦ rót ➤➢ỵ❝ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ? ?? ✈➭ ♠ét ❞✐Ĩ♠ a∈X s❛♦ ❝❤♦ ∀x ∈ X t❛ ❝ã ✳ ➜Þ♥❤... t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ➜➷t Ω = ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ? ?? ♥➟♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Ω Ψ : Ω × [0, 1] → Ω t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝è ➤Þ♥❤✱ ➳♥❤ ①➵ ❧➭ t❐♣ ❝♦ rót ➤Þ♥❤ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tơ? ?? ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❧➭ t❐♣ rút... ị ĩ ột số T :∆→H ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ? ?? tr➟♥ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❝❤Õ T :M ∩∆→H M ⊂H ➳♥❤ ①➵ ❤➵♥ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ? ?? ②Õ✉✳ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✸✻✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥