Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG NGỌC CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3-4 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân §1 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 1.1 Bất đẳng thức biến phân 1.2 Bài toán tối ưu mục tiêu 1.2.1 Tối ưu hàm biến 1.2.2 Tối ưu hàm nhiều biến 1.3 Phương trình suy rộng 15 1.3.1 Hệ phương trình (hệ phương trình  n ) 15 1.3.2 Phương trình suy rộng 16 1.4 Bài toán bù 17 1.5 Phép chiếu 20 1.6 Điểm bất động 23 §2 Tồn nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân 24 §3 Bất đẳng thức biến phân véctơ 28 §4 Tính liên thơng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véctơ 33 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân affine 36 §1 Bất đẳng thức biến phân affine 36 1.1 Bất đẳng thức biến phân affine………………………………………… 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine………………………… ……… 39 1.3 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine yếu…………………….…… … 40 1.4 Bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số…………………… 40 §2 Tính bị chặn tính liên thơng tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân vectơ affine……………………… ……… 42 §3 Bài tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính tốn tối ưu đa mục tiêu toàn phương lồi …… 55 3.1 Bài toán tối ưu véctơ…………………………………………………… 55 3.2 Bài toán tối ưu vectơ phân thức tuyến tính (LFVOP) 57 3.3 Bài tốn tối ưu véctơ hàm tồn phương lồi (QVOP)……………… … 68 §4 Một số ví dụ tính tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính 70 4.1 Thí dụ 1…………………………………………………………… … 70 4.2 Thí dụ 2………………………………………………………………… 72 4.3 Thí dụ 3………………………………………………………………… 75 4.4 Thí dụ 4………………………………………………………………… 78 4.5 Thí dụ 5………………………………………………………………… 81 4.6 Thí dụ 6………………………………………………………………… 84 4.7 Thí dụ 7………………………………………………………………… 88 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bản thân bất đẳng thức biến phân đối tượng toán học nghiên cứu độc lập Hơn nữa, bất đẳng thức biến phân chứa đựng có liên quan đến nhiều toán khác toán học thực tế (bài toán tối ưu, toán bù, toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng, ), thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Việt Nam chục năm qua Một vấn đề cần trả lời nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vấn đề tồn nghiệm tính chất tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thơng, tính co rút, tính ổn định tập nghiệm theo tham số, ) Một lớp toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu nhiều lớp toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy lớp toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, bất đẳng thức biến phân affine lớp tốn có cấu trúc đặc thù chứa số lớp toán quan trọng (tối ưu véc tơ hàm phân thức tuyến tính, tối ưu hàm tồn phương, ) Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân affine làm sáng tỏ nhiều vấn đề bất đẳng thức biến phân tổng quát Luận văn cố gắng trình bày số khái niệm kết liên quan đến tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, đặc biệt bất đẳng thức biến phân affine Luận văn gồm hai Chương Mục Chương trình bày tốn bất đẳng thức biến phân toán liên quan Mục Chương trình bày tồn nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Mục Chương trình bày toán bất đẳng thức biến phân véctơ Mục Chương 1trình bày tính liên thơng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véctơ Chương trình bày hai lớp bất đẳng thức biến phân affine cụ thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục Trình bày định nghĩa số định lý toán bất đẳng thức biến phân affine,véctơ affine,véctơ affine yếu bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số Mục Nói tính bị chặn liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân véctơ affine Mục Trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính tốn tối ưu đa mục tiêu tồn phương lồi Mục Tính tốn số thí dụ cho tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính cách đưa tốn bất đẳng thức biến phân affine Các thí dụ [8] , [11] [16] tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân affine tính tốn chi tiết trình bày tường minh Một số thí dụ trước tính tốn dựa theo điều kiện cần đủ tối ưu (tiêu chuẩn Malivert) toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức tuyến tính Ở chúng tơi trình bày tính tốn theo điều kiện cần đủ để điểm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng- Viện Tốn học Thơng qua luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy hướng dẫn, người tận tình bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K2, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ q trình tơi thực luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình, vợ giúp đỡ, động viên khích lệ nhiều thời gian nghiên cứu học tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN §1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Cho F :  n   n ánh xạ từ  n vào  n K tập  n Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt VI) phát biểu sau Tìm x  K cho F  x  , x  x  0, x  K (1.1) Bất đẳng thức (1.1) thường viết dạng F  x  T  x  x   0, x  K , (1.1’) a, b kí hiệu tích vơ hướng hai véctơ a b không gian  n , AT xT chuyển vị ma trận A véctơ x Ta qui uớc véctơ x   n véctơ cột Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định ánh xạ F tập K , vậy, cần làm rõ, ta kí hiệu tốn bất đẳng thức biến phân VI  F , K  Các điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) hay điểm dừng ánh xạ F Tập tất điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) Tập tất nghiệm bất đẳng thức biến phân kí hiệu Sol  VI  Sol  VI  F , K       Kí hiệu  n  x   n ; x  Khi  n  x   n ; x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   Vậy bất đẳng thức F x , x  x  0, x  K viết dạng F ( x ), x  x    \ 0 Ngôn ngữ bất đẳng thức biến phân thuận tiện, thống nhiều tốn, thí dụ, tốn tối ưu, tốn cân bằng, phương trình suy rộng… Dưới xét mối liên quan toán bất đẳng thức biến phân toán khác 1.2 Bài toán tối ƣu mục tiêu 1.2.1 Tối ƣu hàm biến Trước tiên ta xét hàm biến nhận giá trị  Cho f :  a; b   hàm số khả vi  a; b, nghĩa tồn đạo hàm điểm x0   a; b  tồn đạo hàm từ bên phải f (a ) : lim f ( x) tồn đạo xa hàm từ bên trái f (a ) : lim f ( x) xa Điểm x  gọi điểm cực tiểu (điểm tối ưu) f f ( x )  f ( x) x a;b Kí hiệu f ( x) giá trị cực tiểu hàm số f  a; b x a ;b  Khi theo điều kiện cần cực trị Fermat ta có  Nếu x   a; b  f ( x )   Nếu x  a f (a )   Nếu x   b f (b )  Cả ba trường hợp viết gọn lại sau Mệnh đề 1.1 Điểm x  điểm cực tiểu f  a; b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   f ( x ) x  x  0, x   a; b  Thí dụ 1.1 Cho hàm số y  f ( x)  x2  x  a) Tìm f ( x) x[ 2;2]  1  4 Trên đoạn [2;2] f ( x)  f      x[ 2;2] 25  1 f       4 b) Tìm f ( x) x[1;5] Trên đoạn [1;5] f ( x)  f (1)  f  1   x[1;5] c) Tìm f ( x) x[ 4;1] Trên đoạn [4; 1] f ( x)  f (1)  2 f   1  3  x[ 4;1] 1.2.2 Tối ƣu hàm nhiều biến Cho f : K   ánh xạ từ tập K   n vào  , f ( x)  f ( x1, , xn ) Xét toán tối ưu: Tìm  f ( x) : x  K (1.2) Định nghĩa 1.2 Nếu điểm x  K gọi điểm cực tiểu địa phương toán tối ưu (1.1) tồn lân cận U ( x ) điểm x cho f ( x )  f ( x) với x  K  U ( x ) Giả sử f  x   f  x1, x2 , , xn  có đạo hàm riêng  f ( x) f ( x) f ( x)  f ( x )   , , ,  x2 xn   x1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn theo biến điểm x  K   n Đặt F  x  : f ( x) Khi với x  K f ( x)  n hay F : K   n Mệnh đề 1.2 Giả sử K   n tập lồi, đóng, khác rỗng Nếu x  K điểm cực tiểu địa phương toán tối ưu (1.2) K   F x , x  x  0, x  K (1.3) Điều kiện (1.3) gọi điều kiện cần cực trị toán tối ưu (1.2) Chứng minh Giả sử x  K điểm cực tiểu địa phương f Lấy điểm x K, x  x Do K tập lồi nên đoạn thẳng  x; x  nằm K , tức   xt : x  t x  x  K t   0;1 Đặt u : 0;1  K hàm số xác định t  u  t   xt Với x cố định ta xét hàm số  : 0;1   xác định   t    t   f  u  t   f  xt   f x  t  x  x  Khi  hàm hợp hai hàm khả vi f u nên  hàm khả vi 0;1 f đạt cực tiểu x   đạt cực tiểu t  Theo điều kiện cần cực tiểu cho tốn tối ưu hàm biến ta có  '  0   gradf  x  x  x   0, x  K Đặt F  x  : gradf  x   f  x  Khi x  K điểm cực tiểu f F  x  , x  x  0, x  K Mệnh đề chứng minh xong Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1 Như vậy, tập điểm dừng tốn tối ưu (1.2) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) Hơn nữa, theo Mệnh đề đây, f  x  hàm lồi K ta có điều ngược lại Mệnh đề 1.3 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng  n Nếu f  x  hàm lồi khả vi K x  K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) x  nghiệm tốn tối ưu (1.2) Chứng minh Vì f  x  hàm lồi K nên ta có f  x   f  x   f ( x )T  x  x  , x  K Vì x  K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) nên ta có f ( x )T  x  x   0, x  K   Suy f  x   f x , x  K hay x  nghiệm toán tối ưu (1.2) Như vậy, trường hợp f  x  hàm lồi khả vi K toán bất đẳng thức biến phân (1.1) toán tối ưu (1.2) tương đương Dưới ta xét câu hỏi: Với điều kiện tốn bất đẳng thức biến phân (1.1) đưa tốn tối ưu (1.2)? Kí hiệu M  n, n  tập hợp ma trận vuông cấp n Trước tiên ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Ma trận A  M  n, n  gọi nửa xác định dương  n thỏa mãn điều kiện x  Ax  với x   n Định nghĩa 1.4 Ma trận A  M  n, n  gọi ma trận xác định dương  n thoả mãn điều kiện sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x1  1  v1     x1  1  v1  M x  q1 , v       ,     ,    x1v1  v1  v2  0 x v           v2  1   v1   0   x1  1  v1  M x  q2 , v       ,     ,    v1  x2v1  v2  x  1 x v           v2  0      \ 0 Khi    Chọn v   M1x  q1, v  x1v1  v1  v2  1  với x   Chứng tỏ điều kiện Định lí 2.3 khơng thỏa mãn Tuy nhiên ta có kết luận Sol  AVVI  Sol  AVVI  w khác trống, liên thơng Ta chứng minh điều sau  1  1 Ta có q  1q1   2q2     1 0  0   1 M   1M1  2 M  1M1  1  1  M  1         ;     0     1      x1   1x1  1 M x                 x x      1   Xét toán  AVI  : Tìm x   cho M  x  q , x  x  0, x   Theo Định lí 2.3 Chương 2, x   nghiệm bất đẳng thức biến phân affine tồn    1 , 2    cho  M  x  AT   q  0;   Ax  b,    0;  T Ax  b     Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1) (2) (3) (4) http://www.lrc-tnu.edu.vn 82 Phương trình (1) tương đương với  1x1  1  1   1  M  x  A   q      1    x  1  1 2  2   T  1x1    1   1x1  1   1x1  1   (5)    0   1    x  1  2   1    x    1   x     2 1 2      Phương trình (4) tương đương với  T    x1  Ax  b   1 , 2       x11  x22   x   2   (6) Trƣờng hợp 1  Khi  1    1  1 Do 1  nên hệ vô nghiệm Vậy  AVI 0    x       2 (5)   Trƣờng hợp 1  Khi    x1  1    2  1 Do 2  nên hệ vô nghiệm Vậy  AVI 1   (5)    2   Trƣờng hợp  1  Khi (5) có dạng   1 x1  1      1  1  x2  2     x1  0; Trƣờng hợp 3a x  int  , tức     x2   Từ điều kiện (3) (6) suy    0,0  Điều kiện (5) cho x1   x2   1   1   Vậy điểm x    ,    int  nghiệm  1     1 Trƣờng hợp 3b x nằm hai cạnh  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 83   Trƣờng hợp 3b’ x  x1 , x2   thỏa mãn x1   x2  Do tức 1  , 2  x1   x2  nên từ (6) suy 2  Khi (5) 1     1  1 Do 1  nên hệ vô nghiệm    x    1   Trƣờng hợp 3b’’ x  x1 , x2   thỏa mãn  x1  x2  Do 1  , 2   x1  x2  nên từ (6) suy 1  Khi 1 x1    2  1 Do 2  nên hệ vô nghiệm (5)   2   Trƣờng hợp 3c x   0,0 giao  x1   x2  1   1  1 Vô nghiệm            Khi (5) có dạng  Kết luận:  AVI   1     ,       1;   1  1      1;   Từ Mệnh đề 2.3 ta có Sol(AVVI)        Sol  AVI    ,     :    ; 1       w Sol  AVVI    Sol  AVI    ,   :    ; 1  1    tập khác rỗng, liên thông không bị chặn 4.6 Thí dụ  1 0 0 1  , M  q   0 0  0  1      Giả sử M1   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  2  q2    1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 84   x , x    2  : x1  0, x2    1 ,   : 1    1;1  0,   0 Xét toán Affine (AVI) , (AVVI) (AVVI)w a) M1, M monotone  vì: x   x1, x2  , y   y1, y2   x  y, M  x  y    x1  y1, x2  y2  ,  x2  y2 ,  x1  y1  x  y, M  x  y    x1  y1, x2  y2  ,  0,0  0 0 b)   1,2   , ta xét 1M1x   M x  1q1   2q2 , x  x Đặt M  1M1  2 M , q  1q1  2q2 Khi ta có:  1  2   1  M  q      1   2  x  Sol(AVI)  1M1x  2 M x  1q1   2q2 , x  x  0, x    Mx  AT   q  0;    Ax  b;  Mx  q, x  x  0, x       1, 2    :    0;  T Ax  b     (1) (2) (3) (4) 1 0 0 , b     xác định từ tập lồi  0 1   Trong đó: A   Từ (1)  1 x2  1  1  2   1   x1     1   1  2   (5) 0            1   x2     2     1x1  2     x1    (4)   1 2       1 x1  2 x2  x   2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (6) http://www.lrc-tnu.edu.vn 85 Trƣờng hợp 1: Nếu x   0,0  ta có 1  1  22  1  2      2  2 (5)   Hệ Do x   0,0  nghiệm toán (AVI) ,  , thoả mãn    Trƣờng hợp 2: Trƣờng hợp 2a: 2     Nếu x  0, x2 , x2  ta có hệ 1 x2  1  1  2   2 x2      2a.1  2a.2   2a.3 Từ (2a.3) với x2   2      1  x1    Do x  0, x2 , x2  nghiệm toán  AVI  với   1,0  Trƣờng hợp 2b: 1  1  2   Nếu x  x1 ,0 , x1  ta có hệ 1 x1  2     1x1     Từ (2b.3) với x1   1   1  2   Từ (2b.4) (2b.2) ta có   2x1  2 Nếu 2    2b.5 với  2b.1  2b.2   2b.3 (2b.4) (2b.5) x1  từ (2b.4) suy 1  Điều vô lý Từ (2b.4) giả thiết suy   , 1  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 86 Nên    x1   2 3   x1     x1  2 2 2  Do x  x1 ,0 ,  x1   1 nghiệm toán thoả mãn    ;   3 Trƣờng hợp 3: 1x2  1  1  2   x  x1 , x2 , x1  0, x2  ta có hệ 1x1  2       1x1  2 x2   Từ  (3.3) suy 1  2  Do hệ (3.1) (3.2) (3.3) tương đương với    x2      3)        x2  x1      x    1 ( x1  1)   1  ( x2  x1  Vì      Do x  x1 , x2 , x1  0, x2  0, x2  x1  nghiệm   x2    toán  AVI  với   , thoả mãn  1     2   x   0,0    ;   x  x ,0 :  x  ,   ;   ( ; ) 1  3     (1,0)   x  0, x2 : x2  0,   x1         x  x , x :  1   x2  ,      x  x  1    Tóm lại ta có: Sol  AVI       Vậy ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 87 Sol  AVVI    Sol  AVI        1             x  x1 ,0  x1    x  x1 , x2 : x1  0, x2  0; x2  x1  2     Sol  AVVI    Sol  AVI   w     1   x   0, x2  , x2    x   x1 ,0  :  x1    2     x   x1 , x2  : x1  0, x2  0; x2  x1  Tập nghiệm Sol  AVVI  , Sol  AVVI  không bị chặn tập liên thông, w vis dụ tập hạn chế hạn chế tập compact 4.7 Thí dụ Xét toán  AVI  ,  AVVI  ,  AVVI  với w 1  0 0 1  M1   , M2   , q1  q2    ,    1 0 1 0    A     1     1 0  0  , b   ; p  n  2;  0    0 0  1 1  x1  x2  0;     x   : Ax  b   x1  x2  0;   x1  0;  x     Các ma trận M i , i  1,2 monotone  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 88 T T Thật vậy, giả sử x   x1 x2  , y   y1 y2    Ta có    x1  y1   x1  y1  M1  x  y         1 x2  y2     x2  y2   Suy  x1  y1  2 x  y, M1  x  y    x1  y1 x2  y2     x1  y1    x2  y2      x2  y2    0   x1  y1     x  y    x  y     2  2 Tương tự, M  x  y    Suy   x  y, M  x  y    x1  y1 x2  y2     x2  y2   0, x, y    x2  y2  Vậy M1, M monotone  , monotone  Nhưng M nửa xác định dương      Do b  nên   x   : Ax  Do 0   v   n : Av     v1   v1  1  2 v   ,   v1  v2   1  v2   v2  Ta có v, M1v  v,  0     \ 0 Khi v, M 1v  v12    1 Chọn v   Như vậy, điều kiện v, M i v  với v  0  \ 0 Định lí 3.1 khơng thỏa mãn  x1  1  v1     x1  1   v1  M x  q1 , v    ,    ,    x1v1  v1  x2v2 ;        1  x2     v2    x2   v2  1   v1   0   x1  1   v1  M x  q2 , v    ,   x  ,    x2v2  v1          x2     v2     v2  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 89 Chọn  1 v     0  \ 0 Khi 0  M x  q2 , v  x2v2  v1  1  với x   Chứng tỏ điều kiện Định lí 2.3 khơng thỏa mãn Tuy nhiên ta có kết luận Sol  AVVI  Sol  VVI  khác trống, bị chặn w liên thông 1  0 Thật vậy, ta có q  1q1   2q2     1   0   1 M   1M1  2 M  1M1  1  1  M  1         ;     1     21      x1   1x1  1 M x             21   x2   1  21  x2   Xét tốn  AVI  : Tìm x   cho M  x  q , x  x  0, x   Theo Định lí 2.1 Chương 2, x   nghiệm bất đẳng thức biến phân affine tồn    1 , 2 , 3 , 4    cho  M  x  AT   q  0;   Ax  b,    0;  T Ax  b     (1) (2) (3) (4) Phương trình (1) tương đương với  1 x1  1     T M  x  A   q      1  2  x     2   1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  1    1  2  0   3  1    4  http://www.lrc-tnu.edu.vn 90 1   1x1   1  2  3 2  1  2  x       2    1 2   (5)     (4)   T Ax  b  1  x1  x2   2   x1  x2   3 x1  4 x2  (6) Trƣờng hợp 1 1  x  ( x1 , x2 )  int    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2  0. 2  Từ (6) suy 1  2  3  4  Do 1x1   (5)      Suy x1  2  1  x2   1  21  x2  Do x   ( x1 , x2 )  int  với  x1  2 nghiệm toán   1  x2   AVI  ,   thoả mãn 1  Trƣờng hợp 1       x  ( x1 , x2 ) : x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2  0. 2   Từ (6) suy 2  3  4  Do   2 1x1   1 x 2 x (5)     21x2  x2  2  x2   21 1  2  x      Mặt khác  x2    1  Khi   x 2 x 2  x2    4  x1   3     Vậy  x  ( x1 , x2 ) : 2  x2   , x1  x2  nghiệm  AVI  ,    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 91   1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2  Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) : Có nghiệm tương tự trường hợp   1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x2   2  Trƣờng hợp  x  (0, x2 ) : 3  1 hệ vô nghiệm    x     Từ (6) suy 1  2  4  Do (5)     Do  x  (0, x2 ) : 1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x2   không nghiệm 2  toán  AVI  ,      Trƣờng hợp  x  ( x1 ,0) : 1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1   2   x1   Theo giả thiết với x2  ta có hệ  x1  vơ nghiệm x     Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) :    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2  Có nghiệm tương tự trường hợp   Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) :    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2     x  ( x1 , x2 ) : x2  0, x1  0, x2    Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) : hệ vô nghiệm    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2     x  ( x1 ,0) : x1  0, x1  vô nghiệm Trƣờng hợp x  (0,0)  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 92 1  1  2  3  (3)  23  4  2   vô lý Từ (5)   2 1  2  4  Vậy x  (0,0) không nghiệm toán  AVI  ,    Kết luận:     1  ;  x  (2; x2 ) : 1  x2  0,   x1  x2 Sol  AVI     x  ( x1 ; x2 ) :  ,       x      2  Sol  AVVI   x  (2; x2 ) : 1  x2    x  ( x1 ; x2 ) : x1  x2 , 2  x2    3      Sol  AVVI    Sol  AVI   x  (2; x2 ) : 1  x2   w  2    x  ( x1 ; x2 ) : x1  x2 , 2  x2    3  Các tập nghiệm Sol  AVVI  , Sol  AVVI  khác rỗng, bị chặn liên thông w Nhận xét Trong thí dụ 2.1 thí dụ ta giữ nguyên hai ma trận ta thay đổi kiện tốn tơi thấy thí dụ không thoả mãn định lý 2.2 định lý 2.3 tập nghiệm chúng khác trống liên thông không bị chặn Điều chứng tỏ định lý 2.2 định lý 2.3 điều kiện cần Nhận xét Trong thí dụ thí dụ ta nhiễu thơng số tập nghiệm thí dụ tập bị chặn liên thông tập nghiệm yếu tập compắc liên thơng, kết thí dụ bị chặn không liên thông Điều chưng tỏ định lý 2.4 định lý 2.5 điều kiện cần Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 93 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi cố gắng trình bày số vấn đề cấu trúc tập nghiệm (chủ yếu tính liên thơng) tốn bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân affine theo tài liệu [10] [16] Một số ví dụ tính toán dựa điều kiện cần đủ tối ưu nhằm minh họa vai trị Định lí 2.1 § Chương Mặc dù cấu trúc tính liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân affine quan tâm, nhiều câu hỏi mở hai lớp toán: lớp toán tối ưu phân thức tuyến tính lớp tốn tối ưu hàm toàn phương lồi Một số câu hỏi trình thực luận văn đặt Câu hỏi 1: Tập nghiệm Sol  AVVI(.,K )  có phải nửa liên tục Sol w  AVVI(,K )  bị chặn khác rỗng hay không? Câu hỏi 2: Nếu Sol  VVI  bị chặn có suy liên thông không? Tương tự với Sol  AVVI  ? Câu hỏi 3: Tập nghiệm Sol .,VP1  có khác rỗng nửa liên tục  Sol w  ,VP1  bị chặn khác rỗng hay không?( liên quan đến định lý 2.9 chương 2) Câu hỏi 4: Nếu Sol w  ,VP2  bị chặn, có liên thơng hay khơng? Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Song Hà (2009), Tính liên thơng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Thái Nguyên [2] Trần Ninh Hoa (2006), Cấu trúc tính liên thơng tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phân thức tuyến tính, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Viện Toán học, Hà Nội [3] T N Hoa, N Q Huy, T D Phuong and N D Yen, Unbounded components in The solution sets of strictly quasiconcave vector maximization problems, J Global Optim, 37 (2007), 1-10 [4] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị (trong sách Toán cao cấp Viện Toán học biên tập), Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [5] J Benoist, Connectedness of the efficient set for strictly quasiconcave sets, J Optim Theory Appl 96 (1998), 627-654 [6] D S Kim, G M Lee, B S Lee and N D Yen (2000), Vector Variational Inequality as a tool for Studying Vector Optimization problems In Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theories, (F Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers 277-305 [7] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic, New York-Lon Don Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 95 [8] G M Lee (2004), On Connectedness of Solution Sets for Affine Vector Variational Inequality, Viet Nam – Korea Workshop Optimization Theory and Applications, Ho Chi Minh City, February 2004 [9] G M Lee, K B Lee (2003), On Affine Vector Variational Inquality, In Multi objective Programming and Goal Programming (T Tanino and M Inuiguchi, Eds.) Springer, 191-195 [10] G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities A Qualitative study, Series Nonconvex Optimization and it Applications, Vol 78, Springer Verlag, New York [11] C Malivert, Multicriteria fractional programming, in ―Proceedings of the 2nd Catalan Days on Applied Mathematics‖(M.Sofonea and J.N.Corvellec, Eds.), Presses Universitaires de Perpinan, 1995, pp 189-198 [12] G J Minty (1962), Monotone (nonlinear) operator in Hilbert space, Duke Math J, 29, pp 341- 346 [13] J C Yao, N D Yen (2009), Monotone Affine Vector Variational nequalities, Optimization [14] N D Yen and G M Lee (2000), On monotone and strongly monotone vector variational inequalities, In ―Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria‖ (F Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp 479—489 [15] N D Yen, T D Phuong (2000), Connectedness and stability of the solution set in Linear fractional vector optimization problems, In Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria Mathematical Theory, (F.Giannessi, Ed.), Kluwer Academic Publishers, 479-489 [16] N D Yen (2011) “Linear Fractional and Convex Quadratic Vector Optimization Problems” In Recent Developments in Vector Optimization Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 96