Phương pháp kiểu newton và phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG VĂN PHƯỚC PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990150911561000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HOÀNG VĂN PHƯỚC PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 MỤC LỤC Mở đầu CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Rn 1.2 Hàm nhiều biến 1.3 Tập lồi nón lồi 1.4 Một số tính chất toán tử toán tử chiếu 1.5 Định lí điểm bất động Brower 11 1.6 Khả vi newton điểm Rn 11 1.7 Bài toán bất đẳng thức biến phân 12 1.7.1 Phát biểu toán 12 1.7.2 Sự tồn nghiệm 15 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 20 2.1 Phương pháp chiếu lần 20 2.2 Phương pháp chiếu hai lần 31 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 37 3.1 Phát biểu toán 37 3.2 Một số tính chất tốn tử Φ 40 3.3 Thuật toán kiểu Newton hội tụ 47 3.4 Ví dụ số 49 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 DANH MỤC KÍ HIỆU R : Tập hợp số thực Rn : Không gian Euclide n-chiều kxk : Chuẩn vectơ x hx, yi : Tích vơ hướng hai vectơ x, y V I(F, C) : Bài toán bất đẳng thức biến phân N CP (F ) : Bài toán bù phi tuyến Sol(F, C) : Tập nghiệm toán VI(F,C) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Các bước Thuật tốn 2.1 cho ví dụ 2.2 với λk = 0, 03 28 2.2 Các bước Thuật tốn 2.1 cho ví dụ 2.2 với λk = 0, 28 2.3 Các bước Thuật toán 2.1 cho ví dụ 2.3 với λk = 0, 30 2.4 Các bước Thuật tốn 2.2 cho ví dụ 2.4 với λk = 12 34 2.5 Các bước Thuật tốn 2.2 cho ví dụ 2.5 với λk = 14 36 3.1 Các bước vòng lặp kiểu Newton cho ví dụ 3.1 với x0 = 50 3.2 Các bước vòng lặp kiểu Newton cho ví dụ 3.2 với x0 = 51 3.3 Các bước vịng lặp kiểu Newton cho ví dụ 3.3 với x0 = 53 3.4 Các bước vòng lặp kiểu Newton cho ví dụ 3.4 với x0 = 54 3.5 Các bước vòng lặp kiểu Newton cho ví dụ 3.5 với x0 = (1, 1)T 56 3.6 Các bước vòng lặp kiếu Newton cho ví dụ 3.6 với x0 = (1, 1)T 58 58 Bước 0: Khởi tạo vòng lặp chọn x0 = (1, 1)T , đặt k := Bước 1: Tiến hành vịng lặp Tính x1 := x0 − [Φ (x0 )]−1 Φ(x0 ) = (0, 0381, 0, 0381)T Khi Φ(x1 ) 6= 0, chuyển sang bước Bước 2: Tiếp tục vịng lặp Tính x2 := x1 − [Φ (x1 )]−1 Φ(x1 ) = (0, 0180, 0, 0180)T Tiếp tục trình trên, ta giá trị mô tả bảng sau đây: Bước (xk )T ΦT (xk ) (1, 1) (−1, 4606, −1, 4606) (0, 0381, 0, 0381) (−0, 0159, −0, 0159) (0, 0180, 0, 0180) (−0, 0037, −0.0037) (0, 0088, 0, 0088) (−0, 9084.10−3 , −0, 9084.10−3 ) (0, 0043, 0, 0043) (−0, 2249.10−3 , −0, 2249.10−3 ) (0, 0022, 0, 0022) (−0, 5596.10−4 , −0, 5596.10−4 ) (0, 0011, 0, 0011) (−0, 1396.10−4 , −0, 1396.10−4 ) (0, 5392.10−3 , 0, 5392.10−3 ) (−0, 3486.10−5 , −0, 3486.10−5 ) Bảng 3.6 Các bước vịng lặp kiếu Newton cho ví dụ 3.6 với x0 = (1, 1)T 59 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, tơi hồn thành luận văn Những kết đạt luận văn bao gồm: Giới thiệu số khái niệm tính chất hàm nhiều biến, tập lồi, nón lồi tốn tủ chiếu Đồng thời trình bày định lí điểm bất động số định nghĩa, tính chất khả vi Newton điểm Rn Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân Các phương pháp chiếu lần, phương pháp chiếu hai lần đề tìm nghiệm xấp xỉ tốn Đồng thời áp dụng giải thuật phương pháp để giải tốn cụ thể Trình bày phương pháp kiểu Newton ứng dụng để tìm nghiệm xấp xỉ tốn bất đẳng thức biến phân Đồng thời áp dụng thuật giải thuật nghiên cứu phương pháp để giải tốn cụ thể Trong thời gian tới, tơi nghiên cứu sâu hội tụ toàn cục phương pháp kiểu newton ứng dụng phương pháp để giải toán phức tạp Tuy nhiên, với số lượng kiến thức cần tìm hiểu rộng lớn chuyên sâu, thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận quan tâm, góp ý quý thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông [2] Văn Bá Công (2019), Phương pháp Newton nửa trơn cho toán bất đẳng thức biến phân, Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên, Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng [3] Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn (2017), “Một số tính chất đạo hàm Newton hàm biến”, Tạp chí khoa học cơng nghệ ĐH Đà Nẵng, số 9, trang 94-98 [4] Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [5] Phạm Quý Mười (2020), Giáo trình Lý thuyết tối ưu, Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng (Tài liệu lưu hành nội bộ) Tiếng Anh [6] S Dafermos (1980), "Traffic equilibrium and variational inequalities”, Transportation Science,14(1), pp.42-54 [7] Christian Kanzow, Tecla De Luca, Francisco Facchinei (1996), “A semismooth equation approach to the solution of nonlinear complementarity problems”, Mathematical Programming, No.75, pp 407–439 61 [8] Christian Kanzow, Helmut Kleinmichel (1998), “A new class of Semismooth Newton-Type Methods for Nonlinear Complementarity Problems”, Computational Optimization and Applications, No.11, pp 227–251 [9] D.Kinderlehrer and G.Stampacchia (1980), An introduction to variational inequality and applications, Academic Press [10] Van Ba Cong, Pham Quy Muoi, Duong Xuan Hiep, Phan Duc Tuan (2018), “Some new results in the existence and uniqueness of the solution to the variational inequality problem and its application”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, số 31, trang 66-72 [11] J M Ortega and W C Rheinboldt(1970), Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press [12] Xiaojun Chen, Zuhair Nashed, Liqun QI (2000), “ Smoothing methods and semismooth methods for Nondifferentialble operator equations”, Society for Industrial and Applied Mathematics, 38(4), pp 1200–1216 [13] Pham Quy Muoi, Phan Quang Nhu Anh, Duong Xuan Hiep, Phan Duc Tuan (2018), “Applying semismooth Newton method to find fixed points of nonsmooth function of one variable”, Tạp chí khoa học cơng nghệ ĐH Đà Nẵng, No.6, pp 37-40 [14] M J Smith (1979), “The existence, uniqueness and stability of traffic equilibrium”, Transportation Research B, Vol.13, pp 295-304