XÁC SUẤT THỐNG kê CÓ đáp án

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chào người! Quay trở lại với lời hẹn mùa Tốn Cao cấp năm trước, xin chia sẻ với người đáp án tham khảo đề thi Xác suất – Thống kê khóa trước Thành thật với bạn học khơng nhiều Chính xác khơng có ln, họa vào lớp vài ba lần toàn để ngủ Vậy nên sau đợt kiểm tra lấy điểm cột điểm cột vắng mặt (do khơng biết kiểm tra ngày nào) Mình khai báo điều để bạn tự cân nhắc lại xem có nên tin tưởng vào đáp án đề nghị đứa “vơ học” hay khơng Tồn thứ mày mị từ sách tài liệu liên quan suốt tuần qua Chính khơng qua giáo viên giảng nên thứ viết có lỗi, sai khơng phù hợp với cách học cách dạy bạn lớp Nhưng mong rằng, tin tưởng mình, bạn có phản hồi tích cực để giúp tài liệu tham khảo ngày hoàn thiện Đối với tập tin chia sẻ cho bạn, tập tin tài liệu hồn tồn miễn phí khơng mục đích thương mại Mình viết khơng phải để kiếm tiền, không thánh thiện đến mức lịng tốt chia sẻ cho người Lý viết chia sẻ tài liệu xin phép không tiết lộ Mong người giữ gìn danh nghĩa cho tài liệu này, là: “Chỉ để tham khảo ơn thi mà thơi!” Có phần chưa nghiên cứu tới nên chưa giải Có phần chưa cách làm lập luận nên chưa thể cơng bố Có sơ sót, lỗi sai (rất nhiều) Và tất theo hướng tự luận Mình ghét trắc nghiệm (thơng cảm) Rất mong nhận phản hồi, góp ý từ bạn! Mọi ý kiến thắc mắc, đề nghị “Bình luận” trực tiếp facebook “Gửi tin nhắn” trực tiếp cho Cũng liên hệ qua e-mail: keh_hikari_f@yahoo.com.vn (Dạo khơng cịn thảnh thơi đợt Tốn Cao cấp nên khơng giải nhiều đề Nhưng nói chung cố gắng) TRIỆU ĐOAN AN Khóa 40 – Đề 01 Câu 1: Có 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Lấy ngẫu nhiên chữ số Tính xác suất để tổng chữ số lấy số lẻ -Tổng số cách lấy ba chữ số là: C10 -Để tổng chữ số lấy số lẻ số đó: (Có số lẻ số chẵn) (Cả số số lẻ) -Suy số cách chọn số để tổng chúng số lẻ là: C51 C52 + C53 -Xác suất cần tính: P= C51 C52 + C53 = C10 Câu 2: Có lơ hàng có sản phẩm, có phế phẩm, chia thành phần Tính xác suất để phần có phế phẩm *Trước tiên, ta phải tính số cách chia sản phẩm thành phần -Để chia sản phẩm thành phần nhau, ta cần thực công việc: Chọn từ sản phẩm tạo thành nhóm Số cách: C93 Chọn từ sản phẩm cịn lại tạo thành nhóm Số cách: C63 Chọn từ sản phẩm lại tạo thành nhóm Số cách: C33 = -Các công việc thực liên tiếp nên số cách thực là: C93 C63 C33 *Ta phải chia sản phẩm thành phần, phần gồm sản phẩm tốt phế phẩm -Để làm điều trên, ta cần làm công việc liên tiếp sau: Chọn sản phẩm từ sản phẩm tốt phế phẩm từ phế phẩm Số cách: C62 C31 Chọn tiếp sản phẩm từ sản phẩm tốt lại phế phẩm từ phế phẩm lại Số cách: C42 C21 Còn lại sản phẩm tạo thành phần có sẵn sản phẩm tốt phế phẩm Số cách C22 C11 = -Vì cơng việc thực liên tiếp nên tổng số cách thực là: (C62 C31 ) (C42 C21 ) (C22 C11 ) *Xác suất để chia sản phẩm thành phần bàng phần có phế phẩm là: P= C62 C31 C42 C21 C22 C11 C62 C31 C42 C21 = = 3 3 28 C9 C6 C3 C9 C6 Câu 3: Một kiện hàng gồm sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại tùng sản phẩm gặp phế phẩm dừng lại Tìm số lần lấy trung bình để gặp phế phẩm -Số lần lấy để lấy phế phẩm 1, số lần nhiều để lấy phế phẩm Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P1 = 3 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P2 = = 10 2 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P3 = = -Số lần lấy trung bình là: n= + + = 1,6 10 Câu 4: Tung xúc xắc cân đối đồng chất 30 lần Gọi X tổng số chấm xuất 30 lần tung Tìm phương sai X -Gọi Xi số chấm xuất lần tung thứ i Ta có: 30 X = ∑ Xi i=1 -Do lần tung độc lập với nên: 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) i=1 -Các lần tung độc lập nên phương sai tung 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) = 30Var(Xi ) i=1 Với Var(Xi ) phương sai chung của số chấm xuất lần tung Ta có: 1+2+3+4+5+6 35 μ(X) = = 3,5 ; Var(Xi ) = ∑(k − μ)2 Pk = 12 k=1 -Từ đó, ta được: Var(X) = 30Var(Xi ) = 87,5 Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia 0,8 Xạ thủ bắn 100 viên đạn Tính xác suất để có số viên đạn bắn trúng bia từ 70 đến 80 viên -Gọi X số viên đạn bắn trúng bia -Đại lương X đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức: X ∼ B(n = 100; p = 0,8) -Vì lần bắn độc lập với nên: 80 80 i P(70 ≤ X ≤ 80) = ∑ P(X = i) = ∑ C100 0,8i (1 − 0,8)100−i = 0,5338 i=70 i=70 Câu 6: Tại khu bảo tồn động vật, lần đầu người ta săn bắt 100 tê giác, đánh dấu chúng thả lại vào khu bảo tồn Một thời gian sau, người ta săn bắt 200 thấy có 40 có đánh dấu Hãy ước lượng số tê giác có khu bảo tồn với độ tin cậy 96% 𝚽(𝟐, 𝟓𝟕𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟑𝟐𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟎𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟏𝟕𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟎𝟓𝟒) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟎 -Với mức tin cậy 96%, ta có: 2Φ(zα/2 ) = 96% ⇒ Φ(zα/2 ) = 0,48 ⇒ zα/2 = 2,054 -Gọi N số tê giác có khu bảo tồn Như vậy, sau đánh dấu, tỉ lệ tìm săn bắt số tê giác là: P= 100 N -Trong 200 săn bắt được, thấy có 40 đánh dấu nên tỉ lệ mẫu thu được: f= 40 = 0,2 200 -Suy độ xác: f(1 − f) 0,2.0,8 ε = zα/2 √ = 2,054 √ = 0,0581 n 200 -Khoảng tin cậy: P ∈ (f ± ε) ⇒ 100 ∈ (0,1419; 0,2581) ⇒ N ∈ (387; 705) N Câu 7: Cho tổng thể đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Gọi (𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , … , 𝐗 𝟓𝟎 ) mẫu ngẫu nhiên gồm n=50 quan sát độc lập chọn từ tổng thể ̅ = 𝟏 ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐗 𝐢 (chọn theo phương pháp có hồn lại) Tìm phương sai 𝐗 𝐧 n n i=1 i=1 1 ̅) = Var ( ∑ Xi ) = Var (∑ Xi ) Var(X n n2 -Vì 50 quan sát mẫu độc lập nên: n 1 ̅) = ∑ Var(Xi ) = nVar(Xi ) = Var(X Var(Xi ) n2 n2 50 i=1 Với Var(Xi ) phương sai chung quan sát -Ta tính được: μ(X) = 1+2+3+4+5+6 = 3,5 6 Var(Xi ) = ∑(Xk − μ)2 Pk = k=1 35 12 -Thay vào, ta được: ̅) = Var(X Var(Xi ) = 50 120 Câu 8: Một mẫu ngẫu nhiên gồm có n quan sát độc lập rút từ tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình 𝛍 độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟖 ̅ − 𝛍| ≤ 𝟎, 𝟗𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟓 Tìm n cho: 𝐏(|𝐗 n ̅−μ 82 X ̅ X = ∑ Xi ∼ N (μ; σ = ) ⇒ √n ∼ N(0; 1) n n i=1 -Ta có: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 2Φ(X ̅ − μ = 0,98) = 2Φ ( P(|X ̅−μ X 0,98 0,98 √n = √n) = 2Φ ( √n) 8 -Theo đề bài: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 0,95 P(|X 0,98 ⇒ Φ( √n) = 0,475 ⇒ 0,1225√n = 1,96 ⇒ n = 256 Câu 9: Lấy mẫu kích thước 200 ta tính trung bình mẫu 14,2 Lấy tiếp mẫu kích thước 100 ta tính trung bình mẫu 14,8 Trung bình mẫu mẫu gộp lại hai mẫu bao nhiêu? Trung bình mẫu: 𝑋̅ = 14,2.200 + 14,8.100 = 14,4 300 Câu 10: Điều tra ngẫu nhiên thu nhập (triệu đồng/tháng) 200 công nhân (CN) làm việc thành phố A B, ta có số liệu: Thu nhập = Thành phố A 15 25 24 B 55 45 36 Với mức ý nghĩa 5%, tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định xét xem thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc hay khơng A 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc B 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập CN không phụ thuộc vào nơi làm việc A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập CN không phụ thuộc vào nơi làm việc (Chưa nghiên cứu nên làm, híc) Câu 11: Một bến xe có xe bus chạy tuyến đường chuẩn bị xuất phát Có hành khách lên xe cách ngẫu nhiên độc lập với Tính xác suất để xe có người lên Mình chưa tìm cách làm đáp án thực đáng tin cậy cho toán Mong nhận lời giải đóng góp từ người! Câu 12: Một người có chỗ ưa thích để câu cá Xác suất để câu cá chỗ 0,7; 0,8 0,9 Biết người chọn ngẫu nhiên chỗ thả câu lần câu cá Tìm xác suất cá câu chỗ thứ Câu giải sau nhé! Câu 13: Khối lượng gà chọn ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,8kg độ lệch chuẩn 0,2kg Khối lượng vịt chọn ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 2,5kg độ lệch chuẩn 0,3kg Chọn mua ngẫu nhiên gà vịt Tìm xác suất để tổng khối lượng thịt gà thịt vịt mua nằm khoảng [18;20] (kg) -Gọi G V khối lượng gà vịt Theo đề bài, hai đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn: G ∼ N(μ = 1,8; σ2 = 0,22 ) ; V ∼ N(μ = 2,5; σ2 = 0,32 ) ⇒ 5G ∼ N(μ = 9; σ2 = 12 ) ; 4V ∼ N(μ = 10; σ2 = 1,22 ) -Gọi M tổng khối lượng gà vịt, ta có: M = 5G + 4V -Vì G V biến ngẫu nhiên độc lập với nên: M ∼ N(μ = + 10; σ2 = 12 + 1,22 ) ⇒ M ∼ N (μ = 19; σ2 = ⇒ 5(M − 19) √61 61 ) 25 ∼ N(0; 1) -Ta có: P(18 ≤ M ≤ 20) = P (− √61 ≤ 5(M − 19) √61 ≤ 5 ) = 2Φ ( ) ≈ 2Φ(0,64) = 0,4778 √61 √61 Câu 14: Khảo sát mức tiêu thụ điện (kwh/tháng) số hộ gia đình thành phố, ta có bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau: Lượng điện tiêu thụ Số hộ 240 – 360 13 360 – 420 22 420 – 480 35 480 – 540 20 540 - 720 10 Quy ước hộ có mức tiêu thụ điện lớn 480 kwh/tháng hộ có mức tiêu thụ điện cao a) Tìm khoảng tin cậy lượng điện tiêu thụ trung bình hộ có mức tiêu thụ điện cao với mức tin cậy 95% -Lượng điện tiêu thụ trung bình: 480 + 540 540 + 720 ) 20 + ( ) 10 2 ̅ X= = 550 30 ( -Với mức tin cậy 95%, ta có: 2Φ(zα/2 ) = 95% ⇒ Φ(zα/2 ) = 0,475 ⇒ zα/2 = 1,96 -Gọi X lượng điện tiêu thụ hộ gia đình -Tỷ lệ mẫu hộ gia đình có múc tiêu thụ điện cao: f= 30 = 0,3 100 -Suy độ xác: f(1 − f) 0,3.0,7 ε = zα/2 √ = 1,96 √ = 0,0898 n 100 -Khoảng tin cậy: X∈̅ X(1 ± ε) ⇒ X ∈ 550 (0,9102; 1,0898) ⇒ X ∈ (500; 600) b) Với mẫu cho, muốn sai số phép ước lượng tỷ lệ hộ có mức tiêu thụ điện cao 7% độ tin cậy phải đạt %? -Ta có: f(1 − f) ε = zα √ n ⇒ zα/2 = ε√ n 100 = 0,07√ = 1,5275 f(1 − f) 0,3.0,7 -Độ tin cậy: 2Φ(zα/2 ) = 2Φ(1,5275) = 88,36% Khóa 40 – Đề 02 Câu 1: Tỷ lệ sản phẩm loại B nhà máy 20% Nhà máy có nhiều sản phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy Tính xác suất để sản phẩm lấy ra, có khơng q sản phẩm loại B -Gọi X số sản phẩm loại B lấy Như vậy, X đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối nhị thức: X ∼ B(n = 4; p = 0,2) -Xác suất để có khơng q sản phẩm loại B lấy ra: P = P(X = 0) + P(X = 1) = C40 0,20 0,84 + C41 0,21 0,83 = 0,8192 Câu 2: Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với 𝐄(𝐗) = 𝟐 Xác suất 𝐏(𝐗 ≥ 𝟒|𝐗 ≥ 𝟐) là: -Theo đề bài, ta được: λ = E(X) = -Ta có: P(X ≥ 4|X ≥ 2) = P[(X ≥ 4) ∪ (X ≥ 2)] P(X ≥ 4) = P(X ≥ 2) P(X ≥ 2) Với ∞ P(X ≥ 4) = ∑ pi − ∑ pk = − ∑ i=0 k=0 ∞ k=0 e−2 2k 20 21 22 23 = 1− 2( + + + ) k! e 0! 1! 2! 3! P(X ≥ 2) = ∑ pi − ∑ pk = − ∑ i=0 k=0 k=0 e−2 2k 20 21 = 1− 2( + ) k! e 0! 1! -Thay vào, ta được: 1− P(X ≥ 4|X ≥ 2) = 20 21 22 23 ( + + + ) e2 0! 1! 2! 3! = 0,241 20 21 − ( 0! + 1! ) e Câu 3: Một hộp có 15 viên bi, có bi trắng, bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp lần bi, khơng hồn lại, để có đủ bi Xác suất để lần đầu lấy bi trắng, lần hai lấy bi xanh lần ba lấy bi đỏ là: Chú ý sau lần lấy, tổng số bi hộp giảm P= = 15 14 13 91 Câu 4: Khối lượng sản phẩm nhà máy đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 𝛍 (𝐠) độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟎, 𝟑 (𝐠) Biết tỷ lệ sản phẩm có khối lượng lớn 𝟖 (𝐠) 1% Cho 𝐏(𝐙 < 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟗 với 𝐙~𝐍(𝟎; 𝟏) Khi 𝛍 bằng: -Gọi X khối lượng sản phẩm nhà máy Theo đề bài, X đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn: X ∼ N(μ; 0,32 ) ⇒ X−μ ~N(0; 1) 0,3 -Theo đề bài: 8−μ 8−μ P(X > 8) = 1% ⇒ Φ(∞) − Φ ( ) = 0,01 ⇒ Φ ( ) = 0,49 0,3 0,3 P(Z < 2,33) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) + Φ(∞) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) = 0,49 -Đồng hai vế phải biểu thức vừa tìm được: 8−μ = 2,33 ⇒ μ = 7,301 0,3 Câu 5: Một lơ hàng có tỷ lệ sản phẩm phân xưởng một, hai sản xuất 40% 60% Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn phân xưởng một, hai tương ứng 90%, 96% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Xác suất để sản phẩm phân xướng sản xuất là: -Gọi X1 , X2 biến cố chọn sản phẩm phân xưởng một, hai sản xuất -Gọi B biến cố sản phẩm chọn không đạt tiêu chuẩn -Ta cần tính xác suất chọn sản phẩm phân xưởng biết sản phẩm không đạt tiêu chuẩn: P(X1 |B) = P(X1 B) P(B) -Ta tính P(X1 B) xác suất chọn sản phẩm không đạt tiêu chuẩn phân xưởng một: P(X1 B) = 40% (1 − 90%) = 0,04 -Tính tiếp P(B) xác suất chọn sản phẩm không đạt tiêu chuẩn lô hàng: P(B) = P(X1 ) P(B|X1) + P(X2 ) P(B|X2 ) = 40% (1 − 90%) + 60% (1 − 96%) = 0,064 -Thay hết vào, ta được: P(X1 |B) = 0,04 = = 0,625 0,064 Câu 6: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B phế phẩm Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) từ kiện hàng sản phẩm Gọi X, Y số sản phẩm loại A, loại B sản phẩm lấy Khi 𝐄(𝐗|𝐘 = 𝟏) bằng: -Với số sản phẩm B lấy số sản phẩm A lấy tối thiểu 0, tối đa Ta có: E(X|Y = 1) = E(X = 0|Y = 1) + E(X = 1|Y = 1) ⇒ E(X|Y = 1) = P(X = 0|Y = 1) + P(X = 1|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) ⇒ E(X|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) = P[(X = 1)(Y = 1)] P(Y = 1) Ta có: P[(X = 1)(Y = 1)] = 6.3 3.7 ; P(Y = 1) = 2 C10 C10 6.3 C2 ⇒ E(X|Y = 1) = 10 = 3.7 C10 Câu 7: Lấy mẫu kích thước 300 ta tính trung bình mẫu 14,5 phương sai mẫu 0,4 Với độ tin cậy 95% ta tinh độ xác phép ước lượng trung bình tổng thể 𝛆 Nếu muốn độ xác 𝛆 độ tin cậy 98% phải lấy mẫu có kích thước bao nhiêu? -Với độ tin cậy 95% 98% ta có: Φ(z1 ) = 95% 98% ⇒ z1 = 1,96 ; Φ(z2 ) = ⇒ z2 = 2,33 2 -Ta có cơng thức tính độ xác: ε = z σ √n -Vì độ xác hai lần lấy mẫu nên: z1 σ σ z2 = z2 ⇒ n2 = ( ) n1 = 424 z1 √n1 √ n2 Câu 8: Điều tra số sản phẩm xí nghiệp chiều dài (X – cm) hàm lượng chất A (Y - %), ta có bảng số liệu: Y X 10 12 14 16 100 5 110 120 130 140 Để có khoảng tin cậy cho chiều dài trung bình đạt độ xác 32mm độ tin cậy bao nhiêu? -Giá trị trung bình độ lệch chuẩn: ̅1 = 120,75 cm ; σ = 12,4273 cm X -Độ xác: ε = zα/2 ⇒ zα/2 = ε σ √n √80 √n = 3,2 = 2,30 σ 12,4273 -Độ tin cậy: 2Φ(zα/2 ) = 2Φ(2,3) = 97,8% Câu 9: Trước đây, chiều dài trung bình sản phẩm nhà máy sản xuất 0,05 (m) ̅ = 𝟎, 𝟎𝟓𝟑 (𝐦) 𝐬 = Người ta lấy mẫu sản phẩm máy sản xuất tính 𝐗 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 (𝐦) Gọi 𝛍 chiều dài trung bình sản phẩm máy sản xuất Với mức ý nghia 5%, kiểm định giả thiết 𝐇𝟎 ; 𝛍 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐯ớ𝐢 𝐇𝟏 𝛍 ≠ 𝟎, 𝟎𝟓 Tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định đưa kết luận: A t=1 bác bỏ H0 B t=1 chấp nhận H0 C t=3 chấp nhận H0 D t=3 bác bỏ H0 (câu chưa nghiên cứu, tạm bỏ qua nhé!) Câu 10: Một địa phương có 50% hộ sử dụng internet Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 theo phép chọn lặp Gọi Y số lần xuất hộ sử dụng internet Xác suất 𝐏(𝟒𝟎 ≤ 𝐘 ≤ 𝟔𝟎): 60 60 i P(40 ≤ Y ≤ 60) = ∑ 0,5i 0,5100−i = 0,5100 ∑ C100 = 0,9648 i=40 i=40 Câu 11: Một lơ hàng có kiện sản phẩm Mỗi kiện có 10 sản phẩm Kiện thứ có sản phẩm loại A kiện thứ hai có sản phẩm loại A Lấy ngâu nhiên kiện, từ kiện lấy ngẫu nhiên sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm loại A -Gọi X1, X2 biến cố chọn kiện hàng thứ nhất, thứ hai Vì hai kiện hàng nên: P(X1 ) = P(X2 ) = 0,5 -Gọi A biến cố chọn sản phẩm loại A -Vì hệ {X1 ; X2 } hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi nên xác suất chọn sản phẩm loại A tính: P(A) = P(X1 ) P(A|X1 ) + P(X2 ) P(A|X2 ) = 0,5.0,8 + 0,5.0,6 = 0,7 b) Biết lấy sản phẩm loại A Hãy tính xác suất để lấy tiếp sản phẩm từ kiện sản phẩm loại A -Gọi A1, A2 biến cố chọn sản phẩm loại A lần lấy thứ nhất, thứ hai -Theo đề bài, ta cần tính: P(A2 |A1 ) = P(X1 ) P((A2 |A1 )|X1 ) + P(X2 ) P((A2 |A1 )|X2 ) = P(X1 ) P(A2 |A1 X1 ) + P(X2 ) P(A2 |A1 X2 ) = 0,5 + 0,5 = = 0,6667 9 Câu 12: 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 lập từ đại lượng ngẫu nhiên X (các đại lượng ngẫu nhiên 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 độc lập có phân phối với X) Biết 𝐄(𝐗) = 𝟏𝟔 𝐕𝐚𝐫(𝐗) = 𝟒 Tính xác suất 𝐏(𝐗 𝟏 + 𝐗 𝟐 + 𝐗 𝟑 + ⋯ + 𝐗 𝟏𝟎𝟎 < 𝟏𝟔𝟓𝟎) -Theo đề bài, X đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn nên: X ∼ N(μ = 16; σ2 = 22 ) ⇒ X − 16 ∼ N(0; 1) -Vì X1 , X2 , X3 , … , X100 độc lập có phân phối với X nên xác suất tính: P = P(X1 + X2 + X + ⋯ + X100 < 1650) = P(100X < 1650) = P(X < 16,5) X − 16 = P( < 0,25) ⇒ P = Φ(0,25) − Φ(−∞) = 0,0987 + 0,5 = 0,5987 Câu 13: Khảo sát ngẫu nhiên 400 nhân viên ngân hàng Vietcombank năm 2011 thu nhập hàng tháng (đơn vị: triệu đồng/tháng), người ta thu bảng số liệu dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) sau: Thu nhập Số nhiên viên 2–5 45 – 10 47 10 – 15 53 15 – 20 115 20 – 30 100 30 – 50 40 a) Hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng tháng nhân viên ngân hàng Vietcombank năm 2011 với độ tin cậy 95% -Các đặc trưng số: n = 400 ; x̅ = 18,2125 ; σ = 10,0644 ; f = -Với độ tin cậy 95%, ta tìm được: Φ(z) = 95% ⇒ z = 1,96 -Độ xác: ε = z √400 √n = 1,96 = 3,8949 σ 10,0644 -Khoảng tin cậy: X ∈ (x̅ ± ε) ⇒ X ∈ (14,3176 ; 22,1074) b) Những nhân viên có thu nhập từ 20 triệu đồng/tháng trở lên nhân viên có thu nhập cao Trong phép ước lượng tỷ lệ nhân viên có thu nhập cao Vietcombank, với độ xác 6% độ tin cậy %? -Tỉ lệ mẫu: f= 140 = 400 20 -Độ xác: ε = z√ f(1 − f) n ⇒ z = ε√ = 2,52 n f(1 − f) -Suy độ tin cậy: − α = 2Φ(2,52) = 0,9882 -Vậy độ tin cậy 98,82% K40 – Đề 03 Câu 1: Một lơ hàng có 35 sản phẩm cơng ty X (trong có phế phẩm), 45 sản phẩm cơng ty Y (trong có 10 phế phẩm) 50 sản phẩm công ty Z (trong có phế phẩm) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng thấy phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm công ty X công ty Y -Gọi X, Y, Z biến cố lấy sản phẩm công ty X, Y, Z Rõ ràng, ba biến cố đầy đủ xung khắc đôi Ta có: P(X) = 35 45 50 ; P(Y) = ; P(Z) = 130 130 130 -Gọi B biến cố lấy phế phẩm Ta có: ⇒ P(B) = + 10 + 20 = 130 130 -Theo đề bài, ta biết sản phẩm vừa lấy phế phẩm Tức biến cố B điều kiện biết Ta cần tìm xác suất sản phẩm cơng ty X Y -Ta có: P = P(X|B) + P(Y|B) 10 P(XB) P(YB) 130 + 130 ⇒P= + = = = 0,75 20 P(B) P(B) 130 ̅ ) Câu 2: Cho 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟕; 𝐏(𝐁) = 𝟎, 𝟔𝟓 𝐯à 𝐏(𝐀 + 𝐁) = 𝟎, 𝟗 Tính 𝐏(𝐁|𝐀 Chú ý cơng thức sau: ̅ 𝑩) = 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩) 𝑷(𝑨 -Áp dụng vào, ta dễ dàng khai triển: ̅) = P(B|A ̅) P(B) − P(AB) P(BA = ̅) − P(A) P(A -Ta tính P(AB) nhờ: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B) -Thay vào, ta được: ̅) = P(B|A P(A + B) − P(A) 0,9 − 0,7 = = − P(A) − 0,7 Một điều lạ kết không phụ thuộc vào 𝑃(𝐵) Câu 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau Tìm phương sai X X F(x) 1/8 (Bài sai sai nên làm chưa ra) 3/8 3/8 Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi độc lập với bao gồm câu hỏi (mỗi câu có phương án trả lời có phương án đúng) 16 câu hỏi (mỗi câu có phương án trả lời, có phương án đúng) Trả lời câu hỏi loại phương án trả lời điểm trả lời câu hỏi loại phương án trả lời điểm Một thí sinh không học nên trả lời câu hỏi cách cầu may (chọn ngẫu nhiên đáp án) Tìm số điểm trung bình mà thí sinh làm -Gọi X, Y số câu loại phương án phương án mà thí sinh trả lời -Tổng điểm thí sinh là: A = X + 2Y -Số điểm trung bình: E(A) = E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) -Nhận thấy rằng, đại lượng ngẫu nhiên X Y tuân theo luật phân phối nhị thức: X ∼ B(nX = 4; pX = 0,5) ; Y ∼ B(nY = 16; pY = 0,25) ⇒ E(X) = nX pX = ; E(Y) = nY pY = -Thay hết vào, ta được: E(A) = 10 Câu 5: Một sinh viên (SV) thi liên tiếp hai môn A B Xác suất để sinh viên thi đạt yêu cầu môn A 0,8 Nếu đạt mơn A xác suất để SV đạt yêu cầu môn B 0,7 Nếu khơng đạt mơn A xác suất để SV đạt u cầu mơn B 0,5 Tính xác suất để sinh viên đạt yêu cầu môn -Gọi A, B biến cố SV đạt yêu cầu môn A, B -Xác suất để SV đạt yêu cầu môn: ̅B) = P(A) P(B ̅) P(B|A ̅) = 0,8 (1 − 0,7) + (1 − 0,8) 0,5 ̅) + P(A ̅|A) + P(A P = P(AB ⇒ P = 0,34 Câu 6: Có 500 vịng bi, khối lượng trung bình vịng bi 150 g độ lệch chuẩn g (cho biết khối lượng vòng bi đạt lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn) Chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vịng bi Tìm xác suất để mẫu có tổng khối lượng từ 14,95 kg đến 15,01 kg (Câu nghi ngờ giải sai chưa dùng đến số liệu 500 vịng đầu Mong nhận góp ý từ bạn) -Gọi X (g) khối lượng vòng bi Theo đề bài, đại lượng X tuân theo luật phân phối chuẩn: 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎 = 12 ) -Ta cần tìm xác suất mẫu 100 vòng bi, tức đại lượng: 𝑌 = 100𝑋 -Áp dụng công thức: 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎 = 12 ) ⇒ 𝑌 = 100𝑋 + ∼ 𝑁(100𝜇 + 0; 1002 𝜎 ) ⇒ 𝑌 ∼ 𝑁(15000; 1002 ) ⇒ 𝑌 − 15000 ∼ 𝑁(0; 1) 100 -Ta có: 𝑃(14950 ≤ 𝑌 ≤ 15010) = 𝛷 ( 15010 − 15000 14950 − 15000 )−𝛷( ) = 0,0398 + 0,1915 100 100 ⇒ 𝑃 = 0,478 Câu 7: Khảo sát thời gian tự học (giờ/tuần) số sinh viên hệ quy trường đại học thời gian gần đây, người ta thu kết dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) sau: Thời gian tự học (tuần/giờ) Số SV 1–4 4–6 6–8 – 10 10 – 12 12 – 16 18 25 30 35 25 11 Những sinh viên có số tự học thuộc khoảng [6;12) xem SV có số tự học mức trung bình Để có khoảng tin cậy cho tỷ lệ SV có số tự học mức trung bình trường đạt độ xác 8% độ tin cậy 99% phải điều tra thêm sinh viên nữa? -Với độ tin cậy 99%, ta có: 2Φ(z) = 99% ⇒ z = 2,575 -Xem tỷ lệ mẫu không đổi: f= 90 144 -Như vây từ công thức: f(1 − f) ε = z√ N -Ta tìm số người phải điều là: N= z2 2,5752 90 90 (1 − f) f = (1 − ) ≈ 243 2 ε 0,08 144 144 -Vậy số người phải điều tra thêm là: ∆N = 243 − 144 = 99 Câu 8: Một lớp có 100 sinh viên, có 60 sinh viên nam Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n=20 theo phép chọn lặp Gọi Y số lần xuất sinh viên nam mẫu F=Y/20 Khi 𝐄(𝐅) bằng: 1 60 E(F) = E ( Y) = E(Y) = (20 ) = 0,6 20 20 20 100 Câu 9: Để đánh giá số lượng chim quý khu bảo tồn chim, người ta săn bắt 100 chim, đánh dấu chúng thả lại vào khu bảo tồn Vài ngày sau, người ta săn bắt 75 thấy có 15 chim đánh dấu Với độ tin cậy 95%, ước lượng số chim có khu bảo tồn -Gọi N số chim khu bảo tồn -Độ tin cậy 95% cho ta: 2Φ(zα/2 ) = 95% ⇒ zα/2 = 1,96 -Tỷ lệ mẫu: f= 15 = 0,2 75 -Độ xác: f(1 − f) 0,2.0,8 ε = zα √ = 1,96√ = 0,0910 n 75 -Gọi N số chim bảo tàng thì: 100 ∈ (f ± 0,0910) = (0,1090; 0,2910) N ⇒ N ∈ (344; 917) Câu 10: Trong kỳ thi tốt nghiệp trường trung học phổ thông, người ta khảo sát điểm thi số học sinh (HS) chọn ngẫu nhiên thu bảng số liệu dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) sau: Tổng điểm thi Số học sinh – 30 18 30 – 42 35 42 – 48 37 48 – 54 34 54 – 60 20 Những HS 48 điểm trở lên xếp loại giỏi Nếu báo cáo cho số HS xếp loại giỏi trường 900 có chấp nhận không với mức ý nghĩa 5%, biết trường có 2000 HS? u cầu tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định đưa kết luận A z=1,86 Chấp nhận báo cáo B z=1,86 Bác bỏ báo cáo C z=-1,81 Bác bỏ báo cáo D z=-1,81 Chấp nhận báo cáo Dạng chưa nghiên cứu luôn! Câu 11: Chiều cao sinh viên (SV) trường đại học M đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình 167cm độ lệch chuẩn 4cm 80% số sinh viên có chiều cao 175cm có uống sữa cơng ty N 50% số sinh viên có chiều cao từ 163cm đến 175cm có uống sữa cơng ty N Những SV có chiều cao 163cm không uống sữa công ty N a) Gặp ngẫu nhiên SV trường đại học M thấy SV có uống sữa cơng ty N Tính xác suất để SV có chiều cao 175cm b) Gặp ngẫu nhiên SV trường đại học M Tính xác suất để găp người có uống sữa cơng ty N Câu 12: Một lơ hàng có 100 kiện hàng, kiện hàng có 10 sản phẩm Giả sử kiện hàng lơ có luật phân phối xác suất giống sau: X (số sản phẩm hỏng) P(X=x) 0,375 0,125 0,375 0,125 a) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình lơ hàng b) Tìm độ lệch chuẩn số sản phẩm hỏng lô hàng Câu 13: Trong đợt khảo sát khối lượng loại trái vườn, ta thu bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau: Khối lượng (g) Số trái 200 – 400 35 400 – 570 17 570 – 680 25 680 – 800 13 800 – 1000 10 a) Những trái có khối lượng lớn 680g xem trái to vượt trội Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ trái to vượt trội vườn độ tin cậy 97% b) Giả sử sau đợt khảo sát, người ta áp dụng loại phân bón làm cho khối lượng trung bình trái vườn 590g Với mức ý nghĩa 5%, cho biết loại phân bón có làm cho khối lượng trung bình loại trái tăng lên hay khơng? K40 – Đề 04 (Đang hồn thành) Câu 1: Cho A, B hai biến cố Phát biểu sau sai? A Hệ A, ̅ B) ̅+A Câu 2: Cho P(A) = 0,2; P(B) = 0,4 P(A + B) = 0,5 Tính P(AB ̅B xung khắc nên: ̅ A Vì AB ̅ B) = P(AB ̅B) ̅+A ̅) + P(A P(AB Áp dụng công thức: ̅B) = P(B) − P(AB) P(A Ta được: ̅ B) = P(A) − P(AB) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − 2P(AB) ̅+A P(AB Ta tính P(AB) nhờ: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B) Thay vào, ta được: ̅B) = 2P(A + B) − P(A) − P(B) = 2.0,5 − 0,2 − 0,4 = 0,4 ̅+A P(AB K39 – 01 Câu 1: Kiểm tra 10 sản phẩm Gọi A biến cố có phế phẩm 10 sản phẩm kiểm tra Gọi B biến cố có phế phẩm 10 sản phẩm kiểm tra Cho biết P(A) = 0,3 P(B) = 0,1 Các câu sau đây, câu sai? A P(A|B) = B P(AB) = 0,03 ̅∪B ̅) = C P(A ̅∩B ̅) = 0,6 D P(A Rõ ràng A B xung khắc nên: A ∩ B = AB = ∅ ⇒ P(AB) = Ta có: P(A|B) = P(AB) =0 P(B) ̅∪B ̅) + P(B ̅B ̅) = P(A ̅) − P(A ̅) P(A Ta tính: ̅B ̅) − P(A ̅B) = P(A ̅) − [P(B) − P(AB)] = P(A ̅) − P(B) + P(AB) ̅) = P(A P(A Thay vào, ta được: ̅∪B ̅) + P(B ̅) + P(B) − P(AB) = − P(AB) = ̅) = P(A ̅) − P(A P(A Ta có: ̅∩B ̅̅̅̅̅̅̅ ̅) = P(A P(A ∪ B) = Câu 2: A, B biến cố thuộc không gian biến cố sơ cấp Ω Biết P(A) = 0,8; P(B) = ̅ ) 0,75 P(AB) = 0,6 Tính P(A|B Ta có: ̅) = P(A|B ̅) P(A) − P(AB) 0,8 − 06 P(AB = = = = 0,8 ̅) − P(B) − 0,75 P(B ... lập với Tính xác suất để xe có người lên Mình chưa tìm cách làm đáp án thực đáng tin cậy cho toán Mong nhận lời giải đóng góp từ người! Câu 12: Một người có chỗ ưa thích để câu cá Xác suất để câu... tiếp hai môn A B Xác suất để sinh viên thi đạt yêu cầu môn A 0,8 Nếu đạt mơn A xác suất để SV đạt yêu cầu môn B 0,7 Nếu không đạt mơn A xác suất để SV đạt u cầu mơn B 0,5 Tính xác suất để sinh viên... lấy để lấy phế phẩm 1, số lần nhiều để lấy phế phẩm Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P1 = 3 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P2 = = 10 2 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P3 = = -Số lần lấy trung