Phần xác suất Xác Suất Thống Kê (Có Đáp Án)

Bài tập phần xác suất trong bộ môn Xác Suất Thống Kê.

a) Sinh viên này giỏi ít nhất một môn học.

b) Sinh viên này không giỏi môn học nào hết

c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 môn học

Lớp học của An có 50SV trong đó có Bình, Hoa, Lan Chọn ngẫu nhiên 5 SV tính xác suất

để trong 5 người được chọn có :

a) An và Bình

b) An và Hoa hoặc An và Lan

c) An, Bình, Hoa và Lan

d) An nhưng không có bạn nào trong ba bạn trên

II Công thức cộng, công thức nhân, công thức xác suất có điều kiện :

Bài 1.5

Từ kinh nghiệm trước đây, các nhà phân tích tin rằng, với điều kiện kinh tế hiện nay, mộtnhà đầu tư sẽ mua trái phiếu với xác suất 0,6; sẽ mua cổ phiếu với xác suất 0,3; sẽ mua cả tráiphiếu và cổ phiếu với xác suất 0,15 Tính xác suất để tại thời điểm này một nhà đầu tư sẽ :a) Mua trái phiếu hoặc cổ phiếu

b) Mua trái phiếu, biết rằng nhà đầu tư đó đã mua cổ phiếu

Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó Tính xác suất để :

a) Người đó có trình độ trung cấp, biết rằng người đó là nam giới

b) Người đó không có trình độ cao đẳng, biết rằng người đó là nữ giới

ĐS: a) 0,318; b) 0,848

Bài 1.7.

Xác suất để một bác sĩ chẩn đoán đúng bệnh là 0,7 Nếu bác sĩ chẩn đoán sai thì xác suất đểbệnh nhân khởi kiện là 0,9 Tính xác suất để bác sĩ chẩn đoán sai và bệnh nhân khởi kiện.ĐS: 0,27

b) Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức.

để :

a) Cả ba lần đều bán được hàng

Hai đội bóng đá phải phân định thắng thua bằng các lượt sút luân lưu theo quy tắc : mỗi đội

cử ra hai cầu thủ, ở mỗi lượt mỗi đội chọn ra một trong hai cầu thủ đó để sút luân phiên, nếusau một lượt có tỉ số chênh lệch thì dừng lại, cả 2 lượt tỉ số vẫn hòa thì bốc thăm để phân địnhthắng thua Đội A cử 2 cầu thủ có xác suất thành công lần lượt là 0,7; 0,6 Đội B cử 2 cầu thủ

có xác suất thành công lần lượt là 0,8; 0,5 Giả sử đội A sút trước

a) Tính xác suất để tỉ số hòa sau hai lượt sút

Khảo sát dân cư trong một vùng người ta nhận thấy tỉ lệ bệnh bạch tạng đối với nam giới là0,6 % và đối với nữ giới là 0,36% Giả sử tỉ lệ nam / nữ trong vùng này là 115/100

Tính tỉ lệ người dân bị bệnh bạch tạng trong vùng này

ĐS:

Bài 1.20

Một nhân viên bán hàng đến chào hàng tại một cửa hàng X Người này dự đoán rằng, xácsuất để anh ta gặp người chủ cửa hàng là 40% và nếu không gặp chủ cửa hàng thì anh ta sẽ gặpngười trợ lý Anh ta cũng dự đoán rằng, xác suất để anh ta bán được hàng khi gặp ông chủ cửahàng là 50%, còn nếu gặp người trợ lý thì xác suất bán được hàng là 30% Tính xác suất đểngười nhân viên này bán được hàng khi đến cửa hàng X

ĐS:

Bài 1.21

Một công ty bảo hiểm biết rằng trong số khách hàng là tài xế của mình có 20% là dưới 25tuổi, 35% là trên 60 tuổi Công ty dự đoán xác suất để một tài xế có độ tuổi dưới 25 bị tai nạngiao thông trong một năm là 1,2%; đối với tài xế trên 60 tuổi xác suất đó là 0,9%; đối với tài

xế trong độ tuổi còn lại xác suất đó là 0,5% Tính xác suất để một khách hàng của công ty bịtai nạn trong một năm

a) Chọn ngẫu nhiên một người, tính xác suất để người đó mắc loại bệnh trên

b) Chọn ngẫu nhiên một người, biết người đó mắc bệnh T Tính xác suất để người đó thuộcnhóm máu O

ĐS: 0,0367

Bài 1.24.

Có 2 lô sản phẩm: lô I gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm, lô II có 7 chính phẩm và 3 phếphẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II; từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.a) Tìm xác suất để lấy được 2 chính phẩm

b) Giả sử đã lấy được 2 chính phẩm Tìm xác suất để 2 sản phẩm đó của lô I

ĐS: a) 223/495; b) 5/446

Bài 1.25.

Một lô hàng gồm 18 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm, rồi từ

đó chọn ra 1 sản phẩm Biết sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt Tính xác suất để trong

ĐS:

Bài 1.27.

Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người dân hút thuốc lá là 30% Biết tỷ lệ người bị viêm họngtrong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30% Khám ngẫunhiên một người trong vùng này thì thấy người đó bị viêm họng Tính xác suất để người đó hútthuốc lá

ĐS:

Bài 1.28.

Một lô hạt giống được phân thành 3 loại : loại 1 chiếm 2/3, loại 2 chiếm ¼, còn lại là loại 3

Tỉ lệ nảy mầm của các loại 1, 2, 3 lần lượt là 80%; 60%; 40%

a) Tính tỉ lệ nảy mầm của cả lô hạt giống

b) Nếu chọn 1 hạt để thí nghiệm và thấy rằng hạt đó không nảy mầm, theo bạn khả năng hạtgiống đó thuộc loại nào là cao nhất ?

ĐS: a) b)

Bài 1.29

Bắn 3 phát vào 1 chiếc máy bay, xác suất trúng theo thứ tự là 0,5 ; 0,6 ; 0,8 Nếu máy bay bịtrúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,3 ; hai phát là 0,6 ; còn 3 phát thì chắc chắn rơi

a) Tính xác suất máy bay bị bắn rơi

b) Nếu máy bay bị bắn rơi Tính xác suất nó bị trúng 1 phát

ĐS: a) b)

Bài 1.30

Trên thị trường cam có 42% cam TQ, 24% cam TL, 26% cam CPC và 8% cam VN Trong

số tỉ lệ cam hư của các nước lần lượt là : 20% của số cam TQ, 10% của số cam TL, 12% của

số cam CPC và 2% của số cam VN

a) Tính xác suất để 1 người mua phải 1 trái cam TQ hư

b) Tính xác suất để 1 người mua phải 1 trái cam hư

c) Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy là của CPC.d) Biết 1 người đã mua phải 1 trái cam hư Tính xác suất để trái cam ấy không là của VN.ĐS: a) 0,084; b) 0,1408; c) 0,2216; d) 0,9886

Bài 1.31

Có 8 bình chứa bi, trong đó có :

2 bình loại I : mỗi bình chứa 6 bi trắng 3 bi đỏ

3 bình loại II : mỗi bình chứa 5 bi trắng 4 bi đỏ

3 bình loại III : mỗi bình chứa 2 bi trắng 7 bi đỏ

Lấy ngẫu nhiên một bình rồi từ bình đó chọn ngẫu nhiên một bi

a) Tính xác suất để lấy được bi trắng

b) Biết rằng chọn được là bi trắng Tính xác suất để bi đó thuộc bình loại I

ĐS: a) b)

CHƯƠNG II

I Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Bài 2.1.

Một phân xưởng có ba máy tự động với xác suất hỏng trong tháng tương ứng là 0,15; 0,25;0,2 Gọi X là số máy hỏng trong 1 tháng

a) Lập bảng phân phối xác suất cho X

b) Tính số máy hỏng trung bình, số máy hỏng có khả năng tin chắc nhất trong 1 tháng củaphân xưởng

Bài 2.2.

Trong một hộp gồm 6 bi trắng và 3 bi đen Chọn ngẫu nhiên từng bi (không hoàn lại) đểkiểm tra đến khi nhận được bi trắng thì dừng lại Gọi X là số lần kiểm tra

a) Lập bảng phân phối xác suất cho X

b) Tìm hàm phân phối xác suất

c) Tính số lần chọn trung bình và phương sai

d) Tính xác suất để kiểm tra ít nhất 2 lần

b) Tính xác suất để người đó không thử quá 2 lần

c) Tính xác suất để người đó thử ít nhất 2 lần

Bài 2.5.

Hai cầu thủ A, B có 6 quả bóng, mỗi cầu thủ có 3 quả bóng, lần lượt từng người ném bóngvào rổ cho đến khi có người ném trúng hoặc hết bóng thì dừng lại Biết xác suất ném trúngbóng của hai cầu thủ lần lượt là 0,7; 0,8 Giả sử cầu thủ A ném trước.

a) Gọi X là số lần cầu thủ A ném bóng Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b) Gọi Y là số lần cầu thủ B ném bóng trúng rổ Hãy lập bảng phân phối xác suất của Y.ĐS:

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số điểm đạt được của xạ thủ

b) Tính xác suất xạ thủ đạt được ít nhất 29 điểm

c) Tính số điểm đạt được trung bình và phương sai

ĐS:

P 0,027 0,189 0,441 0,343

Bài 2.9

Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở ba nơi với xác suất bán được hàng mỗinơi lần lượt là 0,5; 0,4; 0,2 Nếu bán được hàng ở nơi thứ nhất và thứ hai thì tiền lãi mỗi nơi là100$, còn nếu bán được hàng ở nơi thứ ba thì tiền lãi là 200$

a) Hãy lập bảng phân phối cho số tiền lãi mà nhân viên này có được mỗi ngày

b) Tính số tiền lãi trung bình và phương sai của số tiền lãi đó

a) Tính xác suất để cửa hàng có lãi ít nhất 10 triệu đồng

b) Tính tiền lãi trung bình mà cửa hàng này thu được và phương sai của số tiền lãi

b) Tính xác suất để chọn được không quá một trái hư

c) Tính số cam hư được chọn trung bình, và phương sai của số cam hư được chọn

ĐS:

Bài 2.12.

Xác suất một con gà đẻ trứng trong ngày là 0,6 (giả sử trong một ngày một con gà đẻ khôngquá 1 quả trứng) Một người nuôi 15 con gà

a) Tính xác suất để trong một ngày người đó thu được ít nhất 10 quả trứng.

b) Nếu muốn mỗi ngày có trung bình 120 trứng gà thì người đó phải nuôi bao nhiêu con gà?ĐS:

Bài 2.13.

Số xe bus đón khách tại trạm xe bus trong một giờ tuân theo luật phân phối Poisson, vàtrung bình trong một giờ tại trạm xe bus có 5 xe bus đón khách Tính xác suất để trong một giờtại trạm xe :

ĐS:

Bài 2.15.

Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ

là 0,004 Tính xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai rượu bị vỡ

ĐS:

Bài 2.16.

Một phân xưởng có 10 máy cùng sản xuất ra một sản phẩm (với năng suất bằng nhau), chialàm 3 loại : 4 máy loại I, 3 máy loại II, 3 máy loại III Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn do từngloại máy sản xuất là : 98%; 95%; 92%

a) Chọn ngẫu nhiên một máy, rồi cho máy đó sản xuất ra 2 sản phẩm Lập bảng phân phốixác suất cho số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 2 sản phẩm đó

b) Cho mỗi máy sản xuất ra 100 sản phẩm Tính số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trung bình cótrong các sản phẩm được sản xuất và phương sai của nó

Một loại hàng sau khi sản xuất xong được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sảnphẩm Số sản phẩm loại A có trong mỗi kiện là đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xácsuất như sau :

Theo đáp án thì mỗi câu trả lời đúng sinh viên được nhận 2 điểm, và sinh viên sẽ vượt quamôn học này nếu bài thi được ít nhất 4 điểm Tính xác suất sinh viên nói trên vượt qua mônhọc X

ĐS:

Bài 2.19.

Một hộp đựng 200 bóng đèn, trong đó có 80 bóng đèn 110V Chọn ngẫu nhiên từ hộp 10bóng đèn

a) Tính xác suất trong 10 bóng đèn lấy ra có không quá 3 bóng đèn loại 110V

b) Tính số bóng đèn loại 110V trung bình trong số 10 bóng đèn được chọn và phương saicủa nó

ĐS:

Bài 2.20.

Thống kê tại một khu vực người ta nhận thấy số vụ tai nạn giao thông do xe gắn máy gây ra

là một ĐLNN tuân theo luật phân phối Poisson với trung bình 2 xe/ngày Tiền phí bảo hiểmcủa một xe gắn máy là 35.000 đồng/năm; mỗi xe gắn máy bị tai nạn được công ty bảo hiểm bồi

P 0,0017 0,0683 0,4283 0,5017

thường 10.000.000 đồng Giả định khu vực này có 1.000.000 xe gắn máy tham gia lưu thông

và tất cả xe gắn máy tham gia lưu thông đều có mua bảo hiểm

Tính lợi nhuận thu được trung bình của công ty bảo hiểm trong một năm và phương sai.ĐS: EX = 27,7 tỉ; DX = 26,645.1018

III Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều.

Bài 2.21.

Cho hai ĐLNN độc lập X, Y có bảng phân phối xác suất như sau :

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X + Y, XY

b) Tính E(X+Y), D(X+Y), E(XY), D(XY)

ĐS:

Bài 2.22.

Cho vectơ ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác

suất đồng thời:

a) X và Y có độc lập không? Tại sao ?

b) Tính E(X), E(Y), D(X), D(Y), Cov(X,Y), RXY

a) Hãy lập bảng phân phối của tỉ lệ carbon X và của độ bền Y.

b) Hãy lập bảng phân phối của X, khi Y = 110 kg/cm2 Tính E(X|Y = 110 kg/cm2)

c) Hãy lập bảng phân phối của Y, khi X = 7% Tính E(Y| X = 7%)

Bài 2.26.

Cho X, Y là hai ĐLNN độc lập nhau; X ~B(2;0,7); Y ~H(10,6,3)

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho Z = 2X + Y + 3

b) Tính EZ, DZ, P(Z > 4)

Bài 2.27.

Một người tham gia trò chơi đoán giá đúng Người chơi được đoán giá 3 sản phẩm, nếuđoán trúng một sản phẩm thì được nhận một phong bì từ một hộp kín Biết rằng xác suất đoántrúng giá một sản phẩm của người chơi là 0,6; hộp kín có 10 phong bì gồm 4 phong bì trị giá1.000.000 đồng và 6 phong bì trị giá 100.000 đồng

a) Gọi X là số lần người chơi đoán đúng giá và Y là số phong bì có trị giá 1.000.000 đồng

mà người chơi nhận được Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho X và Y

b) Tính số tiền thưởng trung bình mà một người chơi nhận được

Một tấm bia gồm 3 phần A, B, C không giao nhau Một xạ thủ bắn hai viên đạn vào tấm bia,với xác suất trúng các phần A, B, C lần lượt là 0,2; 0,3; 0,5 và số điểm nhận được tương ứng là

10 điểm; 6 điểm; 4 điểm Gọi X là số điểm mà xạ thủ nhận được sau khi bắn 2 viên đạn

a) Lập bảng phân phối xác suất cho X

b) Tính số điểm trung bình mà xạ thủ nhận được và phương sai của số điểm đó

ĐS:

a)

Bài 2.29.

Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập, X  B(3;0,4) và Y  B(3;0,7).

a) Lập bảng phân phối xác suất của X + Y

b) Chứng minh rằng X + Y không có phân phối nhị thức

Bài 2.30.

Có hai máy sản xuất ra sản phẩm với xác suất sản xuất ra phế phẩm trong mỗi lần sản xuấtcủa hai máy tương ứng là 1%, 2% Cho máy thứ nhất sản xuất ra 2 sản phẩm, máy thứ hai sảnxuất ra 3 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt do cả hai máy sản xuất

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X

f(x) =

0 , khi x 15;35Tính EX,DX,P( X 20 5) 

0 , khi x <0Biết rằng thời gian sống trung bình của loại sinh vật này là 40 năm

e + eTìm k.

ĐS: k = 2/π

Bài 3.5

Thời gian chờ (đơn vị : giờ) giữa 2 lần bắn liên tiếp của một thiết bị bắn tốc độ ôtô sử dụngcông nghệ rađa là một ĐLNN liên tục X tuân theo luật phân phối mũ với hàm phân phối xácsuất có dạng :

1 e , x > 0a) Tìm hàm mật độ của X

b) Tính thời gian chờ trung bình và phương sai

c) Tính xác suất để thời gian chờ ít hơn 12 phút

b) Tính EX, DX

c) Tính xác suất để trong một năm, gia đình này chạy máy hút bụi ít hơn 120 giờ

0 , khi x [0, ]

2a) Tìm k

Hãy tính EX, DX, ModX

b) Để rủi ro (đo bằng phương sai ) là nhỏ nhất thì nên đầu tư vào cả 2 phương án A và Btheo tỷ lệ nào?

ĐS: a) A: 0,6293; B: 0,7454 b) A: 0,735; B: 0,265

Bài 3.12

Một nhà máy sản xuất ra sản phẩm được đóng thành các kiện hàng Giả sử khối lượng củacác kiện hàng tuân theo luật phân phối chuẩn, với khối lượng trung bình là 1000g và độ lệchchuẩn là 30g Một người chọn một kiện hàng từ trong lô hàng của nhà máy

a) Tính xác suất để người này lấy được kiện hàng có khối lượng lớn hơn 1030g

b) Kiện hàng được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu nó có khối lượng trong khoảng (991g;1015g).Tính xác suất để người này lấy được kiện hàng đạt tiêu chuẩn

c) Nếu lấy được kiện hàng đạt tiêu chuẩn thì sẽ mua lô hàng đó Người này kiểm tra 10 kiệnhàng, tính xác suất để người đó mua 4 kiện hàng

Bài 3.13

Khối lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN tuân theo luật phân phối chuẩn, với khối lượngtrung bình là 5kg, độ lệch chuẩn 0,1kg Sản phẩm được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu nó có khốilượng trong khoảng (4,9kg;5,2kg)

a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để chọn được sản phẩm đạt tiêu chuẩn

b) Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm Tính xác suất để chọn được ít nhất 1 sản phẩm đạt tiêuchuẩn

Một bài thi trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ

có một câu trả lời đúng Một sinh viên không học bài nên chọn một cách ngẫu nhiên

a) Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1đ, trả lời sai không có điểm Tính xác suất để sinh viên

đó được ít nhất 40đ

b) Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 2đ, trả lời sai bị trừ 1đ Tính xác suất để sinh viên đó bịđiểm âm.

Bài 3.16

Chiều dài của một chi tiết máy được gia công bằng máy tự động là một ĐLNN tuân theoquy luật phân phối chuẩn, với độ lệch tiêu chuẩn là 0,01mm Chi tiết máy được xem là đạt tiêuchuẩn nếu kích thước thực tế của nó sai lệch so với kích thước trung bình không vượt quá0,02mm

a) Tính tỉ lệ chi tiết máy không đạt tiêu chuẩn

b) Xác định độ đồng đều ( phương sai ) cần thiết của sản phẩm để tỉ lệ chi tiết máy khôngđạt tiêu chuẩn chỉ còn 1%

Bài 3.18

Gọi X là số kwH điện mà mỗi hộ gia đình tiêu thụ trong một tháng, X tuân theo quy luậtphân phối chuẩn N(60; 40) Mỗi hộ gia đình được tiêu thụ trong định mức 70kwh đầu với giá

1000 đồng/kwH, từ 71 kwH trở lên được tính với giá 4000 đồng Hãy tính xác suất để :

a) Số tiền mỗi hộ phải trả hàng tháng ít nhất là 70.000đ

b) Số tiền mỗi hộ phải trả hàng tháng từ 100.000đ đến 130.000đ

c) Số tiền mỗi hộ phải trả hàng tháng từ 50.000đ đến 130.000đ

d) Nếu khu dân cư có 300.000 hộ dân, hãy ước lượng xem có bao nhiêu hộ xài quá địnhmức

ĐS: a) 0,0571; b) 0,0028; c) ; d) 17130

Bài 3.19

Một người nuôi 160 con gà mái cùng loại Xác suất để một con gà đẻ trứng trong một ngày

là 0,6

a) Tính xác suất để trong một ngày người đó có được 100 quả trứng

b) Tính xác suất để trong một ngày người đó có được ít nhất 100 quả trứng