bài tập lớn xác suất thống kê chương 2

Bài 1: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( sử dụng phần mềm Mathematica )  0.x   0;9 f ( x)   a( x  k1 x  k2  x  k1 ), x   0;9 a) Tìm a tính P ( X  5), P ( X  1, 6), P (5  X  8) b) Tính E ( X ), D( X ), D( k1 X ), E (k1 X  k2 ), D(k1 X  k2 ) c) Hỏi 500 lần quan sát X , trung bình có lần X nhận giá trị 5;8 d) Tính xác suất 200 lần quan sát X , có từ 40 đến 160 lần X nhận giá trị lớn e) Tìm hàm mật độ xác suất g ( y ) đại lượng ngẫu nhiên Y  k2 X  k1 LỜI GIẢI Lời giải  Ta có f ( x)dx    Kết    a( x  k1 x  k2  x  k1 )dx   P( X  5)  f ( x)dx   a P ( X  5)  P ( X  1, 6)  P (5  X  8)   a  P( X  1,6)  f ( x)dx   1,6 P (5  X  8)   f ( x) dx   E( X )   x f ( x)dx    D( X )   x f ( x)dx  (E ( X ))   b D (  k1 X )  k12 D ( X )   E (k1 X  k2 )   (k X  k ) f ( x)dx    D (k1 X  k2 )   (k X  k ) f ( x)dx   E (k X  k )  2   Xác xuất mà X nhận giá trị 5;8 c p  P (5  X  8)   f ( x) dx  Vậy 500 lần quan sát X trung bình số lần X nhận giá trị 5;8 np  d Xác xuất mà X nhận giá trị lớn  p  P( X  5)   f ( x) dx  q  1 p  Xác xuất 200 lần quan sát X , có từ 40 đến 160 X nhận giá trị lớn 160 C k 200 p k (1  p ) 200 k  40 Y  k1 k2 / x  k1  1 ( y )     1 ( y )   k2 k2 Ta có Y  k2 X  k1  X  e Vậy hàm mật độ xác xuất g ( y )  y   k1 ;9k2  k1  g ( y)   ' 1 1  f ( ( y ))  ( y )  y   k1 ;9k2  k1  Bài 2: Khối lượng bao gạo đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với khối lượng trung bình 50kg độ lệch chuẩn 0,8+0,01k1 (kg) a) Tính xác suất để 400 bao gạo có từ 150 đến 300 bao gạo có khối lượng rơi vào khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2) b) Lấy ngẫu nhiên 200 bao gạo Hỏi khả lớn lấy bao gạo có khối lượng nhỏ 51+0,01k2 c) Trong 500 bao gạo lấy trung bình có bao có khối lượng nhỏ 49+0,05k2 LỜI GIẢI Gọi X khối lượng bao gạo, X đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn a  50   X  N (a,  )    0,8  0,01k1 a Xác suất để bao gạo có khối lượng rơi vào khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2)  51  0, 01k2  a   48  0, 02k2  p  P (48  0, 02k2 ;51  0, 01k2 )              ( Sử dụng excel dùng lệnh normsdist để tính  ( ) ) Vậy xác suất để 400 bao gạo có từ 150 đến 300 bao gạo có khối lượng rơi vào khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2) 300 C k 400 p k (1  p ) 400 k  150 b Xác suất để bao gạo có khối lượng nhỏ 51+0,01k2  51  0, 01k2  a  p  P( X  51  0, 01k2 )        Lấy ngẫu nhiên 200 bao gạo Khả lớn lấy bao gạo có khối lượng nhỏ 51+0,01k2 np  (1  p)  c Xác suất để bao gạo có khối lượng nhỏ 49+0,05k2  49  0, 05k2  a  p  P ( X  49  0, 05k2 )        Trong 500 bao gạo lấy trung bình số bao gạo có khối lượng nhỏ 49+0,05k2 np  500 p  Bài Một tổng đài chăm sóc khách hàng tập đồn có điện thoại gọi đến cách ngẫu nhiên, độc lập với có tốc độ trung bình k1+2 phút Tính xác suất để a) Có k2+1 gọi phút b) Khơng có gọi khoảng thời gian 30 giây c) Có gọi điện thoại 10 giây LỜI GIẢI a Gọi X số gọi nhận phút X  P (  2(k1  2)) Xác suất để có k2+1cuộc gọi phút P( X  k2  1)  e    k2 1 (k2  1)! b Gọi X số gói nhận 30 giây X  P (  (k1  2) / Xác suất để khơng có gọi 30 giây P( X  0)  c p   P( X  0) e    (0)! Bài 4: Biết thời gian sử dụng ( tính năm ) sản phẩm cty A đại lượng ngẫu nhiên có phân bố mũ với thời gian sử dụng trung bình 2+0,1k1 năm sản phẩm bảo hành 10+k2 tháng Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên sản phẩm có thời gian sử dụng vượt thời gian bảo hành LỜI GIẢI Gọi X thời gian sử dụng sản phẩm cty A X có phân bố mũ với tham số    0,1k1 Xác suất để sản phẩm vượt thời hạn bảo hành P( X  10  k2 )   P( X  10  k2 )   F (10  k2 )  e   (10  k2 ) Bài Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất x   f ( x)   k  2x a (1  0, 05k1 ) x  a) Tìm a tính E ( X ), D( X ), D(k X ), E (k2 X  k1 ), D(k2 X  k1 ) b) Tìm phân bố xác suất F ( x) X tính xác suất F (1, 9), P( X  1,5), P( X  1), P(0,  X  1, 2) c) Tìm hàm mật độ xác suất g ( y ) đại lượng ngẫu nhiên Y  k2 X  k1 LỜI GIẢI a Ta có a (1  0, 05k1 )  k2 x  a.e ln(1 0,05 k1 )  k2 x  a.e  k2 ln(1 0,05 k1 ) x a Vì f ( x) hàm mật độ phân bố mũ nên ta có E( X )  D( X )     a  k22 a2 k22 D (k X )    a k2 ln(1  0, 05k1 )  E (k2 X  k1 )   (k X  k ) f ( x)dx    D (k2 X  k1 )   (k X  k ) f ( x)dx   E (k X  k )  2   ( ý cuối bọn e dùng máy chạy nha ) b  x   x 1  e x  Hàm phân bố xác suất phân bố mũ F ( X )   F (1, 9)   e   1,9   e  a.1,9 Các ý cịn lại dùng phần mềm tính c Ta có Y  k2 X  k1  X  ' Y  k1 x  k1   1 ( y )     1 ( y )   k2 k2 k2 y  k1  g ( y)   ' 1 1  f ( ( y ))  ( y )  y  k1 Bài Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f ( x)  A.e x Bằng cách biến đổi phân bố chuẩn tìm a, E ( X ), D( X ) LỜI GIẢI Ta có f ( x)  A.e  x  k1 x  k2  A.e ( x  k1 x  k12  k2 )  A.e  ( x  k1 )  k12  k2  e k1  k2 A.e  ( x  k1 )  Lại có phân bố chuẩn có dạng tổng quát sau f ( x)  e  2 Dùng phương pháp đồng thức ta có ( x a )2 2 2  k1 x  k2      D( X )    a  k1   E ( X )  k1    1  k12  k2  e k1  k2 A  A  e   2   Bài Lượng xăng tiêu thụ loại xe chạy quãng đường AB đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Biết có (50+k1)% số xe tiêu thu 7,9 lít chạy quãng đường AB, (60-k2)% số xe tiêu thụ 8,2 lít qng đường AB Hỏi 500 xe trung bình có xe tiêu thụ nhiều 8l chạy quãng đường AB LỜI GIẢI Gọi lượng xăng tiêu thụ quãng đường AB X X  N (a,  ) Theo đề ta có hệ phương trình   7,9  a  1    (50  k1 )%   P( X  7,9)  (50  k1 )%        P( X  8, 2)  (60  k2 )%    8,  a   (60  k )%     ( Các em sinh viên dùng excel lệnh normsinv để tra giải hpt tìm a,  ) 10  a Ví dụ  (  )  0,5 , vào excel gõ “=normsinv(0,5) =’’ máy cho kết kết 10  a  8a      Sau tìm a,  tính p  P( X  8)     Trong 500 xe trung bình có số xe tiêu thụ nhiều 8l chạy quãng đường AB 500 p ... gọi nhận phút X  P (  2( k1  2) ) Xác suất để có k2+1cuộc gọi phút P( X  k2  1)  e    k2 1 (k2  1)! b Gọi X số gói nhận 30 giây X  P (  (k1  2) / Xác suất để khơng có gọi 30 giây... k 12  k2 )  A.e  ( x  k1 )  k 12  k2  e k1  k2 A.e  ( x  k1 )  Lại có phân bố chuẩn có dạng tổng quát sau f ( x)  e  2? ?? Dùng phương pháp đồng thức ta có ( x a )2 2 2  k1 x  k2... (48+0,02k2;51+0,01k2) 300 C k 400 p k (1  p ) 400 k  150 b Xác suất để bao gạo có khối lượng nhỏ 51+0,01k2  51  0, 01k2  a  p  P( X  51  0, 01k2 )        Lấy ngẫu nhiên 20 0 bao