Bai tap xac suat thong ke

Mục lục Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Các ví dụ 1.2 Bài tập Đại lượng ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 2.1.1 Các ví dụ 2.1.2 Bài tập 2.2 Đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều 2.2.1 Các ví dụ 2.2.2 Bài tập 2 9 12 16 16 18 Mẫu thống kê ước lượng tham số 3.1 Một số ví dụ 3.2 Bài tập 21 21 22 Kiểm định giả thuyết 26 Phân tích tương quan hồi quy 29 Tài liệu tham khảo 31 Chương Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Các ví dụ Ví dụ 1.1 Một hộp có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Rút ngẫu nhiên hai thẻ đặt theo thứ tự từ trái qua phải Tính xác suất để: Rút hai thẻ tạo thành số có hai chữ số Rút hai thẻ tạo thành số chia hết cho Giải Gọi A:"Hai thẻ rút tạo thành số có hai chữ số" Khi P (A) = 9.8 A29 = ≈ 0, 0073 A100 100.99 Gọi B:"Hai thẻ rút tạo thành số chia hết cho " Khi thẻ thứ hai phải 20 số 5, 10, , 100, thẻ thứ 99 thẻ lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B 99.20, P (B) = 99.20 = 0, A2100 Ví dụ 1.2 Một hộp chứa cầu trắng cầu đen kích thước Rút ngẫu nhiên lúc cầu Tính xác suất để có: Hai cầu đen Ít cầu đen Tất cầu trắng Giải Số phần tử không gian mẫu C10 Gọi A:"Trong cầu rút có đen" Số trường hợp xảy A C32 C72 Do P (A) = C32 C72 = 0, C10 Gọi B:"Trong cầu rút có hai đen" Số trường hợp xảy B C32 C72 + C33 C71 C C + C C Do P (B) = 7 = C10 3 Gọi C:"Tất cầu rút cầu trắng" Khi P (C) = C74 = C10 Ví dụ 1.3 Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có nam nữ dự tuyển, người có hội ứng tuyển ngang Tính xác suất để người đó: Có khơng q nam Có nữ Có nữ, biết có nữ tuyển Giải Đặt Ak : "Có k nam tuyển nhân viên" Gọi A:" Có khơng q nam" P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) = C51 C33 + C52 C32 = C8 2 Gọi B:"Có nữ" Xác suất để khơng có người nữ tuyển P (A4 ) Khi P (B) = − P (A4 ) = − C54 13 = C8 14 Gọi C:"Có nữ, biết nữ tuyển".Vậy P (C) = P (A1 /B) = P (A1 ) C 13 = 54 = P (B) C8 14 13 Ví dụ 1.4 Một điều tra thành phố X hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền hình cáp internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet 15% hộ sử dụng hai dịch vụ Điều tra ngẫu nhiên hộ gia đình, tính xác suất để hộ này: Không sử dụng dịch vụ Không dùng internet, biết người dùng truyền hình cáp Giải Đặt A:"Hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp"; B:"Hộ gia đình sử dụng internet " Ta có: P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 2; P (AB) = 0, 15 ¯ B) ¯ = P (A) ¯ + P (B) ¯ − P (AB) ¯ = Xác suất để hộ gia đình khơng dùng dịch vụ P (A 15 13 +1− − (1 − )= 1− 10 10 100 20 ¯ P (AB) P (A) − P (AB) 0, − 0, 15 ¯ Xác suất cần tính P (B/A) = = = = P (A) P (A) 0, Ví dụ 1.5 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn thể thao, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vòng thứ hai Tính xác suất để thí sinh vào đội tuyển Biết thí sinh bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại vòng thứ hai Giải Đặt Ai : "Thí sinh chọn vòng thứ i ", i ∈ {1, 2, 3} Ta có: P (A1 ) = 0, 8; P (A2 /A1 ) = 0, 7; P (A3 /A1 A2 ) = 0, 45 Xác suất để thí sinh vào đội tuyển P (A1 A2 A3 ) Theo cơng thức nhân xác suất ta có: P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 45 = 0, 252 Đặt K: "Thí sinh bị loại" Khi P (K) = P (A¯1 ) + P (A1 A¯2 ) + P (A1 A2 A¯3 ) P (A¯1 ) = − P (A1 ) = 0, 2; P (A1 A¯2 ) = P (A1 ).P (A¯2 /A1 ) = P (A1 )(1 − P (A2 /A1 )) = 0, 8.0, = 0, 24; P (A1 A2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 /A1 )P (A¯3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 55 = 0, 308 → P (A1 A2 A¯3 ) = 0, + 0, 24 + 0, 308 = 0, 748 Vậy xác suất để thí sinh bị loại vòng hai, biết thí sinh bị loại là: P (A¯2 /K) = P (A¯2 K) P (A1 A¯2 ) 0, 24 = = = 0, 3209 P (K) P (K) 0, 748 Ví dụ 1.6 Có ba hộp A, B, C đựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng; hộp C có lọ tốt lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc, tính xác suất để lọ loại Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy lọ thuốc lọ tốt lọ hỏng Tính xác suất để hộp chọn hộp A Giải Gọi Ai : " Lọ lấy từ hộp thứ i tốt", i ∈ {1, 2, 3} Xác suất để lọ loại P (A1 A2 A3 +A¯1 A¯2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )+P (A¯1 )P (A¯2 )P (A¯3 ) = 10 5 = · · + 15 10 10 15 · 15 · 10 10 Gọi Hi : "Lấy hộp thứ i", i ∈ {A, B, C}; X:"Lấy lọ tốt lọ hỏng" Khi P (HA ) = P (HB ) = P (HC ) = Xác suất để hộp A chọn P (HA /X) Theo công thức Bayes: P (XHA ) P (HA )P (X/HA ) P (HA /X) = = P (X) P (X) Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P (X) = P (HA )P (X/HA ) + P (HB )P (X/HB ) + P (HC )P (X/HC ) C 2C C 1C C 1C Lần lượt có P (X/HA ) = 10 ; P (X/HB ) = ; P (X/HC ) = 5 C15 C10 C10 5113 ≈ 0, 312 Do P (HA /X) = 0, 2347 Thay vào cơng thức ta có: P (X) = 16380 Ví dụ 1.7 Thống kê năm học trước trường đại học, tỉ lệ sinh viên thi trượt mơn Tốn 34%, thi trượt môn Ngoại ngữ 20.5%, số sinh viên thi trượt Tốn có 50% sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên trường, nhiều khả có sinh viên thi trượt hai mơn Tốn Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng Phải chọn sinh viên cho số đó, với xác suất khơng bé 99%, có sinh viên đỗ hai môn? Giải Gọi T:"Sinh viên thi trượt mơn Tốn"; N:"Sinh viên thi trượt mơn Ngoại ngữ" Ta có: P (T ) = 0, 34; P (N ) = 0, 205; P (N/T ) = 0, Xác suất sinh viên trượt hai môn P (T.N ) = P (T ).P (N/T ) = 0, 34.0, = 0, 17 Chọn 12 sinh viên nghĩa thực phép thử Bernoulli với xác suất trượt hai môn p = 0, 17 Số sinh viên nhiều khả trượt hai môn [(n + 1)p] = [13.0, 17] = 2 Xác suất tương ứng P12 (2) = C12 (0, 17)2 (1 − 0, 17)1 = 0, 296 ¯ ) = 1−P (T ∩N ) = 1−P (T )−P (N )+P (T.N ) = Xác suất sinh viên đỗ hai môn P (T¯.N 0, 625 Gọi n số sinh viên cần chọn Xác suất để sinh viên đỗ hai môn khơng đổi, nên ta có q trình Bernoulli B(n, p) Gọi I: "Ít sinh viên đỗ hai mơn" Theo đề ta có: P (I) = − Pn (0) = − (1 − 0, 625)n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 375n ≤ 0, 01 ⇔ n ≥ 4, 69 Vậy cần chọn sinh viên 1.2 Bài tập Bài Từ hộp chứa viên bi đỏ viên bi trắng, lấy ngẫu nhiên lần, lần viên, khơng hồn lại Tính xác suất để lấy được: viên bi đỏ; Hai viên khác màu; Viên thứ hai trắng Bài Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, sản phẩm loại II sản phẩm loại III, số lại sản phẩm loại I Chọn ngẫu nhiên lúc sản phẩm Tính xác suất để được: Ba sản phẩm khác loại; sản phẩm loại; Được sản phẩm loại I; Được sản phẩm loại I Bài Một điều tra cho thấy, xác suất để hộ gia đình có máy vi tính thu nhập hàng năm 50 triệu 0, 75 Trong số hộ điều tra 60% có thu nhập 50 triệu 52% có máy vi tính Tính xác suất để hộ gia đình chọn ngẫu nhiên: Có máy vi tính có thu nhập hàng năm 50 triệu; Có máy vi tính, khơng có thu nhập hàng năm 50 triệu; Có thu nhập hàng năm 50 triệu, biết hộ khơng có máy vi tính Bài Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Giả sử xác suất chấp nhận sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 95% Xác suất để chấp nhận sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 8% Tính xác suất để sản phẩm chấp nhận đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Bài Một lơ hàng có sản phẩm giống Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm, kiểm tra xong lại trả vào lô hàng Tính xác suất để sau lần kiểm tra, sản phẩm kiểm tra Bài Trong mội đội tuyển có vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng 0, 6; 0, 0, Giả sử người thi đấu trận độc lập Tính xác suất để: Đội tuyển thắng trận; Đội tuyển thắng hai trận; Vận động viên A thua trường hợp đội tuyển thắng hai trận Bài Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% bảng thu chi chứa sai lầm Trong bảng chứa sai lầm, 60% xem giá trị bất thường so với số xuất phát từ gốc Trong tất bảng thu chi 20% giá trị bất thường Nếu số bảng thu chi bất thường xác suất để số sai lầm bao nhiêu? Bài Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo hãng sản xuất Trong số có 30% mua tủ lạnh hãng 10% khơng đọc quảng cáo mua tủ lạnh hãng Tính xác suất để người tiêu dùng mua tủ lạnh hãng mà có đọc quảng cáo Bài Có hai lơ sản phẩm Lơ thứ có tỉ lệ sản phẩm loại I là90%, lơ thứ hai có tỉ lệ sản phẩm loại 70% Chọn ngẫu nhiên lơ từ lơ lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại I Trả lại sản phẩm vào lơ chọn, từ lơ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai loại I Bài 10 Một lô hàng chứa 15 sản phẩm, có sản phẩm khơng đạt u cầu Lấy sản phẩm khơng hồn lại để kiểm tra, gặp sản phẩm khơng đạt u cầu dừng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ ba? Sản phẩm thứ sáu? Nếu việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ sáu, tính xác suất để sản phẩm kiểm tra không đạt yêu cầu? Bài 11 Hộp thứ có bi trắng bi xanh, hộp thứ hai có bi trắng bi xanh, kích cỡ Chuyển viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất, lấy ngẫu nhiên viên từ hộp thứ Tính xác suất để viên bi lấy bi trắng Bài 12 Hộp thứ có sản phẩm loại A sản phẩm loại B; hộp thứ hai có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm loại A; Giả sử lấy sản phẩm loại B hai sản phẩm loại A Nhiều khả sản phầm loại B thuộc hộp nào, sao? Bài 13 Một lô hàng nhà máy A, B, C sản xuất, tỉ lệ sản phẩm nhà máy 30%, 20%, 50% tỉ lệ phế phẩm tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Tính xác suất để sản phẩm phế phẩm Bài 14 Hộp thứ có sản phẩm loại A sản phẩm loại B; hộp thứ hai có sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên hộp, lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm loại A; Giả sử lấy sản phẩm loại B hai sản phẩm loại A Nhiều khả sản phầm loại B thuộc hộp nào, sao? Bài 15 Có hộp thuốc, hộp I có ống tốt ống xấu, hộp II có ống tốt ống xấu, hộp III có ống tốt ống xấu Lấy ngẫu nhiên hộp rút từ hộp ống thuốc ống tốt Tính xác suất để ống thuộc hộp II Bài 16 Một lô hàng gồm 150 sản phẩm có 6% phế phẩm Người ta dùng phương pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng quy ước rằng: Kiểm tra không hồn lại sản phẩm Nếu có sản phẩm phế phẩm loại lơ hàng Tính xác suất để chấp nhận lô hàng Bài 17 Một trò chơi có xác suất thắng ván 1/50 Nếu người chơi 50 ván xác suất để người thắng ván bao nhiêu? Bài 18 Trong thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người Tính xác suất để có người thích xem bóng đá Bài 19 Gieo xúc xắc liên tiếp lần Tính xác suất để có lần xuất mặt chấm Gieo cặp hai xúc xắc 24 lần Tính xác suất để lần hai xuất mặt chấm Bài 20 Tỉ lệ sản xuất phế phẩm nhà máy 8% Khảo sát lô hàng gồm 75 sản phẩm nhà máy sản xuất Tính xác suất để lơ hàng, có 10 phế phẩm; Trong lơ hàng, nhiều khả có phế phẩm? Tính xác suất tương ứng Bài 21 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên số hạt giống từ lơ hạt giống có tỉ lệ hạt lép 3% để nghiên cứu Hỏi phải lấy hạt cho xác suất để có hạt lép không bé 95%? Chương Đại lượng ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 2.1 2.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên Các ví dụ Ví dụ 2.1 Gieo ngẫu nhiên hai xúc xắc cân đối đồng chất, quan sát số nút xuất mặt hai xúc xắc, gọi X ĐLNN số lớn hai số xuất Lập bảng phân phối xác suất X; Tìm P (X ≤ 3); P (2 ≤ X < 5) Giải X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} P (X = 1) = P ({(1, 1)}) = ; 36 P (X = 2) = P ({(1, 2); (2, 1); (2, 2)}) = ; 36 Ta có bảng phân phối xác suất X sau: X P(X) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = ; P (2 ≤ X < 5) = P (2P (3) + P (4) = 15 36 Ví dụ 2.2 Có ba hộp A, B C đựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng, hộp C có lọ tốt lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt lọ lấy ra; Tìm xác suất để lọ tốt; lọ loại Giải Gọi X biến ngẫu nhiên số lọ thuốc tốt lọ lấy X ∈ {0, 1, 2, 3} Gọi Ai : "Lọ thuốc lấy từ hộp thứ i lọ tốt" 7 P (X = 0) = P (A¯1 A¯2 A¯3 ) = = ; 15 10 12 90 59 ¯ ¯ ¯ ¯ P (X = 1) = P (A1 A2 A3 + A2 A1 A3 + A3 A¯1 A¯2 ) ; 180 77 ; P (X = 2) = P (A1 A2 A¯3 + A1 A3 A¯2 + A2 A3 A¯1 ) = 180 P (X = 3) = P (A1 A2 A3 ) = Bảng phân phối xác suất X: X P(X) 7/90 59/180 77/180 1/6 107 Xác suất để hai lọ tốt: P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = ; 180 11 Xác suất để ba lọ loại: P (X = 0) + P (X = 3) = 45 Ví dụ 2.3 Một hộp đựng sản phẩm, có hai phế phẩm Lần lượt kiểm tra sản phẩm (khơng hồn lại) gặp hai phế phẩm dừng lại Tìm luật phân phối xác suất cho số sản phẩm kiểm tra Tính số lần kiểm tra trung bình Giải Gọi X ĐLNN số sản phẩm kiểm tra X ∈ {2, 3, 4, 5} Đặt Ai : "Lần thứ i kiểm tra phế phẩm" P (X = 2) = P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) = ; 10 P (X = 3) = P (A1 A¯2 A¯3 + A2 A¯1 A¯3 + A3 A¯1 A¯2 ) = ; 10 Tương tự: P (X = 4) = ; P (X = 5) = 10 10 Ta có bảng phân phối xác suất X: X P(X) 1/10 2/10 3/10 4/10 Số lần kiểm tra trung bình: EX = Ví dụ 2.4 Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ: f (x) = a , x>1 x3 0, x ≤ Tìm a, F (x) P (0 < X < 3) Giải Từ tính chất ∞ −∞ f (x)dx = 1, ta có ∞ −∞ Hàm phân phối F xác định bởi: x F (x) = −∞ 0dt = x ≤ 1; x F (x) = dt = − < x t x P (0 < X < 3) = f (x)dx = F (3) − F (0) = 10 a dx = ⇔ a = x3 Hãy tính EX, EY, Cov(X, Y ) ρ(X, Y ) Giải 1 1 EX = −1( + ) + 1( + ) = − ; 6 8 1 1 EY = −1.3 + 1.( + + ) = 0; 8 Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX.EY ; Ta có bảng phân phối xác suất XY : XY P(XY) -1 5/12 7/24 7/24 1 ⇒ Cov(X, Y ) = ; 8 Cov(X, Y ) = −0, 15 ρ(X, Y ) = σX σY Vậy E(XY ) = − Ví dụ 2.8 Giả sử X ∼ B(2; 0, 4); Y ∼ B(2; 0, 7) X Y hai ĐLNN độc lập Tìm phân phối xác suất X + Y ; Chứng minh X + Y khơng có phân phối nhị thức Giải Bảng phân phối xác suất X Y sau: X P(X) 0, 36 0, 48 0, 16 Y P(Y) 0, 09 0, 42 0, 49 Đặt Z = X + Y , ta có: P (Z = 0) = P (X = 0).P (Y = 0) = 0, 0324; P (Z = 1) = P (X = 0)P (Y = 1) + P (X = 1)P (Y = 0) = 0, 1944; Tương tự: P (Z = 2) = 0, 3924; P (Z = 3) = 0, 3024; P (Z = 4) = 0, 0784 Từ đo ta có bảng phân phối xác suất Z = X + Y : Z P(Z) 0, 0324 0, 1944 0, 3924 0, 3024 0, 0784 Giả sử ngược lại, Z = X + Y có phân phối nhị thức, Z = B(4, p) Khi P (Z = 4) = p4 = 0, 0784 √ √ Mặt khác P (Z = 0) = (1 − p)4 = 0, 0324, suy phải có p = 0, 0784 p = − 0, 0324, vô lí Vậy X + Y khơng có phân phối nhị thức 17 Ví dụ 2.9 Cho X, Y hai ĐLNN có hàm mật độ đồng thời là: e−(x+y) f (x, y) = Tìm hàm mật độ U = X + Y, V = x > 0, y > trái lại X ; X +Y Chứng tỏ U V độc lập, X Y độc lập Giải x ⇔ x = uv, y = u(1 − v), với x, y > ta có x+y u > 0, < v < 1, Jacobian |J| = u Hàm mật độ đồng thời U V là: f (u, v) = e−uv−u+uv u = u.e−u u > 0, < v < f (u, v) = trái lại +∞ Hàm mật độ U f (u) = −∞ f (u, v)dv = u.e−u dv = ue−u u > f (u) = trái lại; +∞ +∞ Hàm mật độ V f (v) = −∞ f (u, v)du = u.e−u du = < v < f (v) = trái lại Phép đổi biến u = x + y, v = Dễ thấy f (u, v) = f (u)f (v) nên U V độc lập Một cách tương tự, X Y độc lập 2.2.2 Bài tập Bài 51 Cho ĐLNN X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời sau: XY 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 Chứng minh X Y độc lập; Tìm quy luật phân phối Z=XY; Tính EZ hai cách kiểm tra EZ = EX.EY Bài 52 Cho X Y hai ĐLNN có phân phối xác suất sau: X P(X) 0,4 0,3 0,2 0,1 Y P(Y) 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 18 Tìm phân phối xác suất đồng thời X Y; Tính P (X > Y ) Bài 53 Cho X Y hai ĐLNN có phân phối xác suất đồng thời sau: XY -1 -1 15 15 15 15 15 15 15 0 Tính EX, EY, cov(X, Y ) ρ(X, Y ); X Y có độc lập hay không? Bài 54 Cho X Y hai ĐLNN độc lập Giả sử X ∼ B(1; 0, 2) Y ∼ B(2; 0, 2) Lập bảng phân phối xác suất X, Y X + Y ; Giả sử X ∼ B(1; 0, 5) Y ∼ B(2; 0, 2) Lập bảng phân phối xác suất X + Y X + Y có phân phối nhị thức hay không? Bài 55 Cho X Y hai ĐLNN có hàm mật độ đồng thời  x2 y  + 2Y ) Bài 62 Giả sử trọng lượng hành khách máy bay có phân phối chuẩn với kì vọng 74(kg) trọng lượng hành lí mang theo có phân phối chuẩn với kì vọng 20(kg) Biết có 10% hành khách có trọng lượng lớn 85(kg) 20% hành khách có hành lí nặng 24(kg) Tìm độ lệch tiêu chuẩn trọng lượng hành khách trọng lượng hành lí; Biết có 10% hành khách mà tổng trọng lượng họ hành lí mang theo lớn 108(kg) Tìm hệ số tương quan trọng lượng hành khách hành lí 20 Chương Mẫu thống kê ước lượng tham số 3.1 Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Giả sử khối lượng viên gạch nung X nhà máy sản suất đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình E(X) = a; phương sai D(X) = σ chưa biết Để xác định khối lượng trung bình viên gạch ta lấy mẫu cỡ n = 50 bảng sau Khối lượng (kg) 2,25-2,30 2,30-2,35 2,35-2,40 2,40-2,45 số viên gạch (ni ) 20 18 Hãy ước lượng không chệch E(X) D(X) Ta có x= n k n i xi = i=1 7.2, 275 + 20.2, 325 + 18.2, 375 + 5.2, 425 = 2, 346kg 50 ước lượng không chệch E(X) = a Tính k s = ni (xi − x)2 = 0, 001809 (kg ); n i=1 s2 = n s ≈ 0, 001845(kg ) n−1 ước lượng không chệch D(X) = σ √ s = s ≈ 0, 0429kg ước lượng σ Ví dụ 3.2 Để xác định tỷ lệ gạch phế phẩm tổng số gạch nhà máy người ta kiểm tra chất lượng 250 viên gạch có viên khơng đạt chất lượng Hãy ước lượng tỷ lệ gạch phế phẩm nhà mày p∗ = m = = 0, 024 n 250 tức 2, 4% 21 3.2 Bài tập Bài 63 Vẽ đa giác tần số sau xi ni xi ni 10 15 20 Bảng a 15 20 25 30 35 10 15 30 35 20 Bảng b Bài 64 Dựng biểu đồ tần xuất mẫu cho Khoảng giá trị [xi−1 , xi ] 2-5 5-8 8-11 11-14 Tổng tần số giá trị rơi vào khoảng 10 Bài 65 Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh mẫu cho bảng sau xi ni 21 24 25 26 28 32 34 10 20 30 15 10 10 Bài 66 Người ta đo lần đại lượng X thu dãy số liệu sau Hãy tính X, s2 , s Bài 67 Người ta đo chiều cao 100 sinh viên chọn thu bảng số liệu sau Chiều cao(cm) Số sinh viên 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182 10 14 26 28 12 Tìm chiều cao trung bình mức độ phân tán chiều cao so với chiều cao trung bình nhóm sinh viên chọn Bài 68 Theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm hai tổ công nhân, người ta thu số liệu sau a Tổ 1: Thời gian (phút) 42 44 45 58 60 64 Số công nhân 20 10 b Tổ 2: Thời gian (phút) 46 48 51 Số công nhân 40 Hãy tính số thời gian trung bình để hồn thành sản phẩm mức độ phân tán thời gian hoàn thành sản phẩm so với thời gian trung bình hai tổ cơng nhân 22 Bài 69 Hao phí nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên với phân phối chuẩn (µ, σ ) với σ = 0, 03 Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm bảng số liệu sau Mức hao phí nguyên liệu (gam) 19.5-19.7 19.7-19.9 19.9-20.1 20.1-20.3 Số sản phẩm 8 18 Hãy tìm độ tin cậy đối xứng 95% cho mức hao phí ngun liệu trung bình cho đơn vị sản phẩm nói Bài 70 Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 bóng đèn loại thấy tuổi thọ trung bình lơ bóng đèn 1000(giờ) Với độ tin cậy 0,95 ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn khoảng tin cậy đối xứng Giả thiết tuổi thọ trung bình đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 40(giờ) Bài 71 Cho loại ô tô chạy thử 30 lần từ địa điểm A tới địa điểm B, người ta ghi nhận lượng xăng hao phí sau Lượng xăng ham phí (lít) 9.6-9.8 9.9-10.0 10.0-10.2 10.2-10.4 10.4-10.6 Số lần chạy 10 Với độ tin cậy 99%, ước lượng xăng hao phí trung bình loại tơ chạy từ A đến B khoảng tin cậy đối xứng Với độ tin cậy 99%, ước lượng xăng hao phí trung bình tối đa loại tơ chạy từ A đến B Biết lượng xăng hao phí đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 72 Để định mức thời gian gia công cho sản phẩm, người ta theo dõi ngẫu nhiên trình gia cơng 25 sản phẩm thu số liệu sau Thời gian gia công (phút) 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27 23 Số sản phẩm 12 Với độ tin cậy 0,95, ước lượng thời gian gia cơng trung bình cho sản phẩm khoảng tin cậy đối xứng Với độ tin cậy 0,95, ước lượng thời gian gia công tối thiểu cho sản phẩm Giả thiết thời gian gia công cho sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 73 Cân thử 36 bao bột cho thấy trọng lượng trung bình bao 40kg, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh s = 5kg Hãy ước lượng trọng lượng trung bình bao bột khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 95% Giả thiết trọng lượng bao bột đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 74 Chiều dài loại sản phẩm A máy tự động sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 3cm Người ta tiến hành đo ngẫu nhiên 36 sản phẩm A thấy chiều dài trung bình chúng 150cm Với độ tin cậy 0,95 ước lượng chiều dài trung bình sản phẩm A khoảng tin cậy đối xứng b Phải đo tối thiểu sản phẩm A để độ tin cậy 0,99 ước lượng đạt độ xác ε = 0, Bài 75 Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm nhà máy A thấy có 10 phế phẩm Hãy ước lượng tỷ lệ phẩm nhà máy A khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95 Hãy ước lượng tỷ lệ phẩm tối thiểu nhà máy A với độ tin cậy 0,95 Bài 76 Chọn ngẫu nhiên 50 sinh viên trường đại học thấy có 21 nữ Với độ tin cậy 90% ước lượng tỷ lệ nữ trường đại học khoảng tin cậy đối xứng Bài 77 Làm xét nghiệm sida cho 10000 người thấy có 200 người có kết dương tính Xét nghiệm tiếp người có 40 người mắc bệnh sida Với độ tin cậy 99% ước lượng người mắc bệnh sida toàn quốc khoảng tin cậy đối xứng Bài 78 Gieo thử 400 hạt giống có 20 hạt không nảy mầm Với độ tin cậy 95% ước lượng tỷ lệ hạt giống không nảy mầm tối đa bao nhiêu? Bài 79 Ở hồ người ta đánh bắt 2000 cá, đánh dấu chúng thả xuống hồ sau bắt lại 400 thấy có 80 bị đánh dấu Hãy ước lượng số cá hồ với độ tin cậy 95% b Với độ tin cậy 95% ước lượng hồ có nhiều cá Bài 80 Khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại người ta thu kết 24 Khối lượng (gam) 29.3 29.7 Số sản phẩm 30 30.5 30.7 Tìm ước lượng khơng chệch cho phương sai khối lượng sản phẩm Với độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy cho phương sai khối lượng sản phẩm, biết khối lượng trung bình loại sản phẩm 30gam Với độ tin cậy 95% tìm khoảng tin cậy cho phương sai khối lượng sản phẩm trường hợp chưa biết khối lượng trung bình loại sản phẩm Bài 81 Để ước lượng xác xuất mắc bệnh A với độ tin cậy 95% sai số không vượt 1% cần phải khám tối thiểu người, biết tỷ lệ mắc bệnh A thực nghiệm cho 0,9 25 Chương Kiểm định giả thuyết Bài 82 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm (X) đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn với µ = 100gam, σ = 2gam Qua thời gian sản xuất người ta nhi ngờ trọng lượng sản phẩm tăng lên Căn 100 sản phẩm trọng lượng trung bình chúng 100, 4gam Với mức ý nghĩa α = 0.05 kết luận điều nghi ngờ Đáp số: Wα = (1, 645; +∞) ; g = ; Trọng lượng trung bình tăng Bài 83 Trong điều kiện chăn ni bình thường , lượng sữa trung bình bò 14kg ngày Nghi ngờ điều kiện chăn ni bò làm cho lượng sữa giảm xuống Người ta điều tra ngẫu nhiên 25 bò tính lượng sữa trung bình ngày 12, 5kg độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh s = 2, 5kg Với mức ý nghĩa α = 0.05 kết luận điều nghi ngờ Biết lượng sữa bò đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn Đáp số Wα = (−∞; −1, 711); g = −3; Lượng sữa bò có xu hướng giảm Bài 84 Định mức cũ để sản xuất sản phẩm 20 phút Nay cải tiến kỹ thật người ta sản xuất thử 100 sản phẩm thu kết sau: Thời gian để sản xuất sản phẩm 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 Số sản phẩm tương ứng 10 24 30 18 12 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 nói việc cải tiến kĩ thuật làm giảm bớt thời gian sản xuất sản phẩm hay không ? Biết thời gian sản xuất sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn Đáp số Wα = (−∞; −1, 645); g = −5, 18; Thời gian sản xuất sản phẩm giảm Bài 85 Tỷ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm phế phẩm Có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất tăng lên Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa α = 0.05 26 Đáp số Wα = (1, 645; +∞); g = 2, 39; Tỉ lệ phế phẩm tăng lên Bài 86 Tỷ lệ cam hỏng 0,1 Sau thời gian bảo quản lấy ngẫu nhiên 400 thấy 60 bị hỏng Có ý kiến cho việc bảo quản cam không tốt Hãy kết luận ý kiến nêu với mức ý nghĩa α = 0, 01 Đáp số Wα = (2, 575; +∞); g = 3, 33; Việc bảo quản cam tốt Bài 87 Trọng lượng gà nở đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lượng gà giảm sút người ta cân thử 12 tìm s = 11, 41gam2 Với mức ý nghĩa α = 0.05 kết luận điều nghi ngờ biết bình thường độ phân tán trọng lượng gà 10gam2 Đáp số Wα = (0; 3, 82)(21, 9; +∞); g = 12, 55; Trọng lượng gà không giảm sút Bài 88 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn kg Có thể coi máy móc hoạt động bình thường khơng ta cân thử ngẫu nhiên 30 sản phẩm thấy độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu 1.1 kg Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa α = 0.01 Đáp số Wα = (49, 6; +∞); g = 35, 09; Máy móc hoạt động bình thường Bài 89 Người ta sản xuất thử 100 sản phẩm thu kết sau Thời gian để sản xuất sản phẩm 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 Số sản phẩm tương ứng 10 24 30 18 12 Với mức ý nghĩa α = 0, 01 xem thời gian để sản xuất sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên tuân theo uy luật chuẩn không Đáp số x = 19, 3; s = 1, 34; Wα = (11, 34, +∞); g = 2, 07; Tuân theo luật chuẩn Bài 90 Điều tra 4000 gia đình ta có Số trai Số gia đình tương ứng 450 1460 1530 560 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 coi X số trai gia đình có ba phân phối theo quy luật nhị thức không? Đáp số:Wα = (6; +∞), g = 13, 68 ; không tuân theo quy luật nhị thức 27 Bài 91 Số phụ nữ thủ đô 25 tuổi cho bảng sau X (số con) Số phụ nữ 1090 650 220 30 10 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 xem X tuân theo luật Poisson không? Đáp số;Wα = (6; +∞), g = 0, 32 Tuân theo quy luật Poisson ; Bài 92 Nghiên cứu ảnh hưởng thành phần thức ăn bố mẹ (X) giới tính (Y ) ta có kết sau Thành phần thức ăn Giới tính Con trai Con gái Khơng có Vitamin Có Vitamin 123 153 145 150 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 ta xem X Y độc lập với không ? Bài 93 Nghiên cứu ảnh hưởng hồn cảnh gia đình tình trạng phạm tội trẻ em vị thành niên qua điều tra ngẫu nhiên ta có kết sau Bố mẹ chết Bố mẹ li Còn bố mẹ Không phạm tội 20 25 13 Phạm tội 29 43 18 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 Có thể kết luận hồn cảnh gia đình độc lâp với tình trạng phạm tội trẻ em hay khơng ? 28 Chương Phân tích tương quan hồi quy Bài 94 Cho bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 2,5 2,7 26 30 41 50 0,05 0,08 0,12 0,04 0,09 0,30 0,11 0,21 Tìm bảng phân phối xác suất tành phần X Y Tìm bảng phân phối xác xuất có điều kiện Y X = 26 X Y = 27 Bài 95 Cho bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc sau 0,15 0,06 0,25 0,04 0,30 0,10 0,03 0,07 a) Tìm kỳ vọng có điều kiện Y với X = b) Tìm kỳ vọng E(X), E(Y ) phương sai D(X), D(Y ) c) Tìm momen tương quan hệ số tương quan X Y Đáp số: a) E(Y /X = 1) = b) E(X) = 2, 93; E(Y ) = 4, 5; D(Y ) = 2, 25 c) µXY = −0, 555, ΓXY = −0, 168 Bài 96 Cho bảng phân phối xác suất véc tơ ngẫu nhiên (X, Y ) 0,17 0,13 0,25 0,10 0,30 0,05 29 a) Tìm ma trận hiệp phương sai b) Tìm hệ số tương quan ρXY Đáp số: a) 0, 25 −0, 06 −0, 06 0, 57 b) ρXY = −0, 159 Bài 97 Cho bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 20 40 60 10 3λ λ 20 2λ 4λ 2λ 30 λ 2λ 5λ Xác định a) Tham số λ b) Tìm kỳ vọng E(X), E(Y ) c) Tìm ma trận hiệp phương sai d) Tìm hệ số tương quan a) λ = 1/20 b) E(X) = 22, E(Y ) = 41 c) 56 57 67 259 d) ρXY = 0, 56 Bài 98 Tìm xác xuất để đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) nhận giá trị hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = 1; x = 2; y = 3; y = biết hàm phân phối xác suất − 2−x − 2−y − 2−x−y x ≥ 0, y ≥ F (x, y) = x < 0, y < ĐS: p = 0, 0234 Bài 99 F (x, y) = (1 − e−2x )(1 − e−3y ) x ≥ 0, y ≥ x < 0, y < ĐS: f (x, y) = 6e2x+3y 30 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu Lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục, 1999 [2] Đặng Hùng Thắng, Bài tập xác suất, NXB Giáo dục, 1999 [3] Đào Hữu Hồ, Xác suất - thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [4] Nguyễn Duy Tiến, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2006 31