Hàm lồi và bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG THÁI THÙY LINH HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Ân. Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. -1- MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chứng minh bất đẳng thức luôn là một phần khó đối với học sinh trung học, kể cả đối với sinh viên Đại học. Do đó việc tìm ra cách giải chúng theo các phương pháp tổng quát hơn luôn được nhiều người quan tâm. Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể là sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh các bất đẳng thức khác. Vì vậy tôi chọn đề tài "Hàm lồi và bất đẳng thức" để làm luận văn tốt nghiệp của mình ở cấp cao học. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở nhà trường phổ thông trung học, lý thuyết hàm lồi và sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa được đưa vào giảng dạy và quan tâm đúng mức. Do vậy, tôi viết luận văn này nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp phổ thông trung học. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm lồi và phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng hàm lồi. - Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức về hàm lồi và việc ứng dụng chúng vào chương trình chuyên toán ở bậc trung học. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Trình bày tóm tắt lý thuyết và các chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề. - Trình bày các bất đẳng thức về hàm lồi và đưa ra các bài tập vận dụng chúng trong chứng minh bất đẳng thức. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Luận văn tiếp cận một vấn đề mới của hàm lồi, trong đó có hàm lồi theo nghĩa Schur. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn được chia làm các chương: -2- - Chương 1: Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên R n để làm lý thuyết cần thiết cho các chương tiếp theo. Trong đó có giới thiệu về hàm lồi theo nghĩa Schur, các tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và một vài ví dụ minh họa việc áp dụng các tính chất này để chứng minh bất đẳng thức. - Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúng trong chứng minh bất đẳng thức được trình bày trong chương này. Ngoài ra, chương này giới thiệu một số ứng dụng của các bất đẳng thức Jensen thông qua các bài toán. - Chương 3: Giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳng thức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thông qua các bài toán. -3- Chương 1 HÀM LỒI TRÊN R N 1.1 TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN R N 1.1.1 Tập lồi trên R n Định nghĩa 1.1.1.1. Tập con A trong R n được gọi là một tập hợp lồi nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ A; với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ A. Chú ý: Tập ∅ được xem là tập lồi. Định nghĩa 1.1.1.2. Cho x 1 , x 2 ∈ R n . Đoạn nối x 1 , x 2 được định nghĩa như sau: [x 1 , x 2 ] = {x ∈ X : x = λx 1 + (1 − λ)x 2 , 0 ≤ λ ≤ 1} . Nhận xét: Tập A là lồi nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ A thì [x 1 , x 2 ] ⊂ A. Tính chất 1.1.1.1. Giả sử A α ⊆ R n , α ∈ I là các tập lồi; với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó, tập A =  α∈I A α cũng lồi. Định nghĩa 1.1.1.3. Cho A, B là các tập trong R n và λ ∈ R. Các tập A + B, λA được xác định như sau: A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B} λA = {λx|x ∈ A}. Tính chất 1.1.1.2. Giả sử tập A i ⊆ R n lồi, λ i ∈ R, i = 1, m. Khi đó: λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + . . . + λ m A m là tập lồi. Tính chất 1.1.1.3. Cho các tập A i lồi trong R n , i = 1, m. Khi đó, tích Descartes  m i=1 A i là một tập lồi trong  m i=1 R n . Định nghĩa 1.1.1.4. Vectơ x ∈ R n được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 , x 2 , . . . , x m trong R n nếu tồn tại λ i ≥ 0, i = 1, m với  m i=1 λ i = 1 sao cho x =  m i=1 λ i x i . Định lý 1.1.1.1. Giả sử tập A ⊆ R n là tập lồi và x 1 , x 2 , . . . , x m ∈ A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 , x 2 , . . . , x m . -4- 1.1.2 Hàm lồi trên R n Giả sử f : D → R∪{±∞} với D ⊆ R n Định nghĩa 1.1.2.1. i) Hàm số f được gọi là lồi trên D nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ D và với mọi cặp số thực không âm λ 1 , λ 2 : λ 1 + λ 2 = 1, ta đều có: f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) ≤ λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) (1) mỗi khi vế phải được xác định; nghĩa là (1) được thỏa mãn trừ khi f(x 1 ) = −f(x 2 ) = ±∞. Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x 1 = x 2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f(x) lồi thật sự (chặt) trên D. ii) Hàm số f được gọi là lõm trên D nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ R n và với mọi cặp số thực không âm λ 1 , λ 2 : λ 1 + λ 2 = 1, ta đều có: f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) ≥ λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) (2) mỗi khi vế phải được xác định; nghĩa là (2) được thỏa mãn trừ khi f(x 1 ) = −f(x 2 ) = ±∞. Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x 1 = x 2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f(x) lõm thật sự (chặt) trên D. Nhận xét: Hàm f được gọi là lõm trên D nếu −f là hàm lồi trên D. Định nghĩa 1.1.2.2. Ta gọi tập {(x, r) ∈ D × R : r ≥ f(x)} là trên đồ thị của hàm f và ký hiệu là epi(f). Nhận xét: Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi(f) là tập lồi trong D × R. Định nghĩa 1.1.2.3. Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f, ký hiệu domf, là tập được xác định như sau: domf = {x ∈ D : f(x) < +∞}. Nhận xét: Nếu f lồi thì domf lồi. Từ nay ta chỉ xét các hàm lồi chính thường; đó là các hàm lồi f : D → (−∞; +∞] có domf = ∅. Định lý 1.1.2.1 (Bất đẳng thức Jensen). Giả sử f : D → (−∞; +∞]. Khi đó, f là hàm lồi chỉ khi với mọi x i ∈ X, λ i ≥ 0, i = 1, m mà m  i=1 λ i = 1 ta có: -5- f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . + λ m x m ) ≤ λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) + . + λ m f(x m ). Các tính chất 1.1.2.1, 1.1.2.2 được suy ra dễ dàng từ định nghĩa của hàm lồi. Tính chất 1.1.2.1. Nếu f(x) là hàm lồi trên D thì g(x) := c.f(x) là hàm lồi (lõm) trên D khi c > 0 (c < 0). Tính chất 1.1.2.2. Tổng hữu hạn các hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D. Tính chất 1.1.2.3. Nếu f(x) là hàm số liên tục và lồi trên D và nếu g(x) là hàm lồi và đồng biến trên tập giá trị của f(x) thì g(f(x)) là hàm lồi trên X. Chứng minh tương tự, ta có tính chất sau: Tính chất 1.1.2.4. i) Nếu f là hàm số liên tục và lõm trên D và nếu g là hàm lồi và nghịch biến trên tập giá trị của f thì g(f(x)) là hàm lồi trên D. ii) Nếu f là hàm số liên tục và lõm trên D và nếu g là hàm lõm và đồng biến trên tập giá trị của f thì g(f(x)) là hàm lõm trên D. iii) Nếu f là hàm số liên tục và lồi trên D và nếu g là hàm lõm và nghịch biến trên tập giá trị của f thì g(f(x)) là hàm lõm trên D. Tính chất 1.1.2.5. Nếu f là hàm số liên tục và đơn điệu trên D và nếu g là hàm ngược của f thì ta có các kết luận sau: i) f lõm, đồng biến khi và chỉ khi g lồi, đồng biến. ii) f lõm, nghịch biến khi và chỉ khi g lõm, nghịch biến. iii) f lồi, nghịch biến khi và chỉ khi g lồi, nghịch biến. Định lý 1.1.2.2. Nếu f là hàm thực (một biến) khả vi bậc hai và f”(x) ≥ 0 (f”(x) ≤ 0) trên X ⊆ R thì f lồi (tương ứng, lõm) trên X . Định lý 1.1.2.3. (Tổng quát hóa của định lý trên) Nếu f là hàm n biến thực khả vi đến cấp 2 trong D ⊆ R n thì f là hàm lồi trên D chỉ khi ma trận Hessian của f xác định không âm trên D. -6- 1.2 BỘ TRỘI VÀ HÀM LỒI THEO NGHĨA SCHUR 1.2.1 Bộ trội và các tính chất Định nghĩa 1.2.1.1. Cho hai bộ số thực (x 1 , x 2 , ., x n ) và (y 1 , y 2 , ., y n ). Ta nói rằng bộ (x 1 , x 2 , ., x n ) trội hơn bộ (y 1 , y 2 , ., y n ), hay bộ (y 1 , y 2 , ., y n ) được làm trội bởi bộ (x 1 , x 2 , ., x n ), nếu các điều kiện sau thõa mãn: i) x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n ; y 1 ≥ y 2 ≥ . ≥ y n . ii) x 1 + x 2 + . + x i ≥ y 1 + y 2 + . + y i , ∀i = 1, n − 1. iii) x 1 + x 2 + . + x n = y 1 + y 2 + . + y n . Ký hiệu: (x 1 , x 2 , ., x n )  (y 1 , y 2 , ., y n ). Tính chất 1.2.1.1. i) (x 1 , x 2 , ., x n )  (x 1 , x 2 , ., x n ). ii) (x 1 , x 2 , ., x n )  (x, x, ., x); trong đó: x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n và x = 1 n  n i=1 x i . iii) Cho x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n ≥ 0 thõa  n i=1 x i = 1. Khi đó: (1, 0, ., 0)  (x 1 , x 2 , ., x n )   1 n , 1 n , ., 1 n  . Tính chất 1.2.1.2. Nếu hai bộ số thực (x 1 , x 2 , ., x n ) và (y 1 , y 2 , ., y n ) thõa mãn các điều kiện sau: i) y 1 ≥ y 2 ≥ . ≥ y n . ii) x 1 + x 2 + . + x i ≥ y 1 + y 2 + . + y i , ∀i = 1, n − 1. iii) x 1 + x 2 + . + x n = y 1 + y 2 + . + y n thì (x ∗ 1 , x ∗ 2 , ., x ∗ n )  (y 1 , y 2 , ., y n ). Trong đó, (x ∗ 1 , x ∗ 2 , ., x ∗ n ) là bộ số nhận được từ bộ (x 1 , x 2 , ., x n ) bằng cách sắp xếp x 1 , x 2 , ., x n theo thứ tự giảm dần. Tính chất 1.2.1.3. Nếu x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n > 0; y 1 ≥ y 2 ≥ . ≥ y n > 0 thõa mãn: x i x j ≥ y i y j ,∀i < j; n  i=1 x i = n  i=1 y i -7- thì: (x 1 , x 2 , ., x n )  (y 1 , y 2 , ., y n ). Tính chất 1.2.1.4. Nếu (x 1 , x 2 , ., x n )  (y 1 , y 2 , ., y n ) thì x n ≤ y n . 1.2.2 Hàm lồi theo nghĩa Schur Định nghĩa 1.2.2.1. Hàm lồi theo nghĩa Schur (hàm S-lồi). Hàm thực ϕ xác định trên A ⊂ R n được gọi là hàm lồi theo nghĩa Schur trên A nếu: x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≤ ϕ(y). Trường hợp nếu x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≥ ϕ(y) thì ϕ được gọi là hàm lõm theo nghĩa Schur trên A. Nhận xét: Hàm ϕ là lõm theo nghĩa Schur trên A khi và chỉ khi −ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur trên A. Bổ đề 1.2.2.1. Cho ϕ là hàm thực xác định trên D. Điều kiện: x ≺ y trên D ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y) tương đương với: Với mọi z ∈ D và k = 1, n − 1, hàm g(ε) =              ϕ(z 1 + ε, z 2 − ε, z 3 , z 4 , ., z n ) khi k = 1 ϕ(z 1 , z 2 , ., z k−1 , z k + ε, z k+1 − ε, z k+2 , ., z n ) khi k = 2, n − 2 ϕ(z 1 , z 2 , ., z n−2 , z n−1 + ε, z n − ε) khi k = n − 1 không giảm theo ε, trong đó: 0 ≤ ε ≤ z 2 − z 3 nếu k = 1. 0 ≤ ε ≤ min(z k−1 − z k ; z k+1 − z k+2 ) nếu k = 2, n − 3 0 ≤ ε ≤ z n−2 − z n−1 nếu k = n − 1. Nhận xét: Đặt z = (z 1 , z 2 , ., z n ) ∈ D, z k =  k i=1 z i thì x ≺ y ⇔      x k ≤ y k ; k = 1, n − 1 x n = y n và [x ≺ y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)] ⇔ h(z k ) = ϕ(z 1 , z 2 , ., z n ) = ϕ(z 1 , z 2 − z 1 , ., z n − z n−1 ) là hàm không giảm theo z k , k = 1, n. -8- Định lý 1.2.2.1. Cho ϕ là hàm thực xác định, liên tục trên D và khả vi liên tục trong D. Khi đó, ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur khi và chỉ khi ϕ (k) (x) = ∂ϕ ∂x k không tăng theo k, k = 1, n trong D với x = (x 1 , x 2 , ., x n ). Ta ký hiệu: ϕ (i,j) (z) = ∂ 2 ϕ(z) ∂z i .∂z j . Bổ đề 1.2.2.2. Nếu hàm thực f xác định trên [a, b] ⊂ R và khả vi cấp hai trên (a, b) thõa mãn: f  (x) ≥ 0,∀x; f”(x) > 0 nếu f  (x) = 0 thì f là hàm số tăng thật sự trên [a, b]. Định lý 1.2.2.2 (Schur 1923). Cho ϕ là hàm thực xác định trên D, khả vi cấp hai và lồi theo nghĩa Schur trong D; đồng thời hàm ϕ thõa mãn: nếu ϕ (k) (z) = ϕ (k+1) (z) thì suy ra được ϕ (k,k) (z) − ϕ (k,k+1) (z) − ϕ (k+1,k) (z) + ϕ (k+1,k+1) (z) > 0. Khi đó, nếu x ≺ y trên D và x = y thì ϕ(x) < ϕ(y). Từ định lý 1.2.2.2 suy ra một định lý rất quan trọng và tiện lợi trong ứng dụng để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Định lý được phát biểu như sau: Định lý 1.2.2.3 (Định lý Schur 1923_Dstrowski 1952). Cho I ⊂ R là một khoảng mở và ϕ : I n → R là hàm khả vi liên tục. Để hàm ϕ là lồi theo nghĩa Schur điều kiện cần và đủ là ϕ là hàm đối xứng trên I n và hàm ϕ (i) (z) đơn điệu không tăng theo i = 1, n đối với mọi z ∈ D ∩ I n . Ở đây ký hiệu D = {x = (x 1 , x 2 , ., x n ) ∈ R n : x 1 ≥ x 2 ≥ . ≥ x n }. Nói cách khác: hàm ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur trên I n khi và chỉ khi ϕ là hàm đối xứng và nếu i = j thì (z i − z j )  ϕ (i) (z) − ϕ (j) (z)  ≥ 0,∀z ∈ D ∩ I n . Bổ đề 1.2.2.3. Nếu ϕ là hàm đối xứng và lồi thì nó là hàm lồi theo nghĩa Schur. Ví dụ 1.2.2.1. Nếu p i > 0, i = 1, n và  n i=1 p i = 1, ta gọi hàm số H(p 1 , p 2 , ., p n ) = − n  i=1 p i ln p i là hàm entropi của phân phối p = (p 1 , p 2 , ., p n ) thì H(p 1 , p 2 , ., p n ) ≤ ln n.