Hàm lồi và bất đẳng thức

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG THÁI THÙY LINH HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Văn Ân Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 -1- Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chứng minh bất đẳng thức phần khó học sinh trung học, kể sinh viên Đại học Do việc tìm cách giải chúng theo phương pháp tổng quát nhiều người quan tâm Một số công cụ đưa để giải toán Hàm lồi, cụ thể sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead Schur để làm sở chứng minh bất đẳng thức khác Vì chọn đề tài "Hàm lồi bất đẳng thức" để làm luận văn tốt nghiệp cấp cao học MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường phổ thông trung học, lý thuyết hàm lồi sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa đưa vào giảng dạy quan tâm mức Do vậy, viết luận văn nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi cấp phổ thông trung học ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu hàm lồi phương pháp chứng minh bất đẳng thức hàm lồi - Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức hàm lồi việc ứng dụng chúng vào chương trình chuyên toán bậc trung học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Trình bày tóm tắt lý thuyết chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề - Trình bày bất đẳng thức hàm lồi đưa tập vận dụng chúng chứng minh bất đẳng thức Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Luận văn tiếp cận vấn đề hàm lồi, có hàm lồi theo nghĩa Schur CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn chia làm chương: Footer Page of 126 Header Page of 126 -2- - Chương 1: Chương trình bày kiến thức hàm lồi Rn để làm lý thuyết cần thiết cho chương Trong có giới thiệu hàm lồi theo nghĩa Schur, tính chất hàm lồi theo nghĩa Schur vài ví dụ minh họa việc áp dụng tính chất để chứng minh bất đẳng thức - Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển toán vận dụng chúng chứng minh bất đẳng thức trình bày chương Ngoài ra, chương giới thiệu số ứng dụng bất đẳng thức Jensen thông qua toán - Chương 3: Giới thiệu cách bất đẳng thức Muirhead, bất đẳng thức Schur số ứng dụng bất đẳng thức Muirhead, Schur thông qua toán Footer Page of 126 -3- Header Page of 126 Chương HÀM LỒI TRÊN RN TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN RN 1.1 1.1.1 Tập lồi Rn Định nghĩa 1.1.1.1 Tập A Rn gọi tập hợp lồi với x1 , x2 ∈ A; với λ ∈ R cho ≤ λ ≤ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Chú ý: Tập ∅ xem tập lồi Định nghĩa 1.1.1.2 Cho x1 , x2 ∈ Rn Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau: [x1 , x2 ] = {x ∈ X : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ≤ λ ≤ 1} Nhận xét: Tập A lồi với x1 , x2 ∈ A [x1 , x2 ] ⊂ A Tính chất 1.1.1.1 Giả sử Aα ⊆ Rn , α ∈ I tập lồi; với I tập số Khi đó, tập A = α∈I Aα lồi Định nghĩa 1.1.1.3 Cho A, B tập Rn λ ∈ R Các tập A + B, λA xác định sau: A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B} λA = {λx|x ∈ A} Tính chất 1.1.1.2 Giả sử tập Ai ⊆ Rn lồi, λi ∈ R, i = 1, m Khi đó: λ1 A1 + λ2 A2 + + λm Am tập lồi Tính chất 1.1.1.3 Cho tập Ai lồi Rn , i = 1, m Khi đó, tích Descartes m i=1 Ai tập lồi m n i=1 R Định nghĩa 1.1.1.4 Vectơ x ∈ Rn gọi tổ hợp lồi vectơ x1 , x2 , , xm Rn tồn λi ≥ 0, i = 1, m với m i=1 λi = cho x = m i=1 λi xi Định lý 1.1.1.1 Giả sử tập A ⊆ Rn tập lồi x1 , x2 , , xm ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x2 , , xm Footer Page of 126 -4- Header Page of 126 1.1.2 Hàm lồi Rn Giả sử f : D → R ∪{±∞} với D ⊆ Rn Định nghĩa 1.1.2.1 i) Hàm số f gọi lồi D với x1 , x2 ∈ D với cặp số thực không âm λ1 , λ2 : λ1 + λ2 = 1, ta có: f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) (1) vế phải xác định; nghĩa (1) thỏa mãn trừ f (x1 ) = −f (x2 ) = ±∞ Nếu đẳng thức xảy x1 = x2 λ = λ = ta nói hàm f (x) lồi thật (chặt) D ii) Hàm số f gọi lõm D với x1 , x2 ∈ Rn với cặp số thực không âm λ1 , λ2 : λ1 + λ2 = 1, ta có: f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≥ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) (2) vế phải xác định; nghĩa (2) thỏa mãn trừ f (x1 ) = −f (x2 ) = ±∞ Nếu đẳng thức xảy x1 = x2 λ = λ = ta nói hàm f (x) lõm thật (chặt) D Nhận xét: Hàm f gọi lõm D −f hàm lồi D Định nghĩa 1.1.2.2 Ta gọi tập {(x, r) ∈ D × R : r ≥ f (x)} đồ thị hàm f ký hiệu epi(f ) Nhận xét: Hàm f gọi lồi D epi(f ) tập lồi D × R Định nghĩa 1.1.2.3 Miền hữu hiệu (effective domain) hàm f , ký hiệu domf , tập xác định sau: domf = {x ∈ D : f (x) < +∞} Nhận xét: Nếu f lồi domf lồi Từ ta xét hàm lồi thường; hàm lồi f : D → (−∞; +∞] có domf = ∅ Định lý 1.1.2.1 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f : D → (−∞; +∞] Khi đó, f hàm lồi với xi ∈ X, λi ≥ 0, m i = 1, m mà λi = ta có: i=1 Footer Page of 126 Header Page of 126 -5- f (λ1 x1 + λ2 x2 + + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + + λm f (xm ) Các tính chất 1.1.2.1, 1.1.2.2 suy dễ dàng từ định nghĩa hàm lồi Tính chất 1.1.2.1 Nếu f (x) hàm lồi D g(x) := c.f (x) hàm lồi (lõm) D c > (c < 0) Tính chất 1.1.2.2 Tổng hữu hạn hàm lồi D hàm lồi D Tính chất 1.1.2.3 Nếu f (x) hàm số liên tục lồi D g(x) hàm lồi đồng biến tập giá trị f (x) g(f (x)) hàm lồi X Chứng minh tương tự, ta có tính chất sau: Tính chất 1.1.2.4 i) Nếu f hàm số liên tục lõm D g hàm lồi nghịch biến tập giá trị f g(f (x)) hàm lồi D ii) Nếu f hàm số liên tục lõm D g hàm lõm đồng biến tập giá trị f g(f (x)) hàm lõm D iii) Nếu f hàm số liên tục lồi D g hàm lõm nghịch biến tập giá trị f g(f (x)) hàm lõm D Tính chất 1.1.2.5 Nếu f hàm số liên tục đơn điệu D g hàm ngược f ta có kết luận sau: i) f lõm, đồng biến g lồi, đồng biến ii) f lõm, nghịch biến g lõm, nghịch biến iii) f lồi, nghịch biến g lồi, nghịch biến Định lý 1.1.2.2 Nếu f hàm thực (một biến) khả vi bậc hai f ”(x) ≥ (f ”(x) ≤ 0) X ⊆ R f lồi (tương ứng, lõm) X Định lý 1.1.2.3 (Tổng quát hóa định lý trên) Nếu f hàm n biến thực khả vi đến cấp D ⊆ Rn f hàm lồi D ma trận Hessian f xác định không âm D Footer Page of 126 -6- Header Page of 126 1.2 BỘ TRỘI VÀ HÀM LỒI THEO NGHĨA SCHUR 1.2.1 Bộ trội tính chất Định nghĩa 1.2.1.1 Cho hai số thực (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) Ta nói (x1 , x2 , , xn ) trội (y1 , y2 , , yn ), hay (y1 , y2 , , yn ) làm trội (x1 , x2 , , xn ), điều kiện sau thõa mãn: i) x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ; y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn ii) x1 + x2 + + xi ≥ y1 + y2 + + yi , ∀i = 1, n − iii) x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn Ký hiệu: (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) Tính chất 1.2.1.1 i) (x1 , x2 , , xn ) (x1 , x2 , , xn ) ii) (x1 , x2 , , xn ) (x, x, , x); đó: x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn x = iii) Cho x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ≥ thõa (1, 0, , 0) n i=1 xi n n i=1 xi = Khi đó: (x1 , x2 , , xn ) 1 , , , n n n Tính chất 1.2.1.2 Nếu hai số thực (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) thõa mãn điều kiện sau: i) y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn ii) x1 + x2 + + xi ≥ y1 + y2 + + yi , ∀i = 1, n − iii) x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn (x∗1 , x∗2 , , x∗n ) (y1 , y2 , , yn ) Trong đó, (x∗1 , x∗2 , , x∗n ) số nhận từ (x1 , x2 , , xn ) cách xếp x1 , x2 , , xn theo thứ tự giảm dần Tính chất 1.2.1.3 Nếu x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn > 0; y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn > thõa mãn: xi yi ≥ , ∀i < j; xj yj Footer Page of 126 n n xi = i=1 yi i=1 -7- Header Page of 126 thì: (x1 , x2 , , xn ) Tính chất 1.2.1.4 Nếu (x1 , x2 , , xn ) 1.2.2 (y1 , y2 , , yn ) (y1 , y2 , , yn ) xn ≤ yn Hàm lồi theo nghĩa Schur Định nghĩa 1.2.2.1 Hàm lồi theo nghĩa Schur (hàm S-lồi) Hàm thực ϕ xác định A ⊂ Rn gọi hàm lồi theo nghĩa Schur A nếu: x ≺ y A ϕ(x) ≤ ϕ(y) Trường hợp x ≺ y A ϕ(x) ≥ ϕ(y) ϕ gọi hàm lõm theo nghĩa Schur A Nhận xét: Hàm ϕ lõm theo nghĩa Schur A −ϕ hàm lồi theo nghĩa Schur A Bổ đề 1.2.2.1 Cho ϕ hàm thực xác định D Điều kiện: x ≺ y D ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y) tương đương với: Với z ∈ D k = 1, n − 1, hàm     ϕ(z1 + ε, z2 − ε, z3 , z4 , , zn ) k =    g(ε) = ϕ(z1 , z2 , , zk−1 , zk + ε, zk+1 − ε, zk+2 , , zn ) k = 2, n −      ϕ(z1 , z2 , , zn−2 , zn−1 + ε, zn − ε) k = n − không giảm theo ε, đó: ≤ ε ≤ z2 − z3 k = ≤ ε ≤ min(zk−1 − zk ; zk+1 − zk+2 ) k = 2, n − ≤ ε ≤ zn−2 − zn−1 k = n − k Nhận xét: Đặt z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ D, zk = i=1 zi   xk ≤ yk ; k = 1, n − x≺y⇔  xn = yn [x ≺ y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)] ⇔ h(zk ) = ϕ(z1 , z2 , , zn ) = ϕ(z1 , z2 − z1 , , zn − zn−1 ) hàm không giảm theo zk , k = 1, n Footer Page of 126 -8- Header Page 10 of 126 Định lý 1.2.2.1 Cho ϕ hàm thực xác định, liên tục D khả vi liên tục D Khi đó, ϕ hàm lồi theo nghĩa Schur ϕ(k) (x) = ∂ϕ ∂xk không tăng theo k, k = 1, n D với x = (x1 , x2 , , xn ) Ta ký hiệu: ∂ ϕ(z) ϕ(i,j) (z) = ∂zi ∂zj Bổ đề 1.2.2.2 Nếu hàm thực f xác định [a, b] ⊂ R khả vi cấp hai (a, b) thõa mãn: f (x) ≥ 0, ∀x; f ”(x) > f (x) = f hàm số tăng thật [a, b] Định lý 1.2.2.2 (Schur 1923) Cho ϕ hàm thực xác định D, khả vi cấp hai lồi theo nghĩa Schur D; đồng thời hàm ϕ thõa mãn: ϕ(k) (z) = ϕ(k+1) (z) suy ϕ(k,k) (z) − ϕ(k,k+1) (z) − ϕ(k+1,k) (z) + ϕ(k+1,k+1) (z) > Khi đó, x ≺ y D x = y ϕ(x) < ϕ(y) Từ định lý 1.2.2.2 suy định lý quan trọng tiện lợi ứng dụng để giải toán chứng minh bất đẳng thức Định lý phát biểu sau: Định lý 1.2.2.3 (Định lý Schur 1923_Dstrowski 1952) Cho I ⊂ R khoảng mở ϕ : I n → R hàm khả vi liên tục Để hàm ϕ lồi theo nghĩa Schur điều kiện cần đủ ϕ hàm đối xứng I n hàm ϕ(i) (z) đơn điệu không tăng theo i = 1, n z ∈ D ∩ I n Ở ký hiệu D = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn } Nói cách khác: hàm ϕ hàm lồi theo nghĩa Schur I n ϕ hàm đối xứng i = j (zi − zj ) ϕ(i) (z) − ϕ(j) (z) ≥ 0, ∀z ∈ D ∩ I n Bổ đề 1.2.2.3 Nếu ϕ hàm đối xứng lồi hàm lồi theo nghĩa Schur Ví dụ 1.2.2.1 Nếu pi > 0, i = 1, n n i=1 pi = 1, ta gọi hàm số n H(p1 , p2 , , pn ) = − pi ln pi i=1 hàm entropi phân phối p = (p1 , p2 , , pn ) H(p1 , p2 , , pn ) ≤ ln n Footer Page 10 of 126 -9- Header Page 11 of 126 Ví dụ 1.2.2.2 Cho yi > 0, i = 1, n Chứng minh rằng: n (1 + yi ) ≤ i=1 Footer Page 11 of 126 1+ n n n yi i=1 -10- Header Page 12 of 126 Chương CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG HÀM LỒI 2.1 SỬ DỤNG HÀM LỒI CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN Bất đẳng thức 2.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Cho x1 , x2 , , xn ≥ Ta có bất đẳng thức: √ x1 + x2 + + xn ≥ n x1 x2 xn n Bất đẳng thức 2.1.2 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho 2n số a1 , a2 , ,an b1 , b2 , , bn ; đó: bi > 0, ∀i = 1, n Ta có bất đẳng thức: n i=1 n i=1 ) n i=1 bi ( a2i ≥ bi Bất đẳng thức 2.1.3 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho 2n số dương a1 , a2 , ,an b1 , b2 , , bn Ta có bất đẳng thức: √ n a1 a2 an + n b1 b2 bn ≤ n (a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) Bất đẳng thức 2.1.4 (Bất đẳng thức H o¨lder) Cho > 0, bi > 0, ∀i = 1, n; p > 0, q > 0, n i=1 i=1 + q = Ta có bất đẳng thức: q n api a i bi ≤ 2.2 p n p bqi i=1 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Bài toán 2.2.1 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: (b + c) (c + a) (a + b) ≤ (a + b + c) a Footer Page 12 of 126 b c a+b+c -11- Header Page 13 of 126 Bài toán 2.2.2 Cho ≤ xi ≤ Π, i = 1, n Chứng minh rằng: n n sin xi ≤ sin i=1 n n xi i=1 Từ suy tam giác ABC, ta có: √ 3 sin A + sin B + sin C ≤ Bài toán 2.2.3 Cho a, b, c ba số thực dương; chứng minh rằng: a b c + + ≥ (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 4(a + b + c) Bài toán 2.2.4 Chứng minh với tan A √ 2 + tan B ABC ta có: √ 2 Bài toán 2.2.5 Chứng minh với + tan C √ 2 √ ≥ 31− ABC nhọn, ta có: (sin A)sin A (sin B)sin B (sin C)sin C ≥ √ 3 Bài toán 2.2.6 (IMO 2001/2) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh: √ a b c +√ +√ ≥ a2 + 8bc b2 + 8ca c2 + 8ab Bài toán 2.2.7 (IMO 1983/6) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ 2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC 2.3.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển Một số bất đẳng thức chứng minh cách áp dụng thích hợp, khéo léo bất đẳng thức cổ điển Việc áp dụng bất đẳng thức cổ điển cách linh hoạt giúp ta giải nhiều bất đẳng thức khó phức tạp Mục nêu số ví dụ cụ thể để minh họa cho điều Bài toán 2.3.1.1 Với a, b, c số thực tùy ý; chứng minh rằng: √ a2 + (1 − b)2 + b2 + (1 − c)2 + c2 + (1 − a)2 ≥ Footer Page 13 of 126 -12- Header Page 14 of 126 Bài toán 2.3.1.2 (JBMO 2002 Shortlist) Cho a, b, c số thực dương thõa mãn abc = Chứng minh rằng: √ √ √ a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b Đẳng thức xảy ? Bài toán 2.3.1.3 (JBMO 2003) Với số thực x, y, z > −1; chứng minh rằng: + x2 + y2 + z2 + + ≥ + y + z + z + x2 + x + y Bài toán 2.3.1.4 (Russia, 2002) Cho x, y, z số thực dương có tổng Chứng minh rằng: √ √ √ x + y + z ≥ xy + yz + zx Bài toán 2.3.1.5 Cho a, b, c số thực dương cho a + b + c = Chứng minh rằng: √ a b √ 3 + + ≥ √ √ √ √ √ √ a 3c + ab b 3a + bc c 3b + ca √ b c √ c a Bài toán 2.3.1.6 (MOSP, 2001) Chứng minh a, b, c số dương có tích thì: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 4(a + b + c − 1) 2.3.2 Phương pháp chuẩn hóa Đặt vấn đề: Cho H(x, y, z) đa thức bậc k, nghĩa là: H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z), cho F (x, y, z) hàm số bậc 0, nghĩa là: F (x, y, z) = F (λx, λy, λz) Khi đó, giá trị F (x, y, z) miền {(x, y, z)/H(x, y, z) = a, a > 0} không thay đổi a thay đổi Footer Page 14 of 126 -13- Header Page 15 of 126 Chứng minh Thật vậy, giả sử M (x, y, z) ∈ {(x, y, z)/H(x, y, z) = a1 , a1 > 0} Ta có: H(x, y, z) = a1 a2 ⇔ H(x, y, z) = a2 với a2 = a1 , a2 > a1 k a2 k ⇔ H(x, y, z) = a2 a1 a2 k a2 k a2 ⇔H k x, y, z = a2 a1 a1 a1 Đặt: x = k a2 x; y = a1 k a2 y; z = a1 k a2 z a1 ⇒ F (x , y , z ) = F (x, y, z) với H(x , y , z ) = a2 ta có: M (x, y, z) ∈ {(x, y, z)/H(x, y, z) = a1 } ⇔ M (x , y , z ) ∈ {(x , y , z )/H(x , y , z ) = a2 } Do đó, ta có đpcm Như để chứng minh bất đẳng thức dạng: F (x1 , x2 , , xn ) ≥ T , F hàm nhất; ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức F (x1 , x2 , , xn ) ≥ T ; với x1 , x2 , , xn thõa mãn điều kiện: H(x1 , x2 , , xn ) = a, a > Kỹ thuật chuẩn hóa cho phép biến bất đẳng thức phức tạp thành bất đẳng thức có dạng đơn giản Điều giúp ta áp dụng biến đổi đại số cách dễ dàng hơn, thay phải làm việc với biểu thức cồng kềnh ban đầu Bài toán 2.3.2.1 (Ukraine, 2001) Cho a, b, c, x, y, z số thực dương thõa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: ax + by + cz + (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c Bài toán 2.3.2.2 Chứng minh với x, y, z số thực ta có bất đẳng thức: 6(x + y + z) x2 + y + z ≤ 27xyz + 10 x2 + y + z Footer Page 15 of 126 -14- Header Page 16 of 126 Bài toán 2.3.2.3 Cho a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c) + + ≥ 2 2 a + (b + c) b + (c + a) c2 + (a + b) Bài toán 2.3.2.4 (USAMO 2003) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: (2a + b + c)2 (2b + a + c)2 (2c + b + a)2 + + ≤ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (a + c)2 2c2 + (b + a)2 Bài toán 2.3.2.5 Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: a(b + c) b(c + a) c(a + b)2 + + ≤ 2 2 2 (b + c) + a (c + a) + b (a + b) + c Bài toán 2.3.2.6 Cho a, b, c > 0; chứng minh rằng: (a + b + c)2 + a + b2 + c2 2.3.3 a + b3 + c3 a2 + b2 + c2 − abc ab + bc + ca ≥ Phương pháp lượng giác Phương pháp lượng giác phương pháp chuyển bất đẳng thức đại số thành bất đẳng thức lượng giác cách đổi biến thích hợp Sau dùng công thức lượng giác hay tính chất hàm lượng giác để biến đổi, chứng minh Một số dạng đổi biến: Sử dụng điều kiện biến: |x| ≤ k (k > 0) Đặt: x = k sin a với − π2 ≤ a ≤ π x = k cos x với ≤ a ≤ π Biến x, y bất đẳng thức có điều kiện: x2 + y = k (k > 0) Đặt: x = k sin a, y = k cos a với ≤ a ≤ 2π Sử dụng điều kiện biến x ≥ k (k > 0) Đặt x = k ; cos a a ∈ 0; π2 ∪ π; 3π Khi đó: x2 − k = k cos2 a − = k tan2 a tan a > Bất đẳng thức có biểu thức x2 + k Đặt x = k tan a với a ∈ − π2 ; π2 Khi đó: x2 + k = k + tan2 a = k2 cos2 a cos a > Bài toán 2.3.3.1 Cho |a| ≤ 1, |b| ≤ 1; chứng minh rằng: 4ab Footer Page 16 of 126 (1 − a2 ) (1 − b2 ) + 2a2 − 2b2 − ≤ -15- Header Page 17 of 126 Bài toán 2.3.3.2 Chứng minh 1+ √ − x2 (1 + x)3 − √ √ (1 − x)3 ≤ 2 + − 2x2 Bài toán 2.3.3.3 Cho 4x2 + 9y = 25 Chứng minh rằng: −25 ≤ 6x + 12y ≤ 25 Bài toán 2.3.3.4 Cho x2 + y − 2x − 4y + = Chứng minh rằng: √ √ √ √ x2 − y + 3xy − + x + − y − + ≤ Bài toán 2.3.3.5 Cho x ≥ Chứng minh rằng: √ − 12 x2 − ≤ −4 ≤ x2 Bài toán 2.3.3.6 Chứng minh rằng: (a2 − b2 ) (1 − a2 b2 ) 1 ≤ − ≤ 2 4 (1 + a2 ) (1 + b2 ) Bài toán 2.3.3.7 (Junior TST 2002, Romania) Nếu a, b, c ∈ (0; 1); chứng minh rằng: Footer Page 17 of 126 √ abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < -16- Header Page 18 of 126 Chương BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 3.1 TRÌNH BÀY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 3.1.1 Bất đẳng thức Muirhead Định nghĩa 3.1.1.1 Cho F (a1 , a2 , , an ) hàm số có n biến a1 , a2 , ,an > xác định F (a1 , a2 , , an ) = ax1 ax2 axnn , (x1 , x2 , , xn ) dãy số thực không âm Ký hiệu !F (a1 , a2 , , an ) tổng n! biểu thức thu từ tất hoán vị dãy (a1 , a2 , , an ) Đặt !F (a1 , a2 , , an ) n! cần M [x1 , x2 , , xn ] dãy (a1 , a2 , , an )đã xác định M [x1 , x2 , , xn ](a1 , a2 , , an ) = Định lý 3.1.1.1 (Bất đẳng thức Muirhead tổng quát) Nếu (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) M [x1 , x2 , , xn ] ≥ M [y1 , y2 , , yn ] Đẳng thức xảy (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) đồng , i = 1; n Định lý 3.1.1.2 (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức biến) Cho (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) xi , yi ≥ 0, ∀i = 1; Ta có: ax1 bx2 + ax2 bx1 ≥ ay1 by2 + ay2 by1 ; ∀a, b > Định lý 3.1.1.3 (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức biến) Cho (x1 , x2 , x3 ) (y1 , y2 , y3 ) xi , yi ≥ 0, ∀i = 1; Ta có: ax1 bx2 cx3 ≥ sym Footer Page 18 of 126 ay1 by2 cy3 ; ∀a, b, c > sym -17- Header Page 19 of 126 3.1.2 Bất đẳng thức Schur Định lý 3.1.2.1 (Bất đẳng thức Schur) Nếu x, y, z số thực dương λ ∈ R ta có: xλ (x − y)(x − z) + y λ (y − z)(y − x) + z λ (z − x)(z − y) ≥ Định lý 3.1.2.2 (Bất đẳng thức Schur mở rộng) Cho f (x): (a, b) → R+ hàm lồi khoảng (a, b) Khi với x, y, z ∈ (a, b) ta có (x − y)(x − z)f (x) + (y − z)(y − x)f (y) + (z − x)(z − y)f (z) ≥ Định lý 3.1.2.3 Xét ba số a, b, c ∈ R ba số x, y, z ∈ R+ Điều kiện cần đủ số a, b, c, x, y, z cho bất đẳng thức sau x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) ≥ điều kiện sau thõa mãn: a ≥ b ≥ c x + z ≥ y x, y z độ dài cạnh tam giác ax, by cz độ dài cạnh tam giác 3.2 3.2.1 ỨNG DỤNG Ứng dụng bất đẳng thức Muirhead Bài toán 3.2.1.1 Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ + c) b (c + a) c (a + b) a3 (b Bài toán 3.2.1.2 Cho x, y, z số thực dương, chứng minh rằng: (xy + yz + zx) 1 + + ≥ 2 (x + y) (y + z) (z + x) Bài toán 3.2.1.3 Cho x, y, z số thực không âm cho xy + yz + zx = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ x+y y+z z+x Footer Page 19 of 126 -18- Header Page 20 of 126 Bài toán 3.2.1.4 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc Bài toán 3.2.1.5 Cho số thực dương x, y, z cho xyz = Chứng minh rằng: x3 y3 z3 + + ≥ (1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) Bài toán 3.2.1.6 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: √ √ √ √ √ √ 3 a + b3 + c3 + d3 ≥ ad bc + bd ac + cd ab + bc ad + ab cd + ac bd Bài toán 3.2.1.7 (USAMO, 1997) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc Bài toán 3.2.1.8 (IMO-shortlist, 1990) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a2 + ab + b2 3.2.2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ≥ (ab + bc + ca)2 Ứng dụng bất đẳng thức Schur Nhận xét: Bất đẳng thức Schur λ = là: x(x − y)(x − z) + y(y − z)(y − x) + z(z − x)(z − y) ≥ Viết dạng khai triển là: x3 + y + z − (x2 y + y z + z x + xy + yz + zx2 ) + 3xyz ≥ Viết dạng ký hiệu tổng đối xứng là: (x3 − 2x2 y + xyz) ≥ sym Sau số cách viết khác bất đẳng thức Schur λ = sau khai triển hai vế xếp lại số hạng: i) x3 + y + z + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) ii) xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) iii) 4(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)3 + 9xyz Footer Page 20 of 126 -19- Header Page 21 of 126 Bài toán 3.2.2.1 (2000 IMO) Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh rằng: a−1+ b b−1+ c c−1+ a ≤ Bài toán 3.2.2.2 (1984 IMO) Chứng minh rằng: ≤ yz + zx + xy − 2xyz ≤ , 27 với x, y, z số thực không âm thõa mãn x + y + z = Bài toán 3.2.2.3 (2004 APMO) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + ≥ 9(ab + bc + ca), với a, b, c số thực dương Bài toán 3.2.2.4 (2000 USA Team Selection Test) Chứng minh rằng: a+b+c √ − abc ≤ max √ √ a− b √ , b− √ c , √ c− √ a với a, b, c số thực dương Bài toán 3.2.2.5 (2003 USA Team Selection Test) Cho a, b, c số thực thuộc khoảng 0, Π2 Chứng minh rằng: sin a sin(a − b) sin(a − c) sin b sin(b − c) sin(b − a) + sin(b + c) sin(c + a) sin c sin(c − a) sin(c − b) ≥ + sin(a + b) Bài toán 3.2.2.6 Cho a, b, c số dương thõa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ a3 + b3 + c3 + Bài toán 3.2.2.7 (Proposed for the Balkan Mathematical Olympiad) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3(ab + bc + ca) + + ≥ b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 a2 − ab + b2 a+b+c Bài toán 3.2.2.8 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có: a2 27 + + bc Footer Page 21 of 126 b2 c2 2+ 2+ ca ab ≥ 6(a + b + c) 1 + + a b c -20- Header Page 22 of 126 Bài toán 3.2.2.9 Cho x, y, z số thực dương thõa mãn xyz = x + y + z + Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z) Bài toán 3.2.2.10 (Kvant, 1993) Cho a, b, c, d > thõa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + abcd ≥ 1 d ; + 27 Bài toán 3.2.2.11 (Iran, 1996) Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực dương x, y, z: (xy + yz + zx) 1 + + ≥ (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 Bài toán 3.2.2.12 Chứng minh a, b, c số thực dương có tổng thì: a + b2 b2 + c2 c2 + a2 ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 Bài toán 3.2.2.13 (KMO Summer Program Test, 2001) Chứng minh a, b, c số thực dương thì: √ a4 + b4 + c4 + Footer Page 22 of 126 √ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ √ a b + b3 c + c3 a + √ ab3 + bc3 + ca3 -21- Header Page 23 of 126 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày tổng quan tính chất hàm lồi trênRn Khảo sát hàm lồi theo nghĩa Schur Luận văn tập trung vào bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi ứng dụng chúng toán chứng minh bất đẳng thức Luận văn tài liệu sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức Dù cố gắng nhiều chắn không tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn hảo Footer Page 23 of 126