Hàm lồi và bất đẳng thức

Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể là sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh cácbất đẳng thức khác.. Vì vậy tôi c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

THÁI THÙY LINH

Công trình được hoàn thành tạiĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Văn Ân

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họptại Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 126

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chứng minh bất đẳng thức luôn là một phần khó đối với học sinh trung học,

kể cả đối với sinh viên Đại học Do đó việc tìm ra cách giải chúng theo các phươngpháp tổng quát hơn luôn được nhiều người quan tâm

Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể là

sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh cácbất đẳng thức khác Vì vậy tôi chọn đề tài "Hàm lồi và bất đẳng thức" để làmluận văn tốt nghiệp của mình ở cấp cao học

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở nhà trường phổ thông trung học, lýthuyết hàm lồi và sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa được đưavào giảng dạy và quan tâm đúng mức

Do vậy, tôi viết luận văn này nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡnghọc sinh giỏi ở cấp phổ thông trung học

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm lồi và phương pháp chứng minhbất đẳng thức bằng hàm lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức về hàm lồi và việc ứng dụng chúngvào chương trình chuyên toán ở bậc trung học

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Trình bày tóm tắt lý thuyết và các chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề

- Trình bày các bất đẳng thức về hàm lồi và đưa ra các bài tập vận dụng chúngtrong chứng minh bất đẳng thức

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Luận văn tiếp cận một vấn đề mới của hàm lồi, trong đó có hàm lồi theo nghĩaSchur

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm các chương:

Footer Page 3 of 126

- Chương 1: Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên Rnđểlàm lý thuyết cần thiết cho các chương tiếp theo Trong đó có giới thiệu vềhàm lồi theo nghĩa Schur, các tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và mộtvài ví dụ minh họa việc áp dụng các tính chất này để chứng minh bất đẳngthức.

- Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúngtrong chứng minh bất đẳng thức được trình bày trong chương này Ngoài ra,chương này giới thiệu một số ứng dụng của các bất đẳng thức Jensen thôngqua các bài toán

- Chương 3: Giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳngthức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thôngqua các bài toán

Footer Page 4 of 126

Chương 1

1.1 TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN RN

1.1.1 Tập lồi trên Rn

Định nghĩa 1.1.1.1 Tập con A trong Rn được gọi là một tập hợp lồi nếu với mọi

x1, x2 ∈ A; với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx1+ (1 − λ)x2 ∈ A

Chú ý: Tập ∅ được xem là tập lồi

Định nghĩa 1.1.1.2 Cho x1, x2 ∈ Rn Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa như sau:

[x1, x2] = {x ∈ X : x = λx1+ (1 − λ)x2, 0 ≤ λ ≤ 1} Nhận xét: Tập A là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A thì [x1, x2] ⊂ A

Tính chất 1.1.1.1 Giả sử Aα ⊆ Rn, α ∈ I là các tập lồi; với I là tập chỉ số bất kỳ.Khi đó, tập A = T

trong Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, i = 1, m với Pm

i=1λi = 1 sao cho x = Pm

i=1λixi.Định lý 1.1.1.1 Giả sử tập A ⊆ Rn là tập lồi và x1, x2, , xm ∈ A Khi đó, A chứatất cả các tổ hợp lồi của x1, x2, , xm

Footer Page 5 of 126

1.1.2 Hàm lồi trên Rn

Giả sử f : D → R ∪{±∞} với D ⊆ Rn

Định nghĩa 1.1.2.1

i) Hàm số f được gọi là lồi trên D nếu với mọi x1, x2 ∈ D và với mọi cặp số thực không

âm λ1, λ2 : λ1+ λ2 = 1, ta đều có: f (λ1x1+ λ2x2) ≤ λ1f (x1) + λ2f (x2) (1) mỗi khi

vế phải được xác định; nghĩa là (1) được thỏa mãn trừ khi f (x1) = −f (x2) = ±∞.Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x1 = x2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f (x)lồi thật sự (chặt) trên D

ii) Hàm số f được gọi là lõm trên D nếu với mọi x1, x2 ∈ Rn và với mọi cặp số thựckhông âm λ1, λ2 : λ1 + λ2 = 1, ta đều có: f (λ1x1 + λ2x2) ≥ λ1f (x1) + λ2f (x2)(2) mỗi khi vế phải được xác định; nghĩa là (2) được thỏa mãn trừ khi f (x1) =

−f (x2) = ±∞

Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x1 = x2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f (x)lõm thật sự (chặt) trên D

Nhận xét: Hàm f được gọi là lõm trên D nếu −f là hàm lồi trên D

Định nghĩa 1.1.2.2 Ta gọi tập {(x, r) ∈ D × R : r ≥ f (x)} là trên đồ thị của hàm f

và ký hiệu là epi(f )

Nhận xét: Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi(f ) là tập lồi trong D × R

Định nghĩa 1.1.2.3 Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f , ký hiệu domf , làtập được xác định như sau: domf = {x ∈ D : f (x) < +∞}

Nhận xét: Nếu f lồi thì domf lồi

Từ nay ta chỉ xét các hàm lồi chính thường; đó là các hàm lồi f : D → (−∞; +∞]

f (λ1x1+ λ2x2+ + λmxm) ≤ λ1f (x1) + λ2f (x2) + + λmf (xm).

Các tính chất 1.1.2.1, 1.1.2.2 được suy ra dễ dàng từ định nghĩa của hàm lồi.Tính chất 1.1.2.1 Nếu f (x) là hàm lồi trên D thì g(x) := c.f (x) là hàm lồi (lõm)trên D khi c > 0 (c < 0)

Tính chất 1.1.2.2 Tổng hữu hạn các hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D

Tính chất 1.1.2.3 Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên D và nếu g(x) là hàm lồi

và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lồi trên X

Chứng minh tương tự, ta có tính chất sau:

i) f lõm, đồng biến khi và chỉ khi g lồi, đồng biến

ii) f lõm, nghịch biến khi và chỉ khi g lõm, nghịch biến

iii) f lồi, nghịch biến khi và chỉ khi g lồi, nghịch biến

Định lý 1.1.2.2 Nếu f là hàm thực (một biến) khả vi bậc hai và f ”(x) ≥ 0 (f ”(x) ≤0) trên X ⊆ R thì f lồi (tương ứng, lõm) trên X

Định lý 1.1.2.3 (Tổng quát hóa của định lý trên)

Nếu f là hàm n biến thực khả vi đến cấp 2 trong D ⊆ Rn thì f là hàm lồi trên Dchỉ khi ma trận Hessian của f xác định không âm trên D

Footer Page 7 of 126

1.2 BỘ TRỘI VÀ HÀM LỒI THEO NGHĨA SCHUR

1.2.1 Bộ trội và các tính chất

Định nghĩa 1.2.1.1 Cho hai bộ số thực (x1, x2, , xn) và (y1, y2, , yn) Ta nói rằng

bộ (x1, x2, , xn) trội hơn bộ (y1, y2, , yn), hay bộ (y1, y2, , yn) được làm trội bởi bộ(x1, x2, , xn), nếu các điều kiện sau thõa mãn:

.Tính chất 1.2.1.2 Nếu hai bộ số thực (x1, x2, , xn) và (y1, y2, , yn) thõa mãn cácđiều kiện sau:

(x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn)

Tính chất 1.2.1.4 Nếu (x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn) thì xn ≤ yn

1.2.2 Hàm lồi theo nghĩa Schur

Định nghĩa 1.2.2.1 Hàm lồi theo nghĩa Schur (hàm S-lồi)

Hàm thực ϕ xác định trên A ⊂ Rn được gọi là hàm lồi theo nghĩa Schur trên Anếu: x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≤ ϕ(y)

Trường hợp nếu x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≥ ϕ(y) thì ϕ được gọi là hàm lõm theonghĩa Schur trên A

Nhận xét: Hàm ϕ là lõm theo nghĩa Schur trên A khi và chỉ khi −ϕ là hàm lồi theonghĩa Schur trên A

Bổ đề 1.2.2.1 Cho ϕ là hàm thực xác định trên D Điều kiện:

x ≺ y trên D ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)tương đương với: Với mọi z ∈ D và k = 1, n − 1, hàm

không giảm theo ε, trong đó:

Footer Page 9 of 126

Định lý 1.2.2.1 Cho ϕ là hàm thực xác định, liên tục trên D và khả vi liên tục trong

D Khi đó, ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur khi và chỉ khi

Định lý 1.2.2.2 (Schur 1923) Cho ϕ là hàm thực xác định trên D, khả vi cấp hai vàlồi theo nghĩa Schur trong D; đồng thời hàm ϕ thõa mãn: nếu ϕ(k)(z) = ϕ(k+1)(z) thìsuy ra được ϕ(k,k)(z) − ϕ(k,k+1)(z) − ϕ(k+1,k)(z) + ϕ(k+1,k+1)(z) > 0 Khi đó, nếu x ≺ ytrên D và x 6= y thì ϕ(x) < ϕ(y)

Từ định lý 1.2.2.2 suy ra một định lý rất quan trọng và tiện lợi trong ứng dụng đểgiải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Định lý được phát biểu như sau:

Định lý 1.2.2.3 (Định lý Schur 1923_Dstrowski 1952) Cho I ⊂ R là mộtkhoảng mở và ϕ : In → R là hàm khả vi liên tục Để hàm ϕ là lồi theo nghĩa Schurđiều kiện cần và đủ là ϕ là hàm đối xứng trên In và hàm ϕ(i)(z) đơn điệu không tăngtheo i = 1, n đối với mọi z ∈ D ∩ In

Cho 2n số a1, a2, ,an và b1, b2, , bn; trong đó: bi > 0, ∀i = 1, n Ta luôn cóbất đẳng thức:

Pn i=1bi .Bất đẳng thức 2.1.3 (Bất đẳng thức Minkowski)

Cho 2n số dương a1, a2, ,an và b1, b2, , bn Ta luôn có bất đẳng thức:

Bài toán 2.2.2 Cho 0 ≤ xi ≤ Π, i = 1, n Chứng minh rằng:

1n

Từ đó suy ra rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

2 .Bài toán 2.2.3 Cho a, b, c là ba số thực dương; chứng minh rằng:

a(b + c)2 + b

(c + a)2 + c

(a + b)2 ≥ 9

4(a + b + c).Bài toán 2.2.4 Chứng minh rằng với mọi 4ABC ta có:

tanA2

2 √ 2

+

tanB2

2 √ 2

+

tanC2

2 √ 2

≥ 31− √

2.Bài toán 2.2.5 Chứng minh rằng với mọi 4ABC nhọn, ta có:

(sin A)sin A.(sin B)sin B.(sin C)sin C ≥  2

3

3

√ 3 2.Bài toán 2.2.6 (IMO 2001/2) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh:

ra một số ví dụ cụ thể để minh họa cho điều đó

Bài toán 2.3.1.1 Với a, b, c là các số thực tùy ý; chứng minh rằng:

p

a2+ (1 − b)2+pb2+ (1 − c)2+pc2+ (1 − a)2 ≥ 3

√2

2 .

Footer Page 13 of 126

Bài toán 2.3.1.2 (JBMO 2002 Shortlist) Cho a, b, c là các số thực dương thõamãn abc = 2 Chứng minh rằng:

a3+ b3+ c3 ≥ a√b + c + b√

c + a + c√

a + b

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài toán 2.3.1.3 (JBMO 2003) Với các số thực bất kỳ x, y, z > −1; chứng minhrằng:

a.√3c +√

ab +

c√a

b.√3a +√

bc +

a√b

c.√

3b +√

ca ≥

3√3

4 .Bài toán 2.3.1.6 (MOSP, 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương cótích bằng 1 thì:

Chứng minh Thật vậy, giả sử M (x, y, z) ∈ {(x, y, z)/H(x, y, z) = a1, a1 > 0}.

Bài toán 2.3.2.1 (Ukraine, 2001) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thõamãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

ax + by + cz + 2p(xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c

Bài toán 2.3.2.2 Chứng minh rằng với x, y, z là các số thực bất kỳ ta có bất đẳngthức:

6(x + y + z) x2+ y2+ z2
≤ 27xyz + 10 x2+ y2+ z2

3

2

Footer Page 15 of 126

Bài toán 2.3.2.3 Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

(2a + b + c)22a2+ (b + c)2 + (2b + a + c)

(c + a)2+ b2 + c(a + b)

2

(a + b)2+ c2 ≤ 6

5.Bài toán 2.3.2.6 Cho a, b, c > 0; chứng minh rằng:

2.3.3 Phương pháp lượng giác

Phương pháp lượng giác là phương pháp chuyển các bất đẳng thức đại số thànhbất đẳng thức lượng giác bằng cách đổi biến thích hợp Sau đó dùng các công thứclượng giác hay tính chất của các hàm lượng giác để biến đổi, chứng minh

Một số dạng đổi biến:

1 Sử dụng điều kiện của biến: |x| ≤ k (k > 0)

Đặt: x = k sin a với −π2 ≤ a ≤ π

2 hoặc x = k cos x với 0 ≤ a ≤ π

2 Biến x, y của bất đẳng thức có điều kiện: x2+ y2 = k2 (k > 0)

Đặt: x = k sin a, y = k cos a với 0 ≤ a ≤ 2π

3 Sử dụng điều kiện của biến x ≥ k (k > 0)

2b2− 1


≤ 1

Footer Page 16 of 126

Bài toán 2.3.3.2 Chứng minh rằng

4.Bài toán 2.3.3.7 (Junior TST 2002, Romania) Nếu a, b, c ∈ (0; 1); chứng minhrằng:

√abc +p(1 − a)(1 − b)(1 − c) < 1

Footer Page 17 of 126

Ký hiệuP!F (a1, a2, , an) là tổng của n! biểu thức thu được từ tất cả các hoán vịcủa dãy (a1, a2, , an).

Định lý 3.1.1.1 (Bất đẳng thức Muirhead tổng quát)

Nếu (x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn) thì M [x1, x2, , xn] ≥ M [y1, y2, , yn]

Đẳng thức xảy ra chỉ khi (x1, x2, , xn) và (y1, y2, , yn) đồng nhất hoặc các ai,

i = 1; n bằng nhau

Định lý 3.1.1.2 (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức 2 biến)

Cho (x1, x2)  (y1, y2) và xi, yi ≥ 0, ∀i = 1; 2 Ta luôn có:

ax1bx2 + ax2bx1 ≥ ay1by2 + ay2by1; ∀a, b > 0

Định lý 3.1.1.3 (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức 3 biến)

Cho (x1, x2, x3)  (y1, y2, y3) và xi, yi ≥ 0, ∀i = 1; 3 Ta luôn có:

x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) ≥ 0

là một trong các điều kiện sau thõa mãn:

1 a ≥ b ≥ c và x + z ≥ y

2 x, y và z là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó

3 ax, by và cz là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó

(xy + yz + zx)

1(x + y)2 + 1

Bài toán 3.2.1.4 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

Bài toán 3.2.1.5 Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1 Chứng minh rằng:

x3(1 + y)(1 + z) +

y3(1 + z)(1 + x)+

z3(1 + x)(1 + y) ≥ 3

4.Bài toán 3.2.1.6 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

a2+ ab + b2
b2+ bc + c2
c2+ ca + a2
≥ (ab + bc + ca)2

3.2.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Schur

Nhận xét: Bất đẳng thức Schur khi λ = 1 là:

x(x − y)(x − z) + y(y − z)(y − x) + z(z − x)(z − y) ≥ 0

Viết dưới dạng khai triển là:

i) x3+ y3+ z3+ 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)

ii) xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y)

iii) 4(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)3+ 9xyz

Footer Page 20 of 126

Bài toán 3.2.2.1 (2000 IMO) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1.Chứng minh rằng:

Bài toán 3.2.2.3 (2004 APMO) Chứng minh rằng:

a2+ 2
b2+ 2
c2+ 2
≥ 9(ab + bc + ca),với a, b, c là các số thực dương bất kỳ

Bài toán 3.2.2.4 (2000 USA Team Selection Test) Chứng minh rằng:



Footer Page 21 of 126

Bài toán 3.2.2.9 Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xyz = x + y + z + 2.Chứng minh rằng:

.Bài toán 3.2.2.11 (Iran, 1996) Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thựcdương x, y, z:

(xy + yz + zx)

1(x + y)2 + 1

1 thì:

a2+ b2
b2+ c2
c2+ a2
≥ 8 a2

b2+ b2c2+ c2a2
2.Bài toán 3.2.2.13 (KMO Summer Program Test, 2001) Chứng minh rằng nếu

KẾT LUẬN

Luận văn đạt được các kết quả sau:

1 Trình bày tổng quan các tính chất cơ bản của hàm lồi trênRn

2 Khảo sát hàm lồi theo nghĩa Schur

3 Luận văn tập trung vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi và ứng dụngchúng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

4 Luận văn là một tài liệu về sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức

Dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết Tôirất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng của quý thầy cô giáo và các bạnđồng nghiệp để luận văn được hoàn hảo hơn

Footer Page 23 of 126