Tác động nhóm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  HỒNG VĂN TUẤN TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  HỒNG VĂN TUẤN TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng – Năm 2017 Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Hoàng Văn Tuấn LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Hoàng Văn Tuấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính 10 CHƯƠNG TÁC ĐỘNG NHĨM 14 2.1 Tác động nhóm tập hợp 14 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 20 2.3 Tác động nhóm nhóm 23 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm 23 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHÓM 25 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 25 3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm 25 3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh số kết lý thuyết nhóm 31 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính 41 3.2.1 Chứng minh Định lý nhỏ Fermat 41 3.2.2 Ứng dụng tác động nhóm đại số tuyến tính 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tác động nhóm nội dung lý thuyết nhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng khơng lý thuyết nhóm mà cịn số lĩnh vực khác toán học Trong giáo trình lý thuyết nhóm bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều, nhằm tìm hiểu tác động nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: Tác động nhóm ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn - Nghiên cứu tác động nhóm tập hợp, nhóm - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm, nhóm hữu hạn p - nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp nhóm - Những ứng dụng tác động nhóm Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tác động nhóm - Phân tích, khảo sát tư liệu thu thập - Tự nghiên cứu trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau 1.1 Nhóm p – nhóm hữu hạn 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính Chương 2: Tác động nhóm Chương trình bày kiến thức sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem tài liệu [5], [7], [9], [11], [12], [13] 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1.[9] Cho tập không rỗng G phép tốn hai ngơi G ký hiệu •, cặp (G, •) gọi nhóm (i) Với x, y, z ∈ G, (x • y) • z = x • (y • z) (ii) Tồn phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi phần tử đơn vị, cho: x • e = e • x = x, với x ∈ G (iii) Với x ∈ G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử x−1 ∈ G cho: x • x−1 = x−1 • x = e Nếu với x, y ∈ G, x • y = y • x (G, •) gọi nhóm abel (hay nhóm giao hốn) Nếu khơng sợ nhầm lẫn với phép tốn, ta cịn nói G nhóm thay cho nhóm (G, •) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G ký hiệu |G| Nếu nhóm G khơng phải nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa 1.1.2.[7] Một nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố p gọi p - nhóm Định nghĩa 1.1.3.[9] Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊂ G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G khép kín phép lấy nghịch đảo G, tức là: • ∀x, y ∈ S, xy ∈ S • ∀x ∈ S, x−1 ∈ S Mệnh đề 1.1.4.[9] Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: (i) A nhóm X (ii) Với ∀x, y ∈ A, xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.1.5.[7] (i) Nhóm H gọi p - nhóm G H vừa nhóm G vừa p - nhóm (ii) Nhóm H gọi p - nhóm Sylow G H p - nhóm G |H| = pn lũy thừa cao p chia hết |G| Mệnh đề 1.1.6.[9] Giao họ nhóm nhóm G nhóm G Định nghĩa 1.1.7.[7] Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G chứa X, ký hiệu hXi hXi = {x1 ε1 x2 ε2 xn εn /xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N} Nhận xét 1.1.8.[9] hXi nhóm nhỏ G có chứa X Nếu hXi = G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G Định nghĩa 1.1.9.[9] Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a ∈ X, kí hiệu hai Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ký hiệu C(n) Cn Mệnh đề 1.1.10.[7] Mọi nhóm nhóm cyclic nhóm cyclic Định nghĩa 1.1.11.[7] Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ G Nếu am 6= e, ∀m ∈ N∗ a gọi có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = e m gọi cấp a Cấp phần tử a ký hiệu ord(a) ... sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm. .. 25 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 25 3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm 25 3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh số kết lý thuyết nhóm ... động nhóm tập hợp, nhóm - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm, nhóm hữu hạn p - nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp nhóm - Những ứng dụng tác động nhóm Phương pháp