Bổ đề 3.2.2.1. Cho ma trận A đối xứng, P là ma trận vuông cùng
cấp với A. Khi đó P.A.tP là một ma trận đối xứng, với tP là ma trận chuyển vị của P.
Chứng minh
A là ma trận đối xứng ⇔ tA = A .
vì: t(P.A.tP) = t(tP).tA.tP = P.tA.tP = P.A.tP nên P.A.tP là một ma trận đối xứng.
Mệnh đề 3.2.2.2. [5] Cho S là tập các ma trận đối xứng cấp n
trên trường số thực R . Khi đó ánh xạ GL(n,R)×S → S, với
(P, A) 7→P.A.tP, xác định một tác động nhóm GL(n,R) trên tập S. Chứng minh ∀P1, P2 ∈ GL(n,R),∀A∈ S ta có: (P1P2)∗A= (P1P2).A.t(P1P2) = (P1P2).A.(tP2tP1) = P1(P2.A.tP2)tP1 = P1(P2 ∗A)tP1 = P1 ∗(P2 ∗A) E ∗A = E.A.tE = A,∀A ∈ S, E ∈ GL(n,R), E là ma trận đơn vị cấp n.
Vậy ta có một tác động của nhóm GL(n,R) trên tập S. Tương tự mệnh đề trên, ta có
Mệnh đề 3.2.2.3. [12] Cho S là tập các ma trận đối xứng cấp n
trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ O(n,R)×S → S, với
(P, A) 7→ P.A.tP, xác định một tác động của nhóm ma trận trực giao
O(n,R) trên tập S
Mệnh đề 3.2.2.4. [5] Với mỗi ma trận đối xứng thực A, tồn tại
P.A.tP = b1 0 ... 0 0 b2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... bn Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Giả sử A = (aij) là ma trận đối xứng cấp n.
Nếu A = 0 thì mệnh đề hiển nhiên đúng
Nếu A6= 0. Ta có thể giả sử ∃aii 6= 0,∀i = 1, n ⇒aij 6= 0, i 6= j, khi đó Qij(1).A.Qji(1) là ma trận có aii 6= 0.
Nếu a11 = 0 và aii 6= 0, thì P1i.A.Pi1 là ma trận có a11 6= 0.
Giả sử a11 = a 6= 0. Xét lần lượt j đi từ 2 đến n, nếu a1j 6= 0, thì
Qj1 −a1j a .A.Q1j −a1j a là ma trận có dạng: a 0 ... 0 0 ... A0 0
Trong đó A0 là ma trận đối xứng cấp n−1. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Định nghĩa 3.2.2.5. [11] Một ma trận vuông A gọi là chéo hóa
trực giao được, nếu có một ma trận trực giao P sao cho P−1AP là ma trận chéo.
Việc tìm một ma trận trực giao P sao cho P−1AP là ma trận chéo được gọi là chéo hóa trực giao ma trận vuông A.
Định lý 3.2.2.6. [11] Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông
Mệnh đề 3.2.2.3 và Định lý 3.2.2.6 cho ta hệ quả sau
Hệ quả 3.2.2.7. Nhóm các ma trận trực giao O(n,R) tác động
trên tập các ma trận đối xứng thực, và thông qua tác động này mọi ma trận đối xứng thực đều chéo hóa trực giao được.
Các Mệnh đề 3.2.2.2, 3.2.2.4 và Hệ quả 1.2.19 cho ta hệ quả sau
Hệ quả 3.2.2.8. Nhóm các ma trận khả nghịch GL(n,R) tác động
trên tập các ma trận (đối với các cơ sở khác nhau) của một dạng toàn phương ω(x) trên một không gian vectơ thực n chiều V. Thông qua tác động này, biểu thức tọa độ của mọi dạng toàn phương đều đưa được về dạng chính tắc.
KẾT LUẬN
Luận văn "Tác động nhóm và ứng dụng" đã thực hiện được mục tiêu đã đề ra, cụ thể là: Thu thập và đọc hiểu các tài liệu về tác động nhóm, từ đó trình bày lại các vấn đề sau:
1) Trình bày khái niệm tác động nhóm trên một tập hợp, trên một nhóm, cùng với những ví dụ minh họa.
2) Áp dụng các kết quả của tác động nhóm để xây dựng những nhóm mới, và chứng minh một số Định lý, kết quả trong lý thuyết nhóm.
3) Áp dụng tác động nhóm để chứng minh Định lý nhỏ Fermat. 4) Dùng tác động nhóm để minh họa cho bài toán chéo hóa trực giao một ma trận đối xứng, và bài toán đưa dạng toàn phương trên không gian vectơ hữu hạn chiều về dạng chính tắc.
Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn tiếp tục được hoàn thiện và mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tính hiệu quả của tác động nhóm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1] Nguyễn Văn Bảy (2009), Phân loại đẳng cấu các nhóm có cấp n, n ≤ 20, Luận văn thạc sỹ khoa học - Đại học Đà Nẵng.
[2] G. Birkhoff, S. Maclane (1979), Tồng quan về đại số hiện đại, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[3] Trần Văn Hạo (1977), Đại số cao cấp, NXB Giáo dục.
[4] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục. [5] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài
tập đại số và số học, NXB Giáo dục.
[6] Trần Thị Thu Hiền (2014), Luật tác động và ứng dụng trong lý thuyết nhóm và số học, Luận văn tốt nghiệp cao học, Đại học Đà Nẵng.
[7] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. [8] S. Lang (1973), Đại số (Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Hạo và
Hoàng Kỳ), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. [9] Hoàng Xuân Sính ( 1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
[10] Nguyễn Duy Thuận, Phí Mạnh Ban, Nông Quốc Chinh (2004), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm.
[11] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh ( 2008), Toán học cao cấp - Đại số và hình học giải tích, NXB Giáo dục.
[12] Lê Anh Vũ ( 1997), Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục.
TIẾNG ANH
[13] B. Baumslag and B. Chandler (1968),Theory and Problems of Group Theory, McGraw - Hill book company.
[14] Burnside, W (1897), Theory of group of finite order, Cambridge University.
[15] Georgew.Polites (1968), An Introduction to the Theory of Group, International Textbook company.
[16] Kristen Walcott (2004), Application and Analysis of Burnside’s Theory, Allegheny College.
[17] Rotman, J.J (1995),An introduction to theory group, Springer-Verlarg.
TRANG WEBSITE
[18] David Jao(2002), Semidirect Product Of Groups, at http://planetmath.org/semidirectproductofgroups [19] Keith Conrad, Generalized Quaternions, at
http://math.uconn.edu/kconrad/blurbs/grouptheory/genquat.pdf [20] Milne J.S. (2008),Group Theory (2008) at
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf [21] Patrick J. Morandi, Group Actions, at