Hàm lồi và một số bất đẳng thức

Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN QUANG CÔNG Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Văn Thương HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI Chuyên ngành : Phương pháp Toán Sơ cấp Mã số : 60-46-40 Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 133 - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Header Page of 133 MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông bất ñẳng thức nội dụng bất ñẳng thức ñể chứng minh số toán có liên quan ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU a Đối tượng nghiên cứu dung khó ñối với học sinh kể học sinh giỏi ñội tuyển toán Nghiên cứu lý thuyết tổng quát hàm lồi ñể trình bày có hệ Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi cấp thành phố, tuyển sinh ñại thống Nghiên cứu Bất ñẳng thức Jensen, Bất ñẳng thức Karamata hoc, kì thi quốc gia, quốc tế khu vực, toán bất ñẳng thức ứng dụng thường xuyên xuất gây không khó khăn cho người làm b Phạm vi nghiên cứu toán Điều ñặc biệt toán bất ñẳng thức khó, chí Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình bất ñẳng thức tác giả có liên quan từ ñó trình bày phương pháp chứng minh phù khó giải hoàn toàn phương pháp hợp sơ cấp, không vượt giới hạn toán phổ thông Do ñó PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU cần phải nắm vài kỉ thuật chứng minh bất ñẳng thức phương Nghiên cứu tài liệu từ trang web toán học, tạp chí toán học pháp cổ ñiển, ñể giải số toán bất ñẳng thức có liên tuổi trẻ giáo trình có liên quan ñến ñề tài ñể tổng hợp lại Sau quan ñến chương trình toán phổ thông ñó trình bày có hệ thống phát triển phương pháp chứng minh hợp Với lí ñó chọn ñề tài “Hàm lồi số bất ñẳng thức” phần ñó ñáp ứng mong muốn thân ñề lí Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI tài phù hợp với chương trình ñang học mà sau phục vụ Đề tài hệ thống kiến thức lý thuyết hàm lồi số bất ñẳng thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông, thức hàm lồi, trình bày ứng dụng Bất ñẳng thức Jensen, ñồng thời tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm ñến vấn Karamata ñể chứng minh hàng loạt toán bất ñẳng thức trường ñề phổ thông Đề tài quan tâm nhiều ñối tượng, ñó trọng tâm ứng dụng Đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh trung học Bất ñẳng thức Jensen Bất ñẳng thức Karamata ñể giải phổ thông Đóng góp thiết thực cho việc dạy học bất ñẳng thức toán bất ñẳng thức lượng giác, bất ñẳng thức ñại số hoàn toàn phù trường trung học phổ thông, ñem lại niềm ñam mê sáng tạo hợp với thực tế trường phổ thông toán bất ñẳng thức MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC LUẬN VĂN Mục ñích ñề tài trình bày có hệ thống lý thuyết hàm lồi bất ñẳng thức trọng tâm hàm lồi Sau ñó ñưa ứng Footer Page of 133 Ngoài phần mở ñầu kết luận, luận văn gồm ba chương Header Page of 133 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình Chương bày có hệ thống kiến thức hàm lồi Chương 2: Một số bất ñẳng thức hàm lồi Trong chương trình bày hai bất ñẳng thức liên quan ñến hàm lồi là: Bất KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa hàm lồi ñẳng thức Jensen, Bất ñẳng thức Karamata, ñịnh lí số áp Định nghĩa Hàm số f ( x) ñược gọi hàm lồi (lồi dưới) tập dụng [a, b) ⊂ Chương 3: Áp dụng bất ñẳng thức hàm lồi ñể giải số α , β có tổng α + β = ta ñều có toán bất ñẳng thức sơ cấp Trong chương trình bày với x1 , x2 ∈ [a, b) với cặp số dương có hệ thống ứng dụng Bất ñẳng thức Jensen Bất ñẳng thức f (α x1 + β x2 ) ≤ α f ( x1 ) + β f ( x2 ) Karamata ñể giải toán bất ñẳng thức lượng giác tam - Nếu dấu “=” xảy (1.1) x1 = x2 ta nói hàm giác bất ñẳng thức ñại số số f ( x) hàm lồi thực (chặt) [a, b) (1.1) - Nếu (1.1) bất ñẳng thức xảy ngược chiều f ( x) hàm lõm [a, b) - Ta kí hiệu tập [a, b), (a, b], (a, b), [a, b] I (a, b) Nhận xét 1.1 i/ Hàm số f ( x) gọi lõm I (a, b) − f ( x) hàm lồi I ( a, b ) ii/ Khi x1 < x2 α = x2 − x , x2 − x1 β= x = α x1 + β x2 ∈ ( x1 , x2 ), ∀α , β > : α + β = x − x1 x2 − x1 1.2 Các tính chất hàm lồi Tính chất 1.1 Nếu f ( x) hàm lồi (lõm) I (a, b) g ( x) = c f ( x) hàm lõm (lồi) I (a, b) c < Footer Page of 133 Header Page of 133 Tính chất 1.2 Tổng hữu hạn hàm lồi I (a, b) hàm lồi Tính chất 1.6 (Xem [9]) Giả sử f1 ( x), f ( x), , f n ( x) hàm I ( a, b ) lồi Tính chất 1.3 (Xem [3]) Nếu f ( x) hàm liên tục lồi λ1 f1 ( x) + λ2 f ( x) + + λn f n ( x) hàm lồi I (a, b) I (a, b) g ( x) hàm lồi ñồng biến tập giá trị 1.3 Một số ñịnh lí hàm lồi f ( x) g ( f ( x)) hàm lồi I (a, b) Định lí 1.1 (Xem [3]) Nếu f ( x) hàm khả vi I (a, b) Tính chất 1.4 (Xem [3]) i/ Nếu f ( x) hàm liên tục lõm I (a, b) hàm g ( x) lồi nghịch biến tập giá trị f ( x) g ( f ( x)) hàm lồi I ( a, b ) ii/ Nếu f ( x) hàm liên tục lõm I (a, b) hàm g ( x) lõm I (a, b) Cho λi > , ∀i = 1, , n Khi ñó hàm số f ( x) hàm lồi I (a, b) f '( x) hàm ñơn ñiệu tăng I (a, b) Định lí 1.2 Nếu f ( x) hàm khả vi bậc hai I (a, b) f '' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ I (a, b) với cặp x, x0 ∈ I (a, b) ta ñều có f ( x) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) ñồng biến tập giá trị f ( x) g ( f ( x)) hàm lõm I ( a, b ) (1.2) Định lí 1.3 Nếu f ( x) khả vi bật hai I (a, b) f ( x) lồi (lõm) iii/ Nếu f ( x) hàm liên tục lồi I (a, b) hàm g ( x) lõm I (a, b) f '' ( x) ≥ ( f '' ( x) ≤ 0) I (a, b) nghịch biến tập giá trị f ( x) g ( f ( x)) hàm lõm Định lí 1.4 (Xem [3]) Nếu f ( x) lồi (a, b) tồn ñạo I ( a, b ) hàm phía f −' ( x) f +' ( x) với ∀x ∈ (a, b) f −' ( x) ≤ f +' ( x) Tính chất 1.5 Nếu f ( x) hàm số liên tục ñơn ñiệu (ñồng biến Hệ Các hàm số f −' ( x) f +' ( x) hàm ñơn ñiệu tăng nghịch biến) I (a, b) g ( x) hàm ngược f ( x) (a, b) ta có kết luận sau: Định lí 1.5 Nếu f ( x) lồi (a, b) f ( x) liên tục (a, b) i/ f ( x) lõm, ñồng biến ⇔ g ( x) lồi, ñồng biến Nhận xét 1.2 (Xem [3]) Hàm lồi [a, b] không liên tục ii/ f ( x) lõm, nghịch biến ⇔ g ( x) lõm, nghịch biến ñầu mút ñoạn [a, b] iii/ f ( x) lồi, nghịch biến ⇔ g ( x) lồi, nghịch biến Footer Page of 133 Header Page of 133 10 Định lí 1.6 (Xem [3]) (Bất ñẳng thức Jensen) Chương Giả sử f ( x) liên tục [a, b] Khi ñó ñiều kiện cần ñủ ñể hàm số f ( x) lồi I (a, b) f( MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỀ HÀM LỒI 2.1 Bất ñẳng thức Jensen x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ , ∀x1, x2 ∈ I (a, b) 2 (1.3) 2.1.1 Bất ñẳng thức Jensen dạng Giả sử f ( x) liên tục [a, b] Khi ñó ñiều kiện cần ñủ ñể hàm Định lí 1.7 (Xem [3]) (ñiều kiện ñủ cho tính lồi hàm số) Giả sử f ( x) có ñạo hàm cấp hai (a, b) Khi ñó ñiều kiện cần số f ( x) lồi I (a, b) x +x f  ñủ ñể hàm số f ( x) lồi (lõm) (a, b) f '' ( x) ≥ 0, ( f '' ( x ) ≤ 0) ∀x ∈ (a, b) (1.4)  f ( x1 ) + f ( x2 ) , ≤  ∀x1 , x2 ∈ I ( a, b ) 2.1.2 Bất ñẳng thức Jensen tổng quát (Xem [8]) Định lí 1.8 (Xem [3]) Cho hàm số f ( x) có f '' ( x) ≥ I (a, b) Giả sử f ( x) hàm lồi (a, b) với x1 , x2 , , xn ∈ (a, b) và giả sử x1 , x2 ∈ I (a, b) với x1 < x2 Khi ñó với dãy số tăng dần α1 , α , , α n > : α1 + α + + α n = ta có {uk } ( x1 , x1 + x2 x +x ) : x1 = u0 < u1 < u2 < < un < dãy số 2 x +x x +x giảm dần {vk } ( , x2 ) : < < vn−1 < < v1 < v0 = x2 2 thỏa u j + v j = x1 + x2 , " j = 0, , n Ta ñều có f ( u0 ) + f ( v0 ) ≥ f ( u1 ) + f ( v1 ) ≥ f ( u2 ) + f ( v2 ) ≥ ≥ f ( un ) + f ( ) { } Nói cách khác dãy f (u j ) + f (v j ) dãy giảm α1 f ( x1 ) + + α n f ( xn ) ≥ f (α1 x1 + + α n xn ) Nhận xét 2.1 Cho hàm số f ( x) liên tục (a, b) Khi ñó mệnh ñề sau tương ñương i/ f ( x) hàm lồi (a, b) ii/ f ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ , ∀x1 , x2 ∈ (a, b) 2 iii/ Với số nguyên dương n xi ∈ (a, b) , i = 1, ,n ta có f( x1 + x2 + + xn f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) )≤ n n iv/ Với xi ∈ (a, b) , với λi > 0, i =1, , n λ1 + λ2 + + λn = ta có f (λ1 x1 + λ2 x2 + + λn xn ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) + + λn f ( xn ) Footer Page of 133 Header Page of 133 11 12 2.1.3 Một số ñịnh lí Bất ñẳng thức Jensen  a1 ≥ a2 ≥ ≥ an  b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn  a1 + a2 + + ak ≥ b1 + b2 + + bk , ∀k = 1, , n − a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn  Định lí 2.1 Cho hàm số y = f ( x) lồi có ñạo hàm cấp hai khoảng (a, b) Chứng minh với x1 , x2 ∈ (a , b), x1 < x2 với ε (0 ≤ ε ≤ x2 − x1 ), ta có bất ñẳng thức kép sau f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x1 + ε ) + f ( x2 − ε ) x +x  ≥ ≥ f   2   Nhận xét 2.2 Bất ñẳng thức ñã “làm chặt” Bất ñẳng thức 2.2.2 Các tính chất trội Tính chất 2.1 Với số ( a1 , a2 , , an ) a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ta có ( a1 , a2 , , an ) f ( a, a, , a ) Trong ñó a = Jensen hàm lồi Định lí 2.2 Nếu f ( x) hàm lồi x1 , x2 , , xn thuộc miền xác ñịnh n Tính chất 2.2 (Xem [1]) Cho hai số Định lí 2.3 (Xem [9]) Nếu f ( x) hàm lồi a1 , a2 , , an thuộc (n − 1) [ f (b1) + f (b2 ) + + f (bn )] ≤ n [ f (a1) + f (a2 ) + + f (an ) − f (a)] a + a + + an na − Trong ñó a = bi = , i = 1, , n n n −1 2.2 Bất ñẳng thức Karamata Trước phát biểu Bất ñẳng thức Karamata ta phát biểu ñịnh nghĩa tính chất trội sau 2.2.1 Định nghĩa trội Cho hai số a = ( a1 , a2 , , an ) b = ( b1 , b2 , , bn ) Ta nói a trội b ñược kí hiệu a f b chúng thỏa mãn ñiều kiện sau: Footer Page of 133 b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn   a1 + a2 + + ≥ b1 + b2 + + bi , ∀i = 1, , n − a + a + + a = b + b + + b n n   x1 + + xn  n −1  x1 + x2   x + x   x + x  ≥ + + f  n−1 n  + f  n  f    n  n        miền xác ñịnh ( a1, a2 , , an ) ( b1 , b2 , , bn ) thỏa ñiều kiện ∑ f (xi ) − f  i=1 a1 + a2 + + an n ( ) Thì a1* , a2* , , an* f ( b1 , b2 , , bn ) ( ) Trong ñó a1* , a2* , , an* số nhận ñược từ số ( a1 , a2 , , an ) cách xếp a1 , a2 , , an theo thứ tự giảm dần Tính chất 2.3 (Xem [3]) Nếu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an > , b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn > cho a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn bi ≥ , ∀i < j a j bj ( a1 , a2 , , an ) f ( b1 , b2 , , bn ) 2.2.3 Một số ñịnh lí Bất ñẳng thức Karamata Header Page of 133 13 14 Định lí 2.4 (Xem [3]) (Bất ñẳng thức Karamata) Cho hai dãy số  x+ y+z  x+ y  y+z  x+z f (x) + f ( y) + f ( z) + f  ≥2f  +2f  +2f           { xk , yk ∈ I (a, b), k = 1, , n} thỏa mãn ñiều kiện:  x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn   x1 + x2 + + xi ≥ y1 + y2 + + yi ,  x + x + + x = y + y + + y n n  Nhận xét 2.4 Định lí mở rộng thật kết ∀i = 1, , n − Khi ñó với hàm lồi f ( x) I (a, b) ta ñều có f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + + f ( yn ) Nhận xét 2.3 quen biết (Bất ñẳng thức Jensen) hàm lồi Thật theo Bất ñẳng thức Jensen x+ y f ( x) + f ( y ) + f ( z ) ≥ f  +    x+ y+z  x+ y f  ≤ f  +      y+z f +    y+z f +    z+x f    z+x f    i/ Nếu f ( x) hàm lõm ( a1 , a2 , , an ) f ( b1 , b2 , , bn ) ta Ta cộng hai bất ñẳng thức ngược chiều Do Bất ñược bất ñẳng thức ngược chiều sau ñẳng thức Jensen chứng minh ñược Bất ñẳng thức f (a1 ) + f ( a2 ) + + f (an ) ≤ f (b1 ) + f (b2 ) + + f (bn ) ii/ Trong Định lí 2.4 biết f ' ( x) ≥ (a, b) ñiều kiện x1 + + xn = y1 + + yn ñược thay x1 + + xn ≥ y1 + + yn iii/ Giả sử a1 ≥ a2 ≥ ≥ an Lúc ñó ( a1 , a2 , , an ) f ( a, a, , a ) , ñó a = a1 + a2 + + an Nếu f ( x) hàm lồi, dựa vào Bất n ñẳng thức Karamata ta ñược  a + + an  f (a1) + + f (an ) ≥ nf   n   Hệ Cho f ( x) hàm lồi I (a, b) , ∀x, y, z ∈ I (a, b) , ≤ α ≤ ta có bất ñẳng thức  x + y + z   α    x + y   y + z   x + z  f (x) + f ( y) + f (z) +α f   ≥ 1+   f  + f  + f              Định lí 2.6 (Xem [5]) (Bất ñẳng thức A.Lupas) Cho f ( x) hàm lồi I (a, b) Với số dương p, q, r > ∀x, y, z ∈ I (a, b) ta có bất ñẳng thức (Bất ñẳng thức Jensen) Do ñó Bất ñẳng thức Jensen trường hợp ñặc biệt Bất ñẳng thức Karamata Định lí 2.5 (Xem [5]) (Bất ñẳng thức T.Popoviciu) Cho f ( x) hàm lồi I (a, b) , ∀x, y, z ∈ I (a, b) ta ñều có bất ñẳng thức Footer Page of 133 T.Popoviciu  px + qy + rz  pf ( x) + qf ( y) + rf ( z ) + ( p + q + r ) f  ≥  p+q+r   px + qy   qy + rz   rz + px  ≥ ( p + q) f   + (q + r ) f   + (r + p) f    p+q   q+r   r+ p  Header Page of 133 Nhận xét 2.5 Với 15 16 p = q = r = Bất ñẳng thức A.Lupas trở Thì ta nói cặp tam giác A1B1C1 A2 B2C2 cặp ñược thứ tự thành Bất ñẳng thức T.Popoviciu tam giác A1B1C1 gần ñều tam giác A2 B2C2 Định lí 2.7 (Xem [6]) Nếu f ( x) hàm lồi a1 , a2 , , an thuộc Nhận xét 2.7 Tam giác ñều gần ñều tam giác khác miền xác ñịnh Nhận xét 2.8 Trong tam giác không nhọn tam giác vuông cân f (a1 ) + + f (an ) + n(n − 2) f (a ) ≥ (n − 1) [ f (b1 ) + + f (bn )] Trong ñó a = a1 + a2 + + an na − bi = , i = 1, , n n n −1 Định lí 2.8 (Xem [6]) Nếu f ( x) hàm lồi a1 , a2 , , an thuộc miền xác ñịnh  a + + an (n − 2) [ f (a1 ) + + f (an ) ] + nf  n   + a j   ≥2 ∑ f    1≤i ≤ j ≤ n   Nhận xét 2.6 Khi n = ta thu ñược kết Bất ñẳng thức T.Popoviciu 2.2.4 Độ gần ñều thứ tự ñược dãy tam giác Định nghĩa 2.1 - Cho tam giác ABC tức A, B, C ba góc tam giác ABC A, B, C có ñơn vị rañian gần ñều Định lí 2.9 Cho tam giác A2 B2C2 gần ñều tam giác A1B1C1 cho hàm số f ( x) có f '' ( x) ≥ với x ∈ (0, π ) Khi ñó f ( A1 ) + f ( B1 ) + f (C1 ) ≥ f ( A2 ) + f ( B2 ) + f (C2 ) Tương tự f '' ( x) ≤ f ( A1) + f (B1) + f (C1) ≤ f ( A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ) 2.3 Một số áp dụng Bất ñẳng thức Jensen Karamata Sau ñây dùng Bất ñẳng thức Jensen ñể chứng minh số bất ñẳng thức kinh ñiển như: Bất ñẳng thức AM - GM, Cauchy, Bernoully, Bunhiakopski, Holder, Các bất ñẳng thức quan trọng sở ñể chứng minh nhiều bất ñẳng thức khác ñó bất ñẳng thức hay gặp (dưới dạng tường minh - Với tam giác ABC kí hiệu δ∆ABC = max{ A, B, C} − min{ A, B, C} không tường minh) Ta xét toán sau: gọi δ ∆ABC ñộ gần ñều tam giác ABC Chứng minh ∀x > 0, α > ta có xα + α − ≥ α x Định nghĩa 2.2 (Xem [3]) Với cặp tam giác A1B1C1 A2 B2C2 thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện: max{A1, B1, C1} ≤ max{A2 , B2 , C2} min{A1, B1, C1} ≥ min{A2 , B2 , C2} Footer Page of 133 Bài toán 2.1 (Bất ñẳng thức Bernoully) Bài toán 2.2 (Bất ñẳng thức AM - GM) Cho n số thực không âm x1 , x2 , , xn Chứng minh x1 + + xn n ≥ x1 xn n Header Page of 133 17 18 Bài toán 2.3 (Xem [2]) (Bất ñẳng thức Cauchy) Chương Cho 2n số thực a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Chứng minh ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VỀ HÀM LỒI (a12 + a2 + + an )(b12 + b22 + + bn ) ≥ (a1b1 + a2b2 + + an bn )2 Bài toán 2.4 (Xem [2]) (Bất ñẳng thức Minkowski) VỀ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP Cho hai dãy số không âm a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Chứng minh n ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN a1a2 an + n b1b2 bn ≤ n (a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) Sau ñây ta xét số toán áp dụng liên quan ñến Bất ñẳng thức 3.1 Các toán tính chất hàm lồi bất ñẳng thức Jensen 3.1.1 Chứng minh bất ñẳng thức lượng giác dạng ñối xứng Tính chất hàm lồi ñược vận dụng có hiệu ñể chứng minh Karamata bất ñẳng thức lượng giác, ñặc biệt bất ñẳng thức lượng giác Bài toán 2.5 Chứng minh với tam giác ABC không nhọn dạng ñối xứng tam giác Việc chứng minh bất ñẳng thức ta có tam giác chiếm tỉ lệ không nhỏ toán lượng a/ tan A B C + tan + tan ≥ 2 − 2 b/ sinA + sinB + sinC ≤ + giác trường phổ thông Dĩ nhiên việc sử dụng kiến thức lượng giác ñể chứng minh bất ñẳng thức sử dụng Bài toán 2.6 (Xem [1]) Xét n số dương a1 , a2 , , an thỏa mãn nhiều phương pháp khác, số ñó ñến ñiều kiện a1.a2 an = Chứng minh phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi Bất ñẳng thức Jensen Sau a1n−1 + a2n−1 + + ann−1 1 1  + n( n − 2) ≥ (n − 1)  + + +  an   a1 a2 Nhận xét 2.9 Với n = a1 = 2 Bài toán 2.7 6 x y z , a2 = , a3 = ta có bất ñẳng yz zx xy 3 3 3 Giả sử a, b, c, d số dương thỏa mãn ab + bc + cd + da = Chứng minh c  d   a  b  1 + 1 + 1 +  +  ≥ (a + b + c + d ) b c d a      Footer Page of 133 sử dụng tính chất hàm lồi Bất ñẳng thức Jensen ñể chứng minh hiệu thức quen biết x + y + z + 3( xyz) ≥ 2( y z + z x + x y ) ñây số toán bất ñẳng thức lượng giác tam giác mà Bài toán 3.1 Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh tan6 A B C + tan + tan6 ≥ 2 Bài toán 3.2 Cho n số nguyên dương a/ Giả sử ≤ α i ≤ π , ∀i = 1, ,n Chứng minh sin α1 + sin α + + sin α n α + α + + α n ≤ sin n n Header Page 10 of 133 b/ Giả sử − π ≤ αi ≤ 20 19 π cosα1 + cosα + + cosα n α + α + + α n ≤ cos n n c/ Giả sử < α i < π 1 + + + ≥ cos x1 cos x2 cos xn , ∀i = 1, ,n Chứng minh c/ Cho < xi < π , ∀i = 1, ,n Chứng minh , ∀i = 1, ,n Chứng minh sin x1 tan α1 + tan α + + tan α n α + α + + α n ≥ tan n n n x1 + x2 + + xn cos n + sin x2 + + sin xn ≥ n x1 + x2 + + xn sin n Nhận xét 3.2 Từ bất ñẳng thức ta suy loạt bất ñẳng Nhận xét 3.1 Từ bất ñẳng thức ta suy loạt bất ñẳng thức sau ñây tam giác Trong tam giác ABC (A, B, C thức sau ñây tam giác Trong tam giác ABC (A, B, C ba góc) ta có ba góc) ta có a/ a/ sin A + sin B + sinC ≤ c/ cos 3 b/ sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 c/ A B C 3 A B C + cos + cos ≤ d/ tan + tan + tan ≥ 2 2 2 e/ cosA + cosB + cosC ≤ f/ tan A + tan B + tanC ≥ 3 (ñối với câu e, f ABC tam giác nhọn) e/ 1 1 1 + + ≥ b/ + + ≥ ( ∆ABC nhọn) sin A sin B sinC cosA cosB cosC A sin + sin A 1 + + + ≥ sin x1 sin x2 sin xn b/ Cho − π < xi < π Footer Page 10 of 133 n x1 + x2 + + xn sin n + sin B C sin + ≥ d/ sin C ≥ f/ A cos + sin A B cos + + sin B C cos + ≥2 sin C ≥ 12 Bài toán 3.4 Chứng minh tam giác ABC ta có sin A B C A B C + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 2 2 2 Nhận xét 3.3 Nhờ phương pháp hàm lồi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức ñã cho Trong ta có hai bất ñẳng thức ngược chiều sau: tan , ∀i = 1, , n Chứng minh B sin + Bài toán 3.3 a/ Cho < xi < π , ∀i = 1, ,n Chứng minh A B C A B C + tan + tan ≥ sin + sin + sin ≤ 2 2 2 Ta phép cộng hai bất ñẳng thức ngược chiều Header Page 11 of 133 21 22 Bài toán 3.5 (Xem [7]) Cho A, B, C ba góc tam giác nhọn Nhận xét 3.4 Từ Bài toán 3.23 với việc chọn hàm f ( x) giá ∆ABC Chứng minh trị r1 , r2 thích hợp ta ñược toán bất ñẳng thức quan trọng, ( sin A) sin A ( sin B ) sin B ( sinC ) sinC  2 ≥   3 3 3.1.2 Chứng minh bất ñẳng thức ñại số Chứng minh bất ñẳng thức nói chung bất ñẳng thức ñại số nói riêng phần quan trọng giáo trình dạy học môn toán chẳng hạn ta xét Bài toán 3.8 3.9 Bài toán 3.8 Cho a, b số thực tùy ý Chứng minh 2 2  4a + b   4b + a   2a + b   2b + a  a+b a/  +  ≥  +  ≥ 2            2 2 trường phổ thông Có nhiều phương pháp ñể chứng minh bất ñẳng  a + 2b   2a + b   2a + 3b   2b + 3a  a+b b/   +  ≥  +  ≥ 2            thức ñại số phần trình bày cách sử dụng Bất ñẳng Bài toán 3.9 Cho a, b số dương tùy ý Chứng minh bất ñẳng thức Jensen ñể chứng minh bất ñẳng thức ñại số Tất nhiên ñó     thức sau  + +  ≥ 3 ≥ a + 4b  a + 2b  a+b  4a + b  2a + b bất ñẳng thức mà dùng Bất ñẳng thức Jensen ñể chứng minh Bài toán 3.10 Giả sử a1 , a2 , , an ≥ Chứng minh hiệu Bài toán 3.6 Cho a, b, c, > Chứng minh a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài toán 3.7 (Xem [2]) Cho hàm số y = f ( x) hàm lồi (a, b) 1 n + + + ≥ n + a1 + a2 + an + a1a2 an Nhận xét 3.5 số toán chứng minh bất ñẳng thức ñại số gồm ba biến, dựa vào ñiều kiện toán chuyển Giả sử x1 , x2 ∈ (a , b) Với x1 < x2 hai số cho trước Đặt bất ñẳng thức ñại số bất ñẳng thức lượng giác quen thuộc εr = r(x2 − x1) , < r < Xét hàm số F (r) = f ( x1 + ε r ) + f ( x2 − ε r ) cách ñặt ẩn phụ Chẳng hạn, xét Bài toán 3.11 3.12 Chứng minh a/ Nếu r1 , r2 ∈ (0, ], r1 ≤ r2 F (r1 ) ≥ F (r2 ) b/ Nếu r1 , r2 ∈ [ , 1), r1 ≤ r2 F (r1 ) ≤ F (r2 ) Bài toán 3.11 Cho < x, y, z < thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh 1− x + y 1− y + z 1− z ≥ 3 Bài toán 3.12 Cho < x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh Footer Page 11 of 133 x 1+ x + 1+ y + 1+ z ≤ Header Page 12 of 133 23 24 3.2 Các toán áp dụng tính chất hàm lồi bất ñẳng thức f ( x0 ) ' f ( x0 ) Karamata 3.2.1 Chứng minh bất ñẳng thức lượng giác dạng không ñối xứng Nói ñến bất ñẳng thức lượng giác tam giác thường gặp bất ñẳng thức dạng ñối xứng ñối với giá trị lượng giác tam giác Sau ñây số toán bất ñẳng thức lượng giác tam giác không ñối xứng Trong phần ta sử dụng kí f ( y0 ) + ' f ( y0 ) x = x , y = y , z = z f ' (z0 ) Bài toán 3.14 Cho α , β , γ > ∆ABC ∈ P (∆ ) Tìm giá trị lớn M = α sinA + β sinB + γ sinC nhỏ ñẳng thức Để giải Bài toán 3.14 trước tiên ta chứng minh Bổ ñề sau Bổ ñề 3.2 (Xem [4]) Cho hàm số f (t ) có f ' (t) > 0, f '' (t) ≤ 0, ∀t ∈ Khi ñó với x, y, z, x0 , y0 , z0 ∈ hiệu sau : M (∆ ) tập hợp tất ∆ABC kể tam giác suy biến, tức ñẳng thức M = A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ A + B + C = π Ta gọi tam giác thuộc f ( x0 ) M (∆ ) tam giác suy rộng ' N (∆ ) tập hợp tất ∆ABC thỏa ≤ A, B, C ≤ π f ( x0 ) + f (x) ' f (x0 ) f ( y0 ) ' f ( y) + f ( y0 ) ' f ( y0 ) + f (z0 ) + f ' (z0 ) thỏa mãn x + y + z = x0 + y0 + z0 f (z) f ' (z0 ) ñạt ñược giá trị lớn x = x0 , y = y0 , z = z Bài toán 3.15 Cho α , β , γ > tam giác ABC ∈ N (∆ ) Tìm giá trị lớn nhỏ ñẳng thức A+ B+C =π P (∆ ) tập hợp tất ∆ABC thỏa ≤ A, B, C ≤ π A + B + C = π A = π , B = C = trị nhỏ ñẳng thức M = α ta nA + β tan B + γ tan C Để giải Bài toán 3.13 trước tiên ta chứng minh bổ ñề sau Bổ ñề 3.1 (Xem [4]) Cho hàm số f (t ) có f ' (t) > 0, f '' (t) ≥ 0, ∀t ∈ Khi ñó với x, y, z, x0, y0, z0 ∈ thỏa mãn x + y + z = x + y + z f (x) f ' (x0 ) Footer Page 12 of 133 + f ( y) f ' ( y0 ) + f ( z) f ' ( z0 ) M = α cosA + β cosB + γ cosC Để giải toán 3.15 trước tiên ta chứng minh hai Bổ ñề sau: Bổ ñề 3.3 (Xem [4]) Cho hàm số f (t ) có f ' (t ) < 0, f '' (t ) ≤ 0, ∀t ∈ Bài toán 3.13 Cho < α , β , γ < tam giác nhọn ABC Tìm giá ñẳng thức M = f (z0 ) + ñạt ñược giá trị nhỏ Khi ñó với x, y, z, x0 , y0 , z0 ∈ ñẳng thức f ( x0 ) ' f ( x0 ) M= + f ( x) ' f ( x0 ) f ( y0 ) ' f ( y0 ) + + f ( y) ' f ( y0 ) f (z0 ) f ' (z0 ) thỏa mãn x + y + z = x0 + y0 + z0 + f ( z) f ' (z0 ) ñạt ñược giá trị nhỏ x = x0 , y = y0 , z = z Bổ ñề 3.4 (Xem [4]) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z Khi ñó với tam giác ABC ta có Header Page 13 of 133 25 26 x cos A + y cos B + z cos C ≥ x cos A0 + y cos B0 + z cos C KẾT LUẬN Trong ñó A0 = max { A, B, C} , C = { A, B, C} Bài toán 3.16 (Xem [4]) Cho ∆ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= 2+ A B 2− C tan + tan + tan 2 2 2 Bài toán 3.17 Cho ∆ABC ∈ P (∆ ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M = 2sinA + 2sinB + ( + 2)sinC Bài toán 3.18 Cho tam giác ABC ∈ N (∆ ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M = 2cosA + Qua thời gian nghiên cứu, luận văn ñược trình bày có hệ thống kiến thức hàm lồi, bất ñẳng thức hàm lồi toán bất ñẳng thức quen thuộc chương trình toán phổ thông, ñó quan tâm ñến ứng dụng Bất ñẳng thức Jensen Bất ñẳng thức Karamata Luận văn ñã ñược hoàn thành ñạt ñược kết cuả luận văn “Hàm lồi số bất ñẳng thức” Trong chương tác giả trình bày kiến thức hàm lồi Trong chương tác giả trình bày Bất ñẳng thức Jensen ứng dụng ñể chứng minh số bất ñẳng thức thông dụng như: Bất cosB + ( − 2)cosC 3.2.2 Chứng minh bất ñẳng thức ñại số Bài toán 3.19 (Xem [6]) Cho a1 , a2 , , an > Chứng minh ñẳng thức Cauchy, Bunhiakopski, Holder, Sau ñó trình bày Bất ñẳng thức Karamata, số ñịnh lí, ñộ gần ñều tam giác ứng dụng ñể chứng minh số toán liên quan Trong chương tác giả trình bày có hệ thống toán bất ñẳng thức lượng giác tam giác, bất ñẳng thức ñại số sơ cấp  a  a   a  (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) ≤ 1 +  +  1 + n   a  a3   a1    thông dụng chương trình toán học phổ thông, tác giả dùng kiến Nhận xét 3.6 Trong Bài toán 3.19 việc chọn hàm f ( x) tạo thức liên quan ñến tính chất hàm lồi, Bất ñẳng thức Jensen Bất toán khác nhau, chẳng hạn f ( x) = + e x ta có + a1 + + a2 + + + an ≤ + a2 a12 a2 + + + + + n a2 a3 a1 Bài toán 3.20 Cho a1 , a2 , , an > Chứng minh a13 a3 a3 + + + n ≥ a12 + a22 + + an2 a2 a3 a1 Footer Page 13 of 133 ñẳng thức Karamata ñể chứng minh Mặc dù trình làm luận văn, tác giả ñã có nhiều cố gắng viết hết tất ý tưởng liên quan ñến nội dung luận văn Đặc biệt số toán tổng quát, ñịnh lí chưa ñưa ñược nhiều toán cụ thể thông dụng ñược Hy vọng thời gian tới tác giả giải vấn ñề trọn vẹn Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc dạy học trường phổ thông, tương lai