Ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học PH¹M QUANG NGäC øNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức số kiến thức liên quan 1.1 Ma trận, tính chất phép tốn 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Tính chất phép toán 1.2 Định thức ma trận vuông 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Định lý 1(Laplace) 1.2.3 Đa thức đặc trưng, giá trị riêng véc tơ riêng 1.3 Ma trận đối xứng dạng toàn phương 1.3.1 Ma trận đối xứng tính chất 1.3.2 Dạng toàn phương 12 Ứng dụng lý thuyết định thức ma trận vào lớp toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 15 2.1 Chứng minh đẳng thức 15 2.1.1 Đẳng thức Bine - Cauchy dạng định thức 15 2.1.2 Chứng minh đẳng thức cách tính định thức 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| |B| 21 2.1.4 Áp dụng phương trình ma trận 26 2.1.5 Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng 27 2.2 Chứng minh bất đẳng thức 28 2.2.1 Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) 28 2.2.2 Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) 29 2.2.3 Áp dụng định lý định lý 31 2.2.4 Áp dụng định lý Schur 32 2.2.5 Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| 34 2.2.6 Áp dụng bất đẳng thức Adamar 35 2.3 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải 36 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung lý thuyết định thức ma trận nói riêng kiến thức tốn học Nó sở để nghiên cứu lý thuyết khác tốn học hình học cao cấp, giải tích, tốn kinh tế v.v Ngồi cịn có ứng dụng việc nghiên cứu số nghành khoa học vật lý, lý thuyết, hóa học số nghành kỹ thuật khác Hiện toán đẳng thức bất đẳng thức ta thường gặp nhiều giáo trình, kỳ thi học sinh giỏi có nhiều phương pháp giải hay độc đáo Trong phạm vi đề tài chúng tơi mạnh dạn trình bày phương pháp tiếp cận khác phương pháp giải dựa lý thuyết ma trận định thức Bố cục luận văn sau luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm có hai chương: Chương 1: Lý thuyết ma trận, định thức số kiến thức có liên quan Chương 2: Ứng dụng lý thuyết ma trận định thức vào lớp toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, tác giả nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Nơng Quốc Chinh Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người quan tâm, hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến qúy báu suốt q trình hồn thành luận văn tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể thầy giáo khoa Tốn ĐHKH - ĐH Thái Nguyên dạy dỗ, giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè giúp đỡ nguồn động viên tinh thần lớn suốt q trình học tập hồn thành luận văn Kết đạt luận văn nhiều khiêm tốn hẳn tránh khỏi thiếu sót Do vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Học viên Phạm Quang Ngọc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức số kiến thức liên quan 1.1 Ma trận, tính chất phép toán 1.1.1 Các định nghĩa Ma trận A cấp m × n bảng m hàng ( hay dòng ), n cột viết cố định sau:  A = (ai j )m×n a11 a12 a1n    a21 a22 a2n =    am1 am2 amn         ( với i = 1,2, ,m; j =1,2, n ; aij ∈ R aij ∈ C) Nếu m = n ta nói A ma trận vng cấp n, kí hiệu A = (aij )n Ma trận At = (aji )n×m thu từ ma trận A = (aij )m×n cách chuyển dịng thành cột, cột thành dòng gọi ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng aij = aji , ∀i, j = 1, n Ma trận vuông A gọi ma trận phản đối xứng aij = −aji , ∀i, j = 1, n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma trận vuông A gọi ma trận đơn vị phần tử nằm đường chéo 1, phần tử cịn lại ta kí hiệu In 1.1.2 Tính chất phép toán i) Phép nhân ma trận với số Tích ma trận A với số k ma trận B = k.A xác định sau:  B = (bi j )m×n ka11 ka12 ka1n       ka21 ka22 ka2n    =      kam1 kam2 kamn ii) Phép cộng ma trận Tổng hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n ma trận C = (cij )m×n với cij = aij + bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n      a + b11 b b1n a a1n   11   11  11       a21 a2n   b21 b2n   a21 + b21 = +                 am1 + bm1 bm1 bmn am1 amn a1n + b1n    a2n + b2n      amn + bmn Hiển nhiên ta thấy phép cộng hai ma trận có tính giao hốn kết hợp Tính giao hốn: A + B = B + A Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C iii) Phép nhân ma trận Tích hai ma trận A = (aik )m×n B = (bkj )n×p ma trận C = (cij )m×p định nghĩa sau: n C = A.B = aik bkj k=1 m×p Ta ý phép nhân ma trận A với ma trận B thực số cột ma trận A số dòng ma trận B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép nhân ma trận nói chung khơng có tính chất giao hốn Tức A.B = B.A Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C = A.(B.C) Ma trận vuôngA = (aij )n gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận vuông B = (bij )n cho A.B = B.A = In Ma trận vuông A gọi ma trận trực giao A.At = In Nhận xét : Ta thấy tập hợp ma trận vuông cấp n với phép cộng nhân ma trận lập thành vành khơng giao hốn với phần tử không ma trận O phần tử đơn vị ma trận đơn vị In Hơn thêm vào phép nhân vơ hướng, tạo thành đại số trường K Kí hiệu tập ma trận vuông cấp n M at(n, K), K trường R C 1.2 1.2.1 Định thức ma trận vng Các định nghĩa tính chất Định thức ma trận vuông A = (aij )n số kí hiệu det(A) |A| xác định sau: a11 a1n a21 a22 a2n det (A) = a12 = sgn (σ)aσ(1)1 aσ(n)n σ∈Sn am1 am2 amn Từ định nghĩa ta có số tính chất kết sau: a) Nếu cột(một hàng) định thức có nhân tử chung ta đưa nhân tử chung ngồi Ví dụ: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a11 pa1i + qb1i a21 pa2i + qb2i a2n a11 =p a1i a21 a2i a2n a11 +q a1n a21 b2i a2n b) Đổi chỗ hai cột định thức định thức khơng đổi dấu c) Định thức có cột 0, định thức có hai cột nhau, định thức có cột tổ hợp tuyến tính cột cịn lại d) Nếu cộng thêm vào cột tổ hợp tuyến tính cột cịn lại định thức không thay đổi e) det (In ) = f) det (A.B) = det (A) det (B) g) Ma trận A khả nghịch (không suy biến ) det (A) = h) det (A) = det (At ) 1.2.2 Định lý 1(Laplace) Cho A = (aij )n với số nguyên q < n, i1 < < iq n, j1 < < j j n Gọi ∆i1 iqq (A) định thức ma trận cấp q tạo phần tử giao jq j j dòng i1 , , iq , với cột j1 , , jq Còn ∆i1 iqq (A) định thức ma trận lại từ A sau xóa dịng i1 , , iq , cột j1 , , jq nhân với (−1)i1 + +iq +j1 + +jq j j j j 1 gọi định thức bù ∆i1 iqq (A) Ta gọi ( ∆i1 iqq (A) phần bù đại số j j ∆i1 iqq (A)) Giả sử chọn q dòng ( tương ứng, q cột ) định thức cấp n(1 q < n) Khi đó, định thức cho tổng tất định thức cấp q lấy từ q dòng ( tương ứng, q cột ) chọn với phần bù đại số chúng Nói cách khác ta có : (i) Cơng thức khai triển định thức ma trận A theo q dòng i1 , , iq : j j j j 1 (−1)i1 + +iq +j1 + +jq ∆i1 iqq (A) ∆i1 iqq (A) det A = j1 < 0 , = 14 > http://www.lrc-tnu.edu.vn Các định thức cấp A : −1 1 −1 = −1 −1 −3 14 = (−1) −1 −1 −1 −3 14 −1 = > Theo định lý Sylvestrer dạng tồn phương xác định dương,suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 11 Chứng minh với − Giải: Xét dạng toàn phương Q (a, b, c) = 2a2 + b2 + 3c2 + 2α ab + 2ac ta có định thức : α A= α 1 Ta có : Các định thức cấp A : 2, 1, > Các định thức cấp A : α = − α2 > − α = > 0, 0 Xét định thức cấp : α A= α =1 α 1 +3 α = −1 + − α2 = − 3α2 > α 1 Vậy theo định lý Sylvester ta có Q(a, b, c) xác định dương, suy bất đẳng thức cần chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.3 Áp dụng định lý định lý Ví dụ 12 Cho ma trận  −1   −1   A =    0  0          −1 −1   −1 −1 cấp (n − 1) a) Chứng minh : n−1 |λI − A| = λ − − cos k=1 2kπ 2n − b) Chứng minh : Nếu x1 = 0, xi thực n−1 (xi − xi+1 ) π sin (2n − 1) n i=1 x2 i i=2 Giải : Ta có : λ−2 λ−2 λ−2 λ−2 |λI − A| = λ−2 = ∆n−1 = (λ − 2)∆n−2 − ∆n−3 Thực phép truy hồi ta có: |λI − A| = ∆n−1 = (λ − 2)n−1 − Vì ma trận A xác định dương, nên giá trị riêng chúng thực dương Ta dễ dàng chứng minh được: n−1 |λI − A| = (λ − − cos k=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 2kπ ) 2n − http://www.lrc-tnu.edu.vn b)Áp dụng chứng minh: n−1 (xi − xi+1 ) i=1 π sin 2(2n − 1) n x2 i i=2 Ta nhận thấy vế trái bất đẳng thức dạng tồn phương(x,Ax) có ma trận A Ta đưa dạng toàn phương dạng tắc có: n−1 n 2 λi yi (do x1 = 0) (xi − xi+1 ) = (x,Ax) = i=1 i=2 (ở y = T −1 x , với T ma trận trực giao đưa ma trận A dạng đường chéo) 2iπ 2iπ iπ Theo ý a : λi = + cos = 2(1 + cos ) = sin2 2n − 2n − 2n − iπ Do i = 2, n nên < 0 i,j=1 n Có thể xem dạng tồn phương biến xi tik Biểu thức bij xi tik xj tjk i,j=1 dương đại lượng xi tik khác ( ma trận ma trận B xác định dương ) i,k x2 nên rõ ràng xi tik = i t2 = ik x2 i x2 t2 = i ik Nhưng vì: i k i xi = Điều xác lập nên tính xác định dương ma trận C = (aij bij ) Ví dụ 13 Cho a1 u2 + 2b1 uv + c1 v > , a2 u2 + 2b2 uv + c2 v > , ∀u, v cho u2 + v = Chứng minh : a1 a2 u2 + 2b1 b2 uv + c1 c2 v > , với ∀u, v cho u2 + v = Giải : Xét hai dạng toàn phương Q1 (u, v) = 2a1 u2 + 2b1 uv + c1 v Q2 (u, v) = 2a2 u2 + 2b2 uv + c2 v Ta thấy Q1 (u, v), Q2 (u, v) dạng tồn phương có ma trận tương ứng là:     a1 b a2 b  , X2 =   X1 =  b1 c b2 c  áp dụng định lý ta có ma trận X =  a1 a2 b b b1 b2 c c   xác định dương Vậy dạng toàn phương Q(u, v) = a1 a2 u + 2b1 b2 uv + c1 c2 v xác định dương Nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.5 Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| Bổ đề 1.( Dạng tích phân bất đẳng thức Holder ) 1 Cho f (x), g(x) > 0; p, q > cho + = tích phân f (x) dV , p q R tồn Khi :   f (x) g (x) dV p  f (x)p dV   R R g (x) dV R 1 q g (x)q dV  R Chứng minh Ta xét đường cong v = u p−1 (p > 1) Rõ ràng diện tích hình chữ nhật OvRu nhỏ tổng diện tích OPu OQv : u u up−1 du1 uv p−1 v1 dv1 + v v Dấu xảy nêu v = up−1 up v q Như vậy, u, v 0, uv + p q Đặt f (x) u= (I) g (x) 0, v = p f (x)p dv g (x)q dv R q R Sau thay vào (I) ta có : f (x)p g (x)q + p f (x)p dv q g (x)q dv f (x) g (x) p p q q g (x) dv f (x) dv R R R R Lấy tích phân vế theo miền R ta bất đẳng thức cần chứng minh Định lý Nếu ma trận A, B xác định dương : |λA + (1 − λ) B| |A|λ |B|1−λ với λ Chứng minh Ta có : +∞ n π2 |λA + (1 − λ) B| +∞ = −∞ e−(x,Ax)−(1−λ)(x,Bx) dx −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn Sử dụng dạng tích phân bất đẳng thức Holder sau đặt : 1 p= , q= Khi : λ 1−λ  +∞ +∞ λ  +∞ +∞ 1−λ n π2  e−(x,Ax) dx.  e−(x,Ax) dx. |λA + (1 − λ) B| −∞ −∞ −∞ −∞ n π2 ⇔ π nλ |λA + (1 − λ) B| |λA| 1 ⇔ |λA + (1 − λ) B| |λA| 2 π n(1−λ) |B| (1−λ) |B| (1−λ) Suy |A|λ |B|λ |λA + (1 − λ) B| xλ y 1−λ với x, y > , Ví dụ 14 Chứng minh : λx + (1 − λ)y λ Giải : Áp dụng định lý với ma trận vuông xác định dương cấp :X = (x),Y = (y) ta xλ y 1−λ (Bất đẳng thức cần chứng minh) có:|λx + (1 − λ)y| 2.2.6 Áp dụng bất đẳng thức Adamar Bổ đề 2.Nếu ma trận A xác định dương |A| +∞ e−(x,Ax) dx = Chứng minh Xét đẳng thức a11 a22 ann +∞ −∞ −∞ n π2 |A| , với n=3 Thay xi −xi cộng lại ta có : +∞ π2 |A| = +∞ −∞ 2 với z > nên +∞ +∞ +∞ −(a22 x2 +2a23 x2 x3 +a33 x2 ) e |A| −∞ dx1 dx2 dx3 −∞ (ở z = e−2a13 x1 x2 −2a12 x1 x2 ).Vì z + z −1 π2 z + z −1 2 e−(a22 x2 za23 x2 x3 +a33 x3 ) × dx2 dx3 −∞ −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 e −a11 x2 dx1 = π π2 |A| |a11 | http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 (ở A = (aij ) , i, j = 2, ).Do |a11 | |A| |A| Từ suy kết cho n = Cách chứng minh cho n tùy ý tương tự Định lý 10.(Bất đẳng thức Adamar) Giả sử B ma trận không suy biến Khi : n n |B|2 b2 ik i=1 k=1 Chứng minh Ta cần áp dụng bổ đề cho ma trận xác định dương A = B.B t ( theo định lý ) Ví dụ 15 Cho a, b, c, d số thực khác đôi Chứng minh : (b − a)2 (c − a)2 (d − a)2 (c − b)2 (d − b)2 (d − c)2 a2 + b + c + d a4 + b4 + c4 + d4 a6 + b6 + c6 + d6 Giải : Ta thấy vế trái định thức Vandermond cấp bình phương với |A| = 1 a b c d a2 b c d a3 b c d áp dụng định lý 10 ta có bất đẳng thức cần chứng minh 2.3 Bài1 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải  Áp dụng ma trận A =  a2 + a2 a1 a2 −a2 a1   chứng minh đẳng thức : b2 + b2 = (a1 b1 − a2 b2 )2 + (a2 b1 + a1 b2 )2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài  Áp dụng ma trận A =  a2 + b + c + d a1 + ia3 a2 + ia4 −a2 + ia4 a1 − ia3   chứng minh đẳng thức : x2 + y + z + t2 = (ax + by + cz + dt)2 + (ay − bx + ct − dz)2 + (az − bt − cz + dy)2 + (at + bz − cy − dx)2 Bài Chứng minh A ma trận xác định dương, cịn B ma trận đối xứng thì: +∞ +∞ −∞ e n −(x,.)−i(x,Bx) π2 dx = |A + iB| −∞ Hướng dẫn: Để tính tích phân ta làm sau : B1 : Đặt x = Ty ,ở T ma trận trực giao đưa A dạng đường chéo B2 : Thực thêm phép đổi dấu yk = zk λk B3 : Trong đẳng thức nhận dấu tích phân n e − z k−i(z,Cz ) k=1 ta đưa ma trận e dạng chéo phép biến đổi trực giao z = Sw B4 : Tính tích phân nhận Bài Cho x1 v + 2x2 uv + x3 v > y1 v + 2y2 uv + y3 v > với ∀u, v saocho u2 + v = Chứng minh rằng: x1 y1 x3 y3 − (x2 y2 )2 (x1 y1 + x2 y2 )(x2 y2 + x3 y3 ) − (x2 y1 + x3 y2 )(x1 y2 + x2 y3 ) Bài Chứng minh với xi thực x0 = xn+1 = : n (xi − xi+1 )2 sin2 i=0 xi = xn+1 : n (xi − xi+1 ) π 2(n + 1) π sin n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 x2 i i=1 n i=0 n x2 i i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài (Bất đẳng thức Hilbert) Chứng minh rằng: n xi xj