Phương trình hàm và bất phương trình hàm trong đa thức

Header Page of 126 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Nguyn Vn Mu Phn bin 1: PGS TS Nguyn Gia nh Phn bin 2: TS Hong Quang Tuyn Lun s c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip thc s Toỏn hc hp ti i hc Nng vo ngy 29 thỏng nm 2011 Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S Phm, i hc Nng Ttt12345 Footer Page of 126 Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG NGUYN TH QUNH PHNG TRèNH HM V BT PHNG TRèNH HM TRONG A THC Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm 2011 Footer Page of 126 1 Header Page of 126 Mé U Lỵ chồn ã ti a thực l mởt chuyản ã cỡ bÊn cừa Ôi số a thực cõ v trẵ rĐt quan trồng vẳ nõ khổng nhỳng l mởt ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số m cỏn l mởt cổng cử ưc lỹc cừa GiÊi tẵch Lỵ thuyát xĐp x, Lỵ thuyát biu diạn, Lỵ thuyát nởi suy, CĂc kẳ thi hồc sinh giọi toĂn quốc gia v Olimpic toĂn khu vỹc v quốc tá thẳ cĂc bi toĂn vã a thực cụng thữớng ữủc ã cêp án v ữủc xem nhữ nhỳng bi toĂn khõ v rĐt khõ cừa bêc phờ thổng Chúng ta  lm quen vợi nhỳng phữỡng trẳnh Ôi số mởt hay nhiãu bián số GiÊi phữỡng trẳnh hm cụng giống nhữ giÊi phữỡng trẳnh Ôi số l i tẳm ân số, nhiản ân Ơy l mởt hm số Viằc giÊi cĂc bi toĂn ny cƯn nưm vỳng cĂc tẵnh chĐt v cĂc c trững cỡ bÊn cừa a thực Mửc ẵch nghiản cựu Trẳnh hm, bĐt by phữỡng phữỡng trẳnh phĂp hm giÊi m mởt số nghiằm l dÔng a phữỡng thực vợi trẳnh hằ số thỹc ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu Trản cỡ s nghiản cựu tứ cĂc ti liằu, giĂo trẳnh cừa GS - TSKH Nguyạn Vôn Mêu v cĂc sĂch chuyản ã vã a thực, phữỡng trẳnh hm, cĂc bi toĂn nởi suy, cĂc bi bĂo toĂn hồc viát vã a thực Phữỡng phĂp nghiản cựu Nghiản chuyản Footer Page of 126 khÊo, cựu tÔp lỵ luên: chẵ toĂn ồc ti hồc vã liằu, cĂc sĂch bi tham toĂn khÊo, phữỡng sĂch trẳnh Header Page of 126 hm, bĐt phữỡng trẳnh hm ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa ã ti GiÊi mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm cõ ân l a thực ã ti õng gõp thiát thỹc cho viằc dÔy v hồc a thực, phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh trữớng THPT CĐu trúc cừa luên vôn Luên vôn gỗm Chữỡng chữỡng Trẳnh by tõm tưt cĂc khĂi niằm, mởt số nh lỵ dũng chữỡng 2, chữỡng Chữỡng KhÊo sĂt mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm cõ nghiằm l a thực cõ dÔng xĂc nh Chữỡng Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ cỡ bÊn cừa chúng Footer Page of 126 XĂc nh a thực theo cĂc c trững Header Page of 126 CHìèNG A THC V MậT Sẩ TNH CHT Trong chữỡng ny ta nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cõ liản quan án a thực: cĂc nh nghắa, tẵnh chĐt, php tẵnh, nghiằm cừa a thực v mởt số bi toĂn ữủc trẵch dăn 1.1 nh nghắa v cĂc tẵnh chĐt A nh nghắa 1.1 Cho vnh giao hoĂn (trản A) ân số x n bêc cõ ỡn v a thực l tờng hẳnh thực cõ dÔng Pn (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 (an = 0), Trong õ A, i = 1, n gồi l cĂc hằ số, n gồi l bêc cừa an a0 a thực, a thực gồi l hằ số tỹ cừa Pn (x) P (x) = a0 , a0 = Náu P (x) gồi l hằ số bêc cao nhĐt, thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực Náu P (x) = thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực P (x) bơng bơng v gồi P (x) l a thực Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thuởc vnh kỵ hiằu l Khi A[x] A l mởt trữớng thẳ vnh a thực A[x] A ữủc l mởt vnh giao hoĂn cõ ỡn v Ta thữớng xt cĂc vnh a thực Z[x], Q[x], R[x], C[x] Trong luên vôn ny ta thữớng xt cĂc a thực vợi hằ số thuởc vnh R[x] v C[x] nh lỵ 1.1 GiÊ sỷ a thực cừa vnh Footer Page of 126 A A[x] l mởt trữớng, f (x) v g(x) = l hai Khi õ, luổn tỗn tÔi hai a thực Header Page of 126 q(x) nhĐt bêc cừa r(x) v r(x) Náu A[x] thuởc nhọ thua bêc cừa r(x) = ta nõi nh lỵ 1.2 GiÊ sỷ A a nh lỵ 1.3 Số hát cho a thực m (x a)m chia hát cho Khi f (x) g(x) a A, f (x) A[x] cho a thực l nghiằm cừa (xa) a cĐp v m=1 ta gồi f (x) m f (x) cừa xa a l nghiằm kp chẵnh l v ch f (a) f (x) chia f (x) v ch Khi õ f (x) (x a)m+1 chia a l mởt hát l mởt nghiằm ỡn cỏn m=2 n Vẳ m nhữ mởt nghiằm trũng nh lỵ 1.4 Mội a thực hằ số thỹc bêc quĂ thẳ Số nghiằm cừa mởt a thực l tờng số vêy, ngữới ta coi mởt a thực cõ mởt nghiằm cĐp m cho Trong trữớng nghiằm cừa a thực õ k cÊ cừa cĂc nghiằm (náu cõ) a thực cõ Số A l mởt trữớng, a A, f (x) A[x] khổng chia hát cho thẳ ta gồi vợi g(x) l mởt số tỹ nhiản lợn hỡn hoc bơng nghiằm hủp f (x) f (x) = g(x)q(x) + r(x) l mởt trữớng, cừa php chia a thực v cho n N ãu cõ khổng nghiằm thỹc Hằ quÊ 1.1 a thực cõ vổ số nghiằm l a thực khổng Hằ quÊ 1.2 a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng mởt giĂ tr tÔi n+1 Footer Page of 126 n m nhên im thẳ a thực õ l a thực hơng 5 Header Page of 126 Hằ quÊ 1.3 Hai a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng n+1 giĂ tr bơng tÔi n+1 n m nhên giĂ tr khĂc cừa ối số thẳ hai a thực õ bơng nh lỵ 1.5 Mồi a thực f (x) C[x] bêc n cõ úng n nghiằm (tẵnh cÊ cừa nghiằm) nh lỵ 1.6 Mồi a thực an = f (x) R[x] cõ bêc n cõ hằ số dăn Ưu ãu cõ th phƠn tẵch nhĐt thnh nhƠn tỷ m s i=1 vợi (x2 + bk x + ck ) (x di ) f (x) = an k=1 di , bk , ck R, 2s + m = n, b2k 4ck < 0, m, n N nh lỵ 1.7 (nh lỵ Bezout) a thực v ch P (x) chia hát cho cõ Ôo hm trản oÔn x0 (a; b) cho cõ nghiằm x0 x x0 nh lỵ 1.8 (nh lỵ Rolle) Náu hm số [a; b], P (x) [a; b] v f (x) liản tửc trản oÔn f (a) = f (b) thẳ tỗn tÔi im f (x0 ) = 1.2 XĐp x hm số bi a thực Trong số cĂc hm số mởt bián thỹc thẳ a thực ữủc coi l hm số ỡn giÊn nhĐt vã nhiãu phữỡng diằn, nhĐt l vã mt tẵnh toĂn Bi vêy, mởt vĐn ã ữủc quan tƠm nhiãu hỡn cÊ l bi toĂn xĐp x mởt hm số cho trữợc bi mởt a thực, c biằt l tẳm iãu kiằn (cƯn v ừ)  mởt hm số cho trữợc cõ th xĐp x ữủc bi mởt a thực Footer Page of 126 6 Header Page of 126 GiÊ sỷ hm số Pn (x) ( f (x) ữủc xĐp x bi mởt a thực Pn (x) l a thực Ôi số hoc a thực lữủng giĂc hoc l cĂc a thực c biằt khĂc) cừa php xĐp x Gồi R[f, P, n] = |f (x) Pn (x)| Ta cƯn xĂc nh nhọ nhĐt trản mởt oÔn [a; b] P (x) v n cho cho trữợc Khi õ l a thực xĐp x tốt nhĐt cừa f (x) l ở lằch trản oÔn Pn (x) [a; b] R[f, P, n] ữủc gồi õ v ữủc f (x) Pn (x) Náu hm số f (x) khÊ vi (n + 1) lƯn thẳ cõ th sỷ dửng cổng kỵ hiằu l thực khai trin Taylor tÔi x=0 n f (x) = k=0 vợi phƯn l f (k) (0) k x + R(x, n) k! R(x, n) = (xn ) Nhữ vêy n f (x) Pn (x) = k=0 Tuy nhiản lợp cĂc hm khÊ vi bi a thực l quĂ hàp oÔn [a; b] f (k) (0) k x k! (n + 1) lƯn dũng  xĐp x Song ối vợi cĂc hm số liản tửc trản văn cõ cĂc nh lỵ tữỡng tỹ vã xĐp x chúng bi a thực Ta s chừ yáu quan tƠm án hai vĐn ã sau Mởt l xƠy dỹng cĂc a thực xĐp x thổng qua cĂc cổng thực nởi suy v hai l xƠy dỹng cổng thực tẵnh ở lằch sai ối vợi cĂc xĐp x õ 1.3 Php tẵnh trản a thực Bi toĂn 1.1 Xt f : R[x] R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: f (1 P1 + P2 ) = f (P1 ) + f (P2 ), , R, P1 , P2 R[x], (1.1) Footer Page of 126 7 Header Page of 126 f (P1 P2 ) = f (P1 )P2 Chựng minh rơng + P1 C R f (P2 ), P1 , P2 R[x] cho f (P ) = CP GiÊi Vợi f (x) C P R[x] (1.2) ta luổn cõ thẳ theo giÊ thiát cừa bi toĂn ta cõ 1 f (x2 ) = f (x) + f (x) = C, 2 1 f (x3 ) = f (x2 ) + f (x) = C Bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc v sỷ dửng giÊ thiát (1.2) ta dng chựng minh ữủc f (xk ) = Vợi mồi P R[x] k 2k1 C, k N dÔng n ak xk P (x) = k=0 theo iãu kiằn (1.1) cừa bi toĂn ta ữủc: n n n k ak x f (P ) = f kak k=0 k1 õ chẵnh l iãu phÊi chựng minh Footer Page of 126 k=0 k=0 n ak ak f (x ) = = k=0 =C k = CP k 2k1 C Header Page 10 of 126 Chữỡng PHìèNG TRNH HM TRONG A THC 2.1 Mởt số dÔng hm số cƯn tẳm f (x) C DÔng hm số cƯn tẳm 2.1.1 Bi toĂn 2.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f (x) = f x2 + GiÊi Tứ giÊ thiát ta cõ f iãu kiằn Cho Vợi , n f liản tửc trản R thọa mÂn , x R l hm số chđn x1 0, ta xt hai x1 < 12 ta xt trữớng hủp: dÂy số {xn } nh bi xn+1 = x2n + Bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc xn+1 xn = x2n xn + = xn 2 xn < 12 , n > 0, n 1, nản {xn } v l dÂy tông v b chn trản nản cõ giợi hÔn t lim xn = n+ Hỡn nỳa, M f f thẳ = + liản tửc trản f (xn+1 ) = f x2n + R = 12 nản lim f (xn ) = f ( 12 ) n+ = f (xn ), n nản f (x1 ) = Do õ f (x) = f Vợi x1 > Bơng quy , x 0; (2.1) {xn } xĂc nh bi xn = x2n+1 + 14 chựng minh ữủc xn > , n v ta xt dÂy số nÔp ta xn xn+1 = + xn+1 = xn+1 12 > 0, n Nản {xn } l dÂy giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn t lim xn = = + 41 = 12 x2n+1 n+ Hỡn nỳa, Footer Page 10 of 126 f liản tửc trản R nản lim f (xn ) = f ( 12 ) n+ Header Page 11 of 126 M f f (xn+1 ) = f x2n+1 + = f (xn ), n 1, , x > nản f (x1 ) = Do õ f (x) = f Tứ f (x) = f const (2.1) v (2.2), , x R ta (vẳ f suy (2.2) f (x) = f l hm số chđn) , x Vêy hay f (x) = c = , x R 2.1.2 DÔng hm số cƯn tẳm cõ dÔng Bi toĂn 2.3 Tẳm hm số f :RR f (x) = ax + b cho f (30.f (y) + 4x) = 19x + 75y + 2010, x, y R GiÊi Ta chựng f Thêy vêy, xt (2.3) l mởt ỡn Ănh: f (x) = f (y) vợi x, y R Tực l f (30.f (y)+ 4x) = f (30.f (x) + 4x) 19x + 75y + 2010 = 19x + 75x + 2010 x = y Do õ f l mởt ỡn Ănh Cho x = 0, y = ta ữủc f (30.f (0)) = 2010 75y 4.75y Vợi x = ta thu ữủc f 30f (y) = 2010 = 19 19 4.75 f (30f (0)) Vẳ f ỡn Ănh nản 30f (y) y = 30f (0) Hay l 19 4.75 f (y) = f (0) + y 19.30 30f (0) Mt khĂc, cho y = 0, x = ta ữủc 8040 4020 19.30f (0) + 2010 Suy f (0) = = f (0) = 574 287 10 4020 Vêy f (y) = y+ 19 287 4020 10 x+ thọa mÂn yảu cƯu ã Thỷ lÔi ta thĐy f (x) = 19 287 Suy bi Footer Page 11 of 126 10 Header Page 12 of 126 2.1.3 DÔng hm số cƯn tẳm cõ dÔng P (x) P (x) vợi l a thực cõ bêc lợn hỡn hoc bơng Bi toĂn 2.4 Cho thực f (x) P (x) k l số nguyản dữỡng Tẳm tĐt cÊ cĂc a thọa mÂn iãu kiằn (x 2010)k P (x) = (x 2011)k P (x + 1), x R P (x) thọa mÂn iãu thĐy x = 2011 l mởt GiÊi GiÊ sỷ a thực Tứ giÊ thiát ta kiằn bi toĂn nghiằm cừa k k t P (x) = (x 2011) Q(x), x R P (x) vợi bêc lợn hỡn hoc bơng Thay P (x) vo iãu kiằn ã bi ta ữủc (x2010)k (x2011)k Q(x) = (x2011)k (x2010)k Q(x+ 1), x R õ Suy Q(x) = Q(x + 1), x R\{2010, 2011} Q(x) = c = const , x R c(x 2011)k , x P (x) = P (x) = c(x 2011)k Vêy Thỷ lÔi ta thĐy a thực Do R thọa mÂn iãu kiằn ã bi 2.1.4 DÔng hm số cƯn tẳm f (x) = P (x) Q(x) vợi a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng 3, P (x) Q(x) l cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng Bi toĂn 2.5 Cho hm số f liản tửc trản R v thọa mÂn hai iãu kiằn Trong õ, f (2010) = 2009, (2.4) f (x).f4 (x) = 1, x R (2.5) fn (x) = f (f (f (x))), n Footer Page 12 of 126 lƯn f HÂy tẳm f (2008) 11 Header Page 13 of 126 GiÊi t Df = f (R) cho ta biát ữủc Mt khĂc, Do õ f x = 2010 liản tửc trản , x D x nỳa, f liản tửc f3 (x) = Hỡn ta cõ 2009 Df Trong (2.5) lĐy Df x Df thẳ thẳ R Suy 1 hay 2009 2009 D= ; 2009 Df 2009 nản f l ỡn Ănh trản D nản f x0 D Sỷ dửng tẵnh chĐt ỡn iằu giÊm f (x0 ) > Suy f x0 x0 cho f (x0 ) > x0 cừa hm f , ta cõ x0 x0 = x0 (2.7) f (x0 ) > x0 Chựng minh tữỡng tỹ cụng khổng tỗn tÔi Vêy Hin nhiản 2.1.5 f (x) = , x D x rơng 2008 D nản f (2008) = DÔng hm số cƯn tẳm Bi toĂn 2.6 Tẳm hm số (2.6) x0 > f2 (x0 ) hay f (x0 ) < f3 (x0 ) = MƠu thuăn vợi iãu ta giÊ sỷ f (x0 ) < x0 D x0 < f3 Tứ (2.6) v (2.7) ta ữủc D ỡn iằu giÊm trản f2 (x0 ) < f x0 = f3 (x0 ) > f2 x0 Tứ (2.4) f4 (2010) = trản BƠy giớ giÊ sỷ tỗn tÔi xf3 (x) = x0 D cho 2008 f (x) = p.ax+ + q.bx+ f : R R thọa mÂn cÊ hai iãu kiằn sau: Ơy: f (x) ex , x R, Footer Page 13 of 126 (2.8) 12 Header Page 14 of 126 f (x + y) f (x).f (y), x, y R GiÊi khĂc, Ta cõ f (x) ex , x R nản f (x + y) f (x).f (y), x, y R ln f (y), x, y R t h(x) = ln f (x), x R (2.9) ln f (x) x, x R nản Mt ln f (x + y) ln f (x) + Ta cõ h(x) x, x R (2.10) h(x + y) h(x) + h(y), x, y R (2.11) Tứ (2.10) suy h(0) h(0) 2h(0) v tứ (2.11) suy Do õ h(0) = Trong bĐt ng thực (2.10) thay x bi h(x) x, x R x (2.12) ta ữủc (2.13) Tứ (2.10) v (2.13) ta suy h(x) + h(x) 0, x R Thay x bi x (2.14) vo (2.11) ta ữủc = h(0) h(x) + h(x), x R hay h(x) + h(x) 0, x R (2.15) Tứ (2.14) v (2.15) ta suy h(x) + h(x) = 0, x R Tứ (2.10), (2.13) v (2.16) ta suy ữủc (2.16) h(x) = x, x R Hay f (x) = ex , x R Thỷ lÔi ta thĐy bi Footer Page 14 of 126 f (x) = ex , x R thọa mÂn iãu kiằn ã 13 Header Page 15 of 126 2.2 a thực xĂc nh bi php bián ời ối số 2.2.1 Mởt số bi toĂn xĂc nh a thực ỡn giÊn Bi toĂn 2.7 Cho R[x] a, b R+ Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực P (x) thọa mÂn iãu kiằn xP (x a) = (x b)P (x), x R a = 0, b = GiÊi Khi ta ữủc P (x a) = P (x), (2.17) tực l P (x) l a thực hơng a = 0, b = 0, ta xt cĂc trữớng hủp sau: b Náu / N thẳ x = b a, x = b 2a, , x = b na ãu l a nghiằm cừa a thực Vêy P (x) cõ vổ số nghiằm nản P (x) b Náu N thẳ P (x) cõ cĂc nghiằm x = a, x = 2a, , x = a (n 1)a Do vêy Khi P (x) = (x a)(x 2a) ã ã ã (x (n 1)a)Q(x) 2.17) Thay vo ( ta ữủc Q(x) = c = const Q(x a) = Q(x) vợi mồi x R Do õ Vêy trữớng hủp ny, ta thu ữủc P (x) = c(x a)(x 2a) ã ã ã (x (n 1)a), c R 2.2.2 Php bián ời vi phƠn - hm Bi toĂn 2.8 Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực P (x) bêc n thọa mÂn iãu kiằn sau: (1 x2 )[P (x)]2 = n2 [1 P (x)], x R Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 GiÊi GiÊ sỷ P (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 cĂc c trững cừa hm cos t (an = 0) Tứ ta thĐy hai a thực P (x) = cos(n arccos x) thọa mÂn iãu kiằn bi cỏn nghiằm no khĂc nỳa ã n2 bi ta ữủc P (1) Ta chựng minh rơng ngoi khổng x=1 Thêt vêy, thay = Mt khĂc, (1 vo iãu kiằn x2 )(P (x))2 = P (x) hay P (x) n P (x) xP (x) + (1 x2 )P (x) = 0, x R Vẳ a thực P (x) ch cõ th cõ hỳu hÔn nghiằm nản suy n2 P (x) xP (x) + (1 x2 )P (x) So sĂnh cĂc hằ số ng thực trản, ta ữủc an1 = v k(k 2n)ank = (n k + 2)(n k + 1)ank+2 Do vêy, theo cổng thực truy hỗi ta ữủc an1 = an3 = an5 = ã ã ã = CĂc hằ số an M 2.2.3 an2 , an4 , ã ã ã P (1) = ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt theo nản ch cõ hai giĂ tr ựng vợi Phữỡng trẳnh dÔng Bi toĂn tờng quĂt GiÊ sỷ thuởc R[x] P (f )P (g) = P (h) f (x), g(x)  cho thọa mÂn iãu kiằn Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực P (x) thuởc v h(x) l cĂc a thực deg(f ) + deg(g) = deg(h) R[x] cho P (f (x))P (g(x)) = P (h(x)) Footer Page 16 of 126 an (2.18) 15 Header Page 17 of 126 vợi mồi x thuởc R Nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm (2.18) cõ nhiãu tẵnh chĐt c biằt giúp cõ th xƠy dỹng ữủc tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa nõ tứ cĂc nghiằm bêc nhọ Tẵnh chĐt 2.1 Náu nghiằm cừa l nghiằm cừa (2.18) P.Q cụng l P n (x) cụng l thẳ (2.18) Hằ quÊ 2.4 Náu nghiằm cừa P, Q P (x) (2.18) l nghiằm cừa thẳ (2.18) Trong khĂ nhiãu trữớng hủp, hằ quÊ 2.4 cho php mổ tÊ hát cĂc nghiằm cừa (2.18)  lm iãu ny, ta cõ nh lẵ quan trồng sau Ơy: nh lỵ 2.9 Náu iãu kiằn f, g, h l cĂc a thực vợi hằ số thỹc thọa mÂn deg(f ) + deg(g) = deg(h) v thọa mÂn mởt hai iãu kiằn sau: deg(f ) = deg(g) deg(f ) = deg(g) v f + g = 0, cao nhĐt cừa cĂc a thực f v g Khi õ vợi mồi số nguyản dữỡng a thực Footer Page 17 of 126 P (x) cõ bêc n õ f , g l hằ số tữỡng ựng n tỗn tÔi nhiãu nhĐt mởt v thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.18) p dửng nh lỵ 2.9 v hằ quÊ 2.4, ta thĐy rơng náu P0 (x) l mởt a thực bêc nhĐt thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.18) vợi f, g, h 16 Header Page 18 of 126 l cĂc a thực thọa mÂn iãu kiằn cừa nh lỵ 2.9 thẳ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa (2.18) s cõ dÔng: P (x) 0, P (x) 1, P (x) (P0 (x))n 2.2.4 Phữỡng trẳnh dÔng P (f )P (g) = P (h) + Q BƠy giớ xt án phữỡng trẳnh dÔng P (f )P (g) = P (h) + Q õ f, g, h, Q l cĂc a thực  cho, (2.19) deg(f ) + deg(g) = deg(h) Q Vợi phữỡng trẳnh (2.19), náu khổng ỗng nhĐt bơng thẳ ta s khổng cỏn tẵnh chĐt nhữ tẵnh chĐt 2.1 v hằ quÊ 2.4 Vẳ thá, viằc xƠy dỹng nghiằm tr nản khõ khôn hỡn Ơy chẵnh l khĂc biằt cỡ bÊn cừa (2.19) vợi dÔng (2.18) Tuy nhiản, ta cõ th chựng minh ữủc nh lỵ nhĐt nghiằm, ữủc phĂt biu nhữ sau: nh lỵ 2.10 Cho iãu kiằn ngoi f, g, h l cĂc a thực khổng hơng thọa mÂn deg(f ) + deg(g) = deg(h), Q l mởt a thực cho trữợc, deg(f ) = deg(g) hoc deg(f ) = deg(g) Khi õ, vợi mội số nguyản dữỡng nhĐt mởt a thực P n v số thỹc a, f + g = tỗn tÔi nhiãu thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn deg(P ) = n P = a P (f )P (g) = P (h) + Q Footer Page 18 of 126 v 17 Header Page 19 of 126 2.3 mởt số bi toĂn tờng hủp Bi toĂn 2.9 Tẳm mồi a thực P (x) = 0, thọa mÂn iãu kiằn: xP (x 1) = (x 3)P (x), x R GiÊi 2.9 GiÊ sỷ Ta thay P (x) l a thực x = 0, x = 1, x = thọa mÂn iãu nghiằm cừa P (x) Do õ kiằn bi toĂn vo ng thực (2.20) ta ữủc 3P (0) = 0, P (0) = 2P (1), 2P (1) = P (2) P (1) = 0, P (2) = (2.20) P (x) nhên hay P (0) = 0, x = 0; x = 1; x = Theo nh lẵ Bezout thẳ P (x) cõ dÔng l P (x) = x(x 1)(x 2)Q(x) Vợi Q(x) l a thực no õ Tứ õ thay P (x) vo ng thực (2.20) ta ữủc x(x1)(x2)(x3)Q(x1) = (x3)x(x1)(x2)Q(x), x R Q(x 1) = Q(x), x R Hằ thực (2.21) chựng tọ rơng (2.21) Q(x) l hm tuƯn hon Q(x) l a thực m lÔi l hm tuƯn hon, nản suy Q(x) C , vợi C = const Nhữ vêy P (x) = Cx(x 1)(x 2) Thỷ lÔi, ta thĐy P (x) (2.22) xĂc nh bi cổng thực (2.22) thọa mÂn ã bi, õ chẵnh l lợp cĂc a thực cƯn tẳm Náu cho thảm mởt iãu kiằn phử, chng hÔn P (3) = 6, thẳ P (3) = = C.3.2.1 C = Lúc ny ch cõ nhĐt mởt a thực P (x) = x(x1)(x2) tứ cổng thực (2.22) ta cõ thọa mÂn yảu cƯu Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 Chữỡng BT PHìèNG TRNH HM V XC NH A THC THEO CC C TRìNG 3.1 Mởt số dÔng bĐt phữỡng trẳnh hm liản quan án a thực BĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ 3.1.1 Trong phƯn ny ta xt mởt số vẵ dử vã bĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ Dỹa vo mởt số c trững cỡ bÊn cừa hm số, ta khÊo sĂt mởt số bĐt phữỡng trẳnh hm sỡ cĐp thữớng gp cĂc ã thi Olympic toĂn hồc Ơy l cĂc vẵ dử liản quan án viằc xĂc nh lợp hm số cõ dÔng a thực cĂc rng buởc dữợi dÔng hằ bĐt ng thực Vẵ dử 3.1 XĂc nh hm số f (x) thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: f (x + y) f (x).f (y) 2010x+y , x, y R GiÊi Cho x=y=0 ta ữủc f (0) f (0) f (0) [f (0)]2 1 suy hay f (0) = 1 Cho y = x ta ữủc f (x).f (x) hay f (x).f (x) = 2010x Cho y = ta ữủc f (x) 2010x Theo chựng minh trản: 1 = 2010x f (x) 2010x Footer Page 20 of 126 Vẳ thá Do f (x).f (x) = f (x) = 2010x õ f (x) nản f (x) = Ngữủc lÔi, xt 19 Header Page 21 of 126 hm số f (x) = 2010x ta thĐy nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa ã bi Vêy hm số cƯn tẳm l f (x) = 2010x 3.1.2 Mởt số bi toĂn vã bĐt phữỡng trẳnh hm liản quan án a thực Bi toĂn 3.10 XĂc nh hm số f (x) 2010x f : R R thọa mÂn iãu kiằn: v f (x + y) f (x) + f (y), x, y R GiÊi Dạ thĐy hm số f (x) = 2010x (3.1) l mởt hm số thọa mÂn (3.1) t g(x) = f (x) 2010x Thay (3.2) ta ữủc Thay g(x) 0, (3.2) g(x + y) g(x) + g(y), x, y R (3.3) x=y=0 vo (3.3) ta ữủc g(0) = x bi y vo (3.3) ta ữủc theo (3.2) ta cõ g(x) = Do f (x) = 2010x v thay vo (3.1) ta ữủc g(0) 0, g(0) g(x) + g(x), g(x) 0, g(x) 0, x R õ, kát hủp vợi f (x) = 2010x, x R Suy Thỷ lÔi, g(x) = hm số thọa mÂn iãu kiằn bi toĂn Vêy hm số cƯn tẳm l Bi toĂn 3.11 Cho P (x) f (x) = 2010x l a thực cõ hằ số thỹc v thọa mÂn cĂc iãu kiằn: < 2P (xy) P (x)P (y ) + P (x3 )P (y), x, y R Footer Page 21 of 126 (3.4) 20 Header Page 22 of 126 P (2010) > Chựng minh rơng P (2011) > P (x) GiÊi GiÊ sỷ a thực kiằn cừa ã bi (3.5) y Thay vợi hằ số thỹc v thọa mÂn cĂc iãu bi x vo (3.4) ta ữủc < 2P (x2 ) 2P (x)P (x3 ), x R P (x3 ) x Thay x = vo bĐt ng thực (3.4) ta ữủc < 2P (0) Tứ (3.6) suy P (x) (3.6) P (0)P (y ) + P (0)P (y) v dĐu vợi mồi Hay P (0) 2P (0) P (y) P (y ) 0, y R (3.7) Ch cõ mởt khÊ nông sau xÊy ra: Náu P (x) < thẳ > 2P (0) P (y) + P (y ), y R Theo (3.6) thẳ P (y) v P (y ) dĐu vợi mồi (3.8) y, vêy tứ (3.8) suy P (y) < 0, y R (3.9) Tứ (3.9) suy vổ lẵ, vẳ theo (3.5), ta cõ P (2010) > Vêy trữớng hủp ny khổng xÊy Náu P (x) > thẳ < 2P (0) P (y) + P (y ), y R Hỡn nỳa, P (y) v P (y ) dĐu nản P (2011) > P (0) = thẳ P (x) (3.10) P (y) > 0, y R Nõi riảng ta cõ (do Náu P (0) = 0, P (2010) > 0) Footer Page 22 of 126 khổng phÊi l a thực hơng số Mt khĂc theo nh lẵ Bezout suy 21 Header Page 23 of 126 P (x) = xQ(x) số nguyản dữỡng Q(x) vợi n l a thực v a thực G(x) Nhữ vêy ưt phÊi tỗn tÔi cho P (x) = xn G(x) vợi G(0) = Theo trản (xn )3 P (x) cụng dĐu v P (x3 ) x R dĐu nản G(x) v x R, G(x3 ) õ xn v cụng dĐu x R Lúc ny (3.4), (3.5) cõ dÔng < 2x2n G2 (xy) xn G(x)y 3n G(y )+x3n G(x3 )y n G(y), x, y R, 2010n G(2010) > v Bơng cĂch chựng minh nhữ trản suy G(x) > 0, x R G(2011) > n Ta cõ P (2011) = 2011 G(2011) > (do n > v G(2011) > 0) Tõm lÔi ta  chựng minh ữủc P (2011) > 3.2 XĂc nh a thực theo cĂc c trững cừa chúng 3.2.1 XĂc nh a thực theo cĂc c trững nghiằm Bi toĂn 3.12 XĂc nh a thực bêc dÔng P (x) = x4 + bx2 + c, (b, c > 0) cho phữỡng trẳnh P (x) = x2 khổng cõ (3.11) nghiằm thỹc cỏn phữỡng trẳnh P (P (x)) = x4 (3.12) thẳ cõ nghiằm thỹc GiÊi  ỵ rơng P (x) > v P (x) = P (x), x R v Q(x) = P (P (x)) cụng cõ tẵnh chĐt Q(x) = Q(x), x R nản ta ch cƯn xt Footer Page 23 of 126 x Theo giÊ thiát thẳ phữỡng trẳnh P (x) = x2 vổ nghiằm 22 Header Page 24 of 126 v vẳ P (x) x2 = x4 + (b 1)x2 + c nản P (x) > x2 , x R Suy P (P (x)) > [P (x)]2 > x4 Vêy phữỡng trẳnh (1) vổ nghiằm Tứ õ suy khổng tỗn tÔi a thực dÔng (3.11) thọa mÂn iãu kiằn ã bi 3.2.2 XĂc nh a thực theo cĂc c trững nởi suy Bi toĂn 3.13 Chựng minh rơng khổng tỗn tÔi a thực Z[x] m GiÊi f (2011) = 2012 f (2009) = 2009 f (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , Z, i GiÊ sỷ {0, 1, , n} v f (x) Khi õ ta cõ f (2011) f (2009) = an (2011n 2009n ) + an1 (2011n1 2009n1 ) + ã ã ã + a1 (2011 2009) hát cho Mt khĂc, chia hát cho chia f (2011) f (2009) = 2012 2009 = khổng Vêy khổng tỗn tÔi a thực f (x) thọa mÂn iãu kiằn ã bi 3.2.3 XĂc nh a thực theo cĂc c trững số hồc Bi toĂn 3.14 Tỗn tÔi hay khổng tỗn tÔi mởt a thực 2010 thọa mÂn iãu kiằn P (x) bêc P (x2 2009) P (x) P (x) = (x + a)2010 Khi õ P (x2 2009) = (x2 + a 2009)2010 = (x + a)2 2a(x + a) + a2 + a 2009) GiÊi GiÊ sỷ Náu ta chồn thẳ a cho a2 +a2009 =0 P (x2 2009) = (x + a)2010 (x a)2010 cõ hai a thực bêc (x + a)2010 vợi a 2010 a= 8037 P (x) Vêy chia hát cho thọa mÂn iãu kiằn ã bi l l nghiằm cừa phữỡng trẳnh Footer Page 24 of 126 2010 a2 P (x) = + a 2009 = 23 Header Page 25 of 126 KT LUN Luên vôn "Phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm a thực"  ữủc tĂc giÊ nộ lỹc nghiản cựu dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc, nhiằt tẳnh v nghiảm khưc cừa GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu Mởt số kát quÊ Â Ôt ữủc: Chữỡng Luên vôn  trẳnh by mởt số kián thực vã khĂi niằm, nh lỵ vã a thực s ữủc sỷ dửng cĂc chữỡng 2, chữỡng cừa luên vôn Chữỡng Luên vôn  trẳnh by phữỡng phĂp giÊi mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm thữớng gp: nghiằm l hơng số, a thực bêc nhĐt, mởt số a thực cõ bêc lợn hỡn hoc bơng 2, phƠn thực hỳu t vợi bêc cừa tỷ thực nhọ hỡn hoc bơng cỏn bêc cừa mău thực nhọ hỡn hoc bơng 2, tờng cừa hm số mụ v mởt số bi toĂn tờng hủp Chữỡng Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ do, mởt số dÔng bĐt phữỡng trẳnh hm cõ nghiằm l a thực v xĂc nh ữủc a thực theo cĂc c trững cừa nõ Mội phữỡng phĂp ãu cõ cĂc vẵ dử hoc bi toĂn minh hồa cho phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm Mởt số tỗn tÔi: phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm l mởt ã ti rĐt rởng, nhiãu dÔng bi têp nản luên vôn ch hằ thống ữủc phữỡng phĂp giÊi mởt số dÔng, chữa tẳm ữủc phữỡng phĂp giÊi cho tĐt cÊ cĂc dÔng bi toĂn c biằt thới gian v khÊ nông cõ hÔn nản luên vôn chữa trẳnh by cĂc lới giÊi khĂc cừa mởt bi toĂn TĂc giÊ s tiáp tửc nghiản cựu  giÊi quyát cĂc tỗn tÔi ny cừa luên vôn Footer Page 25 of 126  ...Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG NGUYN TH QUNH PHNG TRèNH HM V BT PHNG TRèNH HM TRONG A THC Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm... Page of 126 XĂc nh a thực theo cĂc c trững Header Page of 126 CHìèNG A THC V MậT Sẩ TNH CHT Trong chữỡng ny ta nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cõ liản quan án a thực: cĂc nh nghắa, tẵnh chĐt,... cõ ỡn v a thực l tờng hẳnh thực cõ dÔng Pn (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 (an = 0), Trong õ A, i = 1, n gồi l cĂc hằ số, n gồi l bêc cừa an a0 a thực, a thực gồi l hằ số tỹ cừa