Phương trình hàm và bất phương trình hàm trong đa thức

Ttt12345 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng 5 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ QUỲNH PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 1 Mé U 1. Lỵ do chồn ã ti a thực l mởt chuyản ã cỡ bÊn cừa Ôi số. a thực cõ v trẵ rĐt quan trồng vẳ nõ khổng nhỳng l mởt ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số m cỏn l mởt cổng cử ưc lỹc cừa GiÊi tẵch trong Lỵ thuyát xĐp x, Lỵ thuyát biu diạn, Lỵ thuyát nởi suy, . CĂc kẳ thi hồc sinh giọi toĂn quốc gia v Olimpic toĂn khu vỹc v quốc tá thẳ cĂc bi toĂn vã a thực cụng thữớng ữủc ã cêp án v ữủc xem nhữ nhỳng bi toĂn khõ v rĐt khõ cừa bêc phờ thổng. Chúng ta  lm quen vợi nhỳng phữỡng trẳnh Ôi số mởt hay nhiãu bián số. GiÊi phữỡng trẳnh hm cụng giống nhữ giÊi phữỡng trẳnh Ôi số l i tẳm ân số, tuy nhiản ân Ơy l mởt hm số. Viằc giÊi cĂc bi toĂn ny cƯn nưm vỳng cĂc tẵnh chĐt v cĂc c trững cỡ bÊn cừa a thực. 2. Mửc ẵch nghiản cựu Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm m nghiằm l a thực vợi hằ số thỹc. 3. ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu Trản cỡ s nghiản cựu tứ cĂc ti liằu, giĂo trẳnh cừa GS - TSKH Nguyạn Vôn Mêu v cĂc sĂch chuyản ã vã a thực, phữỡng trẳnh hm, cĂc bi toĂn nởi suy, cĂc bi bĂo toĂn hồc viát vã a thực. 4. Phữỡng phĂp nghiản cựu Nghiản cựu lỵ luên: ồc ti liằu, sĂch tham khÊo, sĂch chuyản khÊo, tÔp chẵ toĂn hồc vã cĂc bi toĂn phữỡng trẳnh 2 hm, bĐt phữỡng trẳnh hm. 5. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa ã ti GiÊi mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm cõ ân l a thực. ã ti õng gõp thiát thỹc cho viằc dÔy v hồc a thực, phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh trong trữớng THPT. 6. CĐu trúc cừa luên vôn Luên vôn gỗm 3 chữỡng. Chữỡng 1. Trẳnh by tõm tưt cĂc khĂi niằm, mởt số nh lỵ dũng trong chữỡng 2, chữỡng 3. Chữỡng 2. KhÊo sĂt mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm cõ nghiằm l a thực cõ dÔng xĂc nh. Chữỡng 3. Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ do. XĂc nh a thực theo cĂc c trững cỡ bÊn cừa chúng. 3 CHìèNG 1. A THC V MậT Sẩ TNH CHT Trong chữỡng ny ta nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cõ liản quan án a thực: cĂc nh nghắa, tẵnh chĐt, php tẵnh, nghiằm cừa a thực v mởt số bi toĂn ữủc trẵch dăn. 1.1. nh nghắa v cĂc tẵnh chĐt nh nghắa 1.1 Cho vnh giao hoĂn A cõ ỡn v. a thực (trản A) ân số x bêc n l tờng hẳnh thực cõ dÔng P n (x) = a n x n + a n1 x n1 + ããã + a 1 x + a 0 (a n = 0), Trong õ a i A,i = 1, n gồi l cĂc hằ số, n gồi l bêc cừa a thực, a n gồi l hằ số bêc cao nhĐt, a 0 gồi l hằ số tỹ do cừa a thực P n (x). Náu P (x) = a 0 , a 0 = 0 thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực P (x) bơng 0. Náu P (x) = 0 thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực P (x) bơng v gồi P (x) l a thực 0. Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thuởc vnh A ữủc kỵ hiằu l A[x]. Khi A l mởt trữớng thẳ vnh a thực A[x] l mởt vnh giao hoĂn cõ ỡn v. Ta thữớng xt cĂc vnh a thực Z[x], Q[x], R[x], C[x]. Trong luên vôn ny ta thữớng xt cĂc a thực vợi hằ số thuởc vnh R[x] v C[x]. nh lỵ 1.1 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, f(x) v g(x) = 0 l hai a thực cừa vnh A[x]. Khi õ, luổn tỗn tÔi hai a thực duy 4 nhĐt q(x) v r(x) thuởc A[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x) vợi bêc cừa r(x) nhọ thua bêc cừa g(x). Náu r(x) = 0 ta nõi f (x) chia hát cho g(x). nh lỵ 1.2 GiÊ sỷ A l mởt trữớng, a A, f(x) A[x]. Số dữ cừa php chia a thực f(x) cho a thực x a chẵnh l f(a). nh lỵ 1.3 Số a l nghiằm cừa f(x) khi v ch khi f(x) chia hát cho a thực (xa). Khi A l mởt trữớng, a A, f(x) A[x] v m l mởt số tỹ nhiản lợn hỡn hoc bơng 1. Khi õ a l mởt nghiằm bởi cĐp m cừa f(x) khi v ch khi f(x) chia hát cho (x a) m v f (x) khổng chia hát cho (x a) m+1 . Trong trữớng hủp m = 1 thẳ ta gồi a l mởt nghiằm ỡn cỏn khi m = 2 thẳ ta gồi a l nghiằm kp. Số nghiằm cừa mởt a thực l tờng số nghiằm cừa a thực õ k cÊ bởi cừa cĂc nghiằm (náu cõ). Vẳ vêy, ngữới ta coi mởt a thực cõ mởt nghiằm bởi cĐp m nhữ mởt a thực cõ m nghiằm trũng nhau. nh lỵ 1.4 Mội a thực hằ số thỹc bêc n N ãu cõ khổng quĂ n nghiằm thỹc. Hằ quÊ 1.1 a thực cõ vổ số nghiằm l a thực khổng. Hằ quÊ 1.2 a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng n m nhên cũng mởt giĂ tr tÔi n + 1 im thẳ a thực õ l a thực hơng. 5 Hằ quÊ 1.3 Hai a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng n m nhên n + 1 giĂ tr bơng nhau tÔi n + 1 giĂ tr khĂc nhau cừa ối số thẳ hai a thực õ bơng nhau. nh lỵ 1.5 Mồi a thực f(x) C[x] bêc n cõ úng n nghiằm (tẵnh cÊ bởi cừa nghiằm). nh lỵ 1.6 Mồi a thực f(x) R[x] cõ bêc n cõ hằ số dăn Ưu a n = 0 ãu cõ th phƠn tẵch duy nhĐt thnh nhƠn tỷ f(x) = a n m i=1 (x d i ) s k=1 (x 2 + b k x + c k ) vợi d i , b k , c k R, 2s + m = n, b 2 k 4c k < 0, m, n N . nh lỵ 1.7 (nh lỵ Bezout) a thực P(x) cõ nghiằm x 0 khi v ch khi P (x) chia hát cho x x 0 . nh lỵ 1.8 (nh lỵ Rolle) Náu hm số f(x) liản tửc trản oÔn [a; b], cõ Ôo hm trản oÔn [a; b] v f(a) = f(b) thẳ tỗn tÔi im x 0 (a; b) sao cho f (x 0 ) = 0. 1.2. XĐp x hm số bi a thực Trong số cĂc hm số mởt bián thỹc thẳ a thực ữủc coi l hm số ỡn giÊn nhĐt vã nhiãu phữỡng diằn, nhĐt l vã mt tẵnh toĂn. Bi vêy, mởt vĐn ã ữủc chúng ta quan tƠm nhiãu hỡn cÊ l bi toĂn xĐp x mởt hm số cho trữợc bi mởt a thực, c biằt l tẳm iãu kiằn (cƯn v ừ) mởt hm số cho trữợc cõ th xĐp x ữủc bi mởt a thực. 6 GiÊ sỷ hm số f(x) ữủc xĐp x bi mởt a thực P n (x) (P n (x) l a thực Ôi số hoc a thực lữủng giĂc hoc l cĂc a thực c biằt khĂc). Gồi R[f, P, n] = |f(x) P n (x)| l ở lằch cừa php xĐp x. Ta cƯn xĂc nh P (x) v n sao cho R[f, P, n] nhọ nhĐt trản mởt oÔn [a; b] cho trữợc. Khi õ P n (x) ữủc gồi l a thực xĐp x tốt nhĐt cừa f(x) trản oÔn [a; b] õ v ữủc kỵ hiằu l f(x) P n (x). Náu hm số f(x) khÊ vi (n +1) lƯn thẳ cõ th sỷ dửng cổng thực khai trin Taylor tÔi x = 0 f(x) = n k=0 f (k) (0) k! x k + R(x, n) vợi phƯn dữ l R(x, n) = (x n ). Nhữ vêy f(x) P n (x) = n k=0 f (k) (0) k! x k . Tuy nhiản lợp cĂc hm khÊ vi (n + 1) lƯn dũng xĐp x bi a thực l quĂ hàp. Song ối vợi cĂc hm số liản tửc trản oÔn [a; b] văn cõ cĂc nh lỵ tữỡng tỹ vã xĐp x chúng bi a thực. Ta s chừ yáu quan tƠm án hai vĐn ã sau. Mởt l xƠy dỹng cĂc a thực xĐp x thổng qua cĂc cổng thực nởi suy v hai l xƠy dỹng cổng thực tẵnh ở lằch sai ối vợi cĂc xĐp x õ. 1.3. Php tẵnh trản a thực Bi toĂn 1.1 Xt f : R[x] R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: f( 1 P 1 + 2 P 2 ) = 1 f(P 1 ) + 2 f(P 2 ), 1 , 2 R, P 1 , P 2 R[x], (1.1) 7 f(P 1 P 2 ) = f(P 1 )P 2  1 2  + P 1  1 2  f(P 2 ),∀P 1 , P 2 ∈ R[x]. (1.2) Chùng minh r¬ng ∃C ∈ R sao cho ∀P ∈ R[x] ta luæn câ f(P ) = CP   1 2  . Gi£i. Vîi f(x) ≡ C th¼ theo gi£ thi¸t cõa b i to¡n ta câ f(x 2 ) = f(x) 1 2 + f(x) 1 2 = C, f(x 3 ) = f(x 2 ) 1 2 + f(x) 1 4 = 3 2 2 C. B¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc v  sû döng gi£ thi¸t (1.2) ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc f(x k ) = k 2 k−1 C,∀k ∈ N. Vîi måi P ∈ R[x] d¤ng P (x) = n  k=0 a k x k theo i·u ki»n (1.1) cõa b i to¡n ta ÷ñc: f(P ) = f  n  k=0 a k x k  = n  k=0 a k f(x k ) = n  k=0 a k k 2 k−1 C = C n  k=0 ka k  1 2  k−1 = CP   1 2  â ch½nh l  i·u ph£i chùng minh. 8 Chữỡng 2. PHìèNG TRNH HM TRONG A THC 2.1. Mởt số dÔng hm số cƯn tẳm 2.1.1. DÔng hm số cƯn tẳm f(x) C Bi toĂn 2.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f liản tửc trản R thọa mÂn iãu kiằn f(x) = f x 2 + 1 4 ,x R. GiÊi. Tứ giÊ thiát ta cõ f l hm số chđn. Cho x 1 0, ta xt hai trữớng hủp: Vợi 0 x 1 < 1 2 ta xt dÂy số {x n } nh bi x n+1 = x 2 n + 1 4 ,n 1. Bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc 0 x n < 1 2 ,n 1 v x n+1 x n = x 2 n x n + 1 4 = x n 1 2 2 > 0,n 1, nản {x n } l dÂy tông v b chn trản nản cõ giợi hÔn. t lim n+ x n = thẳ = 2 + 1 4 = 1 2 . Hỡn nỳa, do f liản tửc trản R nản lim n+ f(x n ) = f( 1 2 ). M f (x n+1 ) = f x 2 n + 1 4 = f(x n ),n 1 nản f(x 1 ) = f 1 2 . Do õ f(x) = f 1 2 ,x 0; 1 2 . (2.1) Vợi x 1 > 1 2 ta xt dÂy số {x n } xĂc nh bi x n = x 2 n+1 + 1 4 . Bơng quy nÔp ta chựng minh ữủc x n > 1 2 ,n 1 v x n x n+1 = x 2 n+1 + 1 4 x n+1 = x n+1 1 2 2 > 0,n 1. Nản {x n } l dÂy giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn. t lim n+ x n = = 2 + 1 4 = 1 2 . Hỡn nỳa, do f liản tửc trản R nản lim n+ f(x n ) = f( 1 2 ).