Luận án tiến sĩ phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toánbất đẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thôngTraffic Network Equilibrium Problem và bài toán gần với nó là bài toá

ĐẬU XUÂN LƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU XUÂN LƯƠNG

VINH - 2010

Mục lục i

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Đối tượng nghiên cứu 6

4 Phạm vi nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 7

7 Tổng quan và cấu trúc luận án 7

1 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân 11 1.1 Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 12

1.2 Phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân 13 1.3 Phương pháp chiếu 17

1.4 Phương pháp hàm phạt 19

ii

1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải bài toán bất đẳng

thức biến phân 22

1.6 Ví dụ 25

Kết luận Chương 1 35

2 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 36 2.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 38

2.2 Bài toán phạt 39

2.3 Các định lý hội tụ 44

Kết luận Chương 2 50

3 Hàm phạt cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 51 3.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu 52

3.2 Bài toán phạt 54

3.3 Các định lý hội tụ 55

Kết luận Chương 3 61

Kết luận và kiến nghị 62 1 Kết luận 62

2 Kiến nghị 62

Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, cáckết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồngtác giả cho phép sử dụng và luận án hoàn toàn không trùng lặp vớibất kì tài liệu nào khác

Đậu Xuân Lương

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê DũngMưu và PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcnhất tới các Thầy, những người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giảtrong cả quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận án này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh,lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnhđạo Viện Toán học, cùng tập thể GS và các Thầy, Cô của Trường Đại họcVinh và Viện Toán học đã động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuậnlợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các nhà khoa học và các Thầy, Cô thuộc

Tổ Giải tích của Khoa Toán học – Trường Đại học Vinh đã dành thờigian đọc luận án và cho những ý kiến nhận xét quý báu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh

và Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, ngườithân và bạn bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũngnhư vật chất cho tác giả

Đậu Xuân Lương

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60([50, 20, 32]), là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bàitoán cân bằng Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toánbất đẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thông(Traffic Network Equilibrium Problem) và bài toán gần với nó là bài toáncân bằng giá không gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảochẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), các bài toán cân bằng tài chính (FinancialEquilibrium Problem), cân bằng nhập cư (Migration Equilibrium Prob-lem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) và mạngkiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]).Phương pháp hàm phạt là một trong các phương pháp quan trọng

để giải các bài toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn[38, 23, 39, 1, 51]) Nhờ vào phương pháp này, một bài toán với miềnràng buộc phức tạp có thể được chuyển về một dãy các bài toán khôngràng buộc hoặc với ràng buộc đơn giản hơn Trong khi đó, phương phápchiếu là một lớp phương pháp đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với cácbài toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu Nhược điểm duy nhất của phươngpháp này là ta phải tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ,

và đó là một bài toán rất khó trong trường hợp tổng quát, khi mà miền

đó không có hình dạng đặc biệt Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt

và phương pháp chiếu sẽ khắc phục được nhược điểm này của phươngpháp chiếu.

1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector được giới thiệu bởiGiannessi [16] Từ đó tới nay, người ta đã tìm được nhiều ứng dụng củabài toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational InequalityProblem, viết tắt là VVIP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu(Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt là WVVIP) trongbài toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viếttắt là MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], trong bài toán xấp

xỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), và trong bài toán cânbằng giao thông vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]) Sựtồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu cũng đượcnghiên cứu trong nhiều công trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12])

Để có thể ứng dụng bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vàothực tiễn, đòi hỏi phải có các thuật toán giải số hiệu quả cho bài toánnày Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho tới nay chỉ có một vàicông trình nghiên cứu về các thuật toán để giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector yếu ([18, 19]) Từ rất lâu, phương pháp hàm phạt đãđược áp dụng để giải các bài toán tối ưu và các bài toán bất đẳng thứcbiến phân dạng thường, đưa một bài toán với miền ràng buộc phức tạp

về một dãy các bài toán có ràng buộc đơn giản hơn hoặc không có ràngbuộc Tuy nhiên, cho tới nay chưa có bất cứ công trình nào nghiên cứu

áp dụng phương pháp này cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu mà chúng tôi được biết

1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà trong luận án này chúng tôigọi là nghiệm Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu xuất hiện đầu tiêntrong các công trình của Edgeworth [13] và Pareto [44] Một điểm x đượcgọi là nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu

f = (f1, , fk) (k mục tiêu) nếu không có một điểm nào khác tốt hơn

điểm đó, nghĩa là không tồn tại một điểm y 6= x sao cho fi(y) ≤ fi(x)với mọi i = 1, , k, và fj(y) < fj(x) với một chỉ số j nào đó Điểm xđược gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu nếu không

có một điểm nào khác tốt hơn điểm đó xét trên tất cả các mục tiêu, nghĩa

là không tồn tại y sao cho fi(y) < fi(x) với mọi i = 1, , k

Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnhvực, trong cả khoa học và cuộc sống Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được

sử dụng trong bài toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem),

lý thuyết trò chơi (Game Theory), các bài toán quản lý và hoạch định tàinguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (WelfareTheory), các bài toán trong kỹ thuật như điều khiển phi cơ, các hệ thống

cơ khí chính xác, v.v (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24])

Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đãđược nghiên cứu trong một vài công trình gần đây (tham khảo [52, 21,

22, 34]) Trong [34], Liu và Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu của bàitoán MOP(D, f ) sử dụng một hàm phạt mũ Liu và Feng đã chứng minhrằng nếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu củacác bài toán phạt và x chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là mộtnghiệm Pareto yếu của bài toán ban đầu Như vậy, các định lý hội tụ của

họ dựa trên giả thiết rằng điểm giới hạn x của dãy các nghiệm Paretoyếu của các bài toán phạt nằm trong miền ràng buộc D Giả thiết này làmột điểm bất lợi trong cách tiếp cận bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàmphạt mũ của Liu và Feng Từ đó nảy sinh yêu cầu phải có một mô hìnhhàm phạt cho các kết quả hội tụ tốt hơn, khắc phục được nhược điểm của

mô hình đề xuất trong [34]

Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàmphạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận ántiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu những vấn đề sau

(1) Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để có một

thuật toán hoàn chỉnh giải các bài toán bất đẳng thức biến phân dạngVIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng và f đơn điệu, liên tục Lipschitz.Bằng cách này, ta khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương phápchiếu là sự khó khăn khi tính toán hình chiếu của một điểm lên một miềnlồi bất kỳ.

(2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất

kỳ về một dãy các bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miềnràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi là các bài toán phạt Ta có thể chọn

K = Rk, nghĩa là các bài toán phạt sẽ không có ràng buộc

(3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán tối ưu đamục tiêu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất kỳ về một dãy cácbài toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi

là các bài toán phạt Ta có thể chọn K = Rk, nghĩa là các bài toán phạt

sẽ không có ràng buộc Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, chúng tôi thuđược các kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả nêu trong [34] Ngoài

ra, chúng tôi còn chỉ ra điều kiện đủ để các bài toán phạt đều có nghiệmPareto yếu, đồng thời dãy các nghiệm đó có ít nhất một điểm giới hạn và

đó chính là một nghiệm của bài toán ban đầu

Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạtcho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phânvector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài toán cuối cùngtrong một số trường hợp đặc biệt là tương đương với bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu Qua đó, luận án đưa ra những thuật toán mớicho các bài toán vừa nêu ở trên

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp hàm phạt, bài toán bất đẳng thức biến phân dạng thường

và dạng vector yếu, bài toán tối ưu đa mục tiêu

Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bấtđẳng thức biến phân vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu trongkhông gian Euclide hữu hạn chiều Rk

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong khi thựchiện đề tài Trong chương thứ nhất, bằng việc kết hợp lợi thế của phươngpháp hàm phạt và phương pháp chiếu, chúng tôi đã khắc phục được trởngại lớn nhất của phương pháp chiếu là khó khăn trong việc tính hìnhchiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ Trong chương thứ hai, chúngtôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biếnphân vector yếu, sử dụng các kỹ thuật chứng minh truyền thống trong

lý thuyết hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân và cho bàitoán tối ưu để chứng minh tính hội tụ của thuật toán Điểm khác với cáccông trình nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường)trước đó là chúng tôi đổi vị trí của tham số phạt khi xây dựng bài toánphạt Nhờ đó tính hội tụ của thuật toán được chứng minh Trong chươngthứ ba, thay vì áp dụng hàm phạt mũ như trong [34], chúng tôi sử dụnghàm phạt ngoài và áp dụng kỹ thuật chứng minh trong [38], nhờ đó thuđược các kết quả hội tụ tốt hơn các kết quả nêu trong [34]

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Kết quả của luận án góp phần giải quyết vấn đề giải số các bài toánbất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu và bài toán tối

ưu đa mục tiêu

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiêncứu sinh chuyên ngành Toán giải tích

7.1 Tổng quan luận án

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt chobài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector và bài toán liên quan với nó là bài toán tối ưu đa mụctiêu

Chương 1 nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt và phươngpháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân Chúng tôi nhắc lạimột số định nghĩa và kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp chiếu và phương pháphàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân được trình bày tươngứng trong các mục 1.3 và 1.4 Kết quả chính của chương này được trìnhbày trong mục 1.5 Trong mục này, chúng tôi đưa ra Thuật toán 3, kếthợp các phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toánbất đẳng thức biến phân Thuật toán này trước hết chuyển một bài toánbất đẳng thức biến phân ràng buộc trên một miền lồi đóng D bất kỳ

về một dãy các bài toán phạt với ràng buộc đơn giản hơn, sau đó giảimỗi bài toán phạt này bằng phương pháp chiếu Vì các bài toán phạt cómiền ràng buộc đơn giản, việc tính hình chiếu của một điểm bất kỳ lên

miền ràng buộc đó trở nên dễ dàng hơn Do đó phương pháp chiếu cóthể giải các bài toán phạt một cách hiệu quả Chúng tôi minh họa Thuậttoán 3 trong ba ví dụ 1.6.1, 1.6.2, và 1.6.3, giải số bài toán bất đẳng thứcbiến phân trong trường hợp hai chiều và nhiều chiều, trong đó trường hợpnhiều chiều lấy theo mô hình Nash ([28]) Kết quả của Chương 1 đượccông bố trong [37].

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụngcho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu WVVIP(D, F ) Kết quả

cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu mà chúng tôi sử dụng trong chương này là Định lý 2.1.3 ([6]) Trongđịnh lý này, tính chất cơ bản mà ánh xạ F cần phải thoả mãn là tínhbức yếu trên D trong trường hợp miền D không bị chặn Chúng tôi đưa

ra khái niệm D-bức trên K Với ánh xạ F thỏa mãn điều kiện D-bứctrên K, sự tồn tại nghiệm của các bài toán phạt WVVIP(K, F(t)) với

t > 0 được đảm bảo Kết quả này được chứng minh trong Bổ đề 2.2.5.Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày các định lý hội tụ cho mô hình hàmphạt Trước hết, với Bổ đề 2.3.1, chúng tôi chứng minh rằng một điểmgiới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của bài toán phạt là một điểmchấp nhận được, nghĩa là nó thuộc vào miền ràng buộc của bài toán bấtđẳng thức biến phân vector yếu ban đầu Tiếp theo, với giả thiết về tínhliên tục của ánh xạ F , trong Định lý 2.3.2 chúng tôi chứng minh rằngmột điểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của các bài toán phạtWVVIP(K, F(t)) khi tham số phạt t tiến ra vô cùng sẽ là một nghiệmcủa bài toán ban đầu WVVIP(D, F ) Chúng tôi đưa ra một tính chấtmạnh hơn tính chất D-bức trên K, đó là tính chất D-bức mạnh trên Kcủa ánh xạ F : Rk → Rr×k Định lý 2.3.4 chứng minh rằng nếu F là mộtánh xạ liên tục, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K, thì(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;

(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó

có ít nhất một điểm giới hạn;

(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt

sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu

Kết quả của Chương 2 được công bố trong [35]

Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm phạt cho bàitoán tối ưu đa mục tiêu MOP(D, f ) Sử dụng các kết quả về sự tồn tạinghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ([30]) và sự tồn tạinghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([6]), trong Bổ

đề 3.2.1 chúng tôi đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của cácbài toán phạt MOP(K, f(t)) với t > 0 Các kết quả chính về sự hội tụcủa thuật toán phạt được trình bày trong mục 3.3 Bổ đề 3.3.1 chứngminh tính chấp nhận được của một điểm giới hạn của một dãy bất kỳcác nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt MOP(K, f(t)) khi t tiến ra

vô cùng Dựa vào bổ đề này, Định lý 3.3.2 chứng tỏ rằng một điểm giớihạn bất kỳ của một dãy các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạtMOP(K, f(t)) khi t tiến ra vô cùng là một nghiệm Pareto yếu của bàitoán ban đầu MOP(D, f ) Dùng kỹ thuật bao nghiệm Pareto yếu củacác bài toán phạt bởi một hình cầu, trong Định lý 3.3.3 chúng tôi đưa ramột điều kiện đủ để

(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;

(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó

có ít nhất một điểm giới hạn;

(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt

sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu

Kết quả của Chương 3 được công bố trong [36]

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra,luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kếtluận và kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinhliên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày về sự kết hợp giữa phương pháp hàm phạt vàphương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân, bao gồm

6 mục Mục 1.1 trình bày các kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.2 trình bày phépchiếu và mối quan hệ với bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.3 trìnhbày về phương pháp chiếu, Mục 1.4 trình bày về phương pháp hàm phạt,Mục 1.5 trình bày về phương pháp kết hợp giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân, Mục 1.6 trình bày các ví dụ

Chương 2 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toánbất đẳng thức biến phân vector yếu, bao gồm 3 mục Mục 2.1 trình bàycác kết quả cần dùng về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector yếu, Mục 2.2 trình bày về bài toán phạt và điều kiện

có nghiệm của bài toán phạt, Mục 2.3 trình bày các định lý hội tụ củaphương pháp

Chương 3 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toántối ưu đa mục tiêu, bao gồm 3 mục Mục 3.1 trình bày các kết quả cầndùng về sự tồn tại nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu,Mục 3.2 trình bày về bài toán phạt và điều kiện có nghiệm của bài toánphạt, Mục 3.3 trình bày các định lý hội tụ của phương pháp

CHƯƠNG 1

HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN

Giả sử D ⊂ Rn là một tập lồi đóng khác rỗng và f : Rn → Rn là mộtánh xạ bất kỳ Ký hiệu h·, ·i là tích vô hướng trên Rn Xét bài toán bấtđẳng thức biến phân sau đây

VIP(D, f ) : Tìm x ∈ D, sao cho hf (x), y − xi ≥ 0, với mọi y ∈ D.Tập nghiệm của VIP(D, f ) được kí hiệu là S Tập D được gọi là miềnràng buộc của bài toán; f được gọi là ánh xạ giá của bài toán

Nếu f là gradient của một ánh xạ lồi g thì VIP(D, f ) tương đương vớibài toán tìm cực tiểu của g trên D Tuy nhiên, không phải bài toán bấtđẳng thức biến phân nào cũng tương đương với một bài toán quy hoạchlồi

Phương pháp chiếu (tham khảo [15], Chương 12) là một lớp phươngpháp đơn giản và hiệu quả để giải các bài toán bất đẳng thức biến phânvới giả thiết tối thiểu f giả đơn điệu và liên tục Trở ngại chính trongphương pháp này là việc tính toán hình chiếu lên một tập lồi bất kỳ không

hề đơn giản Đó là một bài toán qui hoạch toàn phương với miền xác địnhlồi Nếu D không có hình dạng đặc biệt thì việc xác định hình chiếu lên

D là một bài toán khó giải

Trong khi đó, phương pháp hàm phạt (xem [38]) cho phép đưa bài toán

bất đẳng thức biến phân trên miền lồi đóng (bị chặn) bất kỳ về một dãycác bài toán bất đẳng thức biến phân trên một miền bất kỳ bao miền lồiban đầu Ý tưởng của chúng tôi là: đối với VIP(D, f ) trong đó D là mộtmiền lồi đóng bất kỳ, trước tiên dùng phương pháp hàm phạt để đưa nó

về một dãy các bài toán trên một miền K bao D, sau đó dùng phươngpháp chiếu để giải mỗi bài toán trên K Miền K được xác định sao choviệc tính toán hình chiếu của một điểm lên K là dễ dàng Trong trườnghợp K là hình hộp, hình cầu hay không gian con, vì phép chiếu của mộtđiểm lên K có công thức hiển đơn giản nên trở ngại chính của phươngpháp chiếu được khắc phục

nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Chúng tôi nhắc lại một vài định nghĩa và kết quả cần thiết

1.1.2 Định nghĩa ([15], Định nghĩa 2.3.1) Ánh xạ f : D → Rn đượcgọi là

(i) đơn điệu trên D nếu

(ii) Nếu f đơn điệu mạnh trên D thì VIP(D, f ) có nghiệm duy nhất

Hàm d(D, ) được gọi là hàm khoảng cách tương ứng với chuẩn Euclidecủa x tới D Nếu tồn tại y ∈ D sao cho d(D, x) = ||x − y|| thì y đượcgọi là hình chiếu vuông góc hay hình chiếu Euclide của x lên D (gọitắt là hình chiếu của x lên D), và được ký hiệu bởi PD(x).

Mệnh đề sau mô tả mối quan hệ giữa phép chiếu và tập nghiệm S củabài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.2 Mệnh đề ([15], Mục 12.1.1) Cho D ⊂ Rn là một tập con lồiđóng khác rỗng và f : Rn → Rn là một ánh xạ bất kỳ Khi đó với

ξ > 0 bất kỳ ta có

x ∈ S⇐⇒fnatD (x) = 0,trong đó

fnatD (x) ≡ x − PD(x − ξf (x))

1.2.3 Nhận xét Nếu D là một tập con lồi đóng khác rỗng thì hìnhchiếu của một điểm bất kỳ lên D luôn tồn tại và là duy nhất Nếu K làmột hình hộp, hình cầu, hay một không gian con thì tính hình chiếu củamột điểm lên K rất dễ dàng

A Hình chiếu của một điểm lên một hình hộp

Giả sử rằng

K = {x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, , n},

a = (a1, a2, , an)T ; b = (b1, b2, , bn)T ∈ Rn.Khi đó hình chiếu của x lên K được xác định như sau

B Hình chiếu của một điểm lên một hình cầu

Giả sử

x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn,

và C là một hình cầu bán kính R tâm

A = (a1, a2, , an)T ∈ Rn,xác định bởi

, i = 1, 2, , n

C Hình chiếu của một điểm lên một không gian con

Giả sử L ⊂ Rn là một không gian con k chiều với một cơ sở

B = {η1, η2, , ηk}

Giả sử

x ∈ Rn,và

hw, ηji = 0,với mọi j = 1, 2, , k (ta sẽ tìm y thỏa mãn điều kiện này sau) Khi

đó y là hình chiếu của x lên L Thật vậy, vì w trực giao với mọi vectortrong cơ sở của L nên nó cũng trực giao với mọi vector của L Do đó, với

aij = hηi, ηji,

bi = hx, ηii

Khi đó từ (1.2) ta thu được một hệ tuyến tính k phương trình k ẩn

Ay = b,trong đó

A = (aij),và

b = (b1, b2, , bk)T.Hơn nữa theo định nghĩa, A là một ma trận xác định dương, nghĩa là

yi = bi = hx, ηii, i = 1, 2, , k

Ta chỉ đề cập ở đây phương pháp chiếu hai lần, vì có thể sử dụngphương pháp này cho cả VIP(D, f ) với f giả đơn điệu Trong khi đó

phương pháp chiếu một lần có thể không hội tụ ngay cả khi f là đơnđiệu Hơn nữa, khi D có hình dạng đặc biệt thì khối lượng tính toántrong mỗi bước lặp là nhỏ nhất so với các phương pháp chiếu khác (vấn

đề phân loại các phương pháp chiếu có thể tham khảo trong [15]) Thuậttoán chiếu được mô tả dưới đây

Gán k := k + 1 và quay lại Bước 1

Trong Thuật toán 1 tham số η > 0 được gọi là độ dài bước Sự thayđổi của η sẽ có ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của thuật toán Sự hội tụ củaThuật toán 1 được đảm bảo bởi định lý sau

1.3.1 Định lí ([15], Bổ đề 12.1.10, Định lý 12.1.11) Cho D ⊂ Rn làmột tập lồi đóng khác rỗng và f : D → Rn là một ánh xạ giả đơnđiệu trên D tương ứng với S và liên tục Lipschitz trên D với hằng số

L > 0

(i) Với mọi x ∈ S và với mọi k ∈ N, ta có

||x(k+1) − x||2 ≤ ||x(k) − x||2− (1 − η2L2)||x(k+1/2)− x(k)||2.(ii) Nếu 0 < η < 1/L thì dãy {x(k)} sinh bởi Thuật toán 1 hội tụ vềmột nghiệm của VIP(D, f )

Hàm P thỏa mãn (1.3) được gọi là hàm phạt của D Một hàm P thỏamãn (1.3) còn được gọi là hàm thưởng-phạt, hay còn gọi là hàm phạtkiểu Lagrange Khác với hàm phạt điểm ngoài thông thường đòi hỏi phảitriệt tiêu trên miền ràng buộc D, hàm thưởng-phạt cho phép nhận giá trị

âm tại các điểm thuộc D Đối với một hàm phạt P thông thường, ta có

P (x) = 0 với mọi x ∈ D Điều này có nghĩa lượng phạt sẽ là 0 đối vớimọi phương án thuộc D Trong khi đó loại hàm thưởng-phạt lượng phạt

sẽ khác nhau đối với mỗi phương án thuộc D Nếu P (x) < 0, có nghĩalượng phạt là âm (tức là thưởng) Nếu

D = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0 , i = 1, 2, , m},trong đó gi : Rn → R là các hàm lồi khả vi thì hàm phạt P có thể lấynhư sau

Dễ thấy với x > 0 ta có α0(x) = 2x và với x < 0 ta có α0(x) = 0 Tại

x = 0, đạo hàm bên phải của α bằng 0

VIP(K, f(t)) : Tìm x(t) ∈ K sao cho hf(t)(x(t)), x−x(t)i ≥ 0 , ∀x ∈ K,trong đó K ⊃ D là một tập lồi đóng bao D sao cho hình chiếu của mộtđiểm bất kỳ của Rn lên K có thể được xác định dễ dàng, thậm chí là bởimột công thức hiển (ví dụ K là một hình hộp, một hình cầu hay mộtkhông gian con)

Kí hiệu S(t) là tập nghiệm của VIP(K, f(t)) và đặt

(iii) S(t∗) nằm trong tập nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D, f ) nếu

0 < t∗ < ∞ và ánh xạ S(·) nửa liên tục dưới tại t∗,

(iv) Nếu t∗ = ∞ thì bất kỳ dãy {x(k)} nào với x(k) ∈ S(tk) và với

tk → t∗ có một điểm giới hạn và bất kỳ điểm giới hạn nào của{x(k)} đều là một nghiệm của VIP(D, f ),

(v) Nếu t∗ = 0 và S(0) 6= ∅ thì một điểm giới hạn bất kỳ của dãy{x(k)} với x(k) ∈ S(tk) và với tk → t∗ đều là một nghiệm củaVIP(D, f )

Hàm P cho bởi (1.4) bị chặn dưới bởi 0, do đó lập tức thỏa mãn cácyêu cầu của bổ đề trên

Giải bài toán VIP(K, f(tk )

) thu được nghiệm x(k).a) Nếu x(k) ∈ D, đặt a := tk và

1.4.2 Định lí ([38]) Giả sử f là ánh xạ đơn điệu trên K và {x(k)}

là dãy thu được từ thuật toán trên Với các giả thiết của Bổ đề 1.4.1,

ta có

(i) Nếu x(k) ∈ D với k nào đó thì dãy {x(k)} có một dãy con hội tụ,trong đó tất cả các phần tử của dãy con đó là chấp nhận được (tức

là thuộc D) và một điểm giới hạn bất kỳ của {x(k)} là nghiệmcủa bài toán ban đầu VIP(D, f )

(ii) Trái lại, một điểm giới hạn bất kỳ của dãy {x(k)} là một nghiệmcủa bài toán ban đầu VIP(D, f )

Chú ý rằng nếu P (x) ≡ 0 với mọi x ∈ D và x(k) là một nghiệm củaVIP(K, f(tk )

) thỏa mãn x(k) ∈ D, khi đó x(k) cũng là một nghiệm củabài toán ban đầu VIP(D, f )

bất đẳng thức biến phân

Trong phần này chúng tôi kết hợp phương pháp hàm phạt và phươngpháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân, nhờ đó khắc phụcđược trở ngại cơ bản trong phương pháp chiếu là sự khó khăn khi phảitính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ

Trong Thuật toán 2, tại bước lặp thứ k ta giải bài toán biến phânVIP(K, f(tk )

) Vì miền ràng buộc của bài toán này có hình dạng đặc biệt,

ta có thể giải nó bằng cách sử dụng các phương pháp chiếu, chẳng hạn,

sử dụng phương pháp chiếu hai lần đã giới thiệu ở trên Chọn các tham

số tk một cách thích hợp ở mỗi bước, dãy nghiệm của các bài toán phạtVIP(K, f(tk )

) sẽ hội tụ về một nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D, f )khi tk → t∗ Đây là ý tưởng cơ bản của thuật toán mô tả dưới đây.Xét bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(D, f ) với D là tập con lồiđóng khác rỗng của Rn Giả sử f là một ánh xạ liên tục và đơn điệu trênmột miền lồi đóng K ⊃ D Thuật toán kết hợp bao gồm hai bước chính

Theo tính chất của hàm lồi, P khả vi nên cũng khả vi liên tục (xem

Hệ quả 25.5.1, [45]), do đó ∇P cũng liên tục Nếu ta giả sử thêm f và

∇P liên tục Lipschitz và f là đơn điệu, ta sẽ có f(t) := tf + ∇P (t > 0)cũng đơn điệu và liên tục Lipschitz, cho nên ta có thể sử dụng phươngpháp chiếu hai lần để giải VIP(K, f(t)) Thuật toán kết hợp được mô tảchi tiết dưới đây

Thuật toán 3

Xây dựng một tập lồi đóng K ⊃ D có hình dạng đặc biệt (chẳng hạn,hình hộp, hình cầu, hoặc không gian con) và một hàm phạt lồi P thỏamãn các điều kiện trong Bổ đề 1.4.1

Lấy một số dương tùy ý t0 > 0 Chọn εk > 0, sao cho εk → 0 khi k → ∞.Đặt a = 0, b = ∞ và chuyển sang Bước k với k = 0

Gán j := j + 1 và quay lại Bước k1.

Trên đây PK(x) là hình chiếu của x lên K Khi K có hình dạng đặcbiệt, ta có thể tính PK(x) dễ dàng nhờ vào một công thức hiển (xemphần 1.2)

Từ Định lý 1.3.1 và Định lý 1.4.2, vì εk → 0, ta có kết quả sau

1.5.1 Định lí Giả sử f là một ánh xạ đơn điệu trên miền lồi đóng

K ⊃ D, P là một hàm phạt lồi khả vi của D Hơn nữa giả sử P bịchặn dưới trên K, f và ∇P liên tục Lipschitz trên K Gọi {x(k)}

là dãy sinh bởi Thuật toán 3 Khi đó, một điểm giới hạn bất kỳ của{x(k)} là nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D, f )

Chứng minh Không giảm tổng quát, vì nếu cần cho qua dãy con, ta cóthể giả sử

x(k)∗ → x∗,

x(k) → ¯x,khi k → +∞ Theo Định lý 1.4.2 ta có x∗ là một nghiệm của bài toánban đầu VIP(D, f ) Mặt khác, theo phương pháp chiếu hai lần và do

εk > 0 nên vòng lặp j sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước và tại bướclặp cuối cùng của vòng lặp j, ta có

y(j) = x(k)thỏa mãn

kx(k) − x(k)∗ k ≤ εk.Qua giới hạn, do x(k)∗ → x∗, x(k) → ¯x, và εk → 0, ta được

Dễ thấy g(x) là một hàm lồi trên Rn Chọn hàm P (x) ≡ g(x) trên Rn.Khi đó,

e = (1, , 1)T ∈ Rn,

σx = hx, ei = X

j

xj,H(x) = (α1x1 + β1, , αnxn + βn)T,với αi, βi, i = 1, , n lấy ngẫu nhiên trong khoảng [0, 10] Hàm p(t)được cho bởi

p(t) = γ

t + 1,trong đó γ lấy ngẫu nhiên trong khoảng [0, 15]

Ta có f chọn như trên là ánh xạ đơn điệu (tham khảo [28]) Ngoài ra,

f liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz

Ln = p2(α2+ 4n2γ2),trong đó

α = max

i αi

ϕi(x) = xi

(1 +P

rxr)2.Theo công thức số gia hữu hạn, tồn tại c ∈ [x, y] sao cho

1 +P

rcr − 2ci(1 +P

|Pi| =

−2ci(1 +P

j cj)3

Bây giờ xét

|Qi| = |1 +

P

j cj − 2ci|(1 +P

j cj)3 Nếu ci ≤ 1, ta có

|Qi| = (1 − ci) +

P

j6=icj(1 +P

j cj)3

≤ 1 +

P

jcj(1 +P

α = max

i αi.Như vậy,

kf (x) − f (y)k ≤ Lnkx − yk,

trong đó

Ln = p2(α2+ 4n2γ2)

Như vậy, ví dụ này thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.5.1 Do đó, dãysinh bởi Thuật toán 3 có tính chất bất kỳ điểm giới hạn nào của dãy đóđều là một nghiệm của bài toán ban đầu Chúng tôi đã cài đặt Thuậttoán 3 dùng ngôn ngữ C và kết quả số được mô tả dưới đây Sai số chophép của thuật toán chiếu là ε = 10−6

Ta xét hai ví dụ tiếp theo, trong đó hàm phạt P sẽ được lấy theo côngthức (1.4) Xét

D = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : g1(x) ≤ 0, g2(x) ≤ 0},

trong đó g1(x) = x2− x1− 1, g2(x) = −x2+ x21− 1 là các hàm lồi trên

R2 Bây giờ ta xét hai ví dụ ứng với hai ánh xạ f khác nhau

Có thể nhận thấy (0, 0)T là một nghiệm của bài toán trên và là nghiệmduy nhất, do f đơn điệu mạnh Ta lấy P theo (1.4)

Chú ý rằng D là miền nằm dưới đường thẳng x2 = x1+ 1 và nằm trênđường cong x2 = x21 − 1, (I) là miền nằm trên cả đường thẳng và đườngcong, (II) nằm trên đường thẳng và dưới đường cong, (III) nằm dưới cảđường thẳng và đường cong

Hai giao điểm của đường thẳng và đường cong là (−1, 0) và (2, 3) Do

... hạn dãy đóđều nghiệm tốn ban đầu Chúng tơi cài đặt Thuậttốn dùng ngơn ngữ C kết số mô tả Sai số chophép thuật toán chiếu ε = 10−6

Ta xét hai ví dụ tiếp theo, hàm phạt P lấy theo