Đồng điều kỳ diệu và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ THỊ DẠ THẢO ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2012 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Trong topo có các ñịnh lý phát biểu tuy ñơn giản nhưng ñể chứng minh thì rất phức tạp, ví dụ như ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, … Phần lớn các chứng minh này ñều dùng ñến topo ñại số. Mục ñích của topo ñại số là xây dựng các hàm tử từ phạm trù các không gian topo (hoặc các phạm trù con của các không gian topo) vào các phạm trù ñại số (chẳng hạn như nhóm, vành, module …) và biến mỗi ánh xạ liên tục thành một ñồng cấu. Đồng ñiều kỳ dị là hàm tử từ phạm trù các không gian topo vào phạm trù các nhóm Abel hoặc vào các module. Bằng việc khảo sát hàm tử này người ta chứng minh ñược nhiều ñịnh lý nổi tiếng như ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, ñịnh lý bảo toàn miền của Brouwer…. Vì vậy, ñề tài “Đồng ñiều kỳ dị và ứng dụng” mục ñích là ñể tìm hiểu hàm tử ñồng ñiều kỳ dị và cách chứng minh của các ñịnh lý này. 2. Mục ñích nghiên cứu Nghiên cứu về ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng của nó. 3. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng. Tham gia các buổi thảo luận ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 4 4. Cấu trúc của luận văn Nội dung của luận văn ngoài phần mở ñầu và kết luận gồm có ba chương: Chương 1: Những kiến thức cơ bản Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về các phức ñơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, ñồng luân và ñồng ñiều ñơn hình. Chương 2: Đồng ñiều kỳ dị Chương 2 trình bày về hàm tử ñồng ñiều kỳ dị, các ñồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức ñơn hình, tính nhóm ñồng ñiều của một số không gian topo ñơn giản, ñịnh lý Khoét và một số tính chất liên quan. Chương 3: Ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị. Chương 3 trình bày về các ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị trong ñồng ñiều ñịa phương và ña tạp. 5. Đóng góp của ñề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người tìm hiểu về Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị. 5 CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Phức ñơn hình và ña diện Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình Trong không gian  n , cho tập hợp các ñiểm { } 0 , ., k p p ñộc lập affine. Tập hợp tất cả các ñiểm [ ] 0 0 , 0,1 , 1 λ λ λ = =   ∈ = ∈ =     ∑ ∑  k k n i i i i i i x x p ñược gọi là một ñơn hình k – chiều hay k – ñơn hình. Ta ký hiệu [ ] 0 , ., σ = k p p , trong ñó 0 , ., k p p là các ñỉnh của ñơn hình σ σ =dim k là chiều của ñơn hình σ . Định nghĩa 1.1.2. Phức ñơn hình. Một phức ñơn hình là họ hữu hạn { } σ =K gồm các ñơn hình trong không gian  n thỏa tính chất sau (i) Nếu σ ∈K thì mỗi mặt của σ cũng thuộc K . (ii) Nếu , σ τ ∈K thì hoặc σ τ = ∅I hoặc σ τ I là một mặt chung của σ và τ Với K K σ σ ∈ = U Cặp ( , ) K K ñược gọi là một ña diện. Khi ñó, = sdKK ñược gọi là phân tích ñơn hình của ña diện, =K K ñược gọi là giá của K. Chiều của ña diện ( , ) K K , ký hiệu là ( , ) dim K K ñược ñịnh nghĩa như sau { } ( , ) max / σ σ = ∈dim K dimK K 6 Đường kính của K ký hiệu là meshK và ñường kính này ñược ñịnh nghĩa như sau: { } max ( ) / δ σ σ = ∈meshK K Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con. Cho ( , ) K K là một ña diện, ⊂L K . Nếu L cũng là phức ñơn hình thì L ñược gọi là phức ñơn hình con của K . Khi ñó, ( , ) L L ñược gọi là ña diện con của ña diện ( , ) K K , với L là giá của L . Định nghĩa 1.1.4. Cho ( , ) K K là một ña diện σ ∈K . Tập hợp tất cả các mặt thật sự của σ ký hiệu là . σ & Khi ñó ( ) \ . σ σ σ = & F Định nghĩa 1.1.5. Cho ( , ) K K là một ña diện, ∈x K . Khi ñó, σ ∈K ñược gọi là giá của x , ký hiệu ( ) σ x , nếu σ là ñơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x . ( )x σ là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng { } ( ) , . x x σ σ σ = ∈ ∈I K Định nghĩa 1.1.6. Cho( , ) K K là một ña diện. Với mọi ñỉnh ∈p K, tập hợp { } \ , σ σ ∈ ∉UK pK ñược gọi là hình sao của ,p ký hiệu là . Stp Định lý 1.1.1. Cho 0 1 , , ., n p p p là các ñỉnh của ña diện ( , ). K K Khi ñó (i) 0= ≠ ∅I n i i Stp khi và chỉ khi [ ] 0 1 , , ., n p p p là một ñơn hình của K . (ii) Nếu [ ] 0 1 , , ., σ = n p p p là một ñơn hình của K thì 0= I n i i Stp là tập hợp gồm tất cả các ñiểm ∈x K mà ( ) σ x nhận σ làm mặt. 7 Ta nhận xét rằng nếu { } 0 1 , , ., t p p p là các ñỉnh của ña diện K thì với mỗi ∈x K , x ñược biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng 0 ( ) , λ = = ∑ t i i i x x p trong ñó [ ] 0,1 , λ ∈ i với 1, .=i t Ta có [ ] ( ) 0,1 λ ∈ i x nếu ( ). σ ∈ i p x Khi ñó, ( ) λ i x ñược gọi là tọa ñộ của x ñối với i p . Ngược lại, ( ) 0 λ = i x nếu ( ). σ ∉ i p x Hàm số [ ] : 0,1 λ σ → i , với mỗi σ ∈ K , ñược gọi là hàm tọa ñộ trọng tâm của σ . Ta có λ i là hàm liên tục. Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân Cho hai ánh xạ , : → f g X Y liên tục. Hai ánh xạ ,f g ñược gọi là ñồng luân, ký hiệu ,f g nếu tồn tại ánh xạ : × → H X I Y thỏa ( ,0) ( ); ( ,1) ( ), . = = ∀ ∈ H x f x H x g x x X Khi ñó, H ñược gọi là ñồng luân của f ñối với g . Định lý 1.1.2. Cho ( , )K K là một ña diện trong không gian n  , Y là không gian topo bất kỳ và ,f g là hai ánh xạ liên tục từ Y vào .K Nếu với mỗi , ∈ y Y tồn tại một ñơn hình σ ∈ K thỏa mãn ( ), ( ) σ ∈ f y g y thì f và g ñồng luân. 1.2. Thứ phân trọng tâm Cho một phân tích ñơn hình K của ,K chúng ta sẽ xây dựng một phân tích ñơn hình ′ K khác của ,K ñược gọi là thứ phân trọng tâm của K. Định nghĩa 1.2.1. Cho ñơn hình [ ] 1 , , ., σ = o n p p p trọng tâm của σ là một ñiểm, ký hiệu b σ hay [ ] σ ñược xác ñịnh như sau 8 0 1 1 σ = = + ∑ n i i b p n Nếu σ = i p thì trọng tâm của σ trùng với chính nó. Định nghĩa 1.2.2. Cho ( , )K K là một ña diện. Khi ñó, 1 Sd K gồm tất cả các ñơn hình 0 1 , , ., σ σ σ     s b b b , trong ñó 0 1 σ σ σ ⊂ ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ s là dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của K. Định lý 1.2.1. Cho ( , )K K là một ña diện có ñường kính là µ . Khi ñó, ñường kính của 1 1 µ ≤ + n Sd n K . Hệ quả 1.2.1. Cho ,≤dimK n khi ñó ( ) 1 ≤ + m m n meshSd mesh n K K. 1.3. Ánh xạ ñơn hình và xấp xỉ ñơn hình Định nghĩa 1.3.1. Cho ( , )K K , ( , )L L là hai ña diện trong .  n Xét ánh xạ :( , ) ( , ), ϕ →K L K L ϕ ñược gọi là ánh xạ ñơn hình nếu thỏa mãn hai ñiều kiện sau: • Với mọi [ ] 0 1 , , ., ∈ s p p p K, các ñiểm 0 1 ( ), ( ), ., ( ) ϕ ϕ ϕ s p p p là các ñỉnh của một ñơn hình thuộc L . • Ánh xạ ϕ là ánh xạ afine với mỗi σ ∈ K , nghĩa là 0 0 ( ) ϕ λ λϕ = =   =     ∑ ∑ s s i i i i i i p p trong ñó 0 1 λ = = ∑ s i i và 0 λ ≥ i với 1, .=i s Định nghĩa 1.3.2. Cho : →f K L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ ñơn hình ϕ với 0 ≥r ñược gọi là một xấp xỉ ñơn hình của f nếu ( ) ( ) ϕ ⊂f Stp St p với mọi ñỉnh ∈ r p Sd K. 9 Định lý 1.3.1. Cho : →f K L là một ánh xạ liên tục. Khi ñó, tồn tại xấp xỉ ñơn hình :( , ) ( , ) ϕ → r K Sd L K L của f với r ñủ lớn và mỗi xấp xỉ ñơn hình của f ñều ñồng luân với . f 1.4. Phạm trù và hàm tử Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù. Một phạm trù P bao gồm: • Một lớp P gồm các vật , , . A B C ñược gọi là những vật của phạm trù P • Với mỗi cặp vật ( , ) A B của phạm trù P cho một tập hợp gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A ñến B , ký hiệu [ ] ,A B P . Mỗi phần tử của [ ] ,A B P ñược ký hiệu là f . • Với mỗi bộ ba vật ( , , ),A B C với mỗi cặp cấu xạ [ ] , ,∈f A B P [ ] , ,∈g B C P tồn tại gf ñược gọi là phép hợp thành của hai cấu xạ ,g f và [ ] ,∈gf A C P thỏa mãn các tiên ñề sau: • Phép hợp thành có tính chất kết hợp. • Với mọi vật A của P, tồn tại xạ [ ] 1 ,∈ A A A P ñược gọi là cấu xạ ñồng nhất sao cho với mọi [ ] ,∈f B A P , [ ] , ,∈g B C P ta có 1 , 1= = A A f f g g Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con. Một phạm trù C ñược gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu • Mỗi vật của phạm trù C ñều là một vật của phạm trù P . • Mỗi cấu xạ của phạm trù C ñều là một cấu xạ của phạm trù P. • Các xạ ñồng nhất của phạm trù C ñều là một xạ ñồng nhất của phạm trù P. 10 • Hợp thành gf của hai cấu xạ ,f g trong phạm trù C ñều trùng với hợp thành của các cấu xạ ñó trong phạm trù P. Một phạm trù con C của phạm trù P ñược gọi là ñầy nếu [ ] [ ] , , ,=A B A B C P với mỗi cặp ,A B trong phạm trù C . Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi ñầu, vật tận cùng Mỗi vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật khởi ñầu nếu với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A ñến X Một vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật tận cùng nếu với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X ñến A . Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử Cho hai phạm trù ′ P P, . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm trù P ñến phạm trù ′ P, ký hiệu : ′ → H P P là một cặp ánh xạ gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ. • Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, một vật của phạm trù ′ P , ký hiệu là ( ).A H • Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ [ ] , ,∈f A B P một cấu xạ thuộc [ ] ( ), ( ) , ′ A BH H P ký hiệu là ( )fH và thỏa mãn các ñiều kiện sau: • ( ) (1 ) 1= A AH H , với mọi ∈A P . • ( ) ( ) ( ),=gf g fH H H với mọi hợp thành gf trong phạm trù P , nghĩa là A C B f gf g H (A ) H (C) H (B ) ( ) f H ( ) gf H ( ) g H 11 1.5. Nhóm Abel tự do, Module tự do Mệnh ñề 1.5.1. A là tập hợp khác rỗng , , .x y là các phần tử thuộc A.Ta ñặt: { : ′ = → ∃  X f A A hữu hạn, : ( ) 0,A A f x ′ ⊂ = } \x A A ′ ∀ ∈ với mọi , ∈f g X , ta ñịnh nghĩa phép cộng trên X như sau ( )( ) ( ) ( ) ,+ = + ∀ ∈f g x f x g x x A Khi ñó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel. Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do Nhóm Abel X ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi A. Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V − module, ∅ ≠ ⊂S R . Khi ñó, S ñược gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R ñều ñược biểu diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S . Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V − module. Nếu S là cơ sở của R thì S là hệ sinh ñộc lập tuyến tính. Mệnh ñề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, , , . x y là các phần tử thuộc A ; V là một vành, , , . α β là các phần tử thuộc V . Ta ñặt { : ′ = → ∃X f A V A hữu hạn } , : ( ) 0, \ ′ ′ ⊂ = ∀ ∈A A f x x A A Với mọi , g f X ∈ , với mọi V α ∈ ta ñịnh nghĩa phép cộng, phép nhân ngoài trên X như sau : ( )( ) ( ) ( ),+ = + ∀ ∈f g x f x g x x A ( )( ) ( ), α α = ∀ ∈f x f x x A 12 Khi ñó, X cùng với phép cộng, phép nhân ngoài lập thành một .−V Module Định nghĩa 1.5.2 Module tự do. Module X ñược thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A 1.6. Đồng ñiều ñơn hình 1.6.1. Các ñịnh nghĩa. Cho K là một phức ñơn hình hữu hạn với các ñỉnh ñược sắp thứ tự tuyến tính. Khi ñó, mỗi ñơn hình [ ] 0 1 , , ., n q q q có thể ñược viết duy nhất thành [ ] 0 1 , , ., n p p p với 0 1 ( )< < ⋅⋅⋅ < n p p p và ñược gọi là n – ñơn hình ñịnh hướng. Định nghĩa 1.6.1.1. Với mỗi 0n ≥ , nhóm Abel tự do ( ) n C K sinh bởi các n – ñơn hình ñịnh hướng của K ñược gọi là nhóm các xích n - chiều của K . Rõ ràng, ( ) 0= n C K nếu dimn > K . Với mỗi 1n ≥ , toán tử biên 1 : ( ) ( ) − ∂ → n n C C K K là ñồng cấu xác ñịnh trên mỗi phần tử sinh bởi công thức  0 1 0 1 0 , , ., ( 1) , , ., , ., = ∂ = − ∑ n i n i n i p p p p p p p . Bổ ñề 1.6.1.1. Cho ,G G ′ là các nhóm giao hoán; ,H H ′ lần lượt là các nhóm con của , ; :G G G G ϕ ′ ′ → ; là ñồng cấu nhóm thỏa ( ) ϕ ′ ⊂H H . Khi ñó, tồn tại ñồng cấu nhóm Hơn nữa, nếu ϕ là ñẳng cấu và ( ) ϕ ′ =H H thì φ là ñẳng cấu và φ ñược gọi là ñồng cấu cảm sinh bởi ϕ . : G H G H φ ′ ′ → g H+ ( )g H ϕ ′ + 13 Bổ ñề 1.6.1.2. Cho ,X X ′ là các không gian vector trên trường ; ,G Y Y ′ lần lượt là các không gian vector con của ,X X ′ . Nếu :X X ϕ ′ → là ánh xạ tuyến tính và ( )Y Y ϕ ′ ⊂ thì cũng là ánh xạ tuyến tính. Nếu ϕ là ñẳng cấu và ( )Y Y ϕ ′ = thì φ cũng là ñẳng cấu. 1.6.2. Các phép biến ñổi xích và các xích ñồng luân Cho , K L là hai phức ñơn hình. Định nghĩa 1.6.2.1 Một họ { } n τ τ = các ñồng cấu : ( ) ( ), 0 τ → ∀ ≥ n n n C G C G n K L, , Sao cho 1 1 1 , 0 n n n n n ϕ τ τ ϕ + + + = ∀ ≥ ñược gọi là một biến ñổi xích hay một ánh xạ xích. Định nghĩa 1.6.2.2. Cho , : ( ) ( ) τ µ ∗ ∗ →C G C G K, L, là hai ánh xạ xích. Một ñồng luân xích nối , τ µ là họ { } n D D= các ñồng cấu 1 : ( ) ( ) + → n n n D C G C G K, L, , 0 ∀ ≥ n thỏa 1 1 , 1 τ µ + + − = ∂ + ∂ ∀ ≥ n n n n n n D D n Ta nói , τ µ là các xích ñồng luân nếu D tồn tại : X Y X Y φ ′ ′ → x Y+ ( )x Y ϕ ′ + 1 ( ) n C G + , K ( ) n C G, K ⋅ ⋅ ⋅ 0 ( )C G, K 1 ( ) n C G + , L ( ) n C G, L ⋅⋅⋅ 0 ( )C GL, 1 1 , n n τ µ + + , n n τ µ 0 0 , τ µ ∂ 1 ∂ 0 ⋅ ⋅ ⋅ n D 0 D 1 n D + 0 0 14 Định lý 1.6.2.1. Ta có (i) # : ( ) ( ) π ∗ ∗ → o Sd C C K K là ánh xạ ñồng nhất trên ( )C ∗ K (ii) # : ( ) ( ) π ∗ ∗ ′ ′ → o Sd C C K K là ñồng luân xích với ánh xạ ñồng nhất trên ( )C ∗ ′ K . 1.6.3. Đồng cấu cảm sinh Cho K,L là hai phức ñơn hình. Một ánh xạ ñơn hình : ϕ → K L cảm sinh một ñồng cấu : ( ) ( ) ϕ ∗ ∗ ∗ →H G H G K, L, . Ta sẽ xây dựng một ñồng cấu duy nhất : ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ →f H G H G K, L, ñối với mỗi ánh xạ liên tục : →f K L Bổ ñề 1.6.3.1. Cho ánh xạ : →f K L liên tục, hai xấp xỉ ñơn hình 1 : , : m m ϕ ψ + → → K L K L của ( , 0)≥f m s . Khi ñó, các ñồng cấu ; : ( ) ( ) ϕ ψ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ → m m s Sd Sd H G H G K, L, trùng nhau. Định nghĩa 1.6.3.1. Cho : →f K L là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa các ñại diện, : ϕ → m K L là một xấp xỉ ñơn hình của f . Khi ñó, ñồng cấu : ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ →f H G H G K, L, ñược ký hiệu : ( ) ( ) ϕ ∗ ∗ ∗ → m Sd H G H G K, L, Định lý 1.6.3.1. Cho → → f g K L P . Khi ñó, ( ) ∗ ∗ ∗ =g f gf và ( ) ( ) ∗ ∗ = K H G id id K, . 15 Bổ ñề 1.6.3.2. Cho K là một ña diện. Giả sử [ ] [ ] , : 0,1 0,1 α β → là hai ánh xạ liên tục mà α β ≠ và ( ) ( ) : ( ) ( ) α β ∗ ∗ ∗ ∗ × = × × → ×id id H I H I P P . Khi ñó, với mỗi ña ñiện P , các ánh xạ ñồng luân , : →f g K P cảm sinh các ñồng cấu : ) ) ∗ ∗ ∗ ∗ = →f g H G H G (K, (P, . Định lý 1.6.3.2. Cho ,P K là các ña ñiện hữu hạn ; , : →f g K P là ánh xạ liên tục. Nếu =f g thì : ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ ∗ = →f g H H P K Định lý 1.6.3.3. Cho , P K là các phức ñơn hình, : →h P K ñồng phôi thì ánh xạ sau ñẳng cấu : ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ →h H G H G P, K, . Định lý 1.6.3.4. Cho , P K là các phức ñơn hình, : →f P K là một tương ñối ñồng luân thì : ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ →f H H P K là một ñẳng cấu. 1.6.4 Đồng ñiều tương ñối Cho K là ña diện, L là ña diện con của K . Xét nhóm thương ( ) ( ) n n C C K L và ñồng cấu biên $ 1 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) − − ∂ → n n n n C C C C K L K L xác ñịnh bởi $ 1 ( ( )) ( ) ( ) − ∂ + = ∂ + n n n n c C c C L L hay ký hiệu $ [ ] [ ] ∂ = ∂ n n c c 16 CHƯƠNG 2 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 2.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị 2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị [ ] 1 1 2 ; 0, 1, (0, .0,1,0, .,0) , , , ., + ∀ ∈ = + = ∈ ∆ =  n n i n n i n e e e e gọi là n – ñơn hình chuẩn ( ) 1 0 0 , ., 1, 0 + =     ∆ = ∈ = ≥       ∑  n n n n i i i t t t t Với mỗi , 0,1, .,∈ =n i n , ta ñặt { } 0 ( , ., ) 0∆ = ∈∆ = n n i n i t t t ñược gọi là mặt thứ i của ∆ n ñối diện với ñỉnh i e Định nghĩa 2.1.1.1 Cho X là một không gian topo , một n – ñơn hình kỳ dị trong X là một ánh xạ liên tục :∆ → n T X . Định nghĩa 2.1.1.2. Cho ,X Y là hai không gian topo, : →f X Y liên tục. Nếu : ∆ → n T X là một n – ñơn hình kỳ dị trong X thì hợp : ∆ →o n f T Y là một n – ñơn hình kỳ dị trong Y và ñược ký hiệu bởi .fT Với mọi ( ), i i n c n T C X= ∈ ∑ ta ñặt ( )( ) ( ) = ∑ n i i C f c n fT . Khi ñó ta ñược một ñồng cấu ( ): ( ) ( ) → n n n C f C X C Y cảm sinh bởi .f 2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị ( )C X ∗ 1 ≥ n , xét 1 : − ∆ → ∆ n n i d là ánh xạ xác ñịnh bởi: ( ) ( ) { } 0 1 1 0 1 1 , , ., , ., ,0, , ., 0,1, ., − − − = ∈ i n i i n d t t t t t t t i n 17 Định nghĩa 2.1.2.1. Xét ñồng cấu biên 1 : ( ) ( ) − ∂ → n n n C X C X như sau Với : ∆ → n T X , ( ) 0 ≥n là một n – ñơn hình kỳ dị thì 0 ( 1) ∆ = ∂ = − ∑ n i n i i T Td Khi ñó, với ( ) = ∈ ∑ i i n c n T C X thì ( ) ( ) 1 0 ∆ + ∂ = ∂ ⇒ ∂ ∂ = ∑ n i n i n n c n T Định nghĩa 2.1.2.2. Cho không gian X bất kỳ, dãy ( ) ( ) { } , 0,1,2, . ∗ = ∂ = n n C X C X n ñược gọi là phức kỳ dị của X và dãy ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ∗ ∗ ∗ = = = n n H X H X H C X H C X ñược gọi là nhóm ñồng ñiều kỳ dị phân bậc của .X Đối với một ánh xạ liên tục : →f X Y , cho ( ) ( ) ( ) ( ) { } : ∗ = → n n n H f H f H X H Y là ñồng cấu phân bậc của các nhóm ñồng ñiều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích ( ) C f ∗ Định nghĩa 2.1.2.3. Cho ,X Y là không gian topo, : →f X Y liên tục # : ( ) ( )→ n n n f C X C Y xác ñịnh bởi = ∑ i i c n T ( )( ) ( ) = ∑ o n i i C f c n f T thì f là ñồng cấu, từ ñây ta suy ra sơ ñồ sau giao hoán ( ) ( ) ( ) : → n n n H f H X H Y ( ) + n z B X ( )( ) ( ) + n n C f z B Y 1 + ∂ n ∂ n 0 0 ( ) n C X 1 ( ) n C X − ⋅⋅⋅ 0 ( )C X 1 ( ) n C X + 0 ( )C Y 1 ( ) n C Y − ⋅⋅⋅ ( ) n C Y 1 ( ) n C Y + # n f # 1 n f − 1 ( )C X 1 ( )C Y ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ # 1 n f + #1 f #0 f 1 ∂ 1 + ∂ n ∂ n 1 ∂ 0 ∂ 0 ∂ 18 nghĩa là # 1 1 # 1+ + + ∂ = ∂ n n n n f f Bổ ñề 2.1.2.1. Cho { } X α ∈Λ là những thành phần liên thông ñường của X thì ( ) ( ) α α ∈Λ ≅ ⊕ n n H X H X Bổ ñề 2.1.2.2. Cho ≠ ∅X , X liên thông ñường thì ( ) 0 ≅  H X Bổ ñề 2.1.2.3. Cho p là một ñiểm của X thì 0 ( ) , ( ) 0, 1≅ = ∀ > n H p H p n 2.1.3. Nhóm tương ñối, dãy khớp dài Định lý 2.1.3.1. Dãy ñồng ñiều của một cặp Định lý.2.1.3.2. Dãy ñồng ñiều của bộ ba 2.2 . Tính bất biến của ñồng luân ñối với thứ phân trọng tâm Định lý 2.2.1. Cho , : →f g X Y là ñồng luân. Khi ñó 0∀ ≥n , : ( ) ( ) ∗ ∗ = → n n n n f g H X H Y Định lý 2.2.2. Cho , : ( , ) ( , )→f g X A Y B liên tục, ñồng luân :∃ × →F X I Y liên tục: ( ,0) ( )=F x f x ( ,1) ( )= ∀ ∈F x g x x X ( , ) , ;∈ ∀ ∈ ∀ ∈F a t B a A t I Khi ñó : ( , ) ( , ) ∗ ∗ = → n n n n f g H X A H X B 19 2.2. Định lý Khoét Định nghĩa 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , : ∆ → n T X là n – ñơn hình. Ta xây dựng (n+1)- ñơn hình xuất phát từ T vào w, ký hiệu ñơn hình này là [ ] ,wT . Khi ñó [ ] ,wT liên tục với ( ),= ∈ ∑ i i n c n T C X ta ký hiệu [ ] [ ] ,w ,w .= ∑ i i c n T Bây giờ ta sẽ tính biên của [ ] ,wc Bổ ñề 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , c là n – xích kỳ dị của X . với = ∑ i i c n T là w - ñơn hình. Định nghĩa 2.3.2. Cho X là không gian Topo, { } U α α ∈Λ =A là một phủ của X mà X IntU α α ∈Λ = U thì A ñược gọi A - nhỏ. Bổ ñề 2.3.2. Cho : σ ∆ → n T , ( [ ] 0 , ., σ = n p p là n – ñơn hình) là phép ñồng phôi tuyến tính. Khi ñó mỗi thành phần : σ ∆ → n T của X n Sd T sẽ là phép ñồng phôi tuyến tính từ n ∆ ñến ( )∆ n i T là một thành phần trong thứ phân thứ nhất của σ . Cho 0 w :∆ →T X là 0 - ñơn hình, x w Khi ñó [ ] [ ] 1 1 w ,w ( 1) ,w ( ) ε + +  ∂ + −  ∂ =  −   n n c c c c T c nếu n >0 nếu n=0 20 Định lý 2.3.2.Cho A là họ các tập con của X mà có phần trong phủ X ( { } α α ∈Λ = UA , IntU X α α ∈Λ = U ). Cho : ∆ → n T X liên tục. Khi ñó ∃ ∈ m sao cho mỗi thành phần của m Sd T là A - nhỏ. Bổ ñề 2.3.3. ∀ ∈ m , X là không gian bất kỳ, { } 1 : ( ) ( ) + ∃ = → X X n n n D D C X C X sao cho : 1 1 ( ) ( ) ( ) + − ∂ + ∂ = − X X X X mX n n n n n D T D T Sd T T với : ∆ → n T X liên tục. Hơn nữa X n D là tự nhiên, nếu : →f X Y thì 1 # 1 # 2 1+ + + + = Y X n n n n D f f D . Định lý 2.3.2. Cho X là không gian topo, { } U α α ∈Λ = A là một họ các tập con của X mà X IntU α α ∈Λ = U . Khi ñó ánh xạ nhúng cảm sinh một ñẳng cấu giữa các nhóm ñồng ñiều ( ), ( ) n n H X H X A (cũng ñúng cho ñồng ñiều thu gọn) Định lý 2.3.3. Định lý Khoét Cho ⊂A X ,U mở trong X sao cho U IntA⊂ thì phép nhúng :( \ , \ ) ( , ) →j X U A U X A cảm sinh một ñẳng cấu trong ñồng ñiều kỳ dị. Định nghĩa 2.3.3. Dãy Mayer - Vietoris Cho 1 2 , = UX X X cho 1 2 ( ) ( ) ( ) ∆ + =C X C X C X A với { } 1 2 , . = X X A # : ( ) ( ) → n n n i C X C X A = ∑ i i c nT c . $ [ ] [ ] ∂ = ∂ n n c c 16 CHƯƠNG 2 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 2.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị 2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị [ ] 1 1 2 ; 0, 1, (0, .0,1,0, .,0). miền của Brouwer…. Vì vậy, ñề tài Đồng ñiều kỳ dị và ứng dụng mục ñích là ñể tìm hiểu hàm tử ñồng ñiều kỳ dị và cách chứng minh của các ñịnh lý này. 2.