Một số tính chất của mảng độc lập theo hàng

Lời nói đầu Khoá luận này nghiên cứu một số tính chất của mảng độc lập theo hàng có liên quan mật thiết đến khái niệm hội tụ đầy đủ. Hội tụ đầy đủ là một khái niện quan trọng trong lí thuyết xác suất đợc P.L. Hsu và H. Robbins xây dựng năm 1947 với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Một trong những h- ớng phát triển hiện nay của lí thuyết xác suất đó là dựa trên các tính chất của khái niệm hội tụ đầy đủ để nghiên cứu sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập mà không cần thiết phải cùng phân phối và của một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng với những điều kiện khác nhau. Các kết quả mới nhất về lĩnh vực này thuộc về các tác giả nh A.I. Volodin, T.C. Hu, S.H. Sung, A. Rosalsky, D. Szynal, A. Gut, Trong khoá luận trình bày một số tính chất của mảng độc lập theo hàng và ứng dụng nó để chứng minh định lí của Hsu và Robbins về sự hội tụ đầy đủ của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối khi xem dãy là một trờng hợp đặc biệt của mảng. Khoá luận đợc trình bày thành ba phần : Phần I. Đa ra một số kiến thức cơ bản gồm các định nghĩa, mệnh đề, bổ đề cần thiết cho các kết quả đợc đa ra ở phần II. Phần II. Đa ra một số tính chất của mảng độc lập theo hàng. Phần III. Đa ra một số áp dụng các tính chất của mảng cho dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn và sự chỉ bảo tận tình của Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Trờng Đại học Vinh và xin cảm ơn anh Lê Văn Thành CH9 Toán Trờng Đại học Vinh, một số bạn bè trong tập thể lớp 41A2 Toán đã góp ý, giúp đỡ và tạo điều kiện cho khoá luận này đợc hoàn thành. Do thời gian, điều kiện và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự đánh giá góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Vinh, ngày 25 tháng 4 năm 2004. Ngời thực hiện Vũ Đình Lợi. 1 Phần I. một số kiến thức chuẩn bị I. Các kiến thức cơ sở. 1. Không gian xác suất. Định nghĩa. Giả sử là tập khác rỗng; F là một -đại số các tập con của . P: F R là độ đo chuẩn hoá ( P() = 1). Khi đó bộ ba ),,( PF đợc gọi là một không gian xác suất. : đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp. F: là -đại số các biến cố. Với mỗi A F, số P(A) gọi là xác suất của biến cố A. P: đợc gọi là xác suất trên F. 2. Biến ngẫu nhiên: Hàm thực )( XX = xác định trên lấy giá trị trên R gọi là hàm F đo đợc hay biến ngẫu nhiên suy rộng nếu { } FBXBX = )()(, 1 với mỗi )(RBB ( ở đây )(RB là -đại số các tập Borel của trục thực R ) . Nếu : X : R = (- ; +) thì đợc gọi là biến ngẫu nhiên . 3. Tính độc lập : Giả sử ),,( PF là không gian xác suất cố định. Định nghĩa. Họ hữu hạn { IiF i , } các - đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu ( ) = Ii i Ii i APAP đối với ii FA , )( Ii bất kì. Họ vô hạn { IiF i , } các - đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các biến ngẫu nhiên IiX i , đợc gọi là độc lập nếu họ các - đại số sinh bởi chúng { ( ) IiXF i , } là độc lập. Họ các biến cố { } FIiA i , đợc gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên { IiI i A , } là độc lập. 4. Hàm phân phối : Hàm số ( ) xXPxF <=)( đợc gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 5. Kì vọng. a). Định nghĩa : Giả sử ( ) ( ) )(;,,: RBRPFX là biến ngẫu nhiên. Khi đó số = XdPLEX )( (nếu tồn tại) đợc gọi là kì vọng của biến ngẫu nhiên X. b). Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối là )(xF và tồn tại kì vọng thì + = )(xxdFEX . Hay tổng quát hơn: nếu RRf : là hàm đo đợc X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối là )(xF khi đó nếu tồn tại )(XEf thì 2 + = )()()( xdFxfXEf . c). Một số tính chất của kì vọng. TC1. 00 EXX . TC2. cEXcX == . TC3. ( ) bEYaEXbYaXE +=+ . TC4. XEEX . TC5. Nếu YX , độc lập thì EYEXEXY . = . TC6. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm với hàm phân phối )(xF và kỳ vọng hữu hạn thì ( ) ( ) ++ == 00 )(1 dxxXPdxxFEX và nếu X có < p EX (với 0>p nào đó ) thì ( ) ( ) ++ == 00 1 )(1 ppp dxxXPdxxFxpEX . Chứng minh . Các tính chất 1,2,3,4,5 thì là hiển nhiên. Trong khoá luận này thờng sử dụng TC 6 để tính kì vọng của p EX vì vậy ở đây ta sẽ chứng minh tính chất 6. Thật vậy, theo định nghĩa và giả thiết ta có <= + )(xdFxEX pp . Do X không âm nên <= + 0 )(xdFxEX pp . Ta lại có : ppp dxxFxFxdxdFx )())(()( = Suy ra: = 000 )())(()( ppp dxxFxFxdxdFx = 00 )( pp dxxFdx = 0 ))(1( p dxxF ( ) == 0 1 0 1 ))(1( dxxXPxpdxxFxp pp Khi thay 1 = p thì ta thu đợc: ( ) ( ) ++ == 00 )(1 dxxXPdxxFEX . d. Bất đẳng thức Markov: Nếu biến ngẫu nhiên X có < p XE với << p0 thì : ( ) p p XE XP . 6. Một số dạng hội tụ. a).Hội tụ theo xác suất. 3 Dãy các biến ngẫu nhiên ( n X )đợc gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu : Với > 0 bất kì thì: ( ) 0lim => XXP n n Kí hiệu : XX P n . b).Hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c): Dãy biến ngẫu nhiên ( n X ) đợc gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho : )()( XX n với A. Kí hiệu : XX cch n . Ta nhận thấy rằng nếu dãy biến ngẫu nhiên ( n X ) hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X thì với > 0 bất kì : 0sup > XXP k nk Khi n . c). Hội tụ trung bình. Dãy biến ngẫu nhiên ( n X ) đợc gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ) đến biến ngẫu nhiên X nếu : 0 p n XXE Khi n . Kí hiệu: XX p L n . Nhận xét, từ bất đẳng thức Markov ta thấy nếu ( n X ) hội tụ theo trung bình bậc p thì ( n X ) hội tụ theo xác suất. d). Hội tụ đầy đủ : Dãy biến ngẫu nhiên ( n X ) đợc gọi là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên X nếu : ( ) <> = 1n n XXP với mọi > 0 . Kí hiệu : XX c n . Mệnh đề. Nếu các dãy ( n X ) và ( n Y ) sao cho: XX c n và YY c n thì các dãy ( nn YX ), ( n X ) cũng hội tụ đầy đủ và YXYX c nn ; XX c n . Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết XX c n và YY c n ta xét : ( ) ( ) = = >=> 11 )()()()( n nn n nn YYXXPYXYXP ( ) = >+ 1n nn YYXXP < >+ > = = 11 22 n n n n YYPXXP . Suy ra YXYX c nn . Ta lại có: ( ) < >=> = = 11 n n n n XXPXXP . Suy ra: XX c n . 4 Mệnh đề. Nếu dãy biến ngẫu nhiên ( n X ) hội tụ đầy đủ về biến ngẫu nhiên X thì ( n X ) hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X . Chứng minh . Thật vậy, do ( n X ) hội tụ đầy đủ về biến ngẫu nhiên X nên ( ) 0 > = nk k XXP khi n . Và ( ) 0sup > > = nk kk nk XXPXXP khi n . Suy ra ( n X ) hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X . 7. Một số tính chất khác của không gian xác suất và các dạng hội tụ. a. Mệnh đề 1.1. A, B là 2 biến cố bất kì thì ta luôn có : ( ) ( ) ( ) BPAPABP . (1) Chứng minh. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) BAPBPAPABP += ( ) ( ) ( ) ( ) BPAP BPAP = + 1 . b. Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiên Y. Khi đó ta gọi biến ngẫu nhiên YYY s ~ = là đối xứng hoá của Y. Trong đó Y ~ là biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với Y . c. Mệnh đề 1.2. Cho X là biến ngẫu nhiên bất kì và gọi m là median của X thì khi đó với 0>t và với a R , ta có : i). ( ) ( ) tXPtmXP s 2 . (2) ii). ( ) ( ) >> 2 2 2 1 t aXPtXPtmXP s . (3) Chứng minh. i). Ta có : ( ) ( ) tmXPtmXP = . 2 1 .2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 )()(2 0 ~ ;2 .0 ~ 2 tXP tmXmXP mXtmXP tmXPmXP s = = ii). Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) taXaXPtXP s >=> ~ >+ > 2 ~ 2 t aXP t aXP >= 2 2 t aXP . d. Mệnh đề 1.3. Nếu 0 P nn AX thì 0 P s n X và 0 nn mA khi n , trong đó n m là median của n X và { } RA n . Chứng minh. 5 Vì 0 P nn AX ( ) 0 nn AXP với mọi > 0. áp dụng mệnh đề 1.2 ii) thì ( ) >> 2 2 nn s n AXPXP ( ) 0 > s n XP khi n . Vậy 0 P s n X . Mặt khác, ta xét: với 0>t ta có : ( ) ( ) tAXmXPtmAP nnnnnn >=> )()( ( ) tmXAXP nnnn >+ >+ > 22 t mXP t AXP nnnn >+ > 22 t XP t AXP s nnn Suy ra ( ) 0 > tmAP nn khi n . Do đó 0 P nn mA hay 0 nn mA khi n . e. Định lý ba chuỗi của Kolmogorov. Giả sử { 1, nX n } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập . Khi đó nếu chuỗi = 1n n X hội tụ h.c.c thì với mọi > 0 ba chuỗi: (i) = 1n n IEX { n X } (ii) = 1n n IDX { n X } (iii) ( ) = > 1n n XP hội tụ. Ngợc lại , nếu với > 0 nào đó mà ba chuỗi trên hội tụ thì chuỗi = 1n n X hội tụ h.c.c. f. Bất đẳng thức Jensen. Giả sử RRf : là hàm lồi dới , X và ( ) Xf là các biến ngẫu nhiên khả tích . Khi đó : ( ) ( ) XEfEXf . Chứng minh : Do f là hàm lồi nên f liên tục có đạo hàm phải và trái tại mọi điểm. Do đó ( ) Xf cũng là biến ngẫu nhiên , ngoài ra với Rx 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 000 xfxxxfxf + + , Rx trong đó ( ) 0 xf + là đạo hàm phải của f tại 0 x . Thay x bởi X , và 0 x bởi EX vào biểu thức trên ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) EXfEXXEXfXf + + Lấy kì vọng hai vế ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EXfEXfEXEXEXfXEf = + + . g. bất đẳng thức Liapunov. Đối với biến ngẫu nhiên X bất kì và ts << 0 ,thì ta luôn có : 6 ts XX trong đó s s s XEX 1 )( = . Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Jensen với ( ) st XXf = vầ thay X bởi s X ta có: t st s st s XEXEXE = )()( t t s s XEXE 11 )()( hay ts XX . h. Mệnh đề 1.4. Đối với biến ngẫu nhiên X bất kì thoả mãn 0 = EX và 21 q , > 0 khi đó nếu: < q XE thì: (i) { } q q XEXIEX 22 (4) và (ii) { } q q XEXEXI 1 . (5) Chứng minh. (i). Ta có { } IXXXIX qq = 2 2 {| X | } IX q q 2 {| X | } q q X 2 Từ đó suy ra { } q q XEXIEX 22 . (ii). Do 0 = EX nên ta có { } { } >= XEXIXEXI Ta có { } IXXXIX qq => 1 {| X | > } Do 21 q , > 0. cho nên { } q q XIX > 1 1 hay { } { } q q qq XXIXXXIX >=> 1 1 Suy ra { } IXEXEXI > {| X | > } q q XE 1 . Hay { } q q XEXEXI 1 . i. Mệnh đề 1.5. Giả sử X biến ngẫu nhiên và 0 > r . Khi đó ta có : ( ) << = 1 1 n r r nXPnXE . II. Một số ĐịNH NGHĩA Về MảNG Định nghĩa 1: Tập hợp ( ){ } 1,1, nkkX nnk trong đó nk X là các biến ngẫu nhiên đợc gọi là mảng các biến ngẫu nhiên . Định nghĩa 2: Mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk đợc gọi là độc lập theo hàng nếu với mỗi 1 n thì các biến ngẫu nhiên nk X , n kk 1 độc lập với nhau. 7 Định nghĩa 3. Mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk đợc gọi là mảng đối xứng nếu nk X có phân bố đối xứng với k: n kk 1 và 1 n . Định nghĩa 4. Mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk đợc gọi là mảng vô cùng bé nếu với mọi > 0 thì ta có : ( ) 0suplim 1 => nk kk n XP n Định nghĩa 5. Mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk đợc gọi là: i) Bị chặn Cesàro bởi biến ngẫu nhiên X nếu < n k thì tồn tại một hằng số D > 0 sao cho: ( ) ( ) xXPDkxXP n k k nk n >> = 1 với x > 0 và k và n. ii) Bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại một hằng số D > 0 sao cho: ( ) ( ) xXDPxXP nk >> với x > 0 và k và n. Nhận xét : Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X thì mảng ( ){ } 1,1, nkkX nnk bị chặn Cesàro. Định nghĩa 6. Ta gọi mảng gồm các số thực { 1,, nka nk } là dãy Toeplitz nếu 0lim = nk n a với k và Ca k nk với n trong đó C là một hằng số d- ơng. 8 Phần II. Một số tính chất của mảng độc lập theo hàng Trong các tính chất đợc trình bày ở đây thì ta luôn gọi ( ){ } 1,1, nkkX nnk là mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng và kí hiệu = = n k k nkn XS 1 . 1.Mệnh đề 2.1: Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng thì tồn tại một hằng số A sao cho: = n k k nknn XEASESE 1 2 2 . (6) 2.Mệnh đề 2.2. (Bất đẳng thức Hoffmann-Jorgensen). Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng, đối xứng thì với mọi 1 n , 1 j và 0 t thì ta có ( ) ( )( ) j n tSPDtXPCtSP njnk kk j j n 2 1 sup3 >+ >> . Trong trờng hợp 1 = j thì ta có ( ) ( )( ) 2 1 4sup3 tSPtXPtSP nnk kk n n >+ >> . 3.Mệnh đề 2.3. ( Bất đẳng thức Lêvi ). Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng, đối xứng thì với 0 > ta có: ( ) nn kk SPSP n 2max 1 ( ) nn kk SPSP n 2max 1 . 4.Mệnh đề 2.4. (Bất đẳng thức Etemadi ). Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng, đối xứng thì với 0 > ta có ( ) > > > = 8 81 8 1 n n k k nk SP SP XP n . 5. Mệnh đề 2.5. Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng có ( ) 0 1 > = n k k nk XP (7) khi n với > 0 nào đó thì 0 P n S khi và chỉ khi 0 P n S . Trong đó = = n k k nkn YS 1 với IXY nknk = { nk X } Chứng minh: 9 Gọi = = n k k nkn IXS 1 { > nk X } ; n 1. Ta có: ( ) ( ) ( ) 22 + nnn SPSPSP ( ) { } ( ) ( ) = = >+ >+ = n n k k nkn k k nknkn XPSP XIXPSP 1 2 1 2 2 Suy ra ( ) n SP ( ) ( ) = >+ n k k nkn XPSP 1 2 . Từ đó ta thấy nếu 0 P n S thì 0 P n S . Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu 0 P n S thì 0 P n S . Thật vậy: Ta có : ( ) > nk kk nn XSPSP n 1 sup, ( ) > = nk kk n nk kk n XPSP XSP n n 1 1 sup sup, Suy ra : ( ) ( ) >+ nk kk nn XPSPSP n 1 sup ( ) ( ) = >+ n k k nkn XPSP 1 Suy ra 0 P n S . 6. Mệnh đề 2.6. i). Nếu mảng các biến ngẫu nhiên ( ){ } 1,1, nkkX nnk độc lập theo hàng là mảng vô cùng bé thì với 0>t và với mọi n đủ lớn và n kk 1 ta có: ( ) >> 2 2 t XPtXP s nknk . (8) ii). Nếu { 1, nY n } là dãy các biến ngẫu nhiên với 0 P n Y ,thì với 0>t và n đủ lớn , ta có : ( ) >> 2 2 t YPtYP s nn . (9) Chứng minh: i) Gọi nk m là mêdian (trung vị ) của biến ngẫu nhiên nk X . Do mảng là vô cùng bé nên ta có : 0sup 1 n nk kk m n . Gọi N là số tự nhiên đủ lớn sao cho : 2 supsup 1 t m nk kkNn n 10