Thứ nguyên của các đại lượng vật lí và ứng dụng

1 Trêng §¹i häc Vinh khoa vËt lý ====***==== CAO THỊ BÍCH HỢP THỨ NGUYÊN CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VÀ ỨNG DỤNG Kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc Vinh – 05/2007 A. Mở ĐầU I. Lí do chọn đề tài Trong vật lý, thứ nguyên là một bộ phận không thể tách rời của các đại lợng vật lý, do đó việc hiểu về thứ nguyên thì chúng ta sẽ hiểu đầy đủ hơn bản chất của các đại lợng vật lý. Khi nghiên cứu các hiện tợng vật lý không thể luôn luôn thực hiện đợc bằng các lý luận và tính toán toán học. Trong nhiều trờng hợp việc giải các bài toán vật lý vấp phải những khó khăn không thể vợt qua. Trong các trờng hợp nh vậy thì các phơng pháp nghiên cứu thực nghiệm kết hợp với lý thuyết thứ nguyên có thể giúp chúng ta thu đợc kết quả một cách dễ dàng, đơn giản hơn. Lý thuyết thứ nguyên sẽ cho ta khả năng phân tích về mặt lý luận một cách định tính sơ bộ và việc lựa chọn hệ các tham số không thứ nguyên. Lý thuyết này có thể đợc áp dụng để xét các hiện tợng phức tạp và làm giảm nhẹ rất nhiều công việc xử lý các thí nghiệm. Sự kết hợp giữa lý thuyết thứ nguyên với những hiểu biết thông qua con đ- ờng thí nghiệm hoặc bằng toán học đôi khi cũng có thể cho các kết quả khả quan. Thờng thì lý thuyết thứ nguyên đem lại rất nhiều lợi ích cả trong lý thuyết lẫn trong thực nghiệm. Ngoài ra chúng ta có thể sử dụng phơng pháp thứ nguyên để kiểm tra, đánh giá kết quả bài toán. Đặc biệt, đối với phơng pháp thi trắc nghiệm thì sử dụng lý thuyết thứ nguyên trong một số bài toán vật lý sẽ giúp cho chúng ta chọn chính xác đáp án một cách nhanh chóng, dễ dàng hơn mà không phải giải cụ thể bài toán đó. Hiểu về lý thuyết về thứ nguyên là rất quan trọng và cần thiết cho ngời dạy và học vật lý. Tuy nhiên hiện nay có không ít ngời đánh giá sai về tầm quan trọng của thứ nguyên. Cả ngời dạy và ngời học cha quan tâm đúng mức đến thứ nguyên 2 (đơn vị đo) của các đại lợng vật lý. Trong quá trình học và giải bài tập vật lý, chúng ta lại cần phải quan tâm đến thứ nguyên của các đại lợng, phải xét chúng trong cùng một hệ đơn vị đo. Nhng việc đổi các đơn vị từ hệ này sang hệ khác lại là một trong những khó khăn của học sinh, dẫn đến việc đa ra kết quả sai. Trong khi đó, việc trình bày lý thuyết về thứ nguyên trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở các trờng còn cha đầy đủ, sơ sài cha tơng xứng với tầm quan trọng của nó. Trớc tình hình đó đặt ra một vấn đề là giáo viên, sinh viên, học sinh cần quan tâm, lu ý, nghiên cứu một cách nghiêm túc hơn thứ nguyên, đơn vị đo của các đại lợng vật lý trong quá trình giảng dạy và học tập môn vật lý ở nhà trờng. Từ những điều trên đã gợi ý cho chúng tôi lựa chọn đề tài: Thứ nguyên của các đại lợng vật lý và ứng dụng . II. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm mục đích nâng cao sự hiểu biết cho giáo viên, học sinh, sinh viên về thứ nguyên, hệ đơn vị đo các đại lợng vật lý. Từ đó nâng cao chất lợng học tập vật lý. III. Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu khái quát về lý thuyết thứ nguyên. + Nghiên cứu về các đơn vị đo cơ bản và đơn vị đo dẫn xuất trong hệ SI và một số đơn vị khác. +sử dụng phơng pháp thứ nguyên để giải các bài toán vật lý. IV.Cấu trúc luận Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Mở đầu: Giới thiệu lí do, mục đích và nhiệm vụ của đề tài. Nội dung: gồm ba chơng Chơng 1: Thứ nguyên các đại lợng vật lý Trình bày một cách hệ thống thứ nguyên của các đại lợng vật lý. Chơng 2: Các đơn vị đo trong vật lý 3 Trình bày định nghĩa mới nhất của các đơn vị đo cơ bản và nêu ra một số đơn vị dẫn xuất trong hệ SI. Chơng 3: ứng dụng lý thuyết thứ nguyên trong việc giải các bài toán cơ học Nêu ba bài toán cơ học đợc giải bằng phơng pháp thứ nguyên. Nêu tám bài toán trắc nghiệm khách quan sử dụng phơng pháp thứ nguyên để lựa chọn đáp án đúng. Nêu hai bài tập kiểm tra kết quả giải các bài toán vật lý dựa trên thứ nguyên. Kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt đợc. Tài liệu tham khảo Mục lục B. nội dung Chơng 1: Thứ nguyên các đại lợng vật lý. 4 1.1. Các đại lợng có thứ nguyên và không thứ nguyên. Các đại lợng mà giá trị bằng số của nó phụ thuộc vào các tỷ xích đã chọn tức là phụ thuộc vào hệ các đơn vị đo, đợc gọi là các đại lợng có thứ nguyên. Ví dụ: Chiều dài, thời gian, lực, năng lợng Các đại lợng mà giá trị bằng số của nó không phụ thuộc vào hệ đơn vị đo đợc gọi là các đại lợng không thứ nguyên. Ví dụ: Góc, tỷ số giữa hai độ dài, tỷ số giữa bình phơng độ dài và diện tích Nhng việc phân chia ra các đại lợng có thứ nguyên và không thứ nguyên ở chừng mực nào đó là việc làm có tính chất ớc lệ. Một số đại lợng trong các trờng hợp này có thể coi là các đại lợng có thứ nguyên, còn trong các trờng hợp khác đ- ợc coi là các đại lợng không thứ nguyên. Ví dụ: Ta vừa gọi góc là đại lợng không thứ nguyên, nhng nh ta đã biết các góc có thể đợc đo bằng rad, độ, tức là các đơn vị đo khác nhau. Do đó con số xác định góc phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. Vì vậy góc có thể đợc xét nh một đại lợng có thứ nguyên. Ta xác định góc nh tỷ số giữa cung trơng nó và bán kính, nh vậy ta sẽ xác định đơn vị đơn trị để đo góc là rad. Nếu bây giờ trong tất cả các hệ đơn vị đo, chỉ đo góc bằng rad thì góc có thể đợc xét nh đại lợng không thứ nguyên. Nh vậy, các khái niệm về các đại lợng có thứ nguyên là các khái niệm tơng đối. 1.2. Đơn vị đo cơ bản và đơn vị dẫn xuất. Trong vật lý, mỗi thuộc tính của hiện tợng, đối tợng đều đợc đặc trng bởi một hay một vài đại lợng vật lý. Các đại lợng vật lý khác nhau đợc liên hệ với nhau bởi các hệ thức xác định. Ta có thể biểu diễn đại lợng này qua các đại lợng khác. Vì vậy có một số đại lợng vật lý đợc chọn làm các đại lợng cơ bản và ta gán cho chúng các đơn vị đo thì khi đó các đơn vị đo của tất cả các đại lợng còn lại sẽ đợc biểu diễn một cách xác định qua các đơn vị đo của đại lợng cơ bản. Các đơn vị 5 đo của các đại lợng cơ bản đợc gọi là các đơn vị cơ bản hay các đơn vị đầu tiên, còn tất cả các đơn vị còn lại đợc xác định từ các đơn vị cơ bản gọi là các đơn vị dẫn xuất hay các đơn vị thứ. Đơn vị cơ bản có thể xác định tuỳ ý, không phụ thuộc vào đơn vị đo các đại lợng khác. Việc chọn đơn vị đo cơ bản tuỳ thuộc vào các điều kiện cụ thể của từng bài toán. Trong các bài toán khác nhau, ta nên chọn các đơn vị đo của các đại lợng khác nhau làm các đơn vị cơ bản. Vì vậy trong các công trình nghiên cứu vật lý nên chọn đơn vị đo của độ dài, thời gian và khối lợng, còn trong kỹ thuật ngời ta chọn các đơn vị của độ dài, thời gian và lực làm các đơn vị cơ bản. Nhng ta cũng có thể lấy các đơn vị đo cơ bản là các đơn vị của vận tốc, mật độ, năng lợng Giữa các đại lợng vật lý với nhau có hàng loạt hệ thức liên hệ. Vì vậy giữa các đơn vị đo cũng có mối quan hệ với nhau. Dẫn đến số các đơn vị đo cơ bản ta cũng có thể lấy tuỳ ý. Tuy nhiên việc lựa chọn các đơn vị cơ bản sao cho tính toán thuận lợi, các công thức vật lý có hệ số đơn giản và hợp lý, đồng thời đảm bảo thống nhất số lợng đo lờng quốc tế. Mặt khác các đơn vị cơ bản phải tơng ứng với bản chất và sự quan trọng tơng đối của các khái niệm vật lý đợc dùng để mô tả các khái niệm đang xét. Nếu ta chọn các đơn vị đo cơ bản là một hoặc hai thì khi đó các hằng số có thứ nguyên trở thành các hằng số tuyệt đối không thứ nguyên. Dẫn đến trong nhiều hiện tợng, các hằng số vật lý hoàn toàn không quan trọng gì hoặc nhiều hiện tợng mang tính chất nhân tạo và không thuận tiện trong thực tế. Vì vậy số các đơn vị cơ bản ta nên chọn ít nhất là 3. Trong cơ học ngời ta chọn 3 đơn vị cơ bản ứng với 3 đại lợng là độ dài, thời gian, khối lợng. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể chọn số đơn vị cơ bản lớn hơn. Chẳng hạn, nh bằng kinh nghiệm có thể xác định các đơn vị đo độc lập nhau đối với bốn đại lợng: độ dài, thời gian, khối lợng và lực. Trong trờng hợp này phơng trình Niutơn có dạng: F = c.m.a 6 ở đây: F là lực, m là khối lợng, a là gia tốc còn c là hằng số có thứ nguyên [ c] = ML KT 2 Với [ F] = K; [m] = M; [a] = 2 T L Khi chọn các đơn vị cơ bản nh thế, trong công thức thứ nguyên của các đại lợng cơ học, trong trờng hợp tổng quát cho 4 đối số. Khi này hệ số c là hằng số vật lý có giá trị bằng số sẽ phụ thuộc vào việc chọn các đơn vị đo cơ bản. Nếu coi hằng số c là một số trừu tợng (do đó c sẽ có các giá trị bằng số nh nhau trong tất cả các hệ đơn vị đo) bằng hoặc không bằng đơn vị thì điều đó sẽ xác định thứ nguyên của lực qua khối lợng, độ dài và thời gian. Nói chung nhờ việc đa vào các hằng số vật lý phụ, ta có thể chọn một cách kinh nghiệm các đơn vị đo độc lập cơ bản cho n đại lợng (n>3) nhng khi đó phải đa vào n-3 hằng số vật lý phụ có thứ nguyên. Khi đó các công thức của các đại l- ợng vật lý sẽ chứa n đối số cho trờng hợp tổng quát. Điều đó sẽ không thuận tiện. Vì vậy trong cơ học ngời ta chỉ chọn 3 đơn vị cơ bản. Vật lý là môn khoa học mà bao gồm nhiều lĩnh vực nh cơ, nhiệt, điện từ, quang, hạt nhân và nguyên tử nên ta phải chọn các đơn vị cơ bản bao quát tất cả các phần. Trong hệ CGS ngời ta chọn các đơn vị cơ bản là centimet, gam- khối lợng và giây. Trong hệ MKGS ngời ta chọn các đơn vị cơ bản là met, kilogam- lực và giây. Còn trong hệ SI là hệ đơn vị quốc tế và cũng là hệ đo lờng hợp pháp của nớc ta mà hiện nay đang sử dụng rộng rãi thì chọn 7 đơn vị cơ bản là: + Đơn vị độ dài: mét (m) + Đơn vị thời gian: giây (s) + Đơn vị khối lợng: kilogam (kg) + Đơn vị nhiệt độ: Ken-Vin (K) + Đơn vị cờng độ dòng điện: ampe (A) 7 + Đơn vị cờng độ sáng: canđela (Cd) + Đơn vị lợng chất: mol (mol) Đơn vị dẫn xuất đựơc suy ra từ các đơn vị cơ bản theo một định nghĩa nào đó. Ví dụ nh lực, vận tốc, gia tốc. Ngời ta gọi sự biểu diễn đơn vị đo dẫn xuất qua các đơn vị đo cơ bản là công thức thứ nguyên. Thứ nguyên đợc viết bằng kí hiệu dới dạng công thức, trong đó kí hiệu của đơn vị độ dài là chữ L, kí hiệu đơn vị thời gian là chữ T, kí hiệu của đơn vị khối lợng là chữ M, kí hiệu của đơn vị cờng độ dòng điện là chữ A . Sau này để kí hiệu thứ nguyên của một đại lợng a nào đó ta sẽ sử dụng kí hiệu [a] do Macven đa vào. Ví dụ: Đối với thứ nguyên của lực F [F] = 2 T ML Sự phụ thuộc của các đơn vị đo của các đại lợng vật lý vào các đơn vị đo của các đại lợng cơ bản có thể biểu diễn dới dạng công thức. Các công thức này đ- ợc gọi là công thức thứ nguyên và có thể xét nó nh một định nghĩa chặt chẽ và nh đặc trng của bản chất vật lý. Các công thức thứ nguyên của các đại lợng vật lý phải có dạng các đơn thức luỹ thừa : L l M m T t A i . 1.3 Quan hệ hàm số giữa các đại lợng vật lý. Những định luật vật lý đợc thiết lập bằng lý thuyết hay trực tiếp từ thực nghiệm là các quan hệ hàm số giữa các đại lợng đặc trng cho hiện tợng đang nghiên cứu. Các giá trị bằng số của các đại lợng vật lý có thứ nguyên này phụ thuộc vào việc chọn hệ các đơn vị đo, hệ này không liên quan gì đến bản chất của các hiện tợng. Vì vậy các quan hệ hàm số biểu diễn các yếu tố vật lý mà các yếu tố này không phụ thuộc vào hệ các đơn vị đo phải có một cấu trúc đặc biệt nào đó. Ta sẽ đi tìm hiểu cấu trúc của hàm này. Ta xét đại lợng a có thứ nguyên, đại lợng này là hàm của các đại lợng a 1 , a 2 , .,a n độc lập nhau, có thứ nguyên a = f(a 1 , a 2 , .,a k , a k+1 , .,a n ) (1.3.1) với k n. Hàm f chính là quan hệ hàm số mà ta cần tìm hiểu cấu trúc. 8 Hàm f(a 1 , a 2 , .,a n ) biểu diễn một định luật vật lý nào đó không phụ thuộc vào việc chọn hệ các đơn vị đo. Trong số các đại lợng có thứ nguyên a 1 , . a n ta xét k đại lợng đầu có các thứ nguyên độc lập (số các đơn vị đo cơ bản phải lớn hơn hoặc bằng k). Tính độc lập của thứ nguyên có nghĩa là công thức biểu diễn thứ nguyên của một trong các đại lợng không thể đợc biểu diễn nh tổ hợp ở dạng đơn thức luỹ thừa của các công thức thứ nguyên đối với các đại lợng khác. Ví dụ: Thứ nguyên của độ dài L, của vận tốc L/T và của năng lợng ML 2 /T 2 là độc lập nhau; thứ nguyên của độ dài L, của vận tốc L/T và của gia tốc L/T 2 là phụ thuộc nhau. Ta giả sử rằng k bằng số lớn nhất của các tham số có thứ nguyên độc lập, vì vậy thứ nguyên của các đại lợng a, a k+1 , .,a n có thể biểu diễn qua các thứ nguyên của các tham số a 1 , a 2 , .,a k . Ta lấy k đại lợng độc lập a 1 , a 2 , .a k làm các đại lợng cơ bản và ta đa vào các kí hiệu sau cho các thứ nguyên của chúng: [a 1 ] = A 1 ; [a 2 ] = A 2 ; .;[a k ] =A k . Nh vậy các thứ nguyên của các đại lợng còn lại sẽ có dạng: [a] =A 1 m1 A 2 m2 A k mk [a k+1 ] = A 1 p1 A 2 p2 .A k pk [a n ] = A 1 q1 A 2 q2 .A k qk Bây giờ ta thay đổi các đơn vị đo của các đại lợng a 1 , a 2 , ., a k tơng ứng đi 1 , 2 , ., k lần, các giá trị bằng số của các đại lợng trong hệ các đơn vị mới sẽ bằng: a 1 = 1 a 1 a 2 = 2 a 2 a k = k a k 9 a = 1 m1 2 m2 . k mk a a k+1 = 1 p1 2 p2 . k pk a k+1 a n = 1 q1` 2 q2 . k qk a n Khi này trong hệ các đơn vị đo mới, hệ thức (1.3.1) có dạng: a = 1 m1 2 m2 . k mk a = 1 m1 2 m2 . k mk f( a 1 ,a 2 , . a n ) = f ( 1 a 1 , 2 a 2 , . k a k , 1 p1 2 p2 . k pk a k+1 , . 1 q1` 2 q2 . k qk a n ) (1.3.2) Đẳng thức này chỉ ra rằng, hàm f có tính chất thuần nhất đối với các tỷ xích 1 , 2 , ., k . Các tỷ xích 1 , 2 , ., k là tuỳ ý. Ta đặt: 1 = 1/a 1 ; 2 = 1/a 2 ; . ; k = 1/a k Tức là chọn hệ các đơn vị đo sao cho các giá trị của k đối số đầu tiên trong vế phải của hệ thức (1.3.2) bằng đơn vị. Khi đó trong hệ đơn vị mới, các giá trị bằng số của các tham số a, a k+1 , . a n lần lợt đợc xác định bởi công thức: = mk k mm aaa a 2 2 1 1 1 = pk k pp k aaa a 2 2 1 1 1 + n-k = qk k qq n aaa a 2 2 1 1 ở đây a, a 1 , a 2 . a n là các giá trị bằng số của các đại lợng đang xét trong hệ đơn vị ban đầu. Ta nhận thấy , 1 , . , n-k không phụ thuộc vào hệ đơn vị đo, suy ra ta xét các đại lợng này nh các đại lợng không thứ nguyên. Lúc này, trong hệ đơn vị đo mới hệ thức (1.3.1) đợc biểu diễn dới dạng: = f (1, 1, . ,1, 1 , 2 , . , n-k ) k số 10