Các anr không gian thoả mãn một số tính chất đặc biệt

Mục lục Mụclục 1 Lời nói đầu 2 Chơng I. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. ANR - không gian, ánh xạ co rút, cái co rút . .4 1.2. Chiều và đa diện .5 1.3. Co rút tuyệt đối- Co rút lân cận tuyệt đối .6 Chơng II. Các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( 2.1. điều kiện )( .12 2.2. Tích đề các của những tập thoả mãn điều kiện ( ) .17 Chơng III. Các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( 3.1. Điều kiện )( 21 3.2. Biểu diễn đơn hình của các phủ hữu hạn 25 3.3. Kiểu đồng luân của không gian thoả mãn điều kiện )( .33 Kết luận .34 Tài liệu tham khảo 35 1 Lời nói đầu Khái niệm co rút và co rút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên đợc nghiên cứu cho các không gian mêtric compắc. Sau đó ngời ta nghiên cứu khái niệm trên cho các lớp không gian mêtric tuỳ ý. Những ngời khởi xớng cho vấn đề này là Dowker và Dugundji. Câu hỏi đặt ra là, khi xét trên lớp các không gian mêtric compắc thì co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối hiểu nh thế nào? những tính chất riêng của chúng ra sao? Khi các ANR không gian thoả mãn điều kiện )( , điều kiện )( thì chúng có thêm tính chất gì? Xuất phát từ những điều đó, tác giả tìm hiểu về các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( và điều kiện )( . Xét xem các tính chất nào của họ ANR - không gian là bất biến, đồng thời cũng đa ra một số tính chất mới của ANR - không gian khi thoả mãn hai điều kiện trên, để từ đó chứng minh chi tiết một số định lí, hệ quả về mối quan hệ giữa các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( và điều kiện )( . Với mục đích đó, luận văn đợc trình bày trong ba chơng. Chơng I. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong hai chơng sau. Chơng này gồm ba mục Mục 1.1. Trình bày khái niệm về ANR - không gian, ánh xạ co rút, cái co rút . Mục 1.2. Trình bày một số khái niệm về chiều và đa diện. Mục 1.3. Trình bày một số khái niệm về co rút tuyệt đối- co rút lân cận tuyệt đối. Chơng 2. Các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( Chơng này gồm hai mục Mục 2.1. Trình bày nội dung điều kiện )( và một số tính chất của không gian ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( . Mục 2.2. Trình bày về tích đề các của những tập thoả mãn điều kiện ( ). 2 Chơng III. Các ANR - không gian thoả mãn điều kiện )( . Chơng này gồm ba mục Mục 3.1. Trình bày nội dung điều kiện )( và một số hệ quả, định lí nói về tính chất của các không gian thoả mãn điều kiện )( , bổ đề về phép nhúng trong các đơn hình. Mục 3.2. Trình bày về biểu diễn đơn hình của các phủ hữu hạn. Mục 3.3. Trình bày về kiểu đồng luân của không gian thoả mãn điều kiện )( , không gian ANR thuần nhất. Các kết quả trình bày trong luận văn hầu hết đã có trong các tài liệu tham khảo [3] và [5], chúng tôi chứng minh chi tiết những kết quả mà chúng chỉ đợc chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đa ra chứng minh vài kết quả nhỏ nh Định lí 2.1.1, Bổ đề 3.1.5. Trong luận văn, tác giả quy ớc rằng tất cả các không gian đều là không gian Haussdoff và các ánh xạ đều liên tục. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS. TS .Tạ Khắc C, ngời thầy đã tận tình giúp đỡ, hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập cũng nh nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích khoa toán, khoa sau đại học cùng bạn bè đã nhiệt tình giảng dạy, động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trờng Đại Học Vinh. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn. Vinh, tháng12 năm 2008 Tác giả Chơng I 3 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 ANR -không gian, ánh xạ co rút, cái co rút 1.1.1 Định nghĩa ([3]). ánh xạ f từ không gian X vào không gian Y đợc gọi là r - ánhxạ nếu tồn tại ánh xạ XYg : là nghịch phải của f , nghĩa là hợp thành YYfg : là ánh xạ đồng nhất i từ không gian Y lên chính nó. 1.1.2 Định nghĩa([3]). Giả sử Y là tập con của X . Khi đó ánh xạ YXf : đợc gọi là ánh xạ co rút (hay phép co rút) nếu ánh xạ nhúng XYi : là nghịch phải của f , nghĩa là xxf = )( với mọi điểm Yx . Do f là ánh xạ lên nên ta nói f co X lên Y . Nói cách khác, ta có thể xác định ánh xạ co rút nh là ánh xạ XXf : thoả mãn phơng trình fff = . 1.1.3 Định nghĩa ([3]). Tập con 0 X của không gian X đợc gọi là cái co rút của X nếu tồn tại phép co rút từ X lên 0 X . 1.1.4 Định nghĩa ([3]). Tập con đóng 0 X của không gian X đợc gọi là cái co rút lân cận của X nếu 0 X là cái co rút của tập con mở XU và UX 0 . 1.1.5 Định nghĩa ([1]). ánh xạ YXf : đợc gọi là thác triển liên tục của ánh xạ YXf 00 : nếu XX 0 và 0 f trùng với 0 Xf . 1.1.6 Định lí ([3]). Tập con 0 X của không gian X là cái co rút của nó khi và chỉ khi mỗi ánh xạ YXf : 0 có thác triển liên tục YXf : , với Y là không gian tuỳ ý . Chứng minh. Nếu tồn tại phép co rút 0 : XXr thì đối với mỗi ánh xạ YXf 00 : ta đặt rff 0 = . Khi đó, f là ánh xạ thác triển của 0 f . Thật vậy, với cách đặt nh trên thì YXf : , với mọi 00 Xx . Vì 00 )( xxr = nên )()( 000 xfxf = . Ngợc lại, nếu mỗi ánh xạ YXf : 0 có thác triển liên tục YXf : thì trong trờng hợp riêng ánh xạ đồng nhất 00 : XXi có thác triển liên tục 0 : XXf là phép co rút. 1.1.7 Định nghĩa ([3]). Ta hiểu r bất biến là những tính chất tôpô đợc bảo tồn qua r - ánh xạ. 4 1.1.8 Định nghĩa ([3]). Cho hai không gian X , Y . Khi đó, ta kí hiệu X Y là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y . Trong không gian hàm X Y ta trang bị tôpô nh sau Đối với mỗi tập compắc XX 0 và tập mở YV . Kí hiệu { } YXfYfVXG X = )(:),( 00 , { } = = 1 0 ),( i i VXG . Khi đó, là tiền cơ sở của không gian hàm X Y . Do đó, tôpô này gọi là tôpô compắc mở. Không gian hàm X Y gồm tất cả các ánh xạ X Y thoả mãn 01 )( YX đợc kí hiệu là ),( 0 1 ),( XX YY . 1.1.9 Định nghĩa ([3]). Các ánh xạ ),( 010 0 ),(, XX YYff đợc gọi là đồng luân nếu với mỗi ]1,0[ t , tồn tại ánh xạ ),( 0 0 ),( XX t YYf mà t f liên tục thoả mãn 00 ff t = = và 11 ff t = = . Khi đó, ta cũng nói họ { } t f là họ đồng luân nối 0 f với 1 f . Dễ thấy rằng quan hệ đồng luân có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong không gian ),( 0 0 ),( XX YY . Do đó, quan hệ này chia không gian ),( 0 0 ),( XX YY thành những lớp tơng đơng đồng luân. Ta kí hiệu mỗi lớp tơng đ- ơng này là ][ f trong đó f là đại diện của nó. Nh vậy, ][][ , ff = khi và chỉ khi f đồng luân với , f . 1.1.10 Định nghĩa ([3]). Ta nói ),( 010 0 ),(, XX YYff là đồng luân yếu nếu chúng thuộc về một thành phần liên thông của ),( 0 0 ),( XX YY . 1.1.11 Định nghĩa ([3]). Ta nói hai ánh xạ 10 , ff là đồng luân mạnh nếu tồn tại ánh xạ ),(])1,0[],1,0[(: 00 YYXX ìì thoả mãn các điều kiện i) 0 ),( Ytx với mọi 0 Xx và ]1,0[ t ; ii) )()0,( 0 xfx = , )()1,( 1 xfx = với mọi .Xx 1.1.12 Định nghĩa ([3]). Tập con XA đợc gọi là co rút theo không gian X vào tập XB nếu ánh xạ nhúng XAi : đồng luân với ánh xạ YAf : sao cho BAf )( , với Y là không gian bất kì. 5 Nếu B chỉ gồm một điểm thì ta nói tập A co rút theo X vào một điểm. 1.1.13 Định nghĩa ([3]). Không gian X đợc gọi là co rút điểm địa phơng tại điểm Xx 0 nếu mỗi lân cận U của 0 x chứa lân cận 0 U co rút theo U về một điểm. 1.1.14 Định nghĩa ([1]). Không gian X đợc gọi là có tính chất điểm bất động nếu mỗi ánh xạ XXf : có điểm bất động. Nghĩa là, có ít nhất một điểm Xx 0 sao cho 00 )( xxf = . 1.1.15 Định lí Dugundji ([3]). Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric ),( dX , Y là không gian lồi địa phơng. Khi đó, mỗi ánh xạ YAf : có thác triển liên tục YXf : . Hơn thế nữa tất cả các giá trị f có thể lấy từ bao lồi ))(( AfC của )(Af . 1.1.16 Định nghĩa ([5]). Cho không gian tôpoô X . Họ { } à UU = với à U là tập con của IX à , là tập chỉ số nào đó đợc gọi là một phủ của không gian X nếu I UX = à à . Nếu mọi à U mở thì ta nói U là phủ mở. Nếu mọi à U đều đóng thì U đ- ợc gọi là phủ đóng. 1. 2 . Chiều và đa diện 1.2.1 Định nghĩa ([2]). Ta nói nX dim nếu với phủ mở hữu hạn địa phơng của không gian X , tồn tại cái mịn mở hữu hạn địa phơng sao cho không một điểm nào của X nằm trong quá 1 + n phần tử của cái mịn. Nếu trong X thoả mãn điều kiện nX dim nhng không thoả mãn điều kiện )1(dim nX thì ta nói nX = dim . Nếu nX dim không thoả mãn với bất cứ số tự nhiên n nào thì ta nói chiều của không gian X là vô hạn và kí hiệu = Xdim . Ngợc lại, X là không gian hữu hạn. 1.2.2 Định nghĩa ([3]). Không gian X đợc gọi là một đa diện nếu tồn tại một họ J các đơn hình hình học sao cho 6 1) I X = ; 2) Mỗi mặt của đơn hình J cũng thuộc J ; 3) Nếu các đơn hình 21 , thuộc J thì 21 cũng là mặt của mỗi đơn hình đó; 4) Tập con XG mở khi và chỉ khi G mở trong mỗi J . Họ J đợc gọi là tam giác phân của không gian X , các đỉnh của đơn hình J là đỉnh của J . Điều kiện (4) của định nghĩa trên xác định một tôpô trên X , đó là tôpô yếu trên X . Mỗi đa diện X là một CW - phức đơn hình theo nghĩa Whitehead. 1.2.3 Định lí ([3]). Giả sử J là tam giác phân của X , f xác định trên X và nhận giá trị trong không gian tôpô Y . Khi đó, f liên tục khi và chỉ khi f liên tục, với mỗi J . Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ. Thật vậy, nếu f liên tục và hạn chế f liên tục thì đối với mỗi tập con mở V của không gian Y ta có )( 1 Vf là tập mở trong với mỗi J . Suy ra )( 1 Vf mở trong X . Vậy định lí đợc chứng minh. 1.3. Co rút tuyệt đối-Co rút lân cận tuyệt đối 1.3.1 Định nghĩa ([3]). Kí hiệu M là lớp tất cả các không gian khả mêtric. Khi đó, không gian X đợc gọi là co rút tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric nếu MX và đối với mỗi đồng phôi h , ánh xạ không gian X lên tập con đóng )(Xh của không gian mêtric Y thì tập )(Xh là cái co rút của Y . Ta viết )(MARX . 1.3.2 Định nghĩa ([3]). Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric Y nếu MX và đối với mỗi đồng phôi h ánh xạ X lên tập con đóng )(Xh của không gian MY thì )(Xh là cái co rút lân cận của Y . Khi đó, ta viết )(MANRX . 1.3.3 Định lí ([3]). Giả sử X là không gian mêtric, X là hợp của hai tập con đóng 21 ,XX của nó , 210 XXX = . Khi đó 7 1) Nếu ( ) MARXXX 210 ,, thì ( ) MARX ; 2) Nếu ( ) MANRXXX 210 ,, thì ( ) MANRX ; 3) Nếu ( ) MARXX 0 , thì ( ) MARXX 21 , ; 4) Nếu ( ) MANRXX 0 , thì ( ) MANRXX 21 , . 1.3.4 Hệ quả([2]). Mỗi đa diện hình học là )(MANR - không gian. Chứng minh. Mỗi đa diện hình học là tập compắc, vì nó có số tam giác phân hữu hạn. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh đa diện hình học là ANR- không gian. Giả sử X là đa diện n chiều, J là tam giác phân của nó. Khi đó, tam giác phân J là hữu hạn. Kí hiệu K là số đơn hình của X , ta sẽ chứng minh định lí trên bằng phép quy nạp. Nếu 1 = k thì kết luận hiển nhiên đúng vì đa diện chỉ một đơn hình hình học là ANR- không gian. Giả sử 1 >= mk , ta giả thiết kết luận đúng đối với mọi đa diện có số đơn hình mk < . Kí hiệu là đơn hình n chiều nào đó của J và 1 J là tam giác phân nhận đợc từ J bỏ bớt một đơn hình nói trên. Theo giả thiết quy nạp suy ra đa diện 1 X với tam giác phân 1 J là )(MANR - không gian. Nếu kí hiệu tập = 0 X ( là biên đơn hình của ) thì 0 X cũng là )(MANR - không gian. Vì 0 X là một phần của đa diện 1 X với tam giác phân 1 J . Do đó, số tam giác phân của 0 X bé hơn m - đơn hình. Nếu = 2 X thì 2 X là )(MANR - không gian. Mặt khác, 2 X đồng phôi với tập con lồi của không gian Euclit và 21 XXX = , 210 XXX = nên từ Định lí 1.3.3 ta có )(MANRX . 1.3.5 Định nghĩa ([3]). Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối hay ANR -không gian nếu X compắc và AR - không gian. Kí hiệu ANRX . 1.3.6 Định lí ([3]). Nếu ANRY và với 0 > tồn tại 0 > sao cho mọi tập con đóng 0 X của không gian mêtric X và các ánh xạ 0 21 , X Yff thoả mãn ),( 21 ff mà 1 f có thác triển liên tục X Yf , 1 thì 2 f có thác triển X Yf , 2 sao cho ),( , 2 , 1 ff . 8 Chứng minh. Giả sử ANRY , 0 X là tập con đóng bất kì của không gian mêtric X , X Yf , 1 là thác triển liên tục của 1 f . Ta cần chứng minh 2 f có thác triển X Yf , 2 và ),( , 2 , 1 ff . Không mất tính tổng quát, ta giả thiết EQY . Vì ANRY nên tồn tại lân cận U của Y trong Q và ánh xạ co rút YUr : . Mặt khác, Y compắc nên tồn tại 0 > thoả mãn 2 1 . Từ đó suy ra hình cầu { } = ),(: YyEyK nằm trong U và 2 1 ))(,( yry với mọi Ky ( vì yyr = )( với Yy ). Đặt )()()( 21 xfxfx = với mọi Xx . Khi đó, mọi giá trị của nằm trong 0 K với { } = )0,(: 0 yEyK . Vì ),( 21 ff và 0 K là tập lồi nên theo Định lí Dugundji ta suy ra rằng ánh xạ có thác triển liên tục 0 , : KX . Giả sử , 1 f là thác triển liên tục của 1 f . Khi đó , <= ))(,0()())(),(( ,, 1 , 1 xxxfxf với Xx (1) suy ra Kxxf )()( ,, 1 . Nh vậy, công thức ))()(()( ,, 1 , 2 xxfrxf = xác định ánh xạ YXf : , 2 . Khi đó, ta có , 2 f là thác triển của 2 f . Vì )())(()( 22 , 2 xfxfrxf == với mọi Xx nên từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức 2 1 ))(,( yry ta suy ra ))(),(( , 2 , 1 xfxf với mọi Xx . Vậy định lí đợc chứng minh. 1.3.7 Định nghĩa([4]). Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn E đợc gọi là siêu phẳng trong E nếu F là không gian con của E và F chứa H thì hoặc HF = hoặc EF = . 1.3.8 Đinh nghĩa ([4]). Không gian tôpô X đợc gọi là compăc nếu mọi phủ mở { } I G tồn tại tập con hữu hạn IJ sao cho { } J G cũng là phủ mở của X . Không gian X đợc gọi là compắc địa phơng nếu mọi Xx đều có một lân cận compắc và đóng. 9 1.3.9 Định nghĩa ([1]). Giả sử X là không gian mêtric, A là tập con của X . Tập A gọi là không đâu trù mật trong X nếu phần trong của A trong X bằng rỗng. Không gian X đợc gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X viết đợc dới dạng = = 1n n AX trong đó các n A là tập không đâu trù mật trong X . Không gian X không thuộc phạm trù thứ nhất đợc gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 1.3.10 Định lí ([3]). Cho X là không gian mêtric. Khi đó, X là )(MAR không gian khi và chỉ khi X là r- ảnh của một tập con lồi trong không gian định chuẩn Y nào đó. 1.3.11 Định lí ([3]). Giả sử X là hợp của hai tập con đóng 21 , XX và 210 XXX = . Khi đó, nếu 210 ,, XXX là )(MAR (tơng ứng )(MANR ) thì )(MARX (tơng ứng )(MANR ). 1.3.12 Định lí ([3]). Cho Y là không gian mêtric, nếu A là tập con đóng của không gian mêtric X và 1)\dim( + nAX thì với mọi ánh xạ YAf : tồn tại lân cận U của A trong X sao cho f có thác triển liên tục YUf : . 10