3.3.1 Hệ quả ([5]). Nếu hai không gian compắc hữu hạn chiều X và X, có phép phân hoạch (Γ) tơng ứng χ và χ, thì tồn tại một đa diện P chứa hai co rút biến dạng đồng phôi với X và X, tơng ứng.
Chứng minh. Theo (22) tồn tại một phức đơn hình hình học K với phép biểu diễn đơn hình của hai phân hoạchχ và χ,. Theo Định lí 3.2.4 ta có không gian
X và X, là đồng phôi với cái co rút biến dạng của đa diện P. Từ Hệ quả 3.2.3(i) ta suy ra mọi co rút biến dạng của không gian là tơng đơng đồng luân với không gian đó.
3.3.2 Hệ quả ([5]). Mỗi không gian có số chiều hữu hạn thoả mãn điều kiện
)
(Γ là tơng đơng đồng luân với đa diện đó.
3.3.3 Hệ quả ([5]). Hai không gian compắc hữu hạn chiều có phép phân hoạch (Γ) tơng đơng nhau thì có cùng một kiểu đồng luân.
3.3.4 Hệ quả ([5]). Nếu {X1,X2,...,Xk}là phép phân hoạch (Γ) của không gian compắc hữu hạn chiều X thì X có cùng kiểu đồng luân tơng tự nh thần kinh của phép phân hoạch đó.
3.3.5 Định nghĩa ([5]). Không gian X đợc gọi là thuần nhất nếu với hai điểm
X x
3.3.6 Định lí ([5]). Một ANR−không gian liên thông n-chiều là đa tạp nếu và chỉ nếu nó là thuần nhất và chứa hình cầu Ơclit n-chiều.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.
Giả sửX là ANR-không gian liên thông, thuần nhất và ϕ là một đồng phôi ánh
xạ hình cầu Q =Qn lên tập con ϕ(Q)của X . Kí hiệu Q∗ là biên của Q. Nếu tồn tại điểm a∈ϕ(Q−Q∗)nằm trong bao đóng của tập X −ϕ(Q)thì tồn tại trong
)
( ∗
− Q
X ϕ một đơn hình là L nối b∈ X −ϕ(Q) với a. Khi đó, tồn tại c∈
) (Q
L−ϕ sao cho phần trong của hình cầu L, của L cùng với b và c nằm
trong X −ϕ(Q). Ta thấy rằng tập , ( )
Q
L ∪ϕ là cái ô n- chiều trong X có tâm là
c. Nhờ tính thuần nhất của X suy ra với mọi x∈X là tâm của cái ô n– chiều
nằm trong X . áp dụng định lí về ô suy ra dimX >n, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy định lí đợc chứng minh.
Kết luận
Luận văn đã giải quyết đợc các vấn đề sau
1. Hệ thống lại một số khái niệm nh r - ánh xạ, khái niệm co rút tuyệt đối, co rút lân cận tuyệt đối, ANR- không gian, siêu phẳng, đa diện, thác triển ánh xạ, phủ hữu hạn và các tính chất của chúng....
2. Trình bày nội dung điều kiện (∆)và tính chất của không gian Y thoả mãn điều kiện (∆)thể hiện ở Định nghĩa 2.1.1 và Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3, Hệ quả 2.1.4, Hệ quả 2.1.5, Hệ quả 2.1.6.
3.Trình bày nội dung điều kiện (Γ), một số tính chất của nó thể hiện ở nội dung Định nghĩa 3.1, Hệ quả 3.1.1 và Tính chất 3.1.2, Bổ đề 3.1.3, Hệ quả 3.1.4. 4. Trình bày đặc trng của không gian thoả mãn điều kiện (Γ) là sự co biến dạng của khối đa diện đợc thể hiện ở Bổ đề 3.2.1, Định lí 3.2.2.
5.Trình bày định nghĩa không gian ANR-thuần nhất và tính chất đặc trng của nó thể hiện ở Định lí 3.3.6.
Tài liệu THam khảo
[1] Trần Văn Ân- Tạ Khắc C, 2005, Không Gian Mêtric Tuyến Tính, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia.
[2] Đậu Thế Cấp , 2002, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo Dục.
[3] Tạ Khắc C , 1985, Lí thuyết co rút, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia.
[4] J.L.Kelley, 1973, Tôpô đại cơng, Nhà xuất bản Đại học và Trung học Chuyên nghiệp.
[5] Karol Borsuk, 1982, Theory of retracts.