Không gian tô pô đối xứng

Trờng đại học vinh Khoa toán __________________________ Lê khánh hng Không gian tôpô đối xứng Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Vinh 2005 1 Trờng đại học vinh Khoa toán __________________________ Không gian tôpô đối xứng Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Đinh Huy Hoàng Sinh viên thực hiện: Lê khánh hng Lớp 42A 1 Khoa Toán Vinh 2005 2 Mục lục Trang Lời mở đầu 1 Đ1. Các khái niệm cơ bản 3 Đ2. Một số loại không gian tôpô đặc biệt 7 2.1. Các định nghĩa 7 2.1. Mối liên hệ giữa các không gian 9 Đ3. Không gian tôpô đối xứng 12 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 3 lời mở đầu Khái niệm cơ bản về các phủ trong không gian mêtric tổng quát đã đợc nhiều nhà toán học nh: Ikeda, Tanaka, Michael, Buske . quan tâm từ những năm 70 của thế kỷ XX. Trong những năm gần đây, vấn đề này đợc các nhà toán học nghiên cứu sâu hơn trong không gian tôpô đặc biệt nh: Pengfei, Shou Lin, Tanaka, Zhou Hoa Xuan . Không gian tôpô đối xứng đợc đa ra và nghiên cứu bởi A.V.Arhangel'ski [2], G. Grnenhage[3] và nhiều nhà toán học khác. Đó là lớp không gian rộng hơn không gian mêtric. Mục đích của khoá luận là nghiên cứu các tính chất của không gian tôpô đối xứng, không gian nửa mêtric hoá đợc trong mối quan hệ với các không gian tôpô đặc biệt khác và nghiên cứu mối liên hệ của các phủ, sự tồn tại các phủ, đặc biệt là các phủ đếm đợc theo điểm. Với mục đích trên, khoá luận đợc trình bày theo ba phần: Đ1. Các khái niệm cơ bản Mục này dành cho giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Đ2. Một số loại không gian tôpô đặc biệt Mục này dành cho việc định nghĩa các không gian tôpô đặc biệt và chứng minh các mệnh đề về quan hệ giữa các không gian đó. Đ3. Không gian tôpô đối xứng Đây là nội dung chính của luận văn. Trong mục này, chúng tôi đề xuất và chứng minh một số tính chất của không gian tôpô đối xứng, mối quan hệ của nó với các không gian tôpô đặc biệt. Sau đó, xét mối quan hệ giữa các loại phủ trong không gian tôpô đối xứng. Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu thực hiện khoá luận, chúng tôi còn đặt ra một số vấn đề khác nữa nhng do điều kiện thời gian và năng lực cùng khuôn khổ của khoá luận không cho phép nên chúng cha đợc giải quyết. Chúng tôi hy vọng sẽ giải quyết các vấn đề này trong thời gian tiếp theo. 4 Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Toán trờng Đại học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận này chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc các thầy, cô và các bạn góp ý, bổ sung. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 5 Đ1. Các khái niệm cơ bản Trớc khi đi vào nội dung chính, chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của tôpô đại cơng đợc sử dụng trong luận văn. ở đây, chúng ta chỉ trình bày các kết quả, còn phần chứng minh có thể tham khảo trong các tài liệu. 1.1. Phủ của một tập Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của tập con A trong X nếu A {P : P P}. Ta viết P thay cho {P : P P}. 1.2. Phủ của một không gian Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của không gian X nếu X P. 1.3. G - tập Tập con A của không gian tôpô X đợc gọi là một G - tập nếu A là giao của đếm đợc tập mở chứa A, nghĩa là A có thể biểu diễn đợc dới dạng: A = Nn U n , trong đó U n mở trong X với mọi n . 1.4. Phủ đếm đợc theo điểm Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ đếm đợc theo điểm nếu mỗi điểm x X chỉ thuộc nhiều nhất là đếm đợc tập thuộc P. 1.5. T 1 - không gian Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 - không gian nếu với hai điểm bất kỳ x, y X, x y tồn tại các lân cận tơng ứng U x , U y của x và y sao cho yU x và x U y . 1.6. T 2 - không gian Không gian tôpô X đợc gọi là T 2 - không gian nếu với hai điểm bất kỳ x, y X, x y tồn tại các lân cận tơng ứng U x , U y của x và y sao cho U x U y = . 6 1.7. Không gian chính quy Không gian tôpô X đợc gọi là không gian chính quy nếu đối với mọi tập đóng F X và với x F tồn tại các tập mở U, V sao cho F U, x V và U V = . 1.8. Không gian chuẩn tắc Không gian tôpô X đợc gọi là không gian chuẩn tắc nếu đối với hai tập đóng rời nhau F 1 , F 2 đều tồn tại các tập mở U 1 , U 2 sao cho F 1 U 1 , F 2 U 2 và U 1 U 2 = . 1.9. Định lý. Không gian tôpô X là T 1 - không gian khi và chỉ khi tập một điểm là đóng. Chúng ta giới thiệu một số khái niệm mới về phủ. Cho không gian tôpô X, P là một phủ của X. Ký hiệu P < là họ tất cả các tập con hữu hạn của P. Ta có các định nghĩa: 1.10. Lới. P đợc gọi là một lới nếu với bất kỳ U mở trong X, x U thì tồn tại P < sao cho x U. 1.11. k - lới. P đợc gọi là một k - lới nếu với bất kỳ U mở trong X, K U với K là tập compact của X thì tồn tại P < sao cho K U. 1.12. p - k - lới. P đợc gọi là một p - k - lới nếu với bất kỳ y X, K là tập compact trong X, K X \{y} thì tồn tại P < sao cho K X \{y}. 1.13. cs - lới.P đợc gọi là một cs - lới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại n và P P sao cho: {x} {x m : m n} P U. 7 1.14. cs* - lới. P đợc gọi là một cs* - lới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho: {x} { i n x : i } P U. 1.15. wcs* - lới. P đợc gọi là một wcs* - lới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho: { i n x : i } P U. 1.16. p - wcs* - lới. P đợc gọi là một p - wcs* - lới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và y x thì tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho: { i n x : i } P X \{y}. 1.17. s - lới. P đợc gọi là một s - lới nếu nó là một lới và mỗi tập con không đóng A X thì tìm đợc x X sao cho với mỗi lân cận U của x đều tồn tại P P , P U và P A vô hạn. 1.18. Lân cận dãy. Tập con P của không gian tôpô X đợc gọi là một lân cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {x n } hội tụ về x thì luôn tồn tại n 0 sao cho x n P với mọi n n 0 . 1.19. Phủ có tính chất (A) - Phủ có tính chất (B) Ký hiệu Int S (V) = {x X: V là lân cận dãy của x}. a. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ có tính chất (A) nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của x luôn tồn tại P < sao cho: x Int S ( ) U. 8 b. Phủ P đợc gọi là phủ có tính chất (B) nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của x luôn tồn tại P < sao cho: i) x Int S ( ) U, ii) x . 1.20. sn - lới và cơ sở yếu Giả sử phủ P của không gian tôpô X đợc cho bởi P = {P x : x X}, trong đó mỗi P x là họ các tập con chứa x của X sao cho: i) Mỗi P x đều là một lới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của x đều tồn tại P P x mà P U. ii) Nếu P 1 , P 2 P x thì đều tồn tại P 3 P x mà P 3 P 1 P 2 . a. sn - lới Phủ P đợc gọi là một sn - lới của không gian tôpô X nếu mỗi P P x là một lân cận dãy của x. b. Cơ sở yếu Phủ P đợc gọi là một cơ sở yếu của không gian tôpô X nếu mỗi tập con G của X là tập mở khi và chỉ khi với mỗi x G luôn tồn tại P P x mà P G. 9 Đ2. MộT Số LOạI KHÔNG GIAN TÔPÔ ĐặC BIệT Trong mục này ta trình bày định nghĩa của một số loại không gian tôpô đặc biệt và đa ra một số mối quan hệ giữa các không gian đó. 2.1.Các định nghĩa 2.1.1. Không gian dãy. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu thoả mãn: Mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi không có dãy {x n } trong A hội tụ về điểm x không thuộc A. 2.1.2. Không gian Frechet. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mỗi tập con A của X và mọi phần tử x A luôn tìm đợc dãy {x n } trong A hội tụ về x. 2.1.3. Không gian xác định bởi phủ. Cho X là một không gian tôpô, P là một phủ của X, ở đây P không nhất thiết là đóng hay mở. Khi đó, X đợc gọi là xác định bởi P nếu F X là đóng trong X khi và chỉ khi F P là đóng trong P với mọi P P . Trong định nghĩa trên chúng ta có thể thay "đóng" bởi "mở". 2.1.4. k - không gian. Không gian tôpô X đợc gọi là k - không gian nếu X đ- ợc xác định bởi phủ gồm các tập compact. 2.1.5. 4 - không gian. Cho X là một không gian tôpô. Tập con M của X đợc gọi là một cái quạt tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dới dạng: M = {x} {{ m n x : m }: n }, trong đó { m n x : m } n là vô hạn đếm đợc dãy rời nhau của X, mà mỗi dãy đều hội tụ về x. Tập con C của quạt M tại x đợc gọi là một đờng chéo của M nếu C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy hội tụ về một điểm trong quạt M. 10