Không gian Tô Pô doc

b Để chứng minh X là không gian liên thông ta chứng minh không tồntại một tập con thực sự khác ∅ vừa đóng vừa mở của X.. Bài 7 : Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ hai là kh

Tôpô là môn học cơ sở của Giải tích hiện đại, tài liệu viết về nó rất nhiềusong rất ít tài liệu có các bài tập kèm theo lời giải chi tiết minh hoạ cho mônhọc hấp dẫn nhưng tương đối trừu tượng này Nhằm giúp cho một số bạn họcviên Cao học Toán các khoá sau (Kể từ khóa 10) học tập đỡ vất vả và cảm thấythú vị hơn môn Tôpô Dựa vào chương trình học Tôpô đại cương của Cao học

10 Toán, tác giả thống kê và giải các bài tập Tôpô đã gặp trong chương trìnhhọc Đa số các lời giải trình bày chi tiết, có những bài tập hay tác giả trình bàynhiều cách giải để bạn đọc tham khảo

Vì năng lực còn hạn chế và đây chỉ là các lời giải mang tính chủ quan củatác giả, điều kiện vật chất không cho phép, nên chỉ có thể trình bày được cácbài toán sát với Bài giảng của PGS TS Trần Văn Ân cho Học viên cao học Toánkhoá 9-10 ĐH Vinh

Chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, song cũng mong nhận được sự ủng

hộ, ý kiến đóng góp của bạn đọc quan tâm đến Tôpô

Cuốn sách gồm bốn phần chính:

I Không gian Tôpô

II Không gian Mêtric

III Không gian Compact

IV Không gian Liên thông

Nhân đây cũng xin được cảm ơn anh Nguyễn Hồng Cường HV CH10 Toán

đã đề nghị tác giả hoàn thành tài liệu này

Bài 1 : Cho không gian tôpô X, E là tập con của X ta luôn có:

U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ trái với giả thiết x ∈ E ⇒ E ⊂ E

Giả sử E ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X\E thì x ∈ E ⇒ ∃ lân cận U của x sao cho

U ∩ E\{x} = ∅ ⇒ U ∩ E = ∅ (vì x ∈ E) ⇒ U ⊂ X\E ⇒ X\E mở ⇒ E đóng

U ∩ E\{x} = ∅ mà x /∈ E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X\{E ∪ E } là tập mở mà

E ⊂ E ∪ E ⇒ E ⊂ E ∪ E

c) Ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở nằm trong E đều nằm trong intE.Thật vậy:

Giả sử U là tập mở bất kì sao cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U thì x ∈ U ⊂ E ⇒ E

là lân cận của x ⇒ x là điểm trong của E ⇒ x ∈ intE

⇒ U ⊂ intE

3

Bây giờ ta chứng minh intE là tập mở để hoàn thành chứng minh.

Với mọi x ∈ intE ⇒ E là lân cận của x ⇒ ∃ U mở để

x ∈ U ⊂ E ⇒ U ⊂ intE ⇒ intE là tập mởd) Theo định nghĩa

e) Rõ ràngE mở ⇒ E là lân cận của ∀x ∈ E

Giả sử E là lân cận của mọi điểm thuộc nó⇒ ∀x ∈ E, ∃ Ux là tập mở sao cho

⇒ ∃Un 0 ∈ Ω sao cho x ∈ Un 0 ⊂ X\F

Lúc đó tồn tại xn0 ∈ F sao cho xn 0 ∈ Un 0 ⊂ X\F

trong đó mỗi xn được lấy ra tương ứng trong một tập Un

Giả sử V là một tập mở bất kỳ trong X ⇒ V = ∪{Uα : Uα ∈ Ω}

⇒ ∃Uα 0 ⊂ V ⇒ ∃xα 0 ∈ F sao cho xα 0 ∈ Uα 0 ⊂ V

⇒ F ∩ V = ∅ ⇒ ¯F = X

3) Giả sử U ∈ Ux ⇒ và V là tập bất kỳ sao cho U ⊂ V Vì U là lân cận của

x nên tồn tại tập mở Ux sao cho x ∈ Ux ⊂ U ⇒ x ∈ Ux ⊂ V ⇒ V ∈ Ux

4) Giả sử U ∈ Ux lúc đó tồn tại tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U Ta sẽ chứngminh rằng V ∈ Uy với mọi y ∈ V Thật vậy:

Với mỗi điểm y ∈ V lúc đó tồn tại tập V mở để y ∈ V ⊂ V ⇒ V là lân cậncủa y ⇒ V ∈ Uy

Vậy T là một tôpô trên X

Với Ux thoả mãn thêm điều kiện 4) ta chứng minh T là họ lân cận của x đốivới tôpô T Thật vậy:

Giả sử U ∈ Ux theo tiên đề 4) tồn tại V ∈ T sao cho

x ∈ V ⊂ U

⇒ Ux là một hệ lân cận của x đối với tôpô T

Bài 5 :

Giả sử i là toán tử chuyển tập con của X thành tập con của X và T là họ

các tập con sao cho Ai = A

Với điều kiện nào, T sẽ là tôpô và (đồng thời i là toán tử phần trong đối với

i) Hiển nhiên X ∈ T , lại có ∅i ⊂ ∅ (theo tiên đề 2) và ∅ ⊂ ∅i

(∅ là tập con của mọi tập con của X) ⇒ ∅i = ∅ ⇒ ∅ ∈ T

ii) Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

” Nếu A ⊂ B thì Ai ⊂ Bi”Thật vậy A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B ⇒ Ai = Ai ∩ Bi (theo 3)⇒ Ai ⊂ Bi

Giả sử {Aα}α ∈I là họ bất kì trong T ta sẽ chứng minh

Ai ∩ Bi = A∩ B và Ai∩ Bi = (A ∩ B)i (theo tiên đề 4)

⇒ Ai∩ Bi = A∩ B ⇒ A ∩ B ∈ T

II Bây giờ ta sẽ chứng minh ∀F ⊂ X thì Fi trùng với Fo

Giả sử F là tập con bất kì của X Vì Fo là tập mở

⇒ Fo ∈ T ⇒ (Fo)i = FoLại do Fo ⊂ F ⇒ Fo = (Fo)i ⊂ Fi (theo bổ đề trên)

ta sẽ chứng minh T là tôpô thô nhất duy nhất sao cho (X, T ) là T1- không gian.Bạn đọc tự chứng minh dựa vào câu A.

Cách 2:

Đặt

T = {∅, X, X\F : F là tập con hữu hạn của X}

Ta có:

i) Rõ ràng ∅, X ∈ T theo định nghĩa T

ii) Giả sử {Uα}α ∈Λ là họ bất kỳ thuộc T ⇒ Uα = X\Fα trong đó Fα hữuhạn, với mọi α Ta có:

(b) Để chứng minh X là không gian liên thông ta chứng minh không tồntại một tập con thực sự khác ∅ vừa đóng vừa mở của X Thật vậy:

Giả sử U là tập con thực sự, khác rỗng mở bất kỳ trong X

⇒ U = X\F với F là tập con hữu hạn của X, vì X vô hạn

⇒ U = X\F vô hạn, vậy mọi tập con khác rỗng mở của X đều vô hạn

Lại có X\U = F = ∅ hữu hạn ⇒ F không mở ⇒ U không đóng, do U lấy bất

kỳ ⇒ mọi tập mở khác rống và X đều không đóng ⇒ X là không gian khôngliên thông

(c) (X,T ) là T1-không gian A là tập con bất kỳ của X

Để chứng minh A đóng ta sẽ chứng minh X\A mở Thật vậy:

Với mọi x ∈ X\A ⇒ x ∈ A ⇒ ∃ lân cận mở U của x sao cho U ∩ A\{x} = ∅.Giả sử y ∈ U ∩ A Vì X là T1- không gian⇒ ∃ lân cận mở V của y saocho x ∈ V , do U mở y ∈ U ⇒ W = U ∩ V cũng là lân cận mở của

y Và W ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ U ∩ A\{y} = ∅ (Vì x ∈ W và

W ⊂ U)⇒ W ∩ A\{y} = ∅ mâu thuẫn với y ∈ A

Vậy U ∩ A = ∅ ⇒ x ∈ U ⊂ X\A ⇒ X\A mở ⇒ A đóng

Bây giờ ta chứng minh định lý Yang:

Hiển nhiên ∀A ⊂ X mà A đóng ⇒ ∀x ∈ X thì {x} đóng

Ta sẽ chứng minh nếu {x} đóng với mọi x ∈ X thì A đóng với mọi A ⊂ X.Thật vậy:

∀x ∈ X thì x ∈ {x} vì nếu x ∈ {x} ⇒ ∀ lân cận U của x Ta có:

U ∩ {x}\{x} = ∅ vô lý ⇒ x ∈ X\{x} vì {x} đóng ⇒ X\{x} mở

⇒ X\{x} là lân cận của x với mọi x ∈ X

Giả sử A là tập con bất kỳ của X, ∀x ∈ X\A tồn tại lân cận U của x sao cho

U ∩ X\{x} = ∅

Lúc đó V = U ∩ X\{x} cũng là lân cận của x và V ∩ X \ { x } = ∅

Ta sẽ chứng minh V ⊂ X\A

Mỗi y ∈ V nếu y = x rõ ràng y ∈ X\A

Nếu y = x, do V ⊂ X\{x} ⇒ y ∈ X\{x} và ∃ lân cận Vy của y sao cho

Vy ∩ {x}\{y} = ∅ ⇒ V ∩ {x} = ∅

Đặt W = Vy ∩ V ⇒ W là lân cận của y và W ∩ {x} = ∅

⇒ W ∩ A\{y} = W \{x} ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ V ∩ A\{x} = ∅

⇒ W ∩ A\{x} = ∅ ⇒ y ∈ A ⇒ y ∈ X\A ⇒ V ⊂ X\A

⇒ X\A mở ⇒ A đóng

Bài 7 : Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ hai là không gian

Việc chứng minh ý còn lại xin dành cho bạn đọc

Bài 8 : Nếu tôpô của một không gian có cơ sở đếm đ−ợc thì mỗi cơ sở của

không gian chứa cơ sở đếm đ−ợc nào đó.

Chứng minh

Giả sử (X,T ) là không gian thoả mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ hai ⇒ mọi khônggian con của nó cũng thoả mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ hai ⇒ mọi không giancon của X đều là không gian Linderlov nên mỗi phủ mở của nó đều có một phủcon đếm đ−ợc

α ∈ U ⇒ U là cơ sở đếm đ−ợc của T và U ⊂ ψ

Bài 9 : Nếu tập A trù mật trong một không gian tôpô X còn U mở thì U ⊂

⇒ ((Vx∩ U)\{x}) ∩ A = ∅trái với (∗)

Vậy không tồn tại x ∈ Umà x ∈ A ∩ U ⇒ U ⊂ A ∩ U

Bài 10 :Giả sử f : X ư→ Y là song ánh liên tục từ không gian tôpô X vào

không gian tôpô Y Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

Bây giờ ta sẽ chứng minh b) ⇒ a) Ta có:

Vì f là song ánh ⇒ ∃fư1 : Y ư→ X Ta sẽ chứng minh fư1 liên tục

Giả sử U là tập mở bất kỳ trong X khi đó (fư1)ư1(U ) = f (U ) mở trong Y (vì

X\{x}, ∃ lân cận Uy của y sao cho x ∈ Uy

⇒ {x} ∩ Uy = ∅ ⇒ Uy ⊂ X\{x} ⇒ X\{x} mở ⇒ {x} là tập đóng

Giả sử ∀x ∈ X, {x} đóng ⇒ X\{x} mở

∀y = x ⇒ y ∈ X\{x} vì X\{x} mở ⇒ ∃ lân cận mở của y để U ⊂ X\{x} ⇒

x /∈ U ⇒ X là T1-không gian

b)Giả sử X là T2-không gian Y là không gian con của X

Khi đó với mọi x, y ∈ Y ; x = y tồn tại các lân cận U, V của x, y trong X saocho:

U ∩ V = ∅ ⇒ (U ∩ Y ) ∩ (V ∩ Y ) = ∅

Đặt

UY = U ∩ Y, VY = V ∩ Ykhi đó UY, VY là các lân cận của x, y trong Y và UY ∩ VY = ∅ ⇒ Y là T2-khônggian

Bài 12 : Giả sử X là không gian tôpô, Y là T2-không gian f, g : X −→ Y là

các ánh xạ liên tục Khi đó :

ta sẽ chứng minh X = F , thật vậy:

Rõ ràng F đóng theo a) Mặt khác ta lại có:

A ⊂ F ⇒ X = ¯A ⊂ F = F ⇒ X = FCách 2:

Gọi A là tập trù mật trong X và thoả mãn ∀x ∈ A thì f(x) = g(x)

Giả sử ∃ x ∈ X sao cho f(x) = g(x) ⇒ ∃ các tập mở U, V sao cho f(x) ∈

U, g(x) ∈ V và U ∩ V = ∅ Đặt G = f−1(U )∩ g−1(V ) khi đó G là lân cận mởcủa x lại do A = X

Giả sử f liên tục và ∀α ∈ Λ, iα liên tục rõ ràng f◦iα liên tục

Giả sử ∀α, f◦iα liên tục

Lúc đó với tập mở U bất kỳ trong Y ta có:

f−1(U )∩ Xα = i−1α (f−1(U )) = (i−1α ◦f−1)(U ) = (f◦iα)−1(U ) mở trong Xα

⇒ f−1(U ) ∩ Xα mở trong Xα ⇒ f−1(U ) mở trong X, nhờ nhận xét sau địnhnghĩa tôpô tổng ⇒ f liên tục

Bài 14 :

Giả sử Y là không gian tôpô và X = ΠXα : α ∈ Λ là không gian tôpô tích của

các không gian tôpô Xα : α ∈ Λ Khi đó ánh xạ f : Y −→ X liên tục điều kiện

cần và đủ là ánh xạ pα◦f : Y −→ Xα với mọi α ∈ Λ liên tục Trong đó

pα : X −→ Xα

là phép chiếu lên toạ độ thứ α.

Chứng minh

Với mọi α ∈ Λ ta đặt gα = pα◦f

Rõ ràng f liên tục thì ∀α, gα liên tục

Bây giờ ta chứng minh nếu gα liên tục với mọi α thì f liên tục Thật vậy:Giả sử U là tập mở bất kì trong

Cho A và B là các tập con của không gian tôpô X, sao cho X = A ∪ B và các

tập A \B và B\A tách đ−ợc Khi đó, nếu ánh xạ f liên tục đồng thời trên A và

B thì f liên tục trên toàn bộ X.

Bài 16 :Giả sử X, d là không gian giả mêtric, A là tập con của X cho trước.

d(y, A)ư d(x, A) a d(y, x) = d(x, y) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

⇒ |d(x, A) ư d(y, A)| a d(x, y)

⇒ |dA(x)ư dA(y)| a d(x, y)

⇒ dA là hàm liên tục đều ⇒ dA liên tục

Bài 17 : Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric A ⊂ X Khi đó ta có:

Giả sử X là không gian khả ly, khi đó trong X có tập con đếm đ−ợc A = {ai}∞i=1

Với mọi hình cầu mở B(x, r), tồn tại n0 ∈ N sao cho n10 a r Do A trù mậttrong X ⇒ ∃ a ∈ A sao cho

23n0

⇒ d(x, y) < 2

3n0 <

1

n0 < r ⇒ y ∈ B(x, r)Mặt khác B(a, 3n1

0) ∈ U ⇒ ∀ hình cầu mở B(x, r) đều tồn tại một hình cầu

B ∈ U sao cho B ⊂ B(x, r) ⇒ U là cơ sở của X

Vậy X thoả mãn tiên đề đếm đ−ợc thứ hai

Bài 19 :Cho ánh xạ f : X −→ Y từ không gian giả mêtric (X, dX) vào không

gian giả mêtric (Y, dY) là ánh xạ đẳng cự Khi đó:

a) f là ánh xạ liên tục, nếu f là ánh xạ lên thì f mở.

⇒ dY(f (a), f (b)) = dX(a, b) < δ = ⇒ dX(f (a), f (b)) <

Suy ra f liên tục.

Nếu f là ánh xạ lên Với mọi hình cầu mở BX(a, ) trong X ta sẽ chứng minh

ảnh của nó cũng là hình cầu mở BY(f (a), ) trong Y Thật vậy:

f [B(a, )] = {f(b) : dX(a, b) < }lại có dX(a, b) = dY(f (a), (f b))

⇒ f[B(a, )] = {f(b) : dY(f (a), f (b)) < } ⊂ {y ∈ Y : dY(f (a), y) < }mặt khác

từ (3) ⇒ BY(f (x), ) ⊂ f(U) hay BY(y, ) ⊂ f(U) ⇒ f là ánh xạ mở

b) Giả sử f : X −→ Y và g : Y −→ Z là các ánh xạ đẳng cự Ta sẽ chứngminh ánh xạ g◦f : X −→ Z là ánh xạ đẳng cự Thật vậy:

Với mọi a, b ∈ X do f đẳng cự ⇒ dX(a, b) = dY(f (a), f (b)) lại do g đẳng cự

⇒ dY(f (a), f (b)) = dZ(g(f (a)), g(f (b))) = dZ(g◦f (a), g◦f (b))

Khi đó D là một phân hoạch của không gian X, đồng thời phép chiếu tự nhiên

từ không gian X lên không gian thương D vừa mở vừa đóng, và không gian

thương là không gian Hausdoff chính quy

(b) Tích của các không gian chính quy là không gian chính quy.

Chứng minh

(a)

◦ D là phân hoạch

Giả sử x ∈ X và y ∈ {x}, ta chứng minh {y} = {x}

Dễ thấy {y} ⊂ {x}, ta cần chứng minh {x} ⊂ {y} để chứng minh điều đó ta sẽchứng minh x ∈ {y}

Giả sử ngược lại x ∈ {y} ⇒ x ∈ X\{y} lại do X chính quy nên ∃ lân cận đóng

V sao cho x ∈ V ⊂ X\{x} ⇒ {x} ⊂ V ⊂ X\{y} ⇒ {y}∩{x} = ∅ ⇒ y /∈ {x}trái với giả thiết ⇒ D là một phân hoạch trên X

R[U ] = pư1[p(U )] đóng(mở) trong X Thật vậy:

Theo tính chất tập hợp thì U ⊂ pư1[p(U )] ⇒ U ⊂ R[U] (1)Giả sử x ∈ pư1[p(U )] ⇒ p(x) ∈ p(U) ⇒ ∃ u ∈ U sao cho p(x) = p(u) hay{x} = {u} vì u ∈ U và U đóng(mở), X chính quy ⇒ {u} ⊂ U ⇒ {x} ⊂ U ⇒

x ∈ U

Từ (1) và (2) suy ra R[U ] = U mà U đóng(mở) trong X ⇒ p là ánh xạ đóng, mở

◦ Không gian thương là Hausdoff chính quy

Giả sử c, d ∈ D sao cho c = d khi đó c, d có dạng

(b) Việc chứng minh câu này đã được trình bày chi tiết ở nhiều sách ví dụcuốn Tôpô đại cương của Nguyễn Xuân Liêm đề nghị bạn đọc tự chứng minh

Bài 21 : Mỗi dãy trong không gian tôpô X có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi

tập con vô hạn của X đều có điểm ω-giới hạn.

Chứng minh

Giả sử X là không gian mà mọi dãy đều có điểm giới hạn

A ⊂ X là tập con vô hạn bất kỳ của X ⇒ ∃ dãy

{x1, x2, , xn, } ⊂ Asao cho xi = xj nếu i = j

Theo giả thiết dãy {x1, x2, , xn, } có điểm giới hạn, ta gọi điểm đó là x tachứng minh x cũng là điểm ω-giới hạn của A

Giả sử V là lân cận bất kì của x, vì x là điểm giới hạn của dãy {xn}∞n=1 nên kể

từ một n0 nào đó V sẽ chứa vô số điểm của dãy do cách chọn dãy các điểm xn

là khác nhau nên V chứa vô hạn điểm khác nhau của dãy {xn}∞i=1 ⊂ A ⇒ Vchứa vô hạn điểm của A

Giả sử mỗi tập con vô hạn của X đều có điểm ω-giới hạn

{xn}∞n=1 là dãy bất kỳ trong X

T H1 : Nếu {xn}∞n=1 chỉ nhận hữu hạn giá trị {a1, a2, , ak} lúc đó có ít nhấtmột giá trị ak0 xuất hiện vô số lần trong dãy lúc đó dễ dàng chứng minh ak0chính là điểm giới hạn của dãy {xn}∞n=1

T H2 : Nếu {xn}∞n=1 nhận vô hạn giá trị ⇒ {xn}∞n=1 là tập vô hạn trong X ⇒ ∃ x

là điểm ω-giới hạn ⇒ ∀ lân cận V của x thì V chứa vô số điểm của dãy{xn}∞n=1 ⇒ từ bất kỳ n0 nào V cũng chứa vô số điểm của dãy ⇒ mọi dãy trong

X đều có điểm giới hạn

Chú ý:

Khái niệm điểm giới hạn của dãy khác với điểm hội tụ của dãy Các bạn có thể

đọc ở chương 2 cuốn Tôpô Đại cương của J L Keli

Bài 22 :Nếu X là không gian compact thì mỗi dãy trong X đều có điểm giới

hạn.

24

do đó tồn tại tập hợp Vxi0 ∈ {Vxi}ki=1 nào đó chứa vô số điểm của dãy {xn}∞n=1

trái với (∗) ⇒ mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn

Bài 23 :Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X lên không

gian tôpô Y , khi đó:

a) Y là không gian compact.

b) Nếu Y là T2-không gian f là song ánh thì f là ánh xạ đồng phôi.

Chứng minh:

a) Giả sử U = Uαα∈Λ là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô Y vì f liên tục

⇒ {f−1(Uα)}α ∈Λ là phủ mở của X lại do X compact ⇒ tồn tại họ hữu hạn{f−1(Uαi)}ki=1 ⊂ {f−1(Uα)}α ∈Λ phủ X ⇒ X = k

⇒ Phủ mở U có phủ con hữu hạn {Uαi}ki=1 phủ Y ⇒ Y là không gian compact

b) Vì f là song ánh liên tục nên để chứng minh f là ánh xạ đồng phôi tachỉ cần chứng minh f là ánh xạ đóng

F là tập con đóng bất kì của X vì X là không gian compact ⇒ F compact, lại

do f liên tục ⇒ f(F ) là tập compact trong Y , mà Y là T2-không gian

⇒ f(F ) đóng ⇒ f là ánh xạ đóng

Suy ra f là ánh xạ đồng phôi

c) Cho f là hàm thực liên tục trên không gian compact X, nếu f luôn luôn dương thì tồn tại số e > 0 sao cho f (x) > e với tất cả x ∈ X.

Chứng minh

a) A là tập compact khác rỗng trong R ⇒ A bị chặn hay tồn tại số c > 0 saocho ∀ a ∈ A thì |a| < c ⇒ tồn tại các số

M = supA và m = inf ATheo tính chất của sup và inf tồn tại các dãy {an} ⊂ A và {bn} ⊂ A sao cho

x ư→ f(x)

là hàm liên tục xác định trên không gian compact X Khi đó f (X) là tập pact trong R nên theo câu a) ⇒ ∃ M và m ∈ f(X) là cận trên nhỏ nhất và cậndưới lớn nhất của f (X) ⇒ ∃ x, y ∈ X sao cho M = f(x), m = f(y)

com-c) Vì f liên tục nên f (X) là tập compact trongR theo câu b) tồn tại x0 ∈ Xsao cho f (x0) ∈ f(X) là cận dưới lớn nhất của f(X) theo giả thiết f là hàmdương ⇒ f(x0) > 0 ta chọn e = f (x0 )

c) Cho A và B là các tập con đóng không cắt nhau của không gian giả mêtric

và A compact Khi đó tồn tại x ∈ A sao cho dist(A, B) = dist(x, B) > 0

d) Cho A và B là các tập compact đóng không cắt nhau của không gian giả mêtric Khi đó tồn tại các điểm x ∈ A và y ∈ B sao cho dist(A, B) = d(x, y).

Chú ý:

Ta có các định nghĩa

dist(x, B) = inf

y ∈Bd(x, y)dist(A, B) = inf

Giả sử UP = {UαP}α ∈I là phủ mở bất kỳ của F1 ⇒ mỗi UαP ∈ UP tồn tạimột tập UαR mở trong R sao cho UαP = UαR ì X, vì họ UP phủ F1 ⇒ họ

UR = {UαR}α ∈I là phủ mở của [0; 1], mà [0; 1] compact

⇒ tồn tại phủ con hữu hạn {UαRi}ki=1 ⊂ UR phủ [0; 1]

Chứng minh tương tự ta cũng có F2 compact Lại có:

của F không có phủ con hữu hạn

Vậy tồn tại hai tập compact F1, F2 nhưng giao của chúng không compact.Giả sử {Fα}αıI là một họ các tập compact đóng bất kỳ

nư 1 < x = 2nư 1

2 < n ⇒ x ∈ A ⇒ x ∈ 

i ∈I

(ưki, ki)