Không gian Tô Pô doc

Lời nói đầu Tôpô môn học sở Giải tích đại, tài liệu viết nhiều song tài liệu có tập kèm theo lời giải chi tiết minh hoạ cho môn học hấp dẫn nhng tơng đối trừu tợng Nhằm giúp cho số bạn học viên Cao học Toán khoá sau (Kể từ khóa 10) học tập đỡ vất vả cảm thấy thú vị môn Tôpô Dựa vào chơng trình học Tôpô đại cơng Cao học 10 Toán, tác giả thống kê giải tập Tôpô đà gặp chơng trình học Đa số lời giải trình bày chi tiết, có tập hay tác giả trình bày nhiều cách giải để bạn đọc tham khảo Vì lực hạn chế lời giải mang tính chủ quan tác giả, điều kiện vật chất không cho phép, nên trình bày đợc toán sát với Bài giảng PGS TS Trần Văn Ân cho Học viên cao học Toán khoá 9-10 ĐH Vinh Chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, song mong nhận đợc ủng hộ, ý kiến đóng góp bạn đọc quan tâm đến Tôpô Cuốn sách gồm bốn phần chính: I Không gian Tôpô II Không gian Mêtric III Không gian Compact IV Không gian Liên thông Nhân xin đợc cảm ơn anh Nguyễn Hồng Cờng HV CH10 Toán đà đề nghị tác giả hoàn thành tài liệu Vinh, ngày 30 tháng 04 năm 2003 Ngô Quốc Chung12 Trờng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, NghÖ An Email: nqchungv@yahoo.com Mobile: 0906236777 Không gian tôpô Bài : Cho không gian tôpô X, E tập X ta cã: a ) E ®ãng ⇔ E ⊂ E b ) E =E ∪E c ) intE lµ tËp më lín nhÊt chøa E d ) E lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa E e ) E lµ tËp mở E lân cận x E Chứng minh a) Giả sử E đóng mà E E điểm x E mà x E x X\E lại E đóng X\E më ⇒ ∃ l©n cËn U cđa x cho x ∈ U ⊂ X\E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ tr¸i víi gi¶ thiÕt x ∈ E ⇒ E ⊂ E Gi¶ sư E ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X\E th× x ∈ E ⇒ ∃ l©n cËn U cđa x cho U ∩ E\{x} = ∅ ⇒ U ∩ E = ∅ (v× x ∈ E) ⇒ U ⊂ X\E X\E mở E đóng b) Giả sử x ∈ E ∪ E ⇒ x ∈ E hc x ∈ E NÕu x ∈ E râ rµng x ∈ E NÕu x ∈ E ⇒ ∀ l©n cËn U cđa x th× ta cã U ∩ E\{x} = ∅ vµ E\{x} ⊂ E\{x} ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ ⇒x∈E ⊂E ⇒E∪E ⊂E Gi¶ sư x ∈ X\E E x E tồn lân cËn U cña x cho / / U ∩ E\{x} = ∅ mµ x ∈ E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X\{E ∪ E } lµ tËp më mµ / E ⊂E∪E ⇒E ⊂E∪E c) Ta sÏ chøng minh r»ng mäi tËp më n»m E ®Ịu nằm intE Thật vậy: Giả sử U tập më bÊt k× cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U th× x ∈ U ⊂ E ⇒ E lân cận x x điểm cña E ⇒ x ∈ intE ⇒ U ⊂ intE nqchungv@yahoo.com Bây ta chứng minh intE tập mở để hoàn thành chứng minh Với x intE E lân cận x ∃ U më ®Ĩ x ∈ U ⊂ E ⇒ U ⊂ intE ⇒ intE lµ tËp më d) Theo định nghĩa e) Rõ ràngE mở E lân cận x E Giả sử E lân cËn cđa mäi ®iĨm thc nã⇒ ∀x ∈ E, ∃ Ux lµ tËp më cho x ∈ Ux ⊂ E ⇒ E = ⇒E x∈E {x} ⊂ x∈E Ux ⊂ E ⇒ E = Ux E x∈E lµ tËp mở Bài : Mỗi không gian thoả mÃn tiên đề đếm đợc thứ hai khả ly Chứng minh Cách 1: Vì X không gian thoả mÃn tiên đề đếm đợc thứ 2, nên X có sở = {Un }nN đếm đợc Với n ∈ N ta lÊy t−¬ng øng mét xn ∈ Un , đặt tập F = {xn }nN Rõ ràng F tập đếm đợc, ta chøng minh F = X ThËt vËy: Ta cã (X\F ) ∩ F = ∅ Gi¶ sư (X\F ) = ∅ ⇒ ∃x ∈ X\F , v× X\F më ⇒ ∃Un0 ∈ Ω cho x ∈ Un0 ⊂ X\F Lúc tồn xn0 F cho xn0 ∈ Un0 ⊂ X\F ⇒ n0 ∈ X\F ∩ F Điều trái với (1) X\F = X = F C¸ch 2: Gäi Ω = {Un }n∈N sở đếm đợc X Ta đặt tập F = {xn }nN xn đợc lấy tơng ứng tập Un Giả sử V lµ mét tËp më bÊt kú X ⇒ V = ∪{Uα : Uα ∈ Ω} ⇒ ∃Uα0 ⊂ V ⇒ ∃xα0 ∈ F cho xα0 ∈ Uα0 ⊂ V ¯ ⇒F ∩V =∅⇒F =X (1) nqchungv@yahoo.com Bài : (a) Giao họ tôpô tuỳ ý X tôpô X (b) Hợp hai tôpô X không tôpô X (c) Đối với họ tuỳ ý tôpô X, tồn tôpô nhất, mịn tôpô thô tôpô họ đó, tồn tôpô nhất, thô tôpô họ Chứng minh (a) Điều dễ dàng chứng minh nhờ vào định nghĩa, xin dành cho bạn đọc (b) Ta tập X có hai tôpô mà hợp hai tôpô tôpô X Chọn tập X = {a, b, c} Với hai tôpô = {∅, {a, c}, {a, b, c}} Ω2 = {∅, {b, c}, {a, b, c}} DƠ dµng thư thÊy Ω1 tôpô X Lúc = Ω1 ∪ Ω2 = {∅, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} tôpô X ThËt vËy: {a, c}; {b, c} ∈ Ω nh−ng {a, c} ∩ {b, c} = {c} ∈ Ω (c) Gäi U = {U }I họ tôpô X Đặt T = U I ta chứng minh T tôpô mịn tôpô thô tôpô họ U Thật vậy, giả sử U tôpô thô tôpô hä U ⇒ U ⊂ Uα , ∀α ⇒ U I U = T T mịn U (đpcm ) Gọi họ tôpô = {T : T mịn tôpô họ U} Đặt T= T T Ta chứng minh T tôpô thô tôpô mịn tôpô họ U Thật Giả sử U tôpô mịn tôpô họ U U = T0 nqchungv@yahoo.com U T T thô U (đpcm) Chú ý: Từ chøng minh trªn cho ta thÊy giao cđa mét hä tôpô tôpô nhng hợp họ tôpô nói chung tôpô Bài : (a) Giả sử ( X, T ) không gian tôpô; x X, ký hiệu Ux họ lân cận Khi ®ã : 1) NÕu U ∈ Ux th× x ∈ U 2) Nếu U V phần tử cđa Ux th× U ∩ V ∈ Ux 3) NÕu U Ux U V V Ux 4) Nếu U Ux tìm đợc phần tư V ∈ Ux cho V ⊂ U vµ V Uy với y V (nói cách khác, tập V lân cận điểm thuộc nó) (b) Nếu hàm U lập tơng ứng điểm tuỳ ý x X với họ Ux thoả mÃn điều kiện 1), 2), 3) họ T tập cho U Ux x U , tôpô X Nếu điều kiện 4) đợc thực hiện, Ux hệ lân cận x tôpô T Chứng minh (a) Ta có: 1) Giả sử U Ux U lân cận x theo định nghĩa lân cận tập mở V cho: xV U xU 2) Giả sử U V Ux suy tồn tập mở Ux vµ Vx cho x ∈ Ux ⊂ U vµ x ∈ Vx ⊂ V ⇒ x ∈ Ux ∩ Vx ⊂ U ∩ V mµ Ux ∩ Vx më ⇒ U ∩ V ∈ Ux 3) Gi¶ sư U ∈ Ux ⇒ vµ V lµ tËp bÊt kú cho U V Vì U lân cận x nên tồn tập mở Ux cho x ∈ Ux ⊂ U ⇒ x ∈ Ux ⊂ V ⇒ V ∈ Ux 4) Gi¶ sư U Ux lúc tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U Ta sÏ chøng minh r»ng V ∈ Uy víi mäi y ∈ V Thật vậy: Với điểm y V lúc ®ã tån t¹i tËp V më ®Ĩ y ∈ V V V lân cận y V ∈ Uy (b) Víi T = {U : U ∈ Ux nÕu x ∈ U } Ta sÏ chøng minh T tôpô X Thật vậy: i) Rõ ràng , X T ii) Giả sử {Ui }iI họ thuộc T tồn Ui0 iI Ui , nên theo tiên ®Ị 3) ⇒ iii) Gi¶ sư U, V ∈ T theo tiên đề 2) U V T Vậy T tôpô X iI Ui T nqchungv@yahoo.com Với Ux thoả mÃn thêm điều kiện 4) ta chứng minh T họ lân cận x tôpô T Thật vậy: Giả sử U Ux theo tiên đề 4) tồn V ∈ T cho x∈V ⊂U ⇒ Ux lµ mét hệ lân cận x tôpô T Bài : Giả sử i toán tử chuyển tập cđa X thµnh tËp cđa X vµ T họ tập cho Ai = A Với điều kiện nào, T tôpô (đồng thời i toán tử phần tôpô Chứng minh I Giả sử i toán tử phần X T = {A X : Ai = A} Để T tôpô X ta cho i thoả mÃn tiên đề sau: 1)X i = X 2)Ai ⊂ A i 3)(Ai ) = X 4)Ai ∩ B i = (A ∩ B)i Ta chứng minh T tôpô Thật vậy: i) Hiển nhiên X T , lại có i (theo tiên đề 2) ∅i (∅ lµ tËp cđa mäi tËp cđa X) ⇒ ∅i = ∅ ⇒ ∅ ∈ T ii) Tr−íc hÕt ta chøng minh bỉ ®Ị sau : ” NÕu A ⊂ B th× Ai ⊂ B i ” ThËt vËy A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B ⇒ Ai = Ai ∩ B i (theo 3)⇒ Ai B i Giả sử {A }I họ bÊt k× T ta sÏ chøng minh α∈I Aα ∈ T tøc ta chøng minh Aα = ( α∈I Râ rµng ( α∈I Aα )i ⊂ Aα α∈I Ta chØ cÇn chøng minh: α∈I Aα ⊂ ( α∈I Aα )i α∈I Aα )i nqchungv@yahoo.com Ta cã Aα ⊂ I A , nên theo bổ đề trên) Ai ⊂ ( α Aα )i α∈I ⇒ Aα = Ai ⊂ ( α Aα )i α∈I ⇒ iii) Aα = α∈I α∈I Ai ⊂ ( α α∈I Aα )i ⇒ α∈I Aα ⊂ ( Aα )i α∈I Gi¶ sư A, B hai tập thuộc lúc ta cã: Ai ∩ B i = A ∩ B vµ Ai ∩ B i = (A ∩ B)i (theo tiªn ®Ò 4) ⇒ Ai ∩ B i = A ∩ B ⇒ A ∩ B ∈ T II B©y giê ta sÏ chøng minh ∀F ⊂ X th× F i trùng với F o Giả sử F tập X Vì F o tập mở ⇒ F o ∈ T ⇒ (F o )i = F o L¹i F o ⊂ F ⇒ F o = (F o )i ⊂ F i (theo bæ đề trên) Fo Fi Lại có (F i )i = F i (theo tiên đề 3) F i ∈ T mµ F i ⊂ F ⇒ Fi ⊂ Fo Tõ (1) vµ (2) ⇒ F o = F i (1) (2) Bài : Không gian tôpô đợc gọi T1 - không gian tập điểm tập đóng Chứng minh rằng: (a) Trên tập X có tôpô thô nhÊt T nhÊt cho (X, T ) lµ T1 không gian (b) Nếu tập X vô hạn T tôpô thô cho (X, T ) T1 - không gian (X, T ) liên thông (c) Nếu (X, T ) T1 -không gian tập điểm giới hạn tập tuỳ ý tập đóng Kết mạnh : Định lý Yang: Để tập giới hạn tập tuỳ ý tập đóng, cần đủ tập giới hạn tập {x} tập đóng, x điểm tuỳ ý tập X Chứng minh (a) Cách 1: Giả sử {T }I họ tất tôpô T1 -không gian tập X Đặt T = α∈I Tα nqchungv@yahoo.com ta sÏ chøng minh T tôpô thô nhất cho (X, T ) T1 - không gian Bạn đọc tự chứng minh dựa vào câu A Cách 2: Đặt T = {, X, X\F : F tập hữu hạn cđa X} Ta cã: i) Râ rµng ∅, X T theo định nghĩa T ii) Giả sử {U }α∈Λ lµ hä bÊt kú thuéc T ⇒ Uα = X\F F hữu hạn, với Ta cã: Uα = α∈Λ (X\Fα ) = X\( α∈Λ Fα ) mặt khác F hữu hạn F hữu hạn U T iii) U, V hai tập thuộc T , Fu , Fv hữu hạn cho U = X\Fu , V = X\Fv Ta cã: U ∩ V = (X\Fu ) ∩ (X\Fv ) = X\(Fu ∪ Fv ) mà Fu Fv hữu hạn U V T Vậy T tôpô X Bây ta chứng minh (X, T ) T1 -không gian thô Thật vậy: Vì {x} hữu hạn ⇒ X\{x} ∈ T ⇒ X\{x} më ⇒ {x} lµ tập đóng (X, T ) T1 -không gian Giả sử (X, U) T1 -không gian Ta cã: ∀V ∈ T ⇒ V = X\F víi F tập hữu hạn tức F = {x1 , x2 , , xn } n ⇒ V = X\{x1 , x2 , , xn } = X\( n xi ) = ı=1 i=1 X\{xi } Theo gi¶ thiÕt (X, U ) T1 -không gian i = 1, n tËp {xi } ®ãng n ⇒ X \xi ∈ U, ∀i = 1, n ⇒ i=1 X\{xi } ∈ U ⇒ V ∈ U ⇒ T ⊂ U ⇒ T thô U Từ chứng minh cho ta tÝnh nhÊt cđa T nqchungv@yahoo.com 10 (b) §Ĩ chứng minh X không gian liên thông ta chứng minh không tồn tập thực khác vừa đóng vừa mở X Thật vậy: Giả sử U tập thực sự, khác rỗng mở bÊt kú X ⇒ U = X\F víi F tập hữu hạn X, X vô hạn U = X\F vô hạn, tập khác rỗng mở X vô hạn Lại có X\U = F = hữu hạn F không mở U không đóng, U lấy tập mở khác rống X không đóng X không gian không liên thông (c) (X, T ) T1 -không gian A tËp bÊt kú cđa X §Ĩ chøng minh A ®ãng ta sÏ chøng minh X\A më ThËt vËy: Víi mäi x ∈ X\A ⇒ x ∈ A ⇒ ∃ l©n cËn më U cđa x cho U ∩ A\{x} = ∅ Gi¶ sư y ∈ U ∩ A Vì X T1 - không gian lân cËn më V cña y cho x ∈ V , U më y ∈ U ⇒ W = U V lân cận mở y Vµ W ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ U A\{y} = (Vì x W W ⊂ U )⇒ W ∩ A\{y} = ∅ m©u thuÉn víi y ∈ A VËy U ∩ A = ∅ ⇒ x ∈ U ⊂ X\A ⇒ X\A mở A đóng Bây ta chứng minh định lý Yang: Hiển nhiên A X mà A đóng x X {x} đóng Ta chứng minh {x} đóng với x X A ®ãng víi mäi A ⊂ X ThËt vËy: ∀x ∈ X th× x ∈ {x} v× nÕu x ∈ {x} ⇒ ∀ l©n cËn U cđa x Ta cã: U ∩ {x}\{x} = ∅ v« lý ⇒ x ∈ X\{x} {x} đóng X\{x} mở X\{x} lân cận x với x X Giả sư A lµ tËp bÊt kú cđa X, ∀x X\A tồn lân cận U x cho U ∩ X\{x} = ∅ Lóc ®ã V = U X\{x} lân cận x V ∩ X \ { x } = ∅ Ta chứng minh V X\A Mỗi y V nÕu y = x râ rµng y ∈ X\A NÕu y = x, V ⊂ X\{x} ⇒ y ∈ X\{x} lân cận Vy y cho Vy ∩ {x}\{y} = ∅ ⇒ V ∩ {x} = Đặt W = Vy V W lân cận y W {x} = ⇒ W ∩ A\{y} = W \{x} ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ V ∩ A\{x} = ∅ ⇒ W ∩ A\{x} = ∅ ⇒ y ∈ A ⇒ y ∈ X\A ⇒ V ⊂ X\A ⇒ X\A mở A đóng nqchungv@yahoo.com 25 Chứng minh Giả sử ngợc lại tồn dÃy {xn } ®iĨm giíi h¹n ⇒ ∀ x ∈ X tån n=1 lân cận mở Vx x cho Vx chứa hữu hạn điểm dÃy {xn } () n=1 Râ rµng X = x∈X Vx vµ Vx më x X Nên {Vx }xX phủ mở X mà X compact tồn phủ hữu h¹n k {Vxi }k i=1 ⊂ {Vx }x∈X tøc X = k i=1 Vxi ⇒ {xn }∞ n=1 ⊂ Vxi i=1 tồn tập hợp Vxi0 {Vxi }k chứa vô số điểm dÃy {xn }∞ n=1 i=1 tr¸i víi (∗) ⇒ mäi d·y X có điểm giới hạn Bài 23 :Giả sử f : X Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y , đó: a) Y không gian compact b) Nếu Y T2 -không gian f song ánh f ánh xạ đồng phôi Chứng minh: a) Giả sử U = U phủ mở không gian tôpô Y f liên tục {f (U )} phủ mở X lại X compact tồn họ hữu hạn {f −1 (Uαi )}k ⊂ {f −1 (Uα )}α∈Λ phñ X ⇒ X = k f −1 (Uαi ) i=1 i=1 k ⇒ f (X) = Y = f ( k f −1 (Uαi ) = i=1 k f (f i=1 −1 (Uαi )) = (Uαi ) i=1 k ⇒Y = (Uαi ) i=1 ⇒ Phñ më U cã phñ hữu hạn {Ui }k phủ Y Y không gian compact i=1 b) Vì f song ánh liên tục nên để chứng minh f ánh xạ đồng phôi ta cần chứng minh f ánh xạ đóng F tập đóng X X không gian compact F compact, lại f liên tục f (F ) tập compact Y , mà Y T2 -không gian f (F ) đóng f ánh xạ đóng Suy f ánh xạ đồng phôi nqchungv@yahoo.com 26 Bµi 24 : a) NÕu A lµ tËp compact khác rỗng không gian số thực, cËn trªn nhá nhÊt cËn d−íi lín nhÊt cđa A thuộc A b) Mỗi hàm thực liên tục xác định không gian compact X, đạt giá trị lớn nhỏ nhất, tức tồn điểm x y cho f (x) f (y) tơng ứng cận nhỏ cận dới lớn hàm f X c) Cho f hàm thực liên tục không gian compact X, f luôn dơng tồn số e > cho f (x) > e víi tÊt c¶ x ∈ X Chøng minh a) A lµ tËp compact khác rỗng R A bị chặn hay tồn t¹i sè c > cho ∀ a ∈ A |a| < c tồn số M = supA vµ m = inf A Theo tÝnh chất sup inf tồn dÃy {an } ⊂ A vµ {bn } ⊂ A cho M = lim an vµ m = lim bn n→∞ n (1) Do R không gian mêtric nên T4 -không gian R T2 -không gian, A compact R A tập đóng từ (1) ⇒ M, m ∈ A b) Gi¶ sư f : X −→ R x −→ f (x) lµ hµm liên tục xác định không gian compact X Khi f (X) tập compact R nên theo câu a) M m f (X) cận nhỏ cận dới lớn cña f (X) ⇒ ∃ x, y ∈ X cho M = f (x), m = f (y) c) Vì f liên tục nên f (X) tập compact R theo câu b) tồn x0 X cho f (x0 ) ∈ f (X) lµ cËn d−íi lín nhÊt cđa f (X) theo gi¶ thiÕt f hàm dơng f (x0 ) > ta chän e = f (x0 ) ⇒ f (x) f (x0 ) > e víi tÊt c¶ x ∈ X Bµi 25 : a) Giao cđa hai tËp compact cđa kh«ng gian t«p« cã thĨ kh«ng compact Giao cđa họ tập compact đóng ®ãng vµ compact b) Bao ®ãng cđa mét tËp compact cđa kh«ng gian t«p« cã thĨ kh«ng compact Nh−ng không gian quy bao đóng tập compact luôn compact nqchungv@yahoo.com 27 c) Cho A B tập đóng không cắt không gian giả mêtric A compact Khi tồn x ∈ A cho dist(A, B) = dist(x, B) > d) Cho A B tập compact đóng không cắt không gian giả mêtric Khi tồn điểm x A y ∈ B cho dist(A, B) = d(x, y) Chú ý: Ta có định nghĩa dist(x, B) = inf d(x, y) y∈B dist(A, B) = inf dist(x, B) xA Vậy hàm dist hàm khoảng cách ®iĨm víi tËp, gi÷a tËp víi tËp Chøng minh a) Kh«ng gian t«p« th« X = {a, b}; a, b R a < b Nghĩa tôpô X : TX = {∅, X} Kh«ng gian t«p« R với tôpô thông thờng Xét không gian tích P =RìX Lúc tôpô P TP = {, U ì X : U tập mở R} Xét hai tập hợp F1 = ([0; 1] ì b) ((0; 1) × a) F2 = ((0; 1) × b) ([0; 1] ì a) Lúc F1 F2 hai tËp compact P ThËt vËy: P P Gi¶ sư U P = {Uα }α∈I lµ phđ më bÊt kỳ F1 U U P tồn t¹i R P R mét tËp Uα më R cho Uα = Uα × X, v× hä U P phñ F1 ⇒ hä R U R = {Uα }α∈I lµ phđ më cđa [0; 1], mµ [0; 1] compact R tồn phủ hữu hạn {Ui }k ⊂ U R phñ [0; 1] i=1 k ⇒ [0; 1] ⊂ R Uαi i=1 k ⇒ ([0; 1] × b) ([0; 1] × a) = [0; 1] × X ⊂ { i=1 k R Uαi } ×X = R (Uαi × X) i=1 k ⇒ ([0; 1] × b) ((0; 1) × a) ⊂ ([0; 1] × b) ([0; 1] × a) ⊂ R (Uαi × X) i=1 R R Do {Uαi }k ⊂ U R ⇒ {Uαi ì X}k hữu hạn U P F1 compact i=1 i=1 nqchungv@yahoo.com 28 Chøng minh t−¬ng tù ta cịng cã F2 compact L¹i cã: F = F1 ∩ F2 = {([0; 1] × b) ((0; 1) × a)} = ((0; 1) × b) {((0; 1) × b) ([0; 1] × a)} ((0; 1) × a) = (0; 1) × X Tập F = (0; 1) ì X không compact v× phđ më {( 1 ;1 − ) × X}∞ n=1 n+1 n+1 cđa F kh«ng cã phđ hữu hạn Vậy tồn hai tập compact F1 , F2 nhng giao chúng không compact Giả sử {F }I họ tập compact đóng F = I F tập đóng F F -compcat họ F tập compact b) Trên R ta đặt T = {(n, n) : n N} dễ dàng chứng minh T tôpô N Lúc tập A = (n, n) tập compact (R, T ) ThËt vËy: Gi¶ sư U = {Ui }i∈I phủ mở A Vì U T tập Ui có dạng Ui = (ki , ki ) víi ki ∈ N Lóc ®ã ta cã: A = (−n, n) ⊂ Ui = (−ki , ki ) i∈I ⇒ (−n, n) ⊂ i∈I (−ki , ki ) i∈I Khi ®ã ta cã: n−1