Bộ Giáo Đục Và Đào Tạo
Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Khoa Tốn Cao Tran Tt Hai FTHoeeCeCeeSgeesceoece Oy Nhĩm Cơ Bản Của Khơng Gian Tơpơ &
Mot Vai Ung Dung
(Luan Van Tot Nohizp Dai Hoc)
Người Hướng Dẫn: Tién Si Lé Anh Vi
Trang 2
Luận văn được hồn thành ngày 19 tháng 5 năm 2001 Giáo viên hướng dẫn:
ign st: Lé Anh Vũ
Sinh vién thifc hién :
Cao Trần Tứ Hải
Trang 3MUC LUC
EE it OB Goes cscs scsssisnexausicasnaweranncapazeannmrenanauepcecneancenncenungeaspeoent 4
CF es KE TI aaa ai ec eeSS Ta aaa eae aaa eae 5
Chương I: Các kiến thức cơ bản về tơpơ đại cương 6
5HÌ KHƠnNRlantDDPDAsaoieioeccccciiavciiiosioseiazazas 6 §2 Anh xạ liên tục - Đồng phơi -.+< 5xx 10 §3 Tích các khơng gian tơpơ-Tơpơ thương SH ST ẰSS——= 13
§4 Khơng gian compact Wt0c1G6413366401666eds450506264 2] §5_ Khơng gian Hausdorff - Các tiên để tách 22
§6 Khơng gian liên thơng 24
Chương II: Quan hệ đồng luân và nhĩm cơ bản 27
§] Đường - Khơng gian liên thơng đường 28
§2_ Quan hệ đồng luân ¿552555 Server 37 §3_ Các phép tốn trên các lớp đường - 46
VÀ: NH0 B N Geôeseseessesnseenesenareresereesneesesei 52 Đ5_ ng cấu cảm sinh — Quan hệ giữa tơpơ và đại số .56
Chương IH: Nhĩm cơ bản của một và khơng gian tơpơ & Ứng dụng của nhĩm cơ bản . -2-5 5 59
§1 Nhĩm cơ bản của tích các khơng gian tơpơ 39
§2_ Nhĩm cơ bản của đường trn Sè -. . ô-se- 61
Đ3_ Nhm c bản của các xuyến 5s s<<scx<S2 70
BG AGE MS HE NDE 2222222222768 eae 72
Thay lời kết luân - 6 1 S252 3321 vs cv srrvszerserke 77
Trang 4Enda Dan Cat Nuhiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
LOI NOI BAU
'Tơpơ đại cương trong chương trình giẳng dạy cho sinh viên khoa Tốn của Trường Đại Hoe Su Phạm "TP.HCM hiện này là một mơn thuộc ngành Giải tích nhưng thực chất Tâpơ là một nhánh lớn của lĩnh vực Tơpơ - Hình học Nhiều kết quả sâu sắc của Tơpơ dat được là do sử dụng phướng pháp và cơng cụ đại xố, Tơpơ đại số, nĩi một cách nơm na,
là một ngành thuộc lĩnh vực Tơpơ ~ Hình học mà trong đĩ người ta dùng cơng cụ đại số
để ngh tên cứu Tơnĩ Nĩi một cách văn hoa hơn , Tơpơ đại số là một "bức tranh" đại số của “vật thể” tơnơ Đương nhiên Tơpơ đại số là một lĩnh vực rất khĩ, rất trừu tượng và cũng rất lí thú của Tơpơ - Hình học
Ban luân văn này nhằm giới thiêu với bạn đọc một số vấn để nhập mơn của Tơpơ đại
sổ nhằm giúp người đọc bước đầu làm quen với việc nguyên cứu tơpơ bằng phương pháp
đại xố, qua đĩ cũng thấy được một số ý nghĩa đầu tiền của Tĩpơ đại số Cụ thể luận văn giới thiêu cách xây dưng nhĩm cơ bản của một khơng gian tơpơ tuỳ ý, đồng cấu giữa các nhĩm cứ hẳn cảm sinh hởi ánh xạ liền tục bất kỳ giữa hai khơng gian tơpơ,tính nhĩm cơ
bản cửa một vài khơng gian tơpơ đặc biệt và cho một vài ứng dụng đầu tiên
Về bố cục, nội dung chính của bản luân văn gồm ba chương :
Chương I ưình bày tĩm tắt các kiến thức cơ bản về Tơnơ đại cương Phẩn lớn các kiến
thức này đã được học trong mơn Tĩpơ đại cương của chương trình Đại Học Sư Phạm Tốn hiện hành nên các chứng mình đều khơng được đưa vào Ngồi ra cũng cĩ một số bổ sung, những ví du, những hình vẽ minh họa nhằm giúp bạn đọc thấy được "tâm hồn”
hình hoc trong Tơpơ học đồng thời làm cơ sở cho những khái niệm trong những chương
sau,
Chương II giới thiệu nhĩm cơ bản của một khơng gian tơpơ tuỳ ý và chỉ ra rằng đĩ là một hất biến đồng luân, tức là hai khơng gian cùng kiểu đồng luân thì cĩ các nhĩm cơ bản đẳng cấu Nhĩm cơ bản khơng chỉ cho thơng tin về khơng gian tơpơ mà rất cĩ lợi
trong việc nguyên cứu ánh xạ liên tục, mỗi ánh xạ liên tục từ khơng gian X vào khơng
gian Y sẽ cảm sinh một đồng cấu nhĩm của các nhĩm cơ bản trên hai khơng gian tơpơ X
và Y
Chương III dành cho việc tính nhĩm cơ bản của một vài khơng gian tơpơ Đặc biệt, qua
đĩ giới thiệu với bạn đọc phương pháp tính nhĩm cơ bản Đồng thời giới thiệu một vài
ứng dụng khá lý thú của quan hệ đồng luân và nhĩm cơ bản
Những kiến thức được ưình bày trong Chương II và Chương III là hồn tồn mới mẻ
đối với chúng tơi, nhiều chỗ cịn trừữu tượng, khĩ tránh khỏi những thiếu xĩt rất mong được qui thầy cơ và các bạn đồng mơn đĩng gĩp ý kiến
Trong quá trình thực hiện, chúng tơi đã tham khảo một số tài liệu, xin tổ lịng cảm ơn
các tác giả Chúng tơi xin chân thành cằm ơn Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hưởng dẫn và cho những ý kiến quí háu
Nhãn dip này, chúng tơi cũng bày tỏ sự cảm ơn đến gia đình và bè bạn đã tạo điều
kiến thuận lợi để bản luân văn được hồn thành
Tác giả
Trang 5
Kudn Van Cot Nyghiép (XU eh, IntaA deg(f) F Lip Kerf 08” CÁC KÍ HIỆU Khơng gian tơpơ Họ tất cả các lân cận của x Phan trong cla A lao đĩng của A Cơ sở tơpơ
Cư sở lân cận lân cận của x
Tơpơ cảm sinh từ + trên M Bao đĩng trong M của A CM
Đường trịn
Đĩa cầu 2 chiều Mặt cầu n chiều Đĩa cầu n chiều
Khơng gian xa anh thực n chiều La Mobius Xuyén hai chiéu Xuyén nchiéu Chai Klein Nhĩm thương Z /2Z
Thanh phan liên thơng của x
Khơng gian [0,1] với tơpơ cảm sinh từ đường thẳng thực
Đường đảo ngược của đường f
Đường nối đường f với đường g
Tập các thành phẩn liên thơng đường của x Anh xa đồng nhất trên X
Lớp các đường đồng luân (cổ định) với f
Nhĩm cơ bản của khơng gian tơpơ X với điểm cơ sở xạ
Nhĩm đồng luân n chiều của khơng gian (X,Xo)
Đồng cấu cảm sinh của ánh xa liên tục
Phạm trù các khơng gian tơpơ với điểm cơ sở
Pham trà các nhĩm
Phép nâng của f
Bậc của f
Phép nâng của F
Phép nâng của f sao cho 1,(f)(0)=a
Hạt nhân của đồng cấu f
Biên của đĩa cầu B?
270: L2 cÄ⁄2(26 04t
Trang 6Luin Han Gat Nyhiep SVTH: CAO TRAN TO HAI
CHUONG I
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOPO DAI CUGNG
Chương này nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất của tơpơ đại cương cần thiết
cho các chương sau Các kết quả ở chương này sẽ khơng chứng minh, bạn đọc nào quan tâm xin tham khảo các tài liệu { 2], [ 7 ], {9 ]
§1 KHƠNG GIAN TƠPƠ
1.1 Khái niệm khơng gian tơpơ 4
1 Định Nghĩa
Khơng gian tơpơ là một cặp (X, t) trong đĩ X là một tập hợp khác rỗng; t là một họ
của những tập hợp con của X, gọi là các tập hợp mở thỏa mãn: ()@ ct, Xe6t; (ii) Giao của một họ hữu hạn các tập mổ là tập mở; (ii) Hợp của một họ bất kỳ các tập mở là tập mở 2 Tập đĩng Tập hợp F c X gọi là rập đĩng nếu X\F là tập mở 3 Tính chất (i) @ , X la tập đĩng ;
(ii) Hợp của một ho hữu hạn các tập đĩng là tập đĩng;
(ii) Giao của một họ bất kỳ các tập đĩng là tập đĩng
1.2 Ví dụ
1 Mọi khơng gian Mêtưic cùng với những tập mở của nĩ xác định một khơng gian tơpơ Nĩi riêng R"(n = 1, 2, ) là các khơng gian tơpơ; tơpơ sinh bởi Mêtric trên
Trang 7
Euan Tan Cit Nabitp SVTH : CAO TRAN TU MAI
R*" gọi là tơpơ thơng thường, hay tơpơ tự nhiên Tâp các số phức € là khơng gian tơpơ và got la Md phẳng phức
2 Tâp hựp X z Ø cùng với họ r tất cả các tập hợp con của X là một khơng gian t6péd
và gọi là khống gian tốp rời rạc Như vậy, khơng gian tơpơ (X, †) là rời rạc khi và chỉ
khi mọi tập hợp gồm một điểm đều mở,
3 Tập hợp X # Ø cùng với t = (Ø, X|] là khơng gian tơpơ và gọi là khơng gian tơpơ
thé
1.3 Lân cận - phần trong — bao đĩng
1 Lân cận
Cho (X, +) là một khơng gian t6p6 Tap VC X được gọi là một lân cận của x nếu
tổn tại U € 1 sao cho x € UC V, ký hiệu “3⁄4 là họ tất cả các lân cận
cua x
2 Điểm trong
Cho X là một khơng gian tơpơ, x 6 X gọi là điểm trong của A CX nếu tổn tại một
lân cận V của x nằm trong A
3 Phần trong
Tập hợp tất cả các điểm trong cia A C X gọi là phần trong của A; ký hiệu: IntA
(hoặc A”)
4 Tính chất ;
(a) IntA là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A
(b) A là tập mở khi và chỉ khi A = IntA
(c) Nếu AC BC X thì IntA C IntB
Š Ví dụ
Xét đường thẳng thực RR với tơpơ thơng thường Khi đĩ tập con G C R là tập
mở khi và chỉ khi Glà — hợp của một họ các khoảng mở trên R, ta cd:
(a) Intda, b) = Int(a, b} = Intla, b} = (a, b) ; Với mọi khoảng mở (a, b) C R
(b) ImQ=@ ởđĩ Q là các số hữu ử
Trang 8
Tuân 1lần fố† Nghiêp SVTH : CAO TRAN TU HAI 6 Điểm đính x€ X (X là khơng gian tơpơ) gọi là điểm đính của ACX nếu V 3A #Ø,VVe Ù, 7, Bao đĩng Tập hợp tất cả các điểm dính của A CX gọi là bao đĩng của A; ký hiệu: A 8.Tính chất (a) A là tập hợp đĩng nhỏ nhất chứa A (b) A là tập đĩng khi và chỉ khi A = A (c) NếuACBCXthAcCB -ˆ " 9, Ví đụ
Trong khơng gian tơpơ R với tơpơ tự nhiên, ta cĩ:
(a) (a,b) = (a,b] = (a, b) = [a, b] với mọi khoảng mở (a, b) C R
(b) Q= RG đĩ Q là tập hợp các số hữu tỷ
1.4 Cơ sở tơpơ — Cơ sở lân cận 1, Cơ sở tơpơ
Cho (X, 1) là một khơng gian tơpơ, #?C t gọi là một cơ sở đối với tơpơ t nếu mọi
tập hợp mở trong Xilà hợp của một họ nào đĩ những tập thuộc Z
2 Mệnh đề
Nếu #Zlà một cơ sở của khơng gian tơpơ (X, 1) Ta c6:
(i) Vxe X,3Ge B:xeG;
(¡) V G¡, Gạc BYxe G; NG,,3GeE Bsaocho xe GCG; NG
Ngược lại, giả sử là một ho các tập hợp mở cĩ hai tính chất như trên, ta
gọi + là họ tất cả các hợp cĩ thể thành lập được từ những tập của ##' Khi đĩ
t là một tơpơ trên X và tơpơ t được gọi là tơpơ sinh bởi cơ sở #?
Trang 9
Tuân Tlan Đất Nghiệp SVTU : CAO TRAN TU MAL
3 Ví dụ
Cho (X, + ) là những khơng gian tơpơ rời rạc, một họ gồm tất cả các tập chỉ cĩ một phan uf trong X là một cơ sở của tơpơ 1
4 Cơ sở lân cân
Cho X là khơng gian tơpơ và x X là một điểm nào đĩ với 3⁄4 là họ tất cả các lân
cận của x € X Một họ con 4, c Fé goi la hé cu sd cde lan can cba x nếu wWVe ^⁄4.3UE A, saocho Uc V 5 Vidu Cho khơng gian tơpơ X sinh bởi Mêưic d nào đĩ Họ * B= Ie*(<.~] | xeX,ne N\(0)] n Những quả cấu mở tâm x bán kính Sy x€ X,n N\{0}) 14 một cơ sở của khơng n gian tơpơ X 1.5.So sánh các tơpữ 1 Định nghĩa
Cho một tập hợp X trong đĩ được xác định hai tơpơ t¡ và 1; Ta nĩi rằng 1¡ mịn
hơn t; (hoặc nĩi 1; thơ hơn tị) Nếu mọi tập mở trong (X, 1¿) đều là tập mở trong
(X 1,) tức là tạ C t Để ký hiệu điểu đĩ, ta viết 1; > Tạ
2 Ví dụ
(a) Tơpơ rời rac mịn nhất trong những tơpơ trên X
(b) Tơpơ thơ thì thơ nhất trong những tơpơ trên X
Trang 10Enudin Man Tat Nahitp SVTH : CAO TRAN TU HAI Dé ding ching minh tụi là một tơpơ trên M ty gọi là 16pd cảm sinh bởi 1 trên M
Cặp (M, 1u) gọi là khơng gian tơpơ con của khơng gian tơpơ (X, tT)
2 Mệnh để
Cho X là khơng gian tơpõ, M là khơng gian con của X Ta cĩ;
() ACMM là đĩng trong M khi và chỉ khi A =M PF, voi F đĩng trong X (ti) Goi PA 1a bao đĩng trong M của ACCM Ta luơn cĩ: #wA = AnM
3 Ví dụ
(a) (0, 1] là khơng gian tơpơ con của đường thẳng thực R với tơpơ tự nhiên Khi đĩ tơpơ cảm sinh trên (0, 1} cĩ một cơ sở gồm các tập dạng:
(0, b); (a, 1 ]; (a, b) với mọi a, b thỏa 0< a <b < 1
(b) Trên SÌ = {(x,y)œ€ R?| x?+ y=) cCR” cùng với tơpơ cảm sinh trên nĩ gọi là
đường trịn SÌ, Ngồi ra cĩ thể coi §” là khơng gian tơpơ con của mặt phẳng phức C
với
S'=(ze € lizi=1)c€
(c)S"=(xe R**!||x| = 1c R"*! (na =2, 3,.) là một khơng gian con của R"*! với
tơpơ cảm sinh gọi là mặt cầu S”,
(d) B' = { (xy) R?|xŠ+y2£ 1] c R” là khơng gian tơpơ con của Rˆ và gọi là đĩa
trịn BÌ Ngồi ra cịn cĩ thể xem BỶ là khơng gian con của mặt phẳng phức C :
BÌ =[z=x +iyc Clw<iI)c€ ‹
§2 ÁNH XA LIÊN TỤC - ĐỒNG PHƠI
2.1Khái niệm về ánh xạ liên tục
1 Định nghĩa
(a) Cho f : X —› Y là một ánh xạ từ khơng gian tơpơ Y Ta nĩi rằng f liên rực tại điểm x € X nếu V V€ Phy, JUE 33⁄4 sao cho f(U) Cc V
(b) Ánh xa f: X —› Y được goi là liên tục nếu nĩ liên tục tại mọi điểm của X
Trang 11
Tuân 1lãn Đất NuÌti£p SVTH : CAO TRAN TỨ HẢI
2 Nhận xét
Nếu ánh xạ f: X —› Y từ khơng gian tơpơ x vào khơng gian tơpơ Y liên tục tại x € X thi f vẫn liên tục tại x nếu ta thay tơpơ trên X bằng tơpơ mịn hơn hoặc thay tơpơ trên Y bằng một tơpơ thơ hơn 3 Mệnh để (i) Anh xa f: X =—› Y liên tục khi và chỉ khi ảnh ngược bởi f của mọi tập mở trong Y là một tập mở trong X; (ii) Ánh xạ f: X—› Y liên tục khi và chỉ khi ảnh ngược bởi f của mọi tập đĩng trong x: ; (iii) Anh xa hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục 4 Ví dụ (a) Nếu X là khơng gian tơpơ rời rạc và Y là khơng gian tơpơ tùy ý thì mọi ánh xạ f: X —> Y đều liên tục
(b) Giả sử trên một tập hợp X trang bị hai tơpơ 1; và 1; Anh xạ đồng nhất
ld: (X, tị) =› (X, tạ) liên tục khi và chỉ khi 1, min hon 1
5 Bổ để dán
Giả sử khơng gian tơpơ X là hợp của hữu hạn tập đĩng của nĩ : X = Ủ F, và
Trang 12Euin Yan Gat Nahity SVTH : CAO TRAN TU HIÃI 6 Ví dụ Cho f, g: (0, 1] — X là hai ánh xạ liên tục thỏa f(1) = g(0) l l Đặt i hị:[O —] 3X : i | 5! hạ: [—, z2 J I - X t > Í (2L) t => Ø (2t — l) [0, 3Ì > 1} 14 hai tap déng trong [0, 1) va [0, = WS 1} = (0, 1) l l ] Ta cĩ; ac h; |[Ơ, — ll SINS ~,l]=h ts) —~j=fi(l (1) hạ Í |0, sInls =ml(—)=20 = Suy ra hị | {0 sInts 1] =hy|[0, SIs, 1) Nên ánh xạ h: {0, !] — X xác định bởi h, (t) néuosts+ h(t) = : h;(t) nếu -<t<I là liên tục; h được gọi là phép nối f với ø (xem II.1.2.1) 2.2 Ánh xạ mở - Ánh xạ đĩng - Đồng phơi 1: Anh xa md - Anh xa đĩng - Giả sử f: X — Y là một ánh xạ liên tục từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y Ta bảo:
(a) f là ánh xạ mở nếu ảnh f (U) của mỗi tập mở U trong X là tập mở trong Y
(b) f là ánh xạ đĩng nếu ảnh f (A) cla mi tap đĩng A trong X là tập đĩng trong Y
2 Đồng phơi
(a) Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ Song ánh f: X —› Y thỏa mãn f và f” đều liên tục
gọi là một phép đồng phi từ khơng gian tơpơ X lên khơng gian tơpơ Y
Trang 13
Luan Tan Tat Nabitp SVTH : CAO TRAN TU HAIL
(b) Hai khơng gian tơpơ X và Y gọi là déng phơi (hay cùng kiểu tơpơ) với nhau nếu
tổn tại một phép đồng phơi
f: X =› Y từ X lên Y ; ký hiệu X = Y 3 Mệnh đề
Giả sử f: X — Y là một song ánh liên tục từ khơng gian tơpơ X vào khơng
gian tơpơ Y Khi đĩ các mệnh để sau đây tương đương:
(¡) f là một phép đồng phơi;
(1) f là một ánh xạ mở; (ii) f là mơt ánh xạ đĩng
4 Nhận xét
(a) Hai khơng gian tơpơ đồng phối thì cĩ cùng những tính chất tơpơ, nghĩa là cĩ cùng
những tính chất liên quan đến những tập mở, tập đĩng và lân cận Nĩi một cách khác,
về phương diện tơpơ, nếu X và Y đồng phơi thì X và Y hồn tồn như nhau
(b) Quan hệ đồng phơi là quan hệ tương đương theo nghĩa sau đây: nĩ cĩ ba tính chất phản xa, đối xứng, bất cầu
5 Vidu
(a) Nếu X là một khơng gian tơpơ thì ánh xạ đồng nhất trên X là một phép đồng phơi
(b) R = (a, b)= (0, 1); R* = (a, b)” = (0,1)" véi moi khoảng mở (a, b) C R
§3 TÍCH CÁC KHƠNG GIAN TƠPƠ - TƠPƠ THƯƠNG
VÀ G— KHƠNG GIAN
3.1.Tích các khơng gian tơpơ
1 Tơpơ đầu xác định bởi một họ các ánh xạ
Trang 14
Enin Pan Cat Nyhizp SVTH:CAO TRAN TU HAI
Cho ho cic khong gian t6pé (Xj; t)i-,; và họ các Anh xa f;: X 3 X; ti tip khac
rong X nào đĩ đến X,,¡ L Khi đĩ họ #Zcác tập con của X dang:
(Ầ F!4Gj;G¡e 4¡;1 C1,1 hữu hạn
at cơ sở tơpơ trên X Tơpơ sinh bởi #Zđược gọi là rơpơ đầu xác định bởi họ
{fi}ier VA ho {tier
2, Tích các khơng gian tơpư
Cho các khơng gian tơpơ (X;, t) ; ¡ Tơpơ đầu trên X = | [X; , xác định bởi họ ie | các phép chiếu chính tắc {p,: | [X;—»X;)¡«:+ ” "J gọi là tơpơ tích trên tích Decartes X = [ [X; ie l 3 Tinh chat
(a) Tơpơ đầu trên X là tơpơ yếu nhất trên X để mọi ánh xạ f: X —› X, liên tục
(bì Tơpơ tích là tơpơ yếu nhất trên tích Decares[ [X; để các phép chiếu ie I pi: []X,— X; lién uc =1 4 Ví dụ Tơpơ tự nhiên trên R° chính là tơpơ tích của n ban sao của IR với tơpơ tự nhiên 3.1.Tơpơ thương
1 Tơpơ cuối được xác định bởi một họ ánh xạ
Cho {(X:, t,j)};«¡ là một họ các khơng gian tơpơ và {f; X; —> Y},;¡ là một họ các
ánh xạ f,từ X, đến một tập khác rỗng Y nào đĩ (¡ e I) Khi đĩ ho + các tập hợp
con của Y xác định bởi
1= {VCY|f¿'(V)e +, Viel
là một tơpơ trên Y và được gọi là rồpơ cuối xác định bởi họ ánh xạ {f, };=\
Trang 15
Tuân Han Tat Nabiey SVTH : CAO TRAN TU HAI
2 Tơpơ thương
(a) Cho p: X=› Y là một tồn ánh từ khơng gian tơpơ X lên tập hợp khác rỗng Y, tơpơ
cuối xác định bởi p được gọi là f6pơ thương của X trên Y xác định bởi p Như vãy đối
với tơpơ thương trên Y thì:
Ú mở trong Y khi và chỉ khi p'(U) mở trong X
(b) Đặc biệt, nếu trên X đã cho một quan hệ tương đương R thì cĩ duy nhất một tơpơ
thương trên tập thương X/R các lớp R- tương đương xác định bởi phép chiếu chính tắc
p: X =› X/R, về mặt trực quan X/ R nhận được bằng cách thu mỗi lớp R- tương đương
về một điểm (đồng nhất tất cả các điểm R- tương đương) Rõ ràng là:
2 mở trong X/R © p`( Ø#Z=\+J(UIU€ 3 mở frong X
(c) Cho tập hợp con A tùy ý trong khơng gian tơpơ X Xét quan hệ ~ trong X như sau:
Vx,y€X;x-y© NA
x=y£ A
Dễ dàng kiểm chứng ~ là quan hệ tương đương Khi đĩ khơng gian thương A/~ được
ký hiệu là X/ A và gọi là khơng gian tơpư thương của X theo tập con A Về mặt trực
quan X/A nhận được từ X bằng cách thu A vể một điểm (đồng nhất tất cả các điểm của A) 3 Tính chất (a) Tơpơ cuối xác định bởi họ {f, };«¡ là tơpơ mạnh nhất trên Y để mọi ánh xạ f;: X; —› Y liên tục (¡ € I) (b) Tơpơ thương trên X/ R là tơpơ mạnh nhất trên X/ R để phép chiếu chính tắc p:X =+ X/ R liên tục 3.3 Các ví dụ cơ bản 1.Khơng gian xạ ảnh thực RP"
(a) Trên khơng gian tơpơ IR**'\{0} xét quan hệ ~ như sau :
(Xo Xa) ~ (Yo, , Ya) © 3À € R\{0)}: y¡ = Àx¡; Vị = 1, 2, , n (tức là quan hệ tỷ lê
trên R"*'\ {0})
Trang 16
Lucie Tan Cat Nahiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
Hiển nhiền ~ là một quan hiệ tương đương; lớp tương đương của (Xa, Xị, Xu) được kí hiệu (x,: Xị: :X„) ¡ khơng gian thương (R"*1{03)/~ được ký hiệu là RP° và goi là khơng gian xa ảnh thức n chiều
(b} Xét tồn ánh p : S° — RP"
(Xqey<.Xz ) b> (Xp:- : X,, )
Anh xa này cĩ một mơ tả hình hoc rất trực
quan: đĩ là việc đổng nhất các cặp xuyền tâm đối ((Xa, Xụ Xu ), (-Xo, - X„ ))trên S” (xem Hình 3.3.1) dễ dàng thấy rằng p liên tuc, hqn
nữa tơpơ thương trên RP"” cũng chính là tơpơ
cuưi¡ xác định bởi p Hình 3.3.1
2 Lii Mobius (¢4
Xét khơng gian sau đây:
X=({(x, y)e R?| 0<x<1;0< y<1}=[0, I(cCR?)
với tơpơ cảm sinh từ IR Ÿ xét quan hệ tương đương ~ trên X sinh bởi tập con sau
đây của X xX:
#4 = (((0, y), (1, 1-y) lye (0, 13}
Trang 17Luan Ban Cot Nghiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
Cĩ thể hình dung [4 Mobius như là khơng gian nhận được từ hình vuơng đơn vị
OABD trên mặt phẳng tọa độ xOy bằng cách dán hai cạnh đổi diện OC và BA
ngược chiều nhau (xem Hình 2.3.2 ab) Khi đĩ cĩ thể coi lá Mobius được nhúng
vào ` như là khơng gian con với tơpơ cảm sinh (xem Hình 3.3.2 c)
3 Xuyến
Lại xét khơng gian X = {(x, y) e R?[ 0<x<1;0< y<1}=|0, 1] (CR `) và
tập con 342‡ (0, y), (1, y)), ((x, 0), (x, 1)) | x, ye (0, lI]) CXxY 3% xác định một
quan hệ tương đương ~ trên X, khi đĩ khơng gian thương X/~ được gọi là Xuyến hai
chiêu, ký hiệu là Tà _
Cĩ thể hình dung xuyến Tạ như khơng gian nhận được từ hình vuơng đơn vị
OABC trên mặc phẳng bằng cách đán hai cặp cạnh đối điện OC và AB, OA và CB
cùng chiểu với nhau (xem Hình 3.3.3abcd) Khi đĩ cĩ thể coi xuyến Tạ được
nhúng vào fR” như là khơng gian con với tơpơ cảm sinh (xem Hình 3.3.3eg)Ngồi ra, xuyến T;y cịn cĩ thể hình dung như là tích của hai đường trịn SỈ: T; = S x SÌ
thơng qua phép đồng phơi sau đây:
Tạ —=S'x®
(x.y) (e?, e2 )
Đồng phơi này cho thấy T;ạ là hình trịn xoay (trong R) tạo thành bằng cách
quay đường trịn tâm (2, 0) bán kính 1 trong mặt phẳng xOz quanh trục Oz (xem
Hình 3.3.3h)
Trang 18
Kuản 1lần ớt Na|jiệp SVTH:CAO TRAN TU HAI mm A A PP A (a) (đ) () Hình 3.3.3 4 Chai Klein Ta vẫn xét X = {(x, y) R?{(0<x<1,0<y<1} =[0, 1] (C R?) và trên nĩ xét
quan hệ tương đương ~ xác định bởi tập
% = {((0, y), (1, y)), ((x, 0), (I-x, 1)){x, y e {0, !]}=XxX
Khơng gian thương X/~ được gọi là Chơi Kiein, ký hiệu là 3“”
Trang 19
Luin Tan Cot Nyghiep SVTH:CAO TRAN TU HAI “| i Ln Led, TOA (¢) — (4) O (a) (6) C Hình 3.3.4 C’
C6 thé hinh dung Chai Klein nhu 14 khéng gian nhận được từ hình vuơng đơn vị
OABC trên mặt phẳng bằng cách dán hai cặp đối diện OC với AB cùng chiểu và
AO với CB ngược chiểu (xem hình 3.3.4) Khơng gian Chai Klein được nhúng vào
R* như là khơng gian con với tơpơ cảm sinh (chú ý Chai Klein khơng thể nhúng
được vào fR” vì những phép dán ở trên khơng thể thực hiện trong `) 3.4 G ~ Khơng gian 1 Tác động của nhĩm lên một tập Giả sử X là một tập khác rỗng và G là một nhĩm Ta bảo rằng G rác động trên X nếu cĩ một Anh xa GxX ¬ X (g,X) > g.X
Thỏa mãn các tính chất sau đây:
Trang 20Luin Yan Cot Nahiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
De dang kiém chifng ~ 1A mét quan hệ tương đương Lớp tương đương của x X được ký liệu là x và goi là một G — Qui dao (chifa x) Tap cic G - qưi đạo chính là tập thương X/~ và được ký hiệu là X/ G
4 — Khơng gian
Cho 1à một nhĩm, X là một khơng gian tơpơ và G tác động trên X Ta bảo X
là Œ— khơng gian nếu ánh xạ
0,:X ¬X
K > BX
là ánh xa liên tục với moi g € G; lúc đĩ tập các G —- qưi đạo X/G được trang bị tơpơ thương xác định bởi phép chiếu chính don : X = X/G và gọi là khơng gian các G - qui dao 4 Mệnh dé Giả sử X là một G- khơng gian, khi đĩ phép chiếu chính tắc p : X => X/ G là một ánh xa mở Š, Ví dụ (a) ChọnG =ZZ; =({-I, l},s ) và xét tác động của ZZ; trên mặt cầu S° như sau : Z:xS" ¬S (+ l,X) († l)x;:=‡#x
Khi đĩ S” là một Z2; - khơng gian và khơng gian S"/Z; các Z2 - qụ đạo chính
là khơng gian xa anh thuc RP”
(b) Xét nhém céng Z va dudng thẳng thực R với tơpơ tự nhiên, cho Z tac động
Trang 21Kuan Flan Cat Nahitp SVTH:CAO TRAN TU HAI
§4 KHONG GIAN COMPACT
4.1, [Phủ mở
Cho X là một Khơng gian tơpơ tùy ý
1, Ta gọi phá mở của X, một họ {G;};¿¡ những tập mở của X sao cho X= UJ Gi
ie!
2 Pha con cha mot phi md {G,}; ¢; 1a mé6t phd md tao nén bdi những tập mở thuộc
phủ {Gi}iey
3 Một phủ mở {G,},; ¡ của X gọi là hữu hạn nếu I là tập hữu hạn
4.2 Khơng gian compact
1 Định nghĩa
(a) Khơng gian tơpơ X gọi là compact nếu mỗi phủ mở tùy ý của X đều cĩ một phủ con hữu hạn, tức là với mọi phủ mở {G,)„¡ của X đều tổn tại một tập hợp hữu
hạn J = {jh, j3 jà J} CÍ sao cho X = US
E
(b) Tap con A của khơng gian tơpơ X gọi là tập compact nếu khơng gian con A của
X là một khơng gian compact
2 Các tính chất cơ bản
(a) Tâp con A trong R* ( với tơpơ tự nhiên) là compact khi và chỉ khi A đĩng bị chặn
(b) Ảnh liên tục của tip compact lA tap compact
(c) Tap hdp con đĩng của khơng gian compact là tập compact, ngược lại nĩi chung khơng đú ng
(đ) Cho X, Y là hai khơng gian đồng phơi Khi đĩ
Trang 22
Luin Yan Cot Nuhiep SVTH:CAO TRAN TU HAI X compact <> Y compact (e) Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ Ta cĩ X compact XxY compact = Y compact
(g) Cho X là khơng gian compact cịn Y là khơng gian thương của X xác định bởi
anh xa p: X — Y, khid6 Y compact 3 Vidu
(a) Khơng gian rỡi rạc là compact khi và chỉ khi nĩ hữu hạn
(b) Đường thẳng thực với tơpơ tự nhiên khơng compaet vì phủ mở {(-n ,")}„¿w khơng cĩ phủ con hữu hạn nào
Tương tư R" khéng compact (véi moi n= 1, 2, )
(c) Moi tap déng bi chin dạng [a, b] của đừơng thẳng thực là compact Tương tự
mọi hình hợp đĩng
(ai, bị] x [ay, bạ] x x [ay, bạ} là tập compact trong R”
(d) S' compact trong R ; S" compact trong R"*
(e) T, compact trong R° ; 14 Mobius compact trong R°
(g) RP" 14 khéng gian compact
§5 KHONG GIAN HAUSDORFF - CAC TIEN DE TÁCH
5.1 Khai niém vé khéng gian Hausdorff
1 Dinh nghia
Khơng gian tơpơ X gọi là //œusdorƒƒ nếu với mọi cặp điểm khác nhau x; x2 € X;
tồn tại một lân cận Vị của x; và một lân cận Vạ của xạ sao cho Vị Vạ = Ø
2 Ví dụ
(a) Moi khơng gian Mêtric là Hausdorff N6i riéng R’ (n = 1, 2, ) déu Hausdorff,
Trang 23
Kuản 1l8n Œat Xahi‡p SVTH:CAO TRAN TU HAI
(b) Khơng gian tơpơ rời rạc là Hausdorff
(c) Khơng gian tơpơ thơ khơng Hausdorff
5.2 Cúc tiên để tách
1 Khơng gian tơpơ (X,+) gọi là Tị-khơng gian nếu với hai phần tử khác nhau bấy
kỳ xị, x:€ X; tổn tại lân cân U của xạ sao cho xạ £ U
2, Khơng gian tơpơ (X, +) gọi là Tạ - khơng gian nếu nĩ là khơng gian Hausdorff 3 Khơng gian tơpơ (X, +) gọi là Tạ - khơng gian (hay khơng gian chính q¿y) nếu X là T¡ - khơng gian và với mọi x e X, với mọi F đĩng trong X sao cho x £ E, tổn tại
các tập mở U và V sao cho xe U,EC V và U V=Ø
Hiển nhiền moi Ty - khơng gian là một Tạ - khơng gian
4 Khơng gian tơpơ (X, +) gọi là Tạ - khơng gian (hoặc khơng gian chuẩn tắc)
nếu nĩ là T¡ - khơng gian và với hai tập đĩng rời nhau bất kỳ F,G C X, tổn tại hai tập mở Ư và V sao cho FC U,G € V và U V=Ø
Hiển nhiên mọi Tạ - khơng gian là một Tạ - khơng gian 5.3.Các tính chất cơ ban
1 Khơng gian tơpơ X là một T\ - khơng gian khi và chỉ khi mọi tập hợp gồm một điểm là tập đĩng
2 Tập con compact của một khơng gian Hausdorff là đĩng
3 Giả sử f: X —› Y là ánh xạ liên tục từ khơng gian compact X đến khơng gian
Hausdorff Y Khi đĩ f là một đồng phơi khi và chỉ khi nĩ là song ánh
4 Khơng giancon của khơng gian Hausdorff là khơng gian Hausdorff
S Giả sử X, Y là các khơng gian tơpơ Khi đĩ X, Y Hausdorff khi và chỉ khi
X x Y Hausdorff
6 Giả sử Y là khơng gian thương của khơng gian tơpơ X xác định bởi p : X—>Y
Néu X compact Hausdorff, p 14 ánh xa đĩng thì Y cũng compact Hausdorff
Trang 24
Luin Van Cat Nahiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
7 Nếu X là G - khơng gian compact Hausdorff và G là nhĩm hữu hạn thì khơng
gian X/G các G ~ qui dao cing compact Hausdorff
8 Nếu X là compact Haudorrff và A là tập con đĩng của X thì khơng gian thương
X/A cling compact Haudonff 9, Nhận xét
R P" = S'/Z, S” compact Hausdorff, Z; hữu hạn nên theo tính chất 3 5 7, RP"
cung la compact Hausdorff,
86 KHONG GIAN LIEN THONG
6.1 Khơng gian liên thơng 1 Định nghĩa
(a) Khơng gian tơpơ X gọi là liên thơng nếu nĩ khơng thể biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khơng rỗng và khơng giao nhau, tức là khơng tổn tại hai
tập mở A, B sao cho A # Ø,B #Ø, X=AUB,AnB #@
(b) Tap hop M trong khơng gian tơpơ X gọi là tập hợp liên thơng nếu M liên thơng
như một khơng gian (con của X với tơpơ cảm sinh) 2 Tính chất
(a) X là khơng gian liên thơng khi và chỉ khi khơng tổn tại một tập hợp con thật sự khác rỗng của X vừa mở vừa đĩng trong X
(b) Nếu khơng gian tơpơ X cĩ một tập liên thơng trù mật M thì X liên thơng
(c) Hợp của một họ tập hợp con liên thơng của khơng gian tơpơ X cĩ giao khác
rồng trong khơng gian X là một tập hợp liên thơng của X
(d) Ảnh liên tuc của một tập hợp liên thơng là một tập hợp liên thơng
(e) Tích Decartes của mơt họ khơng gian liên thơng là một khơng gian liên thơng
Trang 25
Luin Dan Cot Nyhiep SVTH:CAO TRAN TU HAI
3 Vidu
(a) Khơng gian tơpơ thơ là một khơng gian liên thơng
(b) Khơng #ian tơpơ rời rạc cĩ hai điểm trở lên khơng là một khơng gian liên thơng vì mọi tập hợp con thật sự khác rỗng của nĩ đều vừa mở vừa đĩng
(c) Khơng gian R (n= l,2, ) với tơpơ tự nhiên là liên thơng
(d) S*, RP" là các khơng gian liên thơng
6.2 Thành phần liên thơng
1 Dinh nghia
Tập hợp liên thơng lớn nhất trong khơng giaw X chứa điểm x € X gọi là thành
phần liên thơng của x
Hiển nhiên nếu X là một khơng gian liên thơng thì x là thành phần liên thơng của mỗi điểm của nĩ
2 Nhận xét Cho x,y€ X
Gọi C, là thành phần liên thơng của x C, là thành phần liên thơng của y
Nếu C, C, # Ø thì C, (2C, là tập liên thơng chứa x, y (theo tinh chit 6.1.2.c),
ma C, ,C, là tập liên thơng lớn nhất lẳn lược chứa x, y nên lúc đĩ C,=C, =C, UC, Néi cach khac, quan hệ ~ xác định bởi x ~ y © xe€ C¿
là quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương X /~ được gọi là tập thành
phần liên thơng trong X 3 Tính chất
Trong khơng gian tơpơ X, thành phân liên thơng của mỗi điểm là tập đĩng
4 Nhận xét (Bước đi đầu tiên vào tơpơ đại số)
Cho X là tơpơ tuỳ ý Z; = ({0, 1}, +) với tơpơ rời rạc
Trang 26
Euan than Cat Nahitp SVTH:CAO TRAN TU HAI
Ky hiéu H(X) = (f: X > Z, If lién tuc}
Trên H(X) ta định nghĩa phếp cộng như sau:
(f + 2) (x) = f(x) + g(x) (mod 2), x € X
Khi đĩ H(X) trở thành một nhĩm Abel Hơn nữa H(X) s Z2; «+ X liên thơng
Trang 27
Luan Man CH Naliip SVTH:CAO TRAN TU HAI
CHUONG II
QUAN HỆ ĐỒNG LUÂN VÀ NHĨM CƠ BẢN
Cluểdng này nhầm giới thiệu nhốm cơ bản của một khơng gian tơpơ tùy ý và
chỉ ra rằng đĩ là một bất biến đồng luân, tức là hai khơng gian cùng kiểu đồng
luän thì cĩ các nhĩm cơ bản đẳng cấu Điều này cho phép chứng minh tính
khơng đồng luân (nĩi riêng khơng đồng phơi) của hai khơng gian tơpơ bằng
cách chỉ ra các nhĩm cơ bản của chúng khơng đẳng cấu Nhĩm cơ bản khơng chi cho théng tìn về khơng gian tơpơ mà rất cĩ lợi trong việc nghiên cứu Anh
xa liên tục; mỗi ánh xạ liên tục từ khơng gian X vào khơng gian Y sẽ cảm sinh mét đồng cấu nhĩm của các nhĩm cơ bản trên hai khơng gian tơpơ X và Y
Do đĩ cĩ thể chứng minh một số tính chất đối với các ánh xạ liên tục bằng cách nghiên cứu đồng cấu cảm sinh trên các nhĩm cơ bản Nĩi một cách khác, nhờ các nhĩm cơ bản, các bài tốn tơpơ nảy sinh ra khi nghiên cứu các khơng
gian tơpơ và các ánh xạ liên tục đơi khi được quy về các bài tốn thuần túy đại
số thuộc lĩnh vực nhĩm và các đồng cấu nhĩm, đĩ chính là ý nghĩa cơ bản của
tơpơ đại số
Trang 28
Luan Hin đi Nuhièp SVTIt : CAO TRAN TU HAI
§1 ĐƯỜNG-KHƠNG GIAN LIÊN THONG DUONG
1.1 Khái niệm về đường
1 Định nghĩa
Cho khơng gian tơpơ X; x,y € X Xét đoạn [0,1]C R với tơpơ cảm sinh từ tơnơ tư nhiên của R Một ánh xạ liên tục f : {0,1] => X từ [0,1] vao X sao cho f(O}= x, {(1) = y được gọi là một đường trong X nối x với y (Hình 1.1.1) 2 Ví dụ Cho x.y € ” Anh xạ f: [0,1] ¬ RP t E>+(l-l)X+ty
là một đường trong fR” nối x với y„ Hình 1.1.1
1.2 Các phép tốn trên các đường
1 Phép nối hai đường
Cho hai đường f.g :{0,1] —> X thỏa f(1) = 2(0° Xét ánh xa h :{0,1] —¬ X xác định bởi f2) nếu0 4l et 2 Ses °* Ff h(t) = g(2t—l) nếu 5s <1 Theo Bổ để đán L 2.1 5, h là i
ánh xạ liên tục và được gọi là Hình 1.2.1
đường nổi hai đường f với g
Kí hiệu: h = f * g (hình 1.2.1)
2 Đường đảo ngược
Cho f :{0,1] — X là một đường trong X Đường f: {0,1] —› X xác định bởi
Trang 29
Luin Han Tat Nghitp SVTH : CAO TRAN TU HAI
f(t) = f(1-U được gọi là đường đảo ngược của f 1.3, Đường đĩng 1 Định nghĩa Cho x 6X và đường f:(0,!1) —= X trong X f ¬_¬ được gọi là đường đĩng tại x nếu x = f(0) = f(I) (Hình 1.3.1) 2 Nhận xét Hình 1.3.1
Cho s„€ SỈ = ((x.y) RỶ! x? +y? =1}C RỶ (tơpơ trên SÌ cảm sinh từ tơpơ tự
nhiên của R?) Trên SỈ chọn một hướng xác định nào đĩ Xét ánh xạ liên tục
s :[0,1] + S', s (O)= sp, s(t) € S' sao cho 46 Gai cung định hướng S$(t) là 2mt
(te [0,1]) Lúc đĩ dễ dàng thấy s(1) = so va s | (0,1): 0,1) —> SÌ là một song ánh (nĩ cịn là một đồng phơi) Thực ra nếu xem
SỈ=([z=x+iye ©Í lzl = 1] C © (mặt phẳng thức) được định hướng dương
(ngược chiểu kim đồng hồ)
s„ = @?°(0<t, <l) thì s được xác định bởi :*
s (t) =e 40 <t <1)
Bây gid gid sip: S' > X 1A mét Anh xa li€n tuc Khi 46 g s = f:[0,1] > X 1a
một đường đĩng trong X (vi f(0) = f(1) = @ (s,)) Ngude lai, n€u f:[0,1] > X 1a một đường đĩng trong X (tức là cĩ f(0) = f(1)) Khi đĩ cĩ một và chỉ một ánh xa liên tục (p : SÌ—› X sao cho @.s = f
That vay, chon:
@=f | (0,1) (s | (0.13
Trang 30
Juân Yan Cot Nyghitp SVT: CAO TRAN TU HAI Ta cĩ : (@.s)() = f(t), ¥te (0,1) vacg.s)(1) =ff| 10,1) ( | 10,1)" (C1) = (fF | [0,1)) (s | (0,1)}" (s,) = (f | {0,1)) (0) = f(0) = f1) Do d6 g.s =f Han nifa néu cé @;, @; : SÌ—› X liên tục sao cho ()y.S = (2 § = @0¡ š Í [0,1) = @ s | [0,1) = ); =P (vis | (0,1) : (0,1) —› § là một song ánh)
Từ đĩ ta cĩ một cách hình dung khác (tương đương với định nghĩa) về đường
đĩng như dưới đây 3, Định nghĩa
Đường đĩng trong khơng gian tơpơ X là ánh xạ liên tục f: SỈ—› X từ đường
Trang 31Luin Ban Cat Nuhitp SVTH : CAO TRAN TU MAI
1.4.Khơng gian liên thơng đường
1 Định nghĩa
(a) Khơng gian tơpơ X gọi là liên thơng đường (cịn gọi là liên thơng tuyến tính hay liên thơng cung) nếu mọi cặp điểm xạ, xạ X đều được nối với nhau bởi một đường nào đĩ trong X
(b) Tap con Y cua khơng gian tơpơ X gọi là liên thơng đường nếu Y liên thơng đường với tơpơ cảm sinh từ X
2 Ví dụ
(a) R” là khơng gian liên thơng đường Thật vậy mọi cặp điểm x„, x; € R” đều
được nối với nhau bởi đường
f:(01] —> R" ‡ xR"
t b> (Et) XE Xy aa,
R ở ¬
Thực chất f chính là phép tham sốhĩa —†—}—— | / =
của đoạn thang [x, x)] of %
Nối Xạ, xị (Hình 1.4.2a) Hình 1.4.2a
(b) R" \(0) (n > 2) là khơng gian liên thơng đường Thật vậy, với mọi cặp điểm
Xø Xị € R°\(0) Ta cĩ hai trường hợp phủ định lẫn nhau sau đây:
* O = (o, o, ,o) khơng thuộc đoạn thẳng [xạ x;] gối x,, x:
Khi đĩ f: [0,1] — R" \{0} với f(t) = (1-t) x, + tx, Vtc [0,1] là đường nối xạ với xạ
Trang 32
Ruân Yan Tat Nahitp SVTH : CAO TRAN TU IAL Nox, NO g 4 —{—+—— l ` #—¬ X, : Hinh 1.4.2b
* 0 € [x,x,] Khi dé chon y € R"\ {0} sao cho y$ [xex:]
Xét f:|0,1] — R*\ |0) là đường nối x„ với y
t > (1-t) xX, + ty
2:[0,1} — R*\ (0) là đường nối y với xạ
t b> (1-t) y + tx,
Khi đĩ, f * g : [0,1] — R*\ {0} là đường nối xạ với xạ
Do đĩ : R° \ (0) liên thơng đường
3 Định lý -
Ảnh liên tục của một khơng gian liên thơng đường là một khơng gian liên
thơng đường :
Chứng minh:
Giả sử X là khơng gian liên thơng đường; g: X — Y là một tồn ánh liên tục từ X lên khơng gian tơpơ Y Ta cẩn chứng minh Y liên thơng đường Thật vậy:
Xét cặp điểm y„ y¡ tùy ý trong Y Lúc đĩ tổn tại cặp điểm x„ xạ € X để
Y, = g(x), (i=0,1) Vì X liên thơng đường nên cĩ một đường f: [0,1] — X trong
X nối x„ với x; Khi đĩ g.f : {0,1] => Y chính là đường trong Y nối y, với y\
Trang 33
Tuân lan Tot Nahitp SVTH ; CAO TRAN TU HAL
4 Hệ quả
Giả sử X, Y là hai khơng gian đồng phơi Khi đĩ
X liên thơng đường © Y liên thơng đường 5, Ví dụ (a)S! là ảnh của — RẦ (0] bởi tồn ánh liên tục RẦ\ (0) ¬ SÌ X X ye Wx il Do 46 : S' lién théng dudng
(b) Tương tự, S” liên thơng đường vì nổ là ảnh của khơng gian
liênthơng đường R"*' \{0} (n 2 1) bởi tồn ánh liên tục R?\ (0) — SP x + xl (c)Khơng gian xạ ảnh thựcRP° là ảnh liên tục củaR"°'\{0)bởi phép chiếu chính X tắc R”°\N(0) —RPẺ
(Xo, Xị, Xa) >> (Xe: Xụ : 'Xa)
nên fRP° cũng liên thơng đường °
6, Định lý
Giả sử (X,),«;¡ là họ các tập con liên thơng đường của khơng gian tơpơ X Nếu (V010 UX, cũng liên thơng đường
Chứng minh:
Lấy cặp điểm tùy ý a,b e (JX; ; khi đĩ ae Xị, b€ Xị đối với k, l nào đĩ
thuộc J; chọn một điểm c sX, , Khi đĩ X, liên thơng đường nên cĩ một
Trang 34
Tuân 3lãn Đố† Nuiiệp SVTH : CAO TRAN TU IAI
đường f trong Xy = nối a với c Tương tự cĩ đường g trong X; cx, nối
c với b, Khi đĩ đường nối a với b trong Xi chính là f * ø
7 Định lý
Nếu X, Y là hai khơng gian liên thơng đường thì tích X x Y của chúng cũng
liền thơng đường
Chứng minh:
Chon y, € Y cố định, ta cĩ:
cổ 2 (Xxtya}) U (x} x Y)
Với LX (Xx (yo) U Ix) XY) DX x [yo] #D
Vi X x {y,] =X, (x} x Y = Y nén X x {y,}, (x) x Y đều liên thơng đường
Hơn nữa X x {yp} M(x} x Y = [(x.y) # Ø (với moi x € X) Do đĩ
Xx {y„} U{x}) x Y liên thơng đường
Vậy X x Y liên thơng đường Í § Nhận xét
Đảo lại cũng đúng, tức là nếu X x Y liên thơng đường thì X,Y đều liên thơng
đường
Chứng minh:
px:XxY — X,py:XxY-> Y là các tồn ánh liên tục Do đĩ X, Y đều là
ảnh liên tục của X x Y và tính liên thơng đường của X, Y được suy từ tính liên
thơng đường của X x Y
9 Định lý
Mọi khơng gian liên thơng đường đều liên thơng
Chứng minh:
Giả sử X liên thơng đường Ta cẩn chứng tỏ X liên thơng Giả xử X = U UV
(U, V mở trong X, U V = Ø, U # Ø, V # Ø) Chọn x, € U, x; € V va gọi
Trang 35
Luan Yan Tit Nyhitp SVTH : CAO TRAN TU HAL f: [0,1] 4X 1A dudng ndi x, vdi x, [0,1] lién théng nén f ({0,1]) liên thơng Do đĩ:
(U mf (10,11) ¬ (Vf({0,1])) # Ø © U mV nf({0,!]) £Ø@
= UAV #Ø mâu thuẫn
Vây X liên thơng 10 Nhận xét
Mệnh để đảo của Định lý 1.4.9 khơng đúng, nghĩa là cĩ những khơng gian
liên thơng nhưng khơng liên thơng đường xŠ lý 11 Ví dụ Trên mặt phẳng R? xét A = ((x,y) c Rì | y=sini „0<x<l) Khi đĩ A =A L/ {(0,y)l- 1<y <1] : +
là một khơng gian liên thơng nhưng
khơng liên thơng đường Thật vậy:
Ánh xạ f: (0,1] x —› A (x, sin + ) l6 I Hình 1.4.11 U
là một tồn ánh liên tục, (0,1] là tập liên thơng nên Ä=f(0I1]) liên thơng
Mặt khác, mỗi điểm (0,b) e An¬Oy và mỗi điểm (x,y) e A c A đều khơng
thể nối với nhau bởi một đường nào trong A nên A khơng liên thơng đường
12 Định lý
Mọi tập mở liên thơng khơng rỗng trong R° đều liên thơng đường
Chứng mình:
Giả sử G # Ø mở liên thơng trong fR"
Xét điểm tùy ý peG.Gọi H=|qeG Ì tổn tại đường nằm trong G nối p với q]}C G
Trang 36
Luan Han Tot Nabity SVTH : CAO TRAN TU UAL
RO ring H liên thơng đường spe EOE
Ta sẽ chứng mình rằng H là tập H =
mở để chứng mình điều đĩ ta lấy bất 3 ky qe HCG vA goi f lA dudng ndi p
với q trong G Vì G mở nên tìm được P
mét hinh ciu md n chiéu với tâm q
bán kính € >0 nao d6 chifa trong G recessed
Tức là:
B`={xeR' | llq-xIl< e} CG B° hiển ? Hinh 1.4.12
nhiên là liên thơng đường (vì nĩ đồng phdi véi R");
xe B°, 3g đường nổi g đến x trong B® CG Khi 46 f * g là đường trong G nơi p với x, vậy xe B°
Suy ra B” C 1, tức là H mở trong R° Suy ra H mở trong G (vì G mở)
Bay gid ta lai chứng mình H đĩng trong G
Đặt K = GH = |x € G | khơng tồn tại đường f trong G nối p với x)
Lập luân tương tự như trên ta cũng thấy rằng K là mở trong R”, do đĩ K mở
trong G (vì G mở trong R")
Suy ra H đĩng trong G
H khơng rỗng (vì p €H) vita md vita déng trong G, hơn nữa G liên thơng do
đĩ H = G và G là tập liên thơng đường
1.5 Thành phần liên thơng đường
1 Định nghĩa
Tâp hợp liên thơng đường lớn nhất trong khơng gian X chưa x € X gọi là
thành phần liên thơng đường của x
Trang 37
Luau Tan Tat Noahitp SVT1I : CAO TRAN TU HAI
2 Tinh chat
Nếu X là một khơng gian liên thơng đường thì X là thành phần liên thơng
đường của mọi điểm của nĩ
3, Quan hệ liên thơng đường
Cho khơng gian tơpơ X; x,y € X Ta nĩi x cĩ quan hệ liên thơng đường với y
nếu cĩ một đường trong X nối x với y, kí hiệu x ~ y Quan hệ liên thơng đường
là quan hệ tương đương trên X Thật vậy:
(i) WVxeV,x~xvìiánh xạ hằng f, : I—› X nối x với x;
(ii) Nếu x~ y bởi đường f: I— X thì y ~ x bởi đường f: l—› X ;
(iti) Nếu x ~ y bởi đường f: l— X và y ~ z bởi đường q : l—› X Thì x ~ z bởi đường f-+* g nối f với g
Ta ki hiéu m,(X) la tap thường X/ ~ các lớp quan hệ liên thơng đường trên X 4 Nhận xét Mỗi thành phần liên thơng trên X là một phần tử của Tt,(3) §2 QUAN HỆ ĐỒNG LUÂN 2.1 Quan hệ đồng luân giữa các ánh xạ liên tục 1 Định nghĩa
Cho hai khơng gian tơpơ X, Y Hai ánh xạ liên tục f, g : X — Y gọi là tương
Trang 38Tuân Van Cot Nahitp SVTH : CAO TRAN TU HAI
Thong thudng dé tién ta ki hiéu H,: X 3 Y là ánh xạ xác định bdi H,(x) = H(t.x) (vie [0,1], Vx € X) Lic d6 H & (H,), ews) (ho liên tục các ánh xạ liên
tục được chỉ số hĩa bởi {0,1]),Hơn nữa: f + g©H,=fvàH;=g
Hình 2.1.1 minh họa khái niệm đồng luân cụ thể Hình 2.1.1a : f, g tương
đương đồng luân: Hình 2.I.Ib : f, g khơng tương đương đồng luân x (È) Hình 2.1.1 2 Tính chất Quan hệ tương đương đồng luân là quan hệ tương đương trên tập tất cả các ánh xạ liên tục từ X đến Y Thật vậy:
(i) f q g với phép đồng luân H (t, x) = f(x);
(ji) Néuf = gthig = f, trong đĩ K(t,x) = H(1-t, x);
(iii) Néu f = g va g : h thi f L h Trong đĩ:
Trang 39
Tuân Tìän ất Na|iệp SVTIJ ; CAO TRAN TU MAI H(2tx) nếu 0t ce 2 L (tx) = , K(2t ~1,x)néu > Sts! (theo Bổ để dán 1.2.1.5, L lién tuc) 3 Tap [X,Y]
Tâp thương của tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y theo quan hệ tương đương
đồng luân được ký hiệu là [X,Y] Lớp tương đương cĩ đại điện f: X— Y kí hiệu
là {f]
4 Nhận xét
Tích các ánh xạ tương đương đồng luân là những ánh xạ tương đương đồng
luận Thật vậy:
Giả sử X, Y, Z là các khơng gian tơpơ
Nếu f,f': X — Y là hai ánh xạ liên tục thỏa f H f’
g.g': Y +Z la haidnh xa liên tụcthỏag = g'
Khi đĩ: g.f=g f' bdi déng ludn g.H :IxX-Z g.f'=g' f' bởi đồng luân L=K (Id) xf"): 1xX-—~Z Do đĩ : g.f «g` f' Từ đĩ ta cĩ phép tốn : {X, Y]x[Y,Z] ——› ([X,Z] (flløg) +—— [g-f] Ta thường viết : [ø](f] = [g.f] 5 Định lý
X là khơng gian tơpơ tùy ý, Y là tập lỗi khác rỗng trong fR° Khi đĩ [X,Y] chỉ
gồm một phân tử, tức là mọi cặp ánh xạ liên tục f,g: X —› Y đều cĩ f = g
Chứng minh :
Trang 40
Luan Nan Tit Nahitp SVTII ; CAO TRAN TU MAI
Với mỗi x € X; f(x), g(x) € Y Vi Y 1A tip 16i nén (1-1) f(x) + w(x) € Y, Vere
[O,1} Khi dé ta cé anh xa: H: IxX-›Y liên tục và ta cĩ H,=f,Hị;=g (t, x) b> (1-t) f(x) + tg(x) Viyf = g 2.2 aaa’ hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ - khơng gian thắt được 1 Định nghĩa
Hai khơng gian tơpơ X, Y gọi là cùng kiểu đồng luân (hay tương đương đồng luân) nếu tốn tại các ánh xa liên tục ~
1: X— Y, g: Y X sao cho :
g.f= ldy, f.g =ldy; tức là [g] [f]= (Idy], [f] (g] = [ldy]
2 Tính chất
(a) Quan hệ đồng luân giữa hai khơng gian tơpơ là quan hệ tương đương trên lớp tất cả các khơng gian tơpơ
(b) Hai khơng gian tơpơ déng phơi luơn cùng kiểu đồng luân nhưng điểu ngược
lại khơng đúng
3 Định nghĩa
Khơng gian tơpơ cùng kiểu đồng luân với (*J gọi ïâ khơng gian thất được ((*] là khơng gian chỉ gồm cĩ một điểm với tơpơ rời rac)
4 Định lý
Cho Y là khơng gian tơpơ Ta cĩ ba mệnh để sau tương đương:
(i) Y là thất được;
(ii) Voi moi khơng gian tơpơ X, [X,Y] chỉ cĩ một phần tử;
(ii) Ánh xa đồng chất Idy:Y—› Y và ánh xạ hằng f,: Y—› Y tương đương đồng
luân