Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên quyển Topo đại số của Rotman. Trước hết, mình sẽ trình bày về các khái niệm đồng luân, null homotopic, contractible và topo thương.
9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T oá n h ọc h iện đại Nhóm đồng điều: lý thuyết Bắt đầu Minhnksc, -04 -2 02 - 01 :1 Đã g ửi -0 -2 - :1 Minhnksc Đây viết topo đại số diễn đàn, topic tổng hợp lại từ webinar nho nhỏ tụi khoảng thời gian tới Bài đăng, chủ yếu dựa Topo đại số Rotman Trước hết, trình bày khái niệm đồng luân, null- homotopic, contractible topo thương Đồng luân Định nghĩa 1.1 Xét X, Y hai không gian topo hai ánh xạ liên tục f, g : X → Y Khi f gọi đồng luân với g tồn ánh xạ liên tục F: X × I → Y mà F(x, 0) = f(x) F(x, 1) = g(x) Kí hiệu f ≃ g Nếu f đồng ln với g ví dời, làm biến dạng từ f thành g, f t(x) = F(x, t) miêu tả "biến dạng" thời điểm t Ví dụ: Xét γ i : I → C với i = 0, hai hàm liên tục mà ảnh chúng hai đường cong mặt phẳng phức Nếu ta xét F(x, t) = tγ (x) + (1 − t)γ (x) dễ thấy γ ≃ γ (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-163684-0-21019300-1622395109.png) Bổ đề 1.2 Giả sử không gian X hợp hữu hạn tập đóng X i f i ánh xạ liên tục từ X i vào Y thỏa mãn f i(X i ∩ X j) = f j(X i ∩ X j) tồn f : X → Y liên tục mà f | X i = f i Chứng minh Hiển nhiên từ X hợp tập X i f i(X i ∩ X j) = f j(X i ∩ X j) ta thấy ánh xạ f xác định Giả sử C tập đóng Y, đó: f − (C) = f − ( ⋃ C ∩ f(X i)) = ⋃ f − (C ∩ f(X i)) = ⋃ f i− (C ∩ f i(X i)) Vì C ∪ f i(X i) đóng f i(X i) nên C ∪ f i(X i) đóng X i. ◻ Từ ta có f − (C) suy f liên tục Định lý 1.3 Đồng luân quan hệ tương đương tập ánh xạ liên tục từ X vào Y + Tính phản xạ: Xét F(x, t) = f(x)∀(x, t) ∈ X × I, rõ ràng F liên tục nên f ≃ f + Tính đối xứng: Nếu F(x, t) liên tục, F(x, 0) = f(x) F(x, 1) = g(x) G(x, t) = F(x, − t) liên tục, G(x, 0) = F(x, 1) = g(x) G(x, 1) = F(x, 1) = f(x) Do f ≃ g g ≃ f + Tính bắc cầu: Giả sử F: f ≃ g G: g ≃ h Khi xác định: H(x, t) = { F(x, 2t), G(x, 2t − 1), ∀0 ≤ t ≤ ∀ ≤ t ≤ Ta có H(x, 0) = f(x) H(x, 1) = g(x) Hơn H liên tục hệ trực tiếp từ bổ đề 1.2, f ≃ h. ◻ Định nghĩa 1.4 Nếu f : X → Y ánh xạ liên tục lớp tương đương đồng luân định nghĩa sau: https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 1/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học [f] = {ánh xạ g liên tục từ X vào Y : f ≃ g} Để kết luận đồng luân congruence T op ta cần chứng minh định lý sau: Định lý 1.5 Cho f i : Y → Z g i : X → Y với i = 0, ánh xạ liên tục thỏa mãn f ≃ f g ≃ g Khi [f ∘ g ] = [f ∘ g ] Chứng minh Đầu tiên ta khẳng định f ∘ g ≃ f ∘ g Giả sử F: f ≃ f Xét G(x, t) = F(g (x), t) C tập mở Y, từ ta có F − (C) mở X × I Khi X × I có sở U × V với U V tập mở X I Hơn nữa, đặt h(x, t) = (g (x), t) G = F ∘ h và: h − (U × V) = ⋃ h − (U × {t}) = ⋃ g 0− (U) × {t} = g 0− (U) × V t∈V t∈V mở trongX × I Do G ánh xạ liên tục, từ dễ dàng suy f ∘ g ≃ f ∘ g Tương tự, ta có f ∘ g ≃ f ∘ g định lý chứng minh. ◻ Hệ 1.6 Đồng luân congruence T op Khi ta xây dựng phạm trù thương T op với Hom(X, Y) = [X, Y] phép hợp hai cấu xạ [f] ∘ [g] = [f ∘ g] Phạm trù thương xác định gọi phạm trù thương đồng luân, kí hiệu hT op Null-homotopic định lý đại số Định nghĩa 2.1 Ánh xạ k gọi ánh xạ X tồn y ∈ Y cho k(x) = y với x ∈ X Một ánh xạ f : X → Y liên tục gọi null-homotopic tồn ánh xạ k X mà f ≃ k Nói cách khác, ánh xạ f null-homotopic "co được" điểm Định lý 2.2 Cho f : S n → Y ánh xạ liên tục vào không gian Y Các điều kiện sau tương đương: f null-homotopic f thác triển thành ánh xạ liên tục g : Dn → Y Nếu x ∈ S n k: S n → Y ánh xạ f(x ) tồn đồng luân F: f ≃ k với F(x , t) = f(x ) với t ∈ I Chứng minh (1) ⇒ (2): Xét F: f ≃ k với k ánh xạ hằng, k(x) = a với x Định nghĩa: g(x) = { a, F( x | |x | | ∀0 ≤ | | x | | ≤ , − | | x | | ), ∀ 2 ≤ | | x | | ≤ Dễ thấy g liên tục nhờ bổ đề 0.2 (2) ⇒ (3):Xét F(x, t) = g((1 − t)x + tx ) Ta kiểm tra lại F liên tục, F(x, 0) = f(x) F(x, 1) = f(x nên F: f ≃ k Hơn F(x , t) = g(x ) = f(x ) (3) ⇒ (1): Hiển nhiên. ◻ Định lý 2.3 Giả sử Σρ ⊂ C đường trịn tâm bán kính ρ kí hiệu f nρ : Σρ → C − {0} hạn chế z ↦ z n Σρ n Nếu khơng có ánh xạ f ρ null-homotopic định lý đại số Chứng minh n +) Xét đa thức g(x) = x n + + a Ta xây dựng ánh xạ đồng luân g hạn chế Σρ ρ > f ρ sau: F(x, t) = x n + (1 − t)(a n − x n − + + a ) n Khi rõ ràng F liên tục, F(x, 0) = g(x) F(x, 1) = f ρ (x) Giờ ta cần chứng minh g t(x):= F(x, t) nằm hoàn toàn C − {0} xong Thật vậy, chọn ρ cho ρ > + max ≤ i ≤ n | a i | Giả sử tồn x,t mà F(x, t) = 0, ta có: https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 2/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học ρ n = | x | n = (1 − t) | a n − x n − + + a | ≤ | an − | | x | n − + + | a0 | ≤ ρ( | x | n − + + | x | + 1) = ρ n + + ρ Điều khơng thể xảy ρ > +) Giả sử g khơng có nghiệm phức, xét G(x, t) = g((1 − t)x) Vì g khơng có nghiệm phức nên G nằm hồn toàn C − {0} Dễ thấy G: g | Σρ ≃ k với k: z ↦ a Do ta phải có f nρ ≃ k, tức f nρ null - homotopic Điều mâu thuẫn với điều ta giả sử. ◻ Contractible không gian thương Định nghĩa 2.4 Tập X R n gọi lồi với x, y ∈ X t ∈ I tx + (1 − t)y ∈ X Định nghĩa 2.5. X gọi contractible X null-homotopic Một cách khơng chặt chẽ, ta nói khơng gian X contractible "co được" điểm (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-163684-0-15702200-1622395224.jpg) Định lý 2.6 Nếu X lồi X contractible Chứng minh Xét x ∈ X F(x, t) = tx + (1 − t)x , X lồi nên ta ln có tx + (1 − t)x ∈ X Khi dễ thấy F: X ≃ k với k ánh xạ X k(x) = x ◻ Định nghĩa 2.7. Xét X không gian topo Y = {X i} phân hoạch X Lúc này, ánh xạ tự nhiên X v : X → Y xác định v(x) = X i topo Y gồm họ tập U mà v − (U) mở X gọi topo thương Y Ta quan tâm hai trường hợp đặc biệt sau đây: + Nếu xét A tập X phân hoạch X, kí hiệu X / A gồm tập phần tử X − A tập A Khi không gian thương X / A tạo "chập" điểm A X thành điểm + Trường hợp thứ hai xét quan hệ tương đương ∼ X phân hoạch Y họ lớp tương đương quan hệ ∼ Khi ánh xạ v xác định v : x ↦ [x] Không gian thương Y kí hiệu X / ∼ https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 3/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-163684-0-25625000-1622395606.png) Ví dụ: Ta xét ví dụ topo thương sử dụng quan hệ tương đương, đặt X = I × I xác định ∼ quan hệ tương đương mà (x, 0) ∼ (x, 1) Khi X / ∼ đồng phơi với ống S × I Hơn nữa, ∼ thỏa mãn (1, y) ∼ (0, y) X / ∼ đồng phơi với hình xuyến (torus) S × S Bài v iết chỉnh sửa nội dung Minhnksc: 5-06 -2 02 - 01 :50 Đã g ửi -0 -2 - :3 Minhnksc 1.Liên thông đường Định nghĩa 1.1 Một đường X ánh xạ liên tục f : I → X Nếu f(0) = a f(1) = b, ta nói f đường từ a đến b Định nghĩa 2.1 Một không gian X gọi liên thông đường nếu, với a, b ∈ X, tồn đường X từ a đến b Định lý 1.3 Nếu X liên thơng đường X liên thơng Chứng minh Nếu X khơng liên thơng tồn A, B ≠ ∅ tập mở X cho A ∩ B = ∅ A ∪ B = X Lấy a ∈ A b ∈ B, xét f : I → X đường từ a đến b Ta có f(I) = (A ∩ f(I)) ∪ (B ∩ f(I)) Do f(I) khơng liên thơng Điều mâu thuẫn f(I) phải liên thông. ◻ Định lý 1.4 Nếu f : X → Y liên tục X liên thơng đường, f(X) liên thơng đường Chứng minh Ta có, với y , y ∈ f(X) tồn x , x ∈ X cho f(x ) = y , f(x ) = y Do X liên thông đường nên tồn h : I → X liên tục cho h(0) = x , h(1) = x Xét hàm g = f ∘ h, g : I → Y liên tục g(0) = y , g(1) = y nên f(X) liên thông đường. ◻ Thành phần đường Định lý 2.1 Nếu X khơng gian topo, quan hệ hai ∼ X xác định "a ∼ b có đường X từ a đến b" quan hệ tương đương Chứng minh Tính phản xạ: Nếu a ∈ X, hàm f : I → X với f(x) = a ∀x ∈ I đường từ a đến a Tính đối xứng: Nếu f : I → X đường từ a đến b, g : I → X cho g(x) = f(1 − x) ∀x ∈ I đường từ b đến a Tính bắc cầu: Nếu f đường từ a đến b g đường từ b đến c h : I → X xác định bởi: h(t) = https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ { f(2t) nếu 0 ≤ t ≤ / g(2t − 1) nếu 1 / ≤ t ≤ 4/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học h liên tục nên h đường từ a đến c. ◻ Định nghĩa 2.2 Các lớp tương đương X xác định quan hệ tương đương ∼ định lí gọi thành phần đường X Các thành phần đường X tập liên thông đường lớn Hơn nữa, tập liên thơng đường X tập thành phần đường X Định nghĩa 2.3 Ta kí hiệu tập thành phần đường X π (X) Đồng thời xác định π (f): π (X) → π (Y) ánh xạ biến thành phần đường C ⊂ X thành thành phần đường Y chứa f(C) Định nghĩa ánh xạ π (f) định nghĩa tốt ảnh tập liên thông đường qua ánh xạ liên tục tập liên thông đường, có thành phần đường Y chứa f(C) Định lý 2.4 π : T op → Sets hàm tử Hơn nữa, f ≃ g, π (f) = π (g) Chứng minh Chúng ta dễ dàng kiểm tra π bảo toàn phần tử đơn vị bảo tồn phép hợp thành, từ kết luận π hàm tử Nếu f ≃ g tồn F: X × I → Y liên tục cho F(x, 0) = f(x)∀x ∈ X F(x, 1) = g(x)∀x ∈ X Nếu C thành phần đường X C × I liên thơng đường, nên F(C × I) liên thơng đường Ta có: f(C) = F(C × 0) ⊂ F(C × I) F(C × I) ⊃ F(C × 1) = g(C) Khi đó, thành phần đường Y chứa F(C × I) chứa f(C) g(C) Vậy nên π (f) = π (g). ◻ Hệ 2.5 Nếu X Y có dạng đồng ln π (X) đẳng cấu với π (Y) Định nghĩa 2.6 Một không gian X gọi liên thông đường địa phương nếu, ∀x ∈ X lân cận mở U chứa x , tồn tập mở V với x ∈ V ⊂ U cho hai điểm V có đường U từ điểm đến điểm kia. Định lý 2.7 Một không gian X liên thông đường địa phương thành phần đường taappj mở tập mở Nói riêng, X liên thơng đường địa phương thành phần đường mở Chứng minh Giả sử X liên thông đường địa phương U tập mở X Lấy C thành phần đường U, với x ∈ C tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U thỏa mãn với điểm V có đường từ điểm tới x U Vì điểm V thuộc thành phần đường chứa x nên V ⊂ C Vậy, C mở Ngược lại, cho U tập mở X, với x ∈ U, gọi V thành phần đường x U Theo giả thiết V mở Vậy nên X liên thông đường địa phương. ◻ Hệ 2.8 X liên thông đường địa phương vầ nếu, với x ∈ X với lân cận mở U x tồn tập mở liên thông đường V cho x ∈ V ⊂ U Hệ 2.9 Nếu X liên thơng đường đại phương thành phần tập mở trùng với thành phần đường Đặc biệt, thành phần X trùng với thành phần đường X Hệ 2.10 Nếu X liên thông X liên thông đường địa phương X liên thơng đường Bài v iết chỉnh sửa nội dung Minhnksc: 5-06 -2 02 - 00:4 Đã g ửi -0 -2 - :3 gosh Groupoid Định nghĩa 1.1 Cho f, g : I → X đường với f(1) = g(0) Định nghĩa đường f ∗ g : I → X sau: (f ∗ g)(t) = { f(2t) g(2t − 1) với 0 ≤ t ≤ ; với ≤ t ≤ Bài tốn Nếu khơng gian X contractible Y liên thơng đường hai ánh xạ liên tục X → Y đồng luân ánh xạ null-homotopic Chứng minh Vì X contractible nên x ≃ k với k: X → X ánh xạ Lấy f, g : X → Y hai ánh xạ liên tục, ta có:\\ f = X ∘ f ≃ k ∘ f ≃ k1 với k1 : X → Y ánh xạ biến tất phần tử X thành y ; https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 5/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học g = X ∘ g ≃ k ∘ g ≃ k2 với k2 : X → Y ánh xạ biến tất phần tử X thành y Ta cần chứng minh k1 ≃ k2 Do Y liên thông đường nên tồn đường h : I → Y với h(0) = y h = y Ta xây dựng đồng luân F: X × I → Y mà F(x, t) = h(t) với t ∈ [0, 1] x ∈ X Định nghĩa 1.2 Cho A ⊂ X f , f : x → Y ánh xạ liên tục với f | A = f | A Ta viết f ≃ f rel A tồn đồng luân F: f ≃ f mà F(a, t) = f (a) = f (a) với mọi a ∈ A và mọi t ∈ I Đồng luân F gọi đồng luân tương đối (đồng luân rel A) Nhận xét: Quan hệ đồng luân rel A quan hệ tương đương Định nghĩa 1.3 Cho ˙I = {0, 1} Lớp tương đương đường f : I → X rel ˙ I gọi lớp đường f ký hiệu [f] (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post-168008-0-75796000-1624558702.png) Định lý 1.4 Giả sử f , f , g , g đường X với f ≃ f rel ˙ I và g ≃ g rel ˙ I ˙ Nếu f (1) = f (1) = g (0) = g (0) f ∗ g ≃ f ∗ g rel I 1 0 1 Chứng minh Với đồng luân tương đối F: f ≃ f rel ˙ I G: g ≃ g rel ˙ I, ta xây dựng đồng luân tương đối ˙ H: f ∗ g ≃ f ∗ g rel I sau: 0 H(t, s) = { F(2t, s) G(21 − 1, s) với 0 ≤ t ≤ với 2 ≤ t ≤ (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post-168008-0-60531000-1624558717.png) Định nghĩa 1.5 Nếu f : I → X đường từ x đến x , ta gọi x \textbf{điểm đầu} f (x = α(f)) x điểm cuối f (x = ω(f)) Một đường gọi đường đóng có điểm đầu điểm cuối trùng https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 6/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Định nghĩa 1.6 Nếu p ∈ X hàm i p : I → X với i p (t) = p với t ∈ I gọi đường p Nếu f : I → X đường ta định nghĩa đường nghịch đảo f − : I → X (t ↦ f(1 − t)) Nhận xét: Nếu f đường đóng ta có f ∗ f − (t) { { f(2t) với 0 ≤ t ≤ = f(2 − 2t) với ≤ t ≤ f(1 − 2t) với 0 ≤ t ≤ f(2t − 1) với f − ∗ f(t) = 2 ≤ t ≤ Khi đó, f ∗ f − ≠ f − ∗ f Định lý 1.7 Nếu X khơng gian tập lớp đường X với phép toán [f][g] = [f ∗ g] tạo thành hệ thống đại số (được gọi groupoid) thỏa mãn tính chất sau: (i) lớp đường [f] với điểm đầu α[f] = p ∈ X điểm cuốiω[f] = q ∈ X thì [i p ][f] = [f] = [f][i q ]; (ii) tính chất kết hợp có thể; (iii) p = α[f] q = ω[f] [f][f − ] = [i p ] và [f − ][f] = [i q ] Chứng minh (i) (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post- 168008-0-32460000-1624558783.png) Ta cần chứng minh i p ∗ f ≃ frel ˙ I, lại tương tự Phương trình đoạn thẳng nối điểm (0, 1) với ( , 0) 2s = − t 1−t Với t ∈ [0, 1] cố định, định nghĩa ánh xạ affine: θ t : [ , 1] → [0, 1] nối điểm mút hai đoạn Ta xây dựng đồng luân H: i ∗ f ≃ f rel ˙ I sau: p H(s, t) = { p với 2s ≤ − t f(θ t(s))với 2s ≥ − t https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 7/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học (ii) (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post-168008- 0-60483100-1624558775.png) 1 2−t Phương trình đoạn thẳng nối ( , 0) ( , 1) s = 4 3−t Phương trình đoạn thẳng nối ( , 0) ( , 1) s = 4 Tương tự (i), với t ∈ [0, 1], ta xây dựng ánh xạ affine: θ t : [0, 2−t ] → [0, 1]; 2−t 3−t , ] → [0, 1]; 4 3−t θ t : [ , 1] → [0, 1] Ta xây dựng đồng luân H: (f ∗ g) ∗ h ≃ f ∗ (h ∗ g) rel ˙ I sau: θ t : [ { f(θ t(s)) với s ∈ [0, H(s, t) = g(θ t(s)) với s ∈ [ −t ] −t −t , h(θ t(s)) với s ∈ [ −t 4 ] , 1] (iii) Ta cần chứng minh f ∗ f − ≃ i p rel ˙ I, lại tương tự xây dưng đồng luân H: f ∗ f − ≃ i p rel ˙ I sau: H(s, t) = { f(2s(1 − t)) với s ∈ [0, ] f(2(1 − s)(1 − t)) với s ∈ [ , 1] Định nghĩa 1.8 Cố định điểm x ∈ X gọi điểm điểm Nhóm X với điểm x { π (X, x ) = [f]: [f] là lớp đường trong Xvớiα[f] = x = ω[f] } với phép toán [f][g] = [f ∗ g] 2 Hàm tử π { } Đinh lý 2.1 π : T op ∗ → Group hàm tử Hơn nữa, h, k: (X, x o ) → (Y, y ) h ≃ k rel x π (h) = π (k) https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 8/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Tốn học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post-168008-0-93871900-1624558925.png) Định lí 2.2 Nếu X không gian liên thông đường x , x ∈ X, thì π (X, x ) ≅ π (X, x ) Chứng minh: Lấy γ đường X từ x đến x Xác định đồng cấu ϕ : π (X, x ) → π (X, x ) ([f] ↦ [γ − ][f][γ] Sử dụng định lí 1.7 suy ϕ đẳng cấu (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_06_2021/post-168008-0-03125000-1624558961.png) Bài v iết chỉnh sửa nội dung gosh: 5-06 -2 02 - 0:3 Trở lại Toán học đại Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T ố n h ọc h iện đại https://diendantoanhoc.org/topic/188995-nhóm-cơ-bản-và-đồng-điều-lý-thuyết/ 9/9 ... có: https://diendantoanhoc.org/topic/188995 -nhóm- cơ- bản- và- đồng- điều- lý- thuyết/ 2/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học ρ n = | x | n = (1 − t) | a n − x n − +... ∼ https://diendantoanhoc.org/topic/188995 -nhóm- cơ- bản- và- đồng- điều- lý- thuyết/ 3/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-163684-0-25625000-1622395606.png)... ; https://diendantoanhoc.org/topic/188995 -nhóm- cơ- bản- và- đồng- điều- lý- thuyết/ 5/9 9/6/2021 Nhóm đồng điều: lý thuyết - Toán học đại - Diễn đàn Toán học g = X ∘ g ≃ k ∘ g ≃ k2 với k2