Tính chất di truyền trong không gian tô pô

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN −−− −−− HUỲNH QUANG TÂM TÍNH CHẤT DI TRUYỀN TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ Chun ngành: Cử nhân Tốn-Tin KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: T.S.LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 05/ 2014 LỜI CẢM ƠN! Trong suốt khoá học (2010 - 2014) Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN, với nổ lực thân giúp đỡ thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo Khoa Tốn giúp tơi có vốn tri thức vững vàng để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Trong thời gian làm luận văn, giúp đỡ giáo viên hướng dẫn T.S Lương Quốc Tuyển mặt, từ nhiều phía tơi hồn thành thời gian qui định Tôi xin chân thành cảm ơn đến : - Các thầy giáo Khoa Tốn giảng dạy cho kiến thức chuyên môn làm sở để thực tốt luận văn tốt nghiệp tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khố học - Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến T.S Lương Quốc Tuyển người theo sát bảo hướng cho lời khuyên quý báu cung cấp thông tin khoa học để định hướng tốt làm luận văn tốt nghiệp - Nhân xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè giúp đỡ động viên vật chất lẫn tinh thần suốt trình làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù luận văn hoàn thành thời gian qui định điều kiện thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn tơi hồn thiện Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực Huỳnh Quang Tâm MỤC LỤC Lời cảm ơn! Lời mở đầu Kiến thức sở 1.1 Không gian mêtric 7 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian mêtric, Sự hội tụ không gian mêtric Tập hợp mở phần tập hợp 10 1.1.3 Tập hợp đóng, bao đóng biên tập hợp Không gian tôpô 12 15 1.2.1 Đại cương không gian tôpô 15 1.2.2 1.2.3 Bao đóng tập hợp Vị trí tương đối điểm tập hợp 19 20 1.2.4 1.2.5 Phần tập hợp Biên tập dẫn xuất tập hợp 21 23 1.2.6 Tôpô cảm sinh, không gian 26 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ 2.1 2.2 Tính chất di truyền không gian thoả mãn tiên đề tách 2.1.1 Tính chất di truyền T1 -không gian 28 28 2.1.2 2.1.3 Tính chất di truyền T2 -không gian Tính chất di truyền T3 -không gian 28 29 2.1.4 2.1.5 Tính chất di truyền T3 21 -không gian Tính chất di truyền T4 -khơng gian 29 30 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề đếm 32 2.2.1 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề đếm thứ 32 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai 33 Tính chất di truyền không gian Linđơlốp 33 2.2.2 2.3 28 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm 2.4 2.5 Tính chất di truyền khơng gian khả ly Tính chất di truyền không gian liên thông 34 36 2.6 Tính chất di truyền khơng gian mêtric hố 37 2.7 Tính chất di truyền không gian compact 37 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tơpơ ngành tốn học quan trọng, mơn sở giải tích đại nghiên cứu đặc tính cịn bảo tồn qua biến dạng, xoắn, kéo dãn ngoại trừ việc xé rách việc dán dính Các đặc tính gọi bất biến tơpơ Nói cách đơn giản tơpơ ngành giải tích định tính Một bất biến tính di truyền Đây lý chọn đề tài nghiên cứu: Tính chất di truyền khơng gian tơpơ Mục đích nghiên cứu Nhằm tìm hiểu : “Tính di truyền không gian tôpô” Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn tìm hiểu tính chất di truyền khơng gian tơpơ Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lí luận: Trước tiên đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài • Hệ thống hóa kiến thức sở tôpô đại cương học để áp dụng vào tìm hiểu tính chất di truyền khơng gian tơpơ • Trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn,nghiên cứu q trình dừng ứng dụng • Đưa khái niệm, định lý, chứng minh rõ ràng tính chất di truyền khơng gian tơpơ Giới hạn đề tài Đề tài không sâu vào nghiên cứu tính di truyền tất tính chất tơpơ mà tìm hiểu tính di truyền số tính chất tơpơ Cấu trúc luận văn Bố cục bao gồm chương : • Chương Kiến thức sở,hệ thống hóa kiến thức liên quan để hổ trợ cho việc tìm hiểu tính chất di truyền khơng gian tơpơ • Chương Tính chất di truyền khơng gian tơpơ Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Huỳnh Quang Tâm CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Không gian mêtric, Sự hội tụ không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric cặp (X, d), X tập hợp khác rỗng, d : X × X → R hàm xác định X × X thoả mãn ba tiên đề sau: (1) d(x, y) với x, y ∈ X ; d(x, y) = ⇔ x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó: • Hàm d gọi mêtric (khoảng cách) tập X • Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X • d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Ví dụ 1.2 Tập hợp số thực R tập hợp số phức C không gian mêtric, với mêtric d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R (hoặc C) Ví dụ 1.3 Tập hợp Rk không gian mêtric, với mêtric d xác định sau: Nếu x = (x1 , x2 , · · · , xk ), y = (y1 , y2 , · · · , yk ) hai phần tử Rk , k |xi − yi |2 d(x, y) = i=1 Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm mêtric Rk Thật vậy, hiển nhiên d thoả mãn tiên đề (1) (2) Ta kiểm tra tiên đề (3) Trước hết, để ý a1 , , ak b1 , , bk số thực thì: k k k |ai |2 |ai bi | i=1 i=1 |bi |2 i=1 (Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức côsi-svác) Lấy tuỳ ý x = (x1 , · · · , xk ), y = (y1 , · · · , yk ), z = (z1 , · · · , zk ) ∈ Rk Khi đó, k k (|xi − yi | + |yi − zi |)2 |xi − zi | d (x, y) = i=1 k i=1 k k |xi − yi | + i=1 i=1 k i=1 k k |xi − yi | + i=1  |xi − yi i=1 k k |yi − zi |2 |2 |yi − zi + i=1 2 k i=1 |2 i=1 |xi − yi |2 + = |yi − zi |2 |xi − yi |.|yi − zi | + |yi − zi |2  i=1 = (d(x, y) + d(y, z))2 Từ đó, ta suy d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Ta gọi d mêtric Euclid (Rk , d) gọi không gian Euclid Ví dụ 1.4 Gọi C [a, b] tập hợp hàm số thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] Dễ dàng chứng minh C [a, b] không gian mêtric với mêtric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C [a, b] a t b Chú ý 1.5 Trên tập hợp khác rỗng có nhiều mêtric khác Khi đó, sinh không gian mêtric khác Định nghĩa 1.6 Giả sử (X, d) không gian mêtric, Y ⊂ X Khi đó, hàm số d|Y = d|Y ×Y mêtric tập hợp Y Không gian mêtric (Y, d|Y ) không gian không gian mêtric (X, d), ta gọi d|Y mêtric cảm sinh mêtric d Y Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy {xn } phần tử không gian mêtric (X, d) hội tụ đến phần tử x0 ∈ X nếu: n→∞ d(xn , x0 ) −−−→ hay lim d(xn , x0 ) = n→∞ Khi đó, ta viết: lim xn = x0 , xn → x0 Ta nói {xn } dãy hội tụ x0 n→∞ gọi điểm giới hạn dãy {xn } Bổ đề 1.8 Giả sử (X, d) không gian mêtric, {xn } , {yn } ⊂ X a, b, x0 ∈ X Khi đó: (1) Nếu xn → x0 , x0 (2) Nếu xn → a yn → b, d(xn , yn ) → d(a, b) Chứng minh (1) Giả sử xn → x0 xn → a, ta cần chứng minh x0 = a Thật vậy, ta có: d(a, x0 ) Bởi d(a, xn ) + d(xn , x0 ), với n ∈ N∗ d(a, xn ), d(a, xn ) → 0, d(xn , x0 ) → nên từ bất đẳng thức ta suy d(a, x0 ) = 0, kéo theo a = x0 (đpcm) (2) Với n ta có: d(a, b) d(a, xn ) + d(xn , b) d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b) Suy d(a, b) − d(xn , yn ) d(a, xn ) + d(yn , b) (1.1) Tương tự, ta có: d(xn , yn ) d(xn , a) + d(a, yn ) d(xn , a) + d(a, b) + d(b, yn ) Suy d(xn , yn ) − d(a, b) d(xn , a) + d(b, yn ) Theo (1.1) (1.2) ta suy |d(xn , yn ) − d(a, b)| d(xn , a) + d(b, yn ) Cuối cùng, d(xn , a) → 0, d(b, yn ) → nên từ bất đẳng thức ta suy ra: (1.2) Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm V ⊂ X \ (X \ {x}) = {x} Như vậy, {x} tập hợp mở (2) Điều kiện đủ Giả sử {x} tập hợp mở Khi đó, X \ {x} tập đóng, kéo theo X \ {x} = X \ {x} hay x ∈ X \ X \ {x} Theo Nhận xét 1.53 ta suy x ∈ / X d Do vậy, x điểm cô lập X Bổ đề 1.65 Cho (X, τ ) khơng gian tơpơ, A ⊂ X Khi đó, Ad \ A = ∂A \ A Định lý 1.66 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô, E, F ⊂ X Khi đó, (1) E = E ∪ E d (2) Nếu E ⊂ F , E d ⊂ F d (3) (E ∪ F )d = E d ∪ F d Eαd ⊂ ( (4) α∈I Fα )d α∈I Chứng minh (1) Theo Định lý 1.61 (4) Bổ đề 1.65, ta có E = E ∪ ∂E = E ∪ (∂E \ E) = E ∪ (E d \ E) = E ∪ E d (2) Giả sử E ⊂ F Ta chứng minh E d ⊂ F d Thật vậy, giả sử x ∈ E d theo Nhận xét 1.53 (2), ta có x ∈ E \ {x} ⊂ F \ {x} Do đó, x điểm tụ F Như vậy, E d ⊂ F d (đpcm) (3) Vì E ⊂ E ∪ F F ⊂ E ∪ F nên theo (2) ta suy E d ⊂ (E ∪ F )d F d ⊂ (E ∪ F )d Do đó, E d ∪ F d ⊂ (E ∪ F )d Ngược lại, giả sử x ∈ (E ∪ F )d Suy x ∈ E ∪ F \ {x} = (E \ {x}) ∪ (F \ {x}) = (E \ {x}) ∪ (F \ {x}) 25 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm Do đó, x ∈ E d ∪ F d Bởi vậy, (E ∪ F )d ⊂ E d ∪ F d (4) Ta có: Eα ⊂ Eα với α ∈ I α∈I Do đó, theo kết (2) ta suy Eαd ⊂ ( Fα )d với α ∈ I α∈I Eαd ⊂ ( Do vậy, α∈I α∈I 1.2.6 Fα )d Tôpô cảm sinh, không gian Định nghĩa 1.67 Cho (X, τ ) không gian tôpô, Y ⊂ X Đặt: δ = {U ∩ Y : U ∈ τ } Khi đó, ta kiểm tra δ tơpơ Y Ta nói δ tôpô cảm sinh τ (Y, δ) gọi không gian không gian tôpô (X, τ ) Chú ý 1.68 Từ định nghĩa ta suy ra: U tập mở (Y, δ) ⇔ tồn V ∈ τ cho U = V ∩ Y Định lý 1.69 Giả sử (Y, δ) ⊂ (X, τ ), E ⊂ Y Khi đó, (1) E tập đóng (Y, δ) tồn F tập đóng (X, τ ) cho E = F ∩ Y δ τ (2) E = E ∩ Y Chứng minh (1) Giả sử E tập đóng (Y, δ) Khi đó, Y \ E ∈ δ nên tồn U ∈ τ cho Y \ E = Y ∩ U Do đó, E = Y \ (Y \ E) = Y \ (Y ∩ U ) = Y \ U = Y ∩ (X \ U ) = Y ∩ F, F = X \ U tập đóng (X, τ ) 26 Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm Ngược lại, giả sử E ⊂ Y ∃F tập đóng (X, τ ) cho E = F ∩ Y Khi đó, Y \ E = Y \ (Y ∩ F ) = Y ∩ F = Y ∩ (X \ F ) = Y ∩ U, U tập mở (X, τ ) Do vậy, E tập đóng (Y, δ) (2) Ta có: δ E = ∩ F ⊂ Y : E ⊂ F, F tập đóng (Y, δ) = ∩ F = Y ∩ A : E ⊂ A, A tập đóng (X, τ ) = Y ∩ (∩ A ⊂ X : E ⊂ A, A tập đóng (X, τ ) ) τ =Y ∩E 27 CHƯƠNG TÍNH CHẤT DI TRUYỀN TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ Tính chất p không gian tôpô X gọi di truyền không gian không gian X có tính chất p 2.1 2.1.1 Tính chất di truyền không gian thoả mãn tiên đề tách Tính chất di truyền T1 -khơng gian Định nghĩa 2.1 Không gian tôpô (X, τ ) gọi T1 -không gian với hai phần tử khác x y X , tồn lân cận Ux x lân cận Uy y , cho y ∈ / Ux x ∈ / Uy Định lý 2.2 Khơng gian T1 -không gian T1 -không gian Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian T1 -không gian (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) T1 -không gian Thật vậy, giả sử với x, y ∈ A, x = y , kéo theo x, y ∈ X Bởi (X, τ ) T1 -không gian nên tồn hai lân cận Ux x Uy y X, cho x ∈ / Uy ; y∈ / Ux Khi đó, Ux ∩ A lân cận x A, Uy ∩ A lân cận y A ta có x ∈ / Uy ∩ A, y ∈ / Ux ∩ A Như vậy, (A, δ) T1 -không gian (đpcm) 2.1.2 Tính chất di truyền T2 -khơng gian Định nghĩa 2.3 Không gian tôpô (X, τ ) gọi T2 -khơng gian (hay khơng gian Haoxơđc) với hai phần tử khác x y X , tồn lân cận Ux x lân cận Uy y , cho Ux ∩ Uy = ∅ Định lý 2.4 Không gian T2 -khơng gian T2 -không gian Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian T2 -khơng gian (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) T2 -không gian Thật vậy, giả sử với x, y ∈ A, x = y , kéo theo x, y ∈ X Bởi (X, τ ) T2 -không gian nên tồn lân cận Ux x lân cận Uy y X 28 Tính chất di truyền khơng gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm cho Ux ∩ Uy = ∅ Khi đó, Ux ∩ A lân cận x A, Uy ∩ A lân cận y Avà ta có (Ux ∩ A) ∩ (Uy ∩ A) = (Ux ∩ Uy ) ∩ A = ∅ Như vậy, (A, δ) T2 -không gian (đpcm) 2.1.3 Tính chất di truyền T3 -khơng gian Định nghĩa 2.5 Không gian tôpô (X, τ ) gọi quy với x ∈ X , F tập đóng X cho x ∈ / F , tồn lân cân U x V F cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 2.6 Không gian tôpô (X, τ ) gọi T3 -không gian T1 -khơng gian quy Định lý 2.7 Khơng gian khơng gian quy khơng gian quy Chứng minh Giả sử (A, δ) không gian khơng gian quy (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) không gian quy Thật vậy, giả sử x ∈ A, F tập đóng A cho x ∈ / F Khi đó, F đóng A nên tồn G đóng X cho F = G ∩ A Ta có x ∈ X , x∈ / F = G ∩ A x ∈ A, kéo theo x ∈ X x ∈ / G đóng X Vì (X, τ ) khơng gian quy nên tồn hai lân cận U x V G cho U ∩V = ∅ Do vậy, U ∩ A lân cận x A, V ∩ A lân cận F A (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = (U ∩ V ) ∩ A = ∅ Như vậy, (A, δ) không gian quy (đpcm) Định lý 2.8 Khơng gian T3 -khơng gian T3 khơng gian Chứng minh Sử dụng Định lý 2.2 Định lý 2.7 2.1.4 Tính chất di truyền T3 21 -không gian Định nghĩa 2.9 Không gian tôpô (X, τ ) gọi khơng gian hồn tồn quy với x ∈ X, ∀F tập đóng X cho x ∈ / F , tồn hàm liên tục f : X −→ [0, 1] cho f (x) = 0, f (y) = với y ∈ F Định nghĩa 2.10 Không gian tôpô (X, τ ) gọi T3 12 -khơng gian T1 -khơng gian khơng gian hồn tồn quy 29 Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm Định lý 2.11 Khơng gian khơng gian hồn tồn quy khơng gian hồn tồn quy Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian khơng gian hồn tồn quy (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) khơng gian hồn tồn quy Thật vậy, giả sử x ∈ A, F tập đóng A cho x ∈ / F Khi đó, F đóng A nên tồn G đóng X cho F = G ∩ A Ta có x ∈ X , x∈ / F = G ∩ Avà x ∈ A, kéo theo x ∈ X x ∈ / G đóng X Vì (X, τ )là khơng gian hồn tồn quy nên tồn hàm liên tục f : X −→ [0, 1] cho f (x) = f (y) = với y ∈ G Suy f |A (x) = f |A (y) = với y ∈ G Do đó, tồn hàm liên tục g = f |A : A −→ [0, 1] cho g(x) = g(y) = với y ∈ F Như vậy, A khơng gian hồn tồn quy (đpcm) Định lý 2.12 Khơng gian T3 12 - khơng gian T3 21 - không gian Chứng minh Sử dụng Định lý 2.2 Định lý 2.11 2.1.5 Tính chất di truyền T4 -không gian Định nghĩa 2.13 Không gian tôpô (X, τ ) gọi chuẩn tắc với A, B tập đóng X A ∩ B = ∅, tồn lân cận U A lân cận V B cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 2.14 Không gian tôpô (X, τ ) gọi T4 -khơng gian T1 -khơng gian chuẩn tắc Định lý 2.15 Không gian chuẩn tắc khơng có tính di truyền lên khơng gian Chứng minh Giả sử (X0 , τ0 ) không gian không chuẩn tắc Lấy a ∈ / X0 đặt X = X0 ∪ {a}, τ = {X} ∪ τ0 Khi đó, (1) (X, τ ) khơng gian tôpô (1.1) ∅, X ∈ τ Hiển nhiên (1.2) Giả sử {Fα }α∈I ⊂ τ Ta chứng minh Fα ∈ τ Thật vậy, α∈I Fα = X ∈ τ Trường hợp Nếu tồn α0 cho Fα0 = X , α∈I Trường hợp Nếu Fα = X với α ∈ I , {Fα }α∈I ⊂ τ0 Bởi τ0 tôpô Fα ∈ τ0 ⊂ τ X0 nên α∈I 30 Tính chất di truyền khơng gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm (1.3) Giả sử A, B ∈ τ Ta chứng minh A ∩ B ∈ τ Thật vậy, Trường hợp Nếu A, B ∈ τ0 , A ∩ B ∈ τ0 ⊂ τ Trường hợp Nếu A ∈ τ0 , B ∈ / τ0 , B = X Suy A ∩ B = A ∈ τ0 ⊂ τ Trường hợp Nếu A ∈ / τ0 , B ∈ τ0 , A = X Suy A ∩ B = B ∈ τ0 ⊂ τ Trường hợp Nếu A = B = X , A ∩ B = X ∈ τ (2) (X, τ ) không gian chuẩn tắc Thật vậy, giả sử F tập đóng X Khi đó, F = ∅, a ∈ / F , X \ F = (X0 ∪ {a}) \ F = (X0 \ F ) ∪ ({a} \ F ) = (X0 \ F ) ∪ {a} = [X0 ∩ (X \ F )] ∪ {a} = (X0 ∪ a) ∩ [(X \ F ) ∪ {a}] = X ∩ [(X \ F ) ∪ {a}] = (X \ F ) ∪ {a} ∈ τ nên ta suy (X \ F ) ∪ {a} tập mở X Suy tồn U ∈ τ cho a ∈ U ⊂ (X \ F ) ∪ {a} Bởi U tập mở chứa a nên U = X , kéo theo X ⊂ (X \ F ) ∪ {a} = X \ F Do vậy, F = ∅ Điều mâu thuẫn với giả thiết F = ∅ Từ đó, ta suy F = ∅ a ∈ F Bây giờ, giả sử F1 , F2 tập đóng rời X Khi đó, theo chứng minh ta suy hai tập F1 , F2 , tập ∅, tập chứa a Khơng tính tổng qt, ta giả sử F1 = ∅, a ∈ F2 Khi đó, ta lấy U1 = ∅ lân cận F1 , U2 = X lân cận F2 thoả mãn U1 ∩ U2 = ∅ Do vậy, (X, τ ) không gian chuẩn tắc (3) Từ cách đặt ta có τ0 = {X0 ∩ U : U ∈ τ } Do vậy, τ0 tôpô cảm sinh τ X0 Định lý 2.16 T4 -không gian khơng có tính di truyền lên khơng gian Chứng minh Sử dụng Định lý 2.15 Định lý 2.17 Khơng gian đóng khơng gian chuẩn tắc không gian chuẩn tắc Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian đóng không gian chuẩn tắc (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) không gian chuẩn tắc 31 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm Thật vậy, giả sử F1 , F2 hai tập đóng A cho F1 ∩ F2 = ∅ Khi đó, F1 tập đóng A nên A \ F1 ∈ δ , suy tồn U ∈ τ cho A \ F1 = A ∩ U , kéo theo F1 = A ∩ (X \ U ) Mặt khác, A X \ U hai tập đóng X nên theo Định lý 1.41 (3) ta suy F1 tập đóng X Chứng minh tương tự ta F2 tập đóng X Hơn nữa, (X, τ ) không gian chuẩn tắc nên tồn lân cận V1 F1 V2 F2 cho V1 ∩ V2 = ∅ Khi đó, ta có V1 ∩ A lân cận F1 A, V2 ∩ A lân cận F2 A thoả mãn (V1 ∩ A) ∩ (V2 ∩ A) = (V1 ∩ V2 ) ∩ A = ∅ Vậy, (A, δ) không gian chuẩn tắc (đpcm) Hệ 2.18 Không gian đóng T4 -khơng gian T4 -không gian Chứng minh sử dụng Định lý 2.2 Định lý 2.17 2.2 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề đếm 2.2.1 Tính chất di truyền không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Định nghĩa 2.19 Không gian tôpô (X, τ ) gọi thoả mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X tồn sở lân cận đếm Định lý 2.20 Khơng gian không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh Giả sử (A, δ) không gian khơng gian thoả mãn tiên đề đếm thứ (X, τ ) Ta chứng minh A không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Thật vậy, giả sử x ∈ A ⊂ X , suy x ∈ X Do (X, τ ) thoả mãn tiên đề đếm thứ nên tồn sở lân cận đếm x Giả sử sở V = {Vn : n ∈ N∗ }, họ U = {A ∩ Vn : n ∈ N∗ } sở lân cận đếm x A Thật vậy, giả sử U lân cận x A Khi đó, tồn U0 ∈ δ cho x ∈ U0 ⊂ U Mặt khác, U0 ∈ δ nên tồn V ∈ τ cho U0 = V ∩ A, kéo theo x ∈ V ∩ A ⊂ U Hơn nữa, V sở lân cận đếm điểm x X nên tồn Vn0 ∈ V cho x ∈ Vn0 ⊂ V Suy 32 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm x ∈ (Vn0 ∩ A) ⊂ (V ∩ A) ⊂ U Tóm lại, với x ∈ A, U lân cận x A, tồn Vn0 ∩ A ∈ U cho x ∈ Vn0 ∩ A ⊂ U Như vậy, (A, δ) không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ (đpcm) 2.2.2 Tính chất di truyền không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai Định nghĩa 2.21 Không gian tôpô (X, τ ) gọi thoả mãn tiên đề đếm thứ hai có sở đếm Định lý 2.22 Khơng gian không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai Chứng minh Giả sử (A, δ) không gian khơng gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai Thật vậy, X thoả mãn tiên đề đếm thứ hai nên tồn sở đếm Giả sử sở B = {Bn : n ∈ N∗ } Ta đặt U = {A ∩ Bn : n ∈ N∗ } đó, U sở đếm A Thật vậy, X = (Bn ) nên n∈N∗ A=A∩( (A ∩ Bn ) (Bn )) = n∈N∗ n∈N∗ Hơn nữa, với tập mở U (A, δ), tồn tập mở V (X, τ ) cho U = V ∩ A Do B sở đếm X V ∈ τ nên tồn {Bni , i ∈ I} ⊂ B cho V = {Bni , i ∈ I} Khi đó, U = V ∩ A = ( {Bni , i ∈ I}) ∩ A = ∪ {A ∩ Bni , i ∈ I} Suy U hợp phần tử U Do đó, U sở đếm A Như vậy, A không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ hai (đpcm) 2.3 Tính chất di truyền khơng gian Linđơlốp Định nghĩa 2.23 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Linđơlốp phủ mở có phủ đếm Định lý 2.24 Khơng gian Linđơlốp khơng có tính di truyền lên khơng gian 33 Tính chất di truyền không gian tôpô SVTH: Huỳnh Quang Tâm Chứng minh giả sử không gian tôpô (X0 , τ0 ) khơng gian tơpơ rời rạc có lực lượng continum Lấy a ∈ / X0 đặt X = X0 ∪ {a}, τ = {X} ∪ τ0 Khi đó, (1) Theo cách chứng minh Định lý 2.15 ta suy (X, τ ) không gian tôpô (2) (X, τ ) không gian Linđơlốp Thật vậy, giả sử U = {Uα }α∈I phủ mở (X, τ ) Khi đó, X tập mở phủ {a} nên tồn α0 ∈ I cho Uα0 = X Bây giờ, ta đặt U1 = {X} Ta có U1 phủ đếm Như vậy, (X, τ ) khơng gian Linđơlốp (3) Bởi τ0 = {A ∩ X0 : A ∈ τ } nên không gian tôpô (X0 , τ0 ) không gian cảm sinh không gian tôpô (X, τ ) (4) (X0 , τ0 ) không gian Linđơlốp Thật vậy, (X0 , τ0 ) khơng gian tôpô rời rạc nên tập X0 mở Do đó, U = {{x} : x ∈ X0 } phủ mở X0 , mà X0 có lực lượng continum nên U có lực lượng continum phủ khơng có phủ thực Do đó, U khơng có phủ đếm Như (X0 , τ0 ) khơng gian Linđơlốp Tóm lại, (X0 , τ0 ) ⊂ (X, τ ), (X, τ ) không gian Linđơlốp (X0 , τ0 ) không gian Linđơlốp Định lý 2.25 Khơng gian đóng không gian Linđơlốp không gian Linđơlốp Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian đóng không gian Linđơlốp (X, τ ) Ta chứng minh (A, δ) không gian Linđơlốp Thật vậy, giả sử U = {Uα }α∈I phủ mở A Khi A tập đóng X nên X \ A tập mở Suy V = U ∪ {X \ A} phủ mở X Mặt khác, X khơng gian Linđơlốp nên tồn phủ đếm V0 = {X \ A} ∪ {Uαn }n∈N∗ V phủ X Do đó, U0 = {Un }n∈N∗ phủ đếm U phủ A Bởi vậy, (A, δ) không gian Linđơlốp (đpcm) 2.4 Tính chất di truyền khơng gian khả ly Định nghĩa 2.26 Cho (X, τ ) không gian tơpơ, A ⊂ X Khi đó, A gọi trù mật X A = X 34 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ SVTH: Huỳnh Quang Tâm Định nghĩa 2.27 Không gian tôpô (X, τ ) gọi khả ly có tập đếm trù mật X Định lý 2.28 Khơng gian khả ly khơng có tính di truyền lên không gian Định lý 2.29 Không gian đóng khơng gian khả ly không gian khả ly Chứng minh Giả sử (A, δ) khơng gian đóng khơng gian khả ly (X, τ ) Ta chứng minh A khơng gian khả ly Thật vậy, (X, τ ) không gian khả ly nên tồn M tập đếm trù mật X Khi đó, theo Định lý 1.50 (2) ta suy M ∩ A ⊂ M ∩ A Lại M tập trù mật X , A tập đóng X nên M = X , A = A, kéo theo M ∩ A ⊂ X ∩ A = A (2.1) A ⊂ M ∩ A (2.2) Hơn nữa, Thật vậy, giả sử ngược lại A M ∩ A Khi đó, tồn x ∈ A cho x ∈ / M ∩ A, kéo theo x ∈ A \ M ∩ A Bởi A \ M ∩ A tập mở A nên tồn lân cận Vx x A cho x ∈ Vx ⊂ A \ M ∩ A Suy Vx ∩ M ∩ A = ∅ Lại M ∩ A ⊂ M ∩ A nên Vx ∩ M ∩ A = ∅ hay (Vx ∩ A) ∩ M = ∅ (2.3) Mặc khác, A tập mở (A, δ) nên Vx ∩ A lân cận x A Hơn nữa, M = X nên x ∈ M Theo Định lý 1.51 ta suy (Vx ∩ A) ∩ M = ∅ (2.4) Từ (2.3) (2.4) dẫn đến mâu thuẫn Như vậy, A ⊂ M ∩ A Từ (2.1) (2.2) ta suy M ∩ A = A Do vậy, M ∩ A tập đếm trù mật (A, δ) Như vậy, (A, δ) khơng gian khả ly (đpcm) 35 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ 2.5 SVTH: Huỳnh Quang Tâm Tính chất di truyền không gian liên thông Định nghĩa 2.30 Không gian tôpô (X, τ ) gọi liên thông không tồn hai tập mở A B không rỗng X cho X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ Nhận xét 2.31 X không gian liên thông không tồn tập thật khơng rỗng vừa đóng, vừa mở X Định lý 2.32 Khơng gian liên thơng khơng có tính di truyền cho khơng gian Chứng minh Xét R tập hợp số thực với tôpô thông thường, R∗ = R \ {0} Khi đó, (1) R khơng gian liên thơng với tơpơ thông thường Thật vậy, giả sử ngược lại R không liên thơng Khi đó, theo Nhận xét 2.31 ta suy R tồn tập thật khơng rỗng vừa đóng vừa mở A Vì A tập thật R nên tồn r ∈ R \ A Hiển nhiên A ⊂ (−∞, r) ∪ (r, ∞) Ta đặt B = A ∩ (−∞, r), C = A ∩ (r, ∞) Khi đó, A = B ∪ C Bởi A = ∅ nên có hai tập B , C không rỗng (i) Nếu B = ∅ Bởi tập B bị chặn r nên tồn b = supB < r Do đó, tồn {xn } ⊂ B ⊂ A cho lim xn = b, A tập đóng R n→∞ nên b ∈ A Suy b ∈ B Mặt khác, B tập mở R nên tồn ε > cho (b − ε, b + ε) ⊂ B (tất nhiên b + ε < r ) Như vậy, tồn x = b + 2ε ∈ B, x > b Điều mâu thuẫn b cận B (ii) Nếu B = ∅ C = ∅, tương tự ta nhận mâu thuẫn Như vậy, R không gian liên thông với tôpô thông thường (2) R∗ không gian không liên thông R Thật vậy, R∗ = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) nên R∗ hợp hai tập hợp mở khác rỗng, không không giao Như vậy,R∗ không gian khơng liên thơng 36 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ 2.6 SVTH: Huỳnh Quang Tâm Tính chất di truyền khơng gian mêtric hố Định nghĩa 2.33 Giả sử (X, d) không gian mêtric Họ τ tập mở X tôpô X Khi đó, τ gọi tơpơ sinh mêtric d Định nghĩa 2.34 Không gian tôpô (X, τ ) gọi mêtric hoá tồn mêtric d : X × X → R cho tôpô sinh d trùng với tôpô τ Bổ đề 2.35 Cho không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, X khơng gian mêtric hố X T3 - không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ (Trích dẫn tài liệu tham khảo [2]) Định lý 2.36 Khơng gian khơng gian mêtric hố khơng gian mêtric hố Chứng minh Giả sử (A, δ) không gian khơng gian mêtric hố (X, T ) Ta chứng minh A không gian mêtric hố Thật vậy, X khơng gian mêtric hoá nên theo Bổ đề 2.36 ta suy X T3 -không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Do đó, theo Định lý 2.8 Định lý 2.20 ta suy A T3 -không gian thoả mãn tiên đề đếm thứ Như vậy, theo Bổ đề 2.36 ta suy A khơng gian mêtric hố (đpcm) 2.7 Tính chất di truyền khơng gian compact Định nghĩa 2.37 Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Ta nói, (X, τ ) khơng gian compact với phủ mở X , tồn phủ hữu hạn Tập A ⊂ X gọi tập compact không gian A không gian compact Định lý 2.38 Không gian compact khơng có tính di truyền lên khơng gian Chứng minh Trong không gian tôpô R số thực với tôpô thông thường Ta đặt X = [0, 1], A = (0, 1) Khi đó, (1) X = [0, 1] không gian compact (2) A = (0, 1) không gian compact 37 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển cung cấp, hướng dẫn tơi hồn thành đề tài Kết đạt được: Tổng hợp kiến thức sở không gian mêtric, không gian tôpô Trình bày Định nghĩa số khơng gian tơpơ như: không gian thoả mãn tiên đề tách, không gian thoả mãn tiên đề đếm được, không gian Linđơlôp, không gian khả ly, không gian liên thông, không gian mêtric hố khơng gian compact Phát biểu chứng minh chi tiết Định lý, Bồ đề Hệ tính di truyền chúng Do thời gian thực khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc! 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, Giải Tích Hàm NXB Đại học Trung học Chuyên nghiệp Hà nội năm 1978 [2] J Kelley, Tôpô Đại Cương NXB Đại học Trung học Chuyên nghiệp Hà nội năm 1973 [3] Đỗ Văn Lưu, Tôpô Đại Cương NXB Khoa học Kĩ thuật Hà nội năm 1998 [4] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương Độ đo tích phân NXB Giáo dục năm 1994 [5] Hồng Tuỵ, Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích Hiện đại) NXB Đại học Quốc gia Hà nội năm 2005 39 ... Tính chất di truyền T2 -không gian Tính chất di truyền T3 -không gian 28 29 2.1.4 2.1.5 Tính chất di truyền T3 21 -không gian Tính chất di truyền T4 -không gian. .. CHƯƠNG TÍNH CHẤT DI TRUYỀN TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ Tính chất p khơng gian tơpơ X gọi di truyền không gian khơng gian X có tính chất p 2.1 2.1.1 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề tách Tính. .. 1.2.6 T? ?pô cảm sinh, không gian 26 Tính chất di truyền khơng gian tơpơ 2.1 2.2 Tính chất di truyền khơng gian thoả mãn tiên đề tách 2.1.1 Tính chất di truyền T1 -khơng gian