Về các tập nửa đóng suy rộng trong không gian tô pô

Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán lê thị kim yến tập - nửa đóng suy rộng không gian tôpô Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2008 Tr-ờng Đại học Vinh khoa toán tập - nửa đóng suy rộng không gian tôpô Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Cán h-ớng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân Sinh viên thực Lê Thị Kim Yến Lớp: 44E1 - tO¸N Vinh - 2008 Mơc lơc Trang Lời nói đầu Đ1.Các kiến thức chuÈn bÞ Đ2 Tập nửa đóng suy rộng 12 Đ3 Tích tập nửa đóng suy rộng 21 KÕt luËn 23 Tài liệu tham khảo 24 Lời mở đầu Bắt nguồn từ khái niệm lý thuyết tôpô đại c-ơng, đ-ờng t-ơng tự hoá, khái quát hoá ng-ời ta đà bổ sung điều kiện để rút khái niệm, phép toán, kết mà có có nghiên cứu sâu sắc tìm đ-ợc lý thuyết chứa nhiều ví dụ ta đ-ợc nghiện cứu độc lập Năm 1963 N Levin giới thiệu lớp tập mở không gian tôpô, tập nửa mở, tập nửa đóng Dựa kết h-ớng N Levin nhà toán học đà mở rộng nghiên cứu theo nhiều h-ớng khác Năm 1990 P Ayra T Nour dựa khái niệm tập đóng đ-a khái niệm tập nửa- đóng suy rộng (gs- đóng) D-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, dựa h-ớng nhà toán học, dựa khái niệm toán tử bao đóng C tài liệu tham khảo khác Chúng đà lựa chọn đề tài Về tập nửa đóng suy rộng không gian tôpô Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu tập nửa đóng suy rộng, qua mở rộng khái niệm thông th-ờng không gian tôpô cho lớp gồm tập Luận văn đ-ợc chia thành phần sau: Đ1 Trình bày kiến thức tập nửa mở, tập nửa mở, tập nửa đóng để làm sở cho việc trình bày kiến thức tập nửa đóng suy rộng Đ2 Đ2 Trình bày khái niệm tính chất tập   nưa ®ãng suy réng (   gs đóng), xét mối liên hệ gia tập đóng tập   gs ®ãng mét sè ®iỊu kiƯn nhÊt định Sau xét ảnh nghịch ảnh tập qua ánh xạ định nghĩa Đ3 Xét tập gs đóng không gian tích mở rộng không gian compact theo h-ớng Phần cuối luận văn kết luận tài liệu tham khảo Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Nhân dịp cho phép gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán Tr-ờng Đại học Vinh đà quan tâm giúp đõ trình học tập tr-ờng Mặc dù đà cố gắng nh-ng điều kiện thời gian hạn chế lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý thầy cô giáo bạn Vinh, tháng năm 2008 Tác giả Các tập nửa đóng suy rộng Đ1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp X , X tập hợp tập X thoà mÃn điều kiện sau: (i) , X   ; (ii) NÕu X  X X X  ; (iii) NÕu X i iI lµ mét hä tập hợp X X i víi mäi i  I th× X i  iI Tập hợp X gọi không gian, họ gọi tôpô tập hợp X Mỗi phần tử gọi tập mở không gian X, phần bù tập mở gọi tập đóng 1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: (i) Tập hợp rỗng toàn không gian tập mở; (ii) Giao số hữu hạn tập mở tập mở; (iii) Hợp họ tuỳ ý tập mở tập mở 1.3 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô tập A X Giao họ tất tập đóng chứa A gọi bao đóng tập hợp A ký hiệu cl(A) hay A Hợp họ tất tập hợp mở chứa A gọi phần tập hợp A ký hiệu IntA 1.4 Nhận xét Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: (i) cl(A) tập đóng nhá nhÊt chøa A, IntA lµ tËp më lín nhÊt chứa A; (ii) Tập A X đóng vµ chØ cl(A)=A, lµ më vµ chØ IntA=A; (iii) Nếu A, B tập X A B cl(A) cl(B), IntA IntB 1.5 Định nghĩa Cho không gian tôpô X điểm x X Khi (i) Tập U đ-ợc gọi lân cận điểm x nÕu U chøa tËp më chøa x (ii) Hä B(x) lân cận điểm x gọi sở điểm x với lân cận V cđa x, tån t¹i tËp U  B(x) cho U V 1.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ), tập A đ-ợc gọi tập đóng suy rộng (hay g- đóng) cl(A)  O víi bÊt kú O  cho A O 1.7 Nhận xét Mỗi tập đóng không gian tôpô tập g-đóng 1.8 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi với x X {x} đóng, C{x}là g- đóng Chứng minh Nếu {x} không đóng tËp më nhÊt cđa X mµ chøa C{x}lµ X Vì bao đóng C{x}đ-ợc chứa X Vậy C{x}là g-đóng 1.9 Định lý Hợp hai tập g-đóng tập g-đóng Chứng minh Giả sử A B hai tập g- đóng X Với tËp më O X mµ A  B  O , ta cÇn chøng minh cl ( A  B)  O ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt A B g- đóng nên cl(A) O , cl(B)  O suy cl ( A)  cl ( B)  O , mµ cl ( A  B)  cl ( A)  cl ( B) Do ®ã ta cã cl ( A  B)  O VËy A  B lµ tËp g -đóng 1.10 Định lý Cho X không gian tôpô A X Khi khẳng định sau t-ơng đ-ơng (i) A tập g- đóng; (ii) Với x cl(A), clx A ; (iii) cl(A)\ A không chứa tập đóng khác rỗng Chứng minh (i) (ii) Giả sử A tập g- đóng x cl(A) nh-ng cl (x)  A   Khi ®ã A X \ cl (x) Vì cl x tập đóng nên X \ cl{x} tập mở Do A tập g- đóng nên cl x X \ cl (x) Suy cl (x)  cl ( A)   Do ®ã cl (x)  A Điều mâu thuẫn với x cl (A) Vậy với x cl(A), cl (x)  A   (ii)  (iii) Gi¶ sử với x cl(A), cl (x) A Ta cần chứng minh cl(A)\ A không chứa tập đóng khác rỗng Thật vậy, giả sử F  cl ( A) \ A víi F lµ tËp đóng khác rỗng Khi tồn điểm x  F  cl ( A) \ A Tõ ®ã ta cã cl (x)  F  cl ( A) \ A Suy   cl x  A  F  A  cl ( A) \ A A Điều mâu thuẫn chứng tỏ cl(A)\ A không chứa tập đóng khác rỗng (iii) (i) Giả sử cl(A)\ A không chứa tâp đóng khác rỗng O lµ tËp më X cho A  O Khi ®ã cl ( A)   X \ O tập đóng cl ( A)   X \ O  cl ( A) \ A Nhê (iii) ta suy cl ( A)   X \ O   Do ®ã cl ( A)  O VËy A lµ tập g- đóng 1.11 Hệ Tập A không gian tôpô X tập g- đóng A= F \ N F tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng Chứng minh Giả sử A tập g- đóng không gian tôpô X Khi theo định lý 1.10.(iii) cl(A)\ A không chứa tập đóng khác rỗng Đặt F=cl(A), N = cl(A) \ A Ta có A = F \ N, F tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng Ng-ợc lại, A = F \ N F tập đóng, N không chứa tập đóng khác rỗng nµo vµ O lµ tËp më X cho A  O Khi ®ã ta cã F \ N    X \ O   Suy F   X \ N    X \ O   Tõ ®ã ta cã F   X \ O  N Vì X \ O F tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng nªn ta suy  X \ O  F   V× thÕ cl ( A)  F O Vậy A tập g- đóng 1.12 Hệ Mỗi tập g- đóng T1 - không gian tập đóng Chứng minh Giả sử A tập g- đóng T1 - không gian X Ta cần chứng minh A tập đóng Giả sử ng-ợc lại A không tập đóng, nghĩa cl ( A) \ A   Khi ®ã tån t¹i x  X cho x  cl ( A) \ A Vì tập điểm T1 - không gian tập đóng nên cl(A) \ A chứa tập đóng khác rỗng Điều mâu thuẫn với định lý 1.10 (iii) Vậy A tập đóng 1.13 Định nghĩa Không gian tôpô X đ-ợc gọi T1 / -không gian tập g- đóng X tập đóng 1.14 Mệnh đề Mỗi T1 - không gian T1 / -không gian Chứng minh Suy từ hệ 1.12 1.15 Định nghĩa Cho kh«ng gian t«p« ( X , ) Ký hiệu D={A: A X A g- đóng}.Với bÊt kú E  X , ta ký hiÖu C * ( E )  {A : E  A  D } 1.16 Bỉ ®Ị NÕu E  X th× E  C * ( E)  cl ( E) Chứng minh Vì tập đóng tập g- ®ãng, nªn C * ( E)  cl ( E) HiĨn nhiªn ta cã E  C * ( E ) , v× vËy E  C * ( E)  cl ( E) 1.17 Chó ý C¶ hai bao hàm thức bổ đề tr-ớc lµ thùc sù ThËt vËy, xÐt X  {a, b, c} Víi t«p«    ,{a},{a, b}, X  th× C * ({a})  {a, c} , v× chØ có hai tập g-đóng chứa {a, c} X Trong cl({a}) = X cã nghÜa lµ {a}  C * ({a})  cl ({a} , tøc lµ C * ({a}) lµ tËp thùc sù cđa cl ({a} 1.18 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi C * toán tư bao ®ãng Kuratowski X Chøng minh (i) HiĨn nhiªn ta cã C * ( )   (ii).Tõ bỉ ®Ị 1.16 ta suy nÕu E  X th× E  C * ( E ) (iii) C * ( E )  C * ( F )  C * ( E  F ) Thật vậy, giả sử A D mà E  F  A Khi ®ã E, F  A nªn C  E   A, C  F   A V× vËy C  E   C  F   A : E  F  A  D  C  E  F Đảo lại: Giả sử x C E  F  , nÕu x  C  E C F tồn tập g-đóng A1 , A2 với E A1 , F  A2 vµ x  A1  A2 Nh-ng E  F  A1  A2 tập g-đóng mâu thuẫn với x C E  F  VËy C * ( E )  C * ( F )  C * ( E  F ) (iv) NÕu E  A  D th× C  E   A vµ C  C  E    A , nhờ định nghĩa C Từ ®ã C C  E   A : E  A  D  C  E  , suy C  (C  ( E ))  C ( E ) Vậy C toán tử bao đóng Kuratowski 1.19 Định nghĩa Tập A không gian tôpô X , đ-ợc gọi tËp nưa më nÕu tån t¹i tËp më O cho O  A  cl  O 1.20 Định nghĩa Tập A không gian tôpô X , đ-ợc gọi tập nửa më nÕu tån t¹i tËp më O X cho O  A  C * (O) TËp tất tập nửa mở đ-ợc ký hiệu SO(X) 1.21 Mệnh đề Một tập nửa mở tập nửa mở, điều ng-ợc lại không Chứng minh Giả sử A tập nửa mở tồn tập më O cho O  A  C  O  cl  O Suy A lµ tập nửa mở Để chứng minh chiều ng-ợc lại, ta xÐt vÝ dơ sau 1.22 VÝ dơ TËp nưa më nh-ng tập nửa mở Cho X  a, b, c ,  , X , a , a, b, b Ta thÊy cl{a}={a,c} MỈt kh¸c a  a, c  cl a  a, c Suy {a,c} lµ nưa më Nh-ng {a,c} tập nửa mở : Các tập g-đóng chứa {a} {a,b}, {a,c} X suy , C a  a , a  a, c  C a  a §iỊu phải chứng minh 12 Đặt F = X \ U F tập đóng int F A F 1.28 Mệnh đề Giả sử X , không gian tôpô Khi sclA tập nửa đóng bé chứa A Chứng minh Từ định nghĩa 1.25 ta cần chứng minh sclA tập nưa ®ãng.ThËt vËy, ta cã  - sclA= {F, F nửa đóng chứa A} nên X \   sclA = X \  { F, F nửa đóng chứa A} = X \ F , F nửa đóng chứa A} Tõ mƯnh ®Ị 1.24 ta cã X \ F , F nửa đóng chứa A} tËp   nưa më nªn suy X \   sclA lµ tËp   nưa më VËy sclA tập nửa đóng 1.29 Mệnh đề Giả sử X , không gian tôpô Khi (i) Nếu A B th×  sclA   sclB (ii)   sclA   sclB    scl  A  B  (iii)   scl  A  B     sclA   sclB (iv) A tập nửa đóng A= sclA Chứng minh.(i) Vì B -sclB mà A B nên A    sclB ,   sclA lµ tập nửa đóng bé chứa A nên  sclA   sclB (ii) V× A  A B, B  A B nªn   sclA    scl  A  B  ,   sclB    scl  A  B  Do ®ã   sclA   sclB    scl  A  B  (iii) V× A B  A, A B  B nªn   scl  A  B     sclA ,   scl  A  B     sclB Do ®ã ta cã   scl  A  B     sclA   sclB (iv) §iỊu kiện cần Giả sử A tập nửa ®ãng §Ĩ chøng minh A = - sclA ta chøng minh r»ng A   -sclA vµ  -sclA  A - A   -sclA ( hiĨn nhiªn) - -sclA A Vì A tập nửa đóng chứa A , sclA tập nửa đóng bé chứa A X nªn  -sclA  A Do ®ã A=   sclA 13 §iỊu kiƯn ®đ Vì A= sclA mà sclA tâp nửa đóng nên A tập nửa đóng 1.30 Định nghĩa Cho X , không gian tôpô A X Khi hợp tất tập nửa mở nằm A đ-ợc gọi nửa phần A đ-ợc kí hiệu sintA 1.31 Mệnh đề Cho X , không gian tôpô A, B X Khi (i) sintA tËp   nưa më lín nhÊt n»m A (ii) Giả sử A B Khi -sintA  -sintB (iii) X \   sintA =   sint(X \ A) Chøng minh.(i) Suy tõ định nghĩa (ii) Vì A B sintA B mặt khác sintB tập nửa mở lớn đ-ợc chứa B nªn ta cã   sintA    sintB (iii) Ta cã   sclA =  {F, F tập nửa đóng chứa A} suy X \   sclA = X \  {F, F tập nửa đóng chứa A} {X \ F, F tập nửa đóng chứa A} Vì F tập nửa đóng chứa A nên X \ F tập nửa mở đ-ợc chứa X \ A Vậy {X \ F, F tập nửa đóng chứa A}=   sint( X \ A) VËy X \   sintA =   sint(X \ A) 1.32 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô X , Khi A lµ tËp   nưa më vµ chØ A    scl(   sintA) Chøng minh Điều kiện cần Giả sử A tập nưa më kh«ng gian t«p«  X ,  Ta cã   sintA    scl( sintA) Vì sintA = A nên A    scl(   sintA) §iỊu kiƯn đủ Giả sử A tập không gian tôpô X , A scl( sintA) Vì sintA tập nửa mở nên tồn tập mở U cho U    sin tA  C U Do C toán tử Kuratowski nên ta cã   C   sin tA   C C U   C U  Suy U    sin tA  A  C   sin tA   C U  VËy A lµ tËp   nưa më 14 Đ2 Tập nửa đóng suy rộng 2.1 Định nghĩa Giả sử X , không gian tôpô A X , A đ-ợc gọi tập nửa đóng suy rộng đ-ợc viết gs đóng với U tËp më bÊt kú X cho A  U ta cã  sclA  U TËp tÊt tập gs đóng X đ-ợc kÝ hiƯu lµ   GSC  X ,  2.2 Mệnh đề Giả sử A tập cđa kh«ng gian t«p«  X ,  Khi A tập nửa đóng A tập gs đóng Chứng minh Giả sử A tập nửa đóng U tập mở chứa A Vì sclA A nên sclA U Theo định nghĩa ta có A tập gs đóng 2.3 Mệnh đề Giả sử H tập mở không gian tôpô X , gs đóng Khi H tập nửa đóng Chứng minh Để chứng minh H tập nửa đóng ta cần chứng minh H sclH Thật vậy, giả sử H tập  gs ®ãng Khi ®ã víi tËp më U bÊt kú chøa H ta cã  sclH  U Vì H tập mở nên sclH H Mặt khác H sclH suy H   sclH VËy H lµ tËp   nửa đóng 2.4 Định nghĩa Tập A không gian tôpô X , đ-ợc gọi tập   nưa më suy réng vµ viÕt lµ   gs më nÕu phÇn bï X \ A cđa tập gs đóng Tập tất tập gs mở X đ-ợc kí hiƯu lµ   GSO  X ,  2.5 Mệnh đề Tập A không gian tôpô  X ,  lµ tËp   gs më vµ chØ F    sintA, víi tập đóng F nằm A Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập gs mở F tập đóng nằm A, ta cÇn chøng minh F    sintA ThËt vËy, F A nên X \ A X \ F Mặt khác tập A gs mở nên X \ A gs ®ãng Do ®ã ta suy   scl  X \ A   X \ F Mµ F  X \   scl ( X \ A) =   sint(X \ (X \ A)) =   sintA 15 V× thÕ F   sintA Điều kiện đủ Giả sử F  sintA víi mäi tËp ®ãng F n»m A Ta cần chứng minh A tập gs më NghÜa lµ chøng minh r»ng X \ A tập gs đóng Thật vậy, giả sử U lµ tËp më bÊt kú chøa X \ A X \ U tập đóng nằm A suy X \ U    sintA Do ®ã ta cã X \ U    sint(X \ (X \ A)) =X \   scl(X \ A) V× thÕ   scl(X \ A)  U VËy X \ A lµ tËp   gs ®ãng Suy A lµ tËp   gs më 2.6 Định nghĩa Giao tất tập gs đóng chứa A không gian tôpô X , đ-ợc gọi nửa bao đóng suy rộng A đ-ợc kí hiệu gsclA 2.7 Nhận xét (i) Ta có tập đóng tập nửa đóng, tập nửa đóng tập gs đóng nªn suy A    gsclA    sclA  C  A  (ii) Tõ ®Þnh nghÜa cđa tËp   gs ®ãng ta cã A tập gs đóng gsclA=A 2.8 Định nghĩa Điểm x không gian tôpô X , đ-ợc gọi điểm  nưa biªn suy réng cđa tËp A X đ-ợc viết điểm gs biên với tập gs mở U chứa x th× A  U \  x   Tập tất điểm gs biên A đ-ợc kí hiệu gsdA đ-ợc gọi nửa biên suy rộng A 2.9 Định nghĩa Hợp tất tập   gs më n»m A cđa kh«ng gian tôpô X , đ-ợc gọi nửa phần suy rộng A đ-ợc kí hiệu gsintA 2.10 Nhận xét Mỗi tập mở tập nửa mở, tập nửa mở tập gs mở Vì vËy ta cã  g sin tA   sin tA int A 2.11 Định nghĩa Điểm x không gian tôpô X , đ-ợc gọi điểm nửa phần suy rộng A nÕu tån t¹i tËp   gs më U  A vµ U chøa x 16 2.12 Bỉ đề Giả sử A tập không gian tôpô X , Khi gsclA  A  gsdA Chøng minh Ta cÇn chøng minh   gsclA  A    gsdA (1) vµ A    gsdA    gsclA (2) (1) LÊy bÊt kú x   gsclA ta ph¶i chøng minh x  A   gsdA , nghĩa ta phải chứng minh x A x -gsclA Giả sử x gsclA , x  A NÕu x   gsclA tồn tập gs mở U chøa x mµ U  A \ x   Vì x A nên U A A X \ U Điều chøng tá x   gsdA VËy  gsclA  A  gsdA (2) LÊy x  A   gsdA NÕu x  A th× x   gsclA NÕu x   gsdA Gọi G tập gs đóng chøa A §Ĩ chøng minh x   gsclA , ta chøng minh x  G ThËt vËy, nÕu x  G th× x  X \ G Do X \ G lµ tËp   gs më x gsdA nên từ định nghĩa 2.8 ta suy A   ( X \ G ) \ x Đều mâu thn víi A  G Do ®ã x  G VËy A  gsdA   gsclA 2.13 Định lý Giả sử A, B hai tập cđa kh«ng gian t«p«  X ,  Khi ®ã ta cã (i)   gsdA   gsdB    gsd  A  B  (ii)   gsclA   gsclB    gscl  A  B  (iii)  gscl( gsclA)   gsclA Chøng minh (i) NÕu U lµ tËp   gs më chøa x mµ U \ x  A   , th× U \ x   A  B    Do ®ã ta cã   gsdA    gsd  A  B  T-¬ng tù ta còng cã   gsdB    gsd  A  B  VËy   gsdA   gsdB    gsd  A  B  (ii) Ta cã  - gsclA = A   - gsdA,   gsclB = B    gsdB Suy  - gsclA    gsclB = (A   - gsdA)  (B    gsdB) =A  B  (   gsdA    gsdB)  A  B  (   gsd(A  B)) =  - gscl(A  B) (iii) Ta lu«n cã   gsclA    gscl   gsclA  17 Ng-ợc lại, lấy x gscl gsclA  NÕu x   gsclA , suy tồn tập gs đóng F cho A F x F Do ta cã   gsclA  F V× thÕ   gscl   gsclA     gsclF  F Tõ ®ã suy x   gscl   gsclA  VËy  gscl( gsclA) gsclA 2.14 Định lý Giả sử F  H  X víi H lµ tËp më,  gs đóng không gian tôpô X , Khi F tập gs ®ãng  H, H  vµ chØ F tập gs đóng X , Chứng minh Điều kiện cần Giả sử F tập gs đóng H, H  vµ U lµ tËp më bÊt kú X cho F  U Ta cÇn chøng minh   sclX  F   U Thật vậy, U tập mở X suy U  H më H vµ F  U H Vì H tập gs đóng nên ta có sclX F U H U Điều kiện đủ Giả sử F tập gs đóng  X ,  , V lµ tËp më H cho F  V Ta cÇn chøng minh   sclH  F   V ThËt vậy, V mở H H mở nên V më X suy   sclX  F V Mặt khác ta có scl X (F ) =  G F  G, G tập nửa đóng X}, scl H (F ) =  G F  G, tập nửa đóng H} Từ ta cã   sclH  F     sclX  F   V VËy F tập gs đóng H, H 2.15 Định nghĩa ánh xạ f : X , Y , đ-ợc gọi gs đóng với tập ®ãng F cđa  X ,  th× f  F tập gs đóng X ,   2.16 NhËn xÐt Mäi ¸nh xạ đóng ánh xạ gs đóng 18 2.17 Định lý ánh xạ f : X , Y , ánh xạ gs đóng S Y tập mở U chứa f 1  S  tån t¹i tËp   gs më V Y cho S  V vµ f 1  V   U Chøng minh Giả sử ánh xạ f : X Y gs đóng, S tập Y vµ U lµ tËp më chøa f 1  S Đặt V Y \ f X \ U Khi U tập mở f gs đóng nên V lµ tËp   gs më Y chøa S vµ f 1  V   U Ng-ợc lại, giả sử với S Y tập mở U chứa f S , tån t¹i tËp   gs më V chøa S cho f 1  V   U Lấy F tập đóng X vµ O lµ tËp më cđa Y cho f  F   O Khi ®ã f 1  X \ f  F    X \ F vµ X \ F lµ tËp më Do ®ã tån t¹i tËp   gs më V cho Y \ f  F   V vµ f 1  V   X \ F Suy F  X \ f 1  V  Tõ ®ã suy f  F  Y \ V Mặt khác, Y \ O  Y \ f F tõ vµ Y \ f  F  V , ta suy f  F   Y \ V  O Tõ Y \ V tập gs đóng   scl  f  F      scl Y \ V   O suy   scl  f  F    O VËy f  F  lµ tËp gs đóng Suy f ánh xạ gs đóng 2.18 Định lý Nếu ánh xạ f :  X ,    Y , ánh xạ gs đóng     gscl  f  A    f C  A  víi mäi tËp A kh«ng gian  X ,  Chứng minh Cho A X f ánh xạ gs đóng Khi C A tập đóng nên theo định nghĩa ánh xạ gs đóng tập f C  A   lµ tËp    gs đóng f A f C  A  VËy ta cã   gscl  f  A    f  C A 2.19 Định nghĩa Tập A cđa kh«ng gian t«p«  X ,  đ-ợc gọi - đóng suy rộng ( viết gọn - g đóng) C A U với tập mở U mà AU Phần bù tập g đóng đ-ợc gọi tập g mở 19 2.20 Định lý Gi¶ sư f :  X ,   Y , ánh xạ liên tục gs đóng Khi A tËp   g ®ãng cđa  X ,  f A tập gs ®ãng cđa  Y,   Chøng minh Gi¶ sư f  A   O víi O lµ tËp më bÊt kú Y Khi ®ã A f O Từ f ánh xạ liên tục ta suy f O tập mở X Vì A tập g đóng, nên C A  f 1  O Do ®ã ta cã f  C  A    O Tõ f  A   f  C  A   Suy   scl(f(A))    scl  f  C  A  Mặt khác, f gs đóng C (A) tập đóng nên f  C  A   lµ tËp   gs đóng Vì O tập mở chứa f C  A   nªn   scl  f  C  A     O Điều kéo theo scl f  A    O VËy f  A tập gs đóng 2.21 Định lý Gi¶ sư f :  X ,   Y , ánh xạ đóng, h :  Y ,     Z,  ánh xạ gs đóng Khi ®ã h f :  X ,    Z, ánh xạ gs đóng Chứng minh Giả sử F tập đóng không gian tôpô X , Khi f ánh xạ đóng nên f F tập đóng Y, Mặt khác h ánh xạ gs đóng nên tËp h  f  F   lµ tËp   gs ®ãng  Z,   V×  h f  F   h  f  F   nªn  h f  ánh xạ gs đóng Điều phải chứng minh 2.22 Định nghĩa ánh xạ f : X , Y , ánh xạ gs mở với tập mở U X f U tập gs mở Y 2.23 Định lý Cho ánh x¹ f :  X ,    Y , (i) f ánh xạ  gs më (ii) f  int A   g sin t( f ( A)) (iii) Mỗi x X tập mở U chứa x tồn tËp   gs më V chøa f  x  cho V  f U  20 (iv) Mỗi tập B X ta có f   gsclB   C  f 1  B   Khi ®ã ta cã (i)  (ii)  (iii)  (iv) Chøng minh (i)  (ii) Giả sử f ánh xạ gs mở Khi intA tập mở nên f  int A  lµ tËp   gs mở Mặt khác, int A A nên f  int A   f  A  Suy f  int A     g sin t( f ( A)) (ii)  (iii) Giả sử x X U tập më chøa x Khi ®ã f  int U   f (U )    g sin t( f (U )) Mà ta có g sin t( f (U ))  f (U ) Do f (U ) tập gs mở cần tìm (iii) (iv) Giả sử B  Y vµ x  f 1   gsclB  NÕu x  C  f 1  B   , th×   x  U  X \ C f 1  B  Khi U mở nên từ (iii) tồn t¹i tËp   gs më V cho f  x   V  f U  Tõ   V  f U   f X \ f 1  B   Y \ B Suy BY \ V V× Y \ V tập gs đóng nên gsclB  Y \ V VËy f  x  gsclB Trái với giả thiết Vì ta có điều phải chứng minh 2.24 Định lý Giả sử ánh xạ f : X , Y , f ánh xạ   gs më, B  Y , F lµ tËp ®ãng chøa f 1  B  Khi ®ã tån t¹i tËp   gs ®ãng V cho B  V vµ f 1  V  F Chứng minh Giả sử F tập ®ãng cña X cho f 1  B   F suy X \ F lµ tËp më Do f X \ F tập gs mở Mặt khác f B   F , nªn Y \ B  f  X \ F VËy Y \ f X \ F tập gs đóng chøa B vµ f 1  Y \ f  X \ F    X \  X \ F   F LÊy V  Y \ f  X \ F  Ta cã điều phải chứng minh 2.25 Định nghĩa ánh xạ f :  X ,    Y ,  đ-ợc gọi gs liên tục f 1  V  lµ tËp   gs ®ãng víi mäi tËp V ®ãng Y 21 2.26 Mệnh đề ánh xạ f : X ,    Y ,   lµ   gs liên tục nghịch ảnh tËp më lµ tËp   gs më Chøng minh Điều kiện cần Giả sử f : X ,    Y ,   lµ   gs liên tục U tập mở Y, Khi Y \ U tập đóng nên f Y \ U  X \ f 1 U  lµ tËp   gs ®ãng VËy suy f 1 U  tập gs mở Điều kiện đủ Giả sư U lµ tËp më bÊt kú cđa  Y,   Ta cã f 1 U  lµ tËp   gs më cña  X ,  Ta cÇn chøng minh f :  X ,    Y ,   lµ   gs liên tục Thật vậy, giả sử V tập ®ãng bÊt kú Y Khi ®ã X \ V tập m Y Vì f Y \ V   X \ f 1  V giả thiết điều kiện đủ f 1  Y \ V  lµ tËp   gs më tËp X Suy f 1  V tập gs đóng X Vậy ta có điều phải chứng minh 2.27 Định lý Cho f :  X ,    Y , ánh xạ điều kiện (i) f ánh xạ gs liên tục (ii) Mỗi x X tập mở V cho f  x   V tån t¹i tËp   gs më U chøa x cho f U   V (iii) f   gsclA   C  f  A   với tập A X (iv) gscl  f 1  B    f C B với tập B  Y Khi ®ã ta cã (i)  (ii)  (iii)  (iv) Chøng minh (i)  (ii) Giả sử f ánh xạ gs liên tục Khi với x X tËp më bÊt kú V chøa f (x) Nhê mƯnh ®Ị 2.26 tËp U = f 1 (V ) gs mở chứa x thoả mÃn f (U )  V (ii)  (iii) vµ (iii) (iv) chứng minh t-ơng tự 2.23 2.28 Bổ đề Giả sử ánh xạ f : X , Y , ánh xạ đóng, gs liên tục B tập  gs ®ãng cđa Y Khi ®ã f 1 B tập gs đóng X Chứng minh Giả sử B tập gs đóng Y, , U tËp më  X ,  cho f 1  B   U 22 V× f ánh xạ đóng nên tồn tập mở V cho B  V vµ f 1  V   U Do B lµ tËp   gs đóng, nên sclB V Do f 1   sclB   U MỈt khác sclB C B C B tập đóng nên f  B   U VËy f 1  B tập gs đóng X , Vậy ta có điều phải chứng minh 2.29 Định lý Nếu f : X , Y , ánh xạ đóng gs liên tục, h : Y ,     Z,   lµ ánh xạ gs liên tục, h f :  X ,    Z,   ánh xạ gs liên tục Chứng minh Giả sử V tập đóng Z ta cÇn chøng minh  h f   V  tập gs đóng X Thật vËy, ta cã  h f   V   f 1  h1  V   Do h ánh xạ gs liên tục nên h1 V tập gs đóng Y Mặt khác f ánh xạ đóng gs liên tục nên theo Bỉ ®Ị 2.28 ta cã f 1  h1 V tập gs đóng X Vậy ta có h f ánh xạ gs liên tục 2.30 Định lý Nếu ánh x¹ f :  X ,    Y , ánh xạ gs liên tơc vµ h : Y ,     Z, ánh xạ liên tục, h f :  X ,    Z,  ánh xạ gs liên tục Chứng minh Giả sử B tập đóng Z, Khi h liên tục, nên h1 B tập đóng Y Vì f ánh xạ gs liên tơc, nªn  f 1 h1  B   gs đóng Mà h f B   f 1  h1  B   , nên h f ánh xạ gs liên tục 23 Đ3 Tích tập nửa đóng suy rộng 3.1 Bổ đề Giả sử A  X , B  Y vµ W lµ tËp më chøa A  B NÕu A, B lµ tập compact tồn tập mở U  A, V  B cho UV  W 3.2 Mệnh đề Giả sử A, B lầ l-ợt tập không gian tôpô X , Y, Khi (i) NÕu A, B lµ tËp compact vµ   gs đóng A B - gs ®ãng (ii) NÕu A, B lµ tËp   gs mở A B tập gs mở Chứng minh (i) Giả sử W tập mở bÊt kú chøa A  B ta cÇn chøng minh   scl  A  B   W ThËt vËy, v× A  B  W , A, B compact nên theo bổ đề 3.1 tồn tập mở U A V B cho A  B  U  V  W Vì A,B tâp gs đóng nªn ta cã   scl  A  B     scl  A    scl  B   U  V  W Điều chứng tỏ A B gs đóng (ii) Để chứng minh A B tËp   gs më ta cÇn chøng minh víi tập đóng F nằm A B F    sin t  A  B  ThËt vËy, víi tËp ®ãng F bÊt kú F  A  B víi bÊt kú  x, y   F , ta xÐt C  x, y  C {x}  C y  A  B V× C {x}  A, C y  B mà A, B tập gs më nªn C {x}    sin tA, C y    sin tB Do ®ã ta cã   scl x, y    scl {x}   scl y  C {x}  C  y   sin tA  sin tB   sin t  A  B  Tõ ®ã suy F    sin t  A B Do A B tập gs mở 3.3 Định nghĩa ánh xạ f :  X ,    Y , đ-ợc gọi gs không giải ®-ỵc nÕu víi mäi tËp   gs ®ãng F Y f F tập   gs ®ãng cđa X 3.4 NhËn xÐt Tõ bổ đề 2.29 định nghĩa 3.3 ta có ánh xạ đóng gs liên tục ánh xạ gs không giải đ-ợc 24 3.5 MƯnh ®Ị PhÐp chiÕu p :  X  Y ,      X , ánh xạ gs không giải đ-ợc Chứng minh Giả sử F tập gs ®ãng bÊt kú X, suy X \ F lµ tËp   gs më  X ,  Ta cã p1  X \ F    X \ F   Y suy p 1  X \ F  lµ tËp   gs më XÐt p1  F   F  Y   X  Y  \  X \ F   Y  X  Y \ p 1  X \ F  lµ tËp   gs më, suy p 1  F tập gs đóng Vậy p ánh xạ gs không giải đ-ợc 3.6 Định nghĩa Họ tập W A đ-ợc gäi lµ   gs phđ më cđa X nÕu tập W gs mở với    vµ X    W 3.7 Định nghĩa Không gian tôpô X , đ-ợc gọi không gian GSO-compact với phủ gs mở X tồn phủ hữu hạn 3.8 Định lý Nếu X Y không gian GSO-compact, X, Y không gian GSO-compact Chứng minh Xét phép chiÕu p :  X  Y ,      X ,  Theo MƯnh ®Ị 3.5 p ánh xạ gs không giải đ-ợc, nên W : phđ më cđa X Khi ®ã  p 1  W  :    lµ phđ   gs më cña X  Y Do X  Y không gian GSO-compact nên tồn phủ hữu hạn Wi : i 1,2 n  W :   cho  p 1  Wi  : i  1,2 .n phñ X  Y Tõ ®ã suy Wi : i 1,2 n phủ gs mở hữu hạn X Vậy X không gian GSO-compact T-ơng tự ta có Y không gian   GSO-compact 25 KÕt luËn Sau mét qu¸ trình nghiên cứu d-ới h-ớng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân, đà thu đ-ợc số kết sau: 1) Giới thiệu lại số vấn đề tôpô đại c-ơng 2) Hệ thống, khái quát kiÕn thøc, tÝnh chÊt vỊ c¸c tËp   gs đóng Tìm đ-ợc mối liên hệ tập đóng, tËp   nưa ®ãng,   gs ®ãng qua mệnh đề 2.3 3) Đ-a chứng minh mệnh đề 1.28, 1.29 4) Đ-a chứng minh bổ đề 2.12 từ chứng minh định lý 2.13 5) Tham khảo tài liệu đ-a chứng minh định lý tính chất ánh xạ gs đóng 26 Tài liệu tham khảo [1] W Duham, T1/2 – spaces, Kyungpook Math J., 17(2) (1977), 161 – 169 [2] W Duham and N Levine, Further results results on generalized closed sets in topology, Kyungpook Math J., 20 (1980), 169 175 [3] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, T1, Nxb GD 2001 [4] J.L Kelley, Tôpô đại c-ơng, Nxb ĐH&THCN, Hà Nội 1973 [5] N Levine, Generalized closed sets in topology, Rend Cirs Math Palermo, 19 (1970), 89 - 96 ... không gian t? ?pô (X, ), tập A đ-ợc gọi tập đóng suy rộng (hay g- đóng) nÕu cl(A)  O víi bÊt kú O  cho A O 1.7 Nhận xét Mỗi tập đóng không gian t? ?pô tập g -đóng 1.8 Định lý Giả sử X không gian. ..  b, c b tập nửa mở 1.25 Định nghĩa Cho X , không gian t? ?pô Tập A X đ-ợc gọi tập nửa đóng X A tập nửa mở Tập tất tập nửa đóng X đ-ợc kí hiệu SC(X) Giao tập nửa đóng chứa A... Về tập nửa đóng suy rộng không gian t? ?pô Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu tập nửa đóng suy rộng, qua mở rộng khái niệm thông th-ờng không gian t? ?pô cho lớp gồm tập Luận văn đ-ợc chia