chương Các tập nửa mở mờ 1.1 Các tập nửa mở mờ, tập nửa đóng mờ 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X I đoạn [0; 1] Tập mờ A X ánh xạ từ X vµo I A : X−→ I x −→ A(x) Ký hiƯu Cλ lµ tËp mê X cho C(x) = , C0 C1 lµ tËp ∅ vµ X ∀x ∈ X, λ I Khi 1.1.2 Định nghĩa Điểm mờ x X tập mờ xác định ánh x¹ λ nÕu y = x xλ (y) = (y ∈ x, λ ∈ (0, 1]) 0 nÕu y = x 1.1.3 Các phép toán tập mờ Cho A B hai tập mờ X Khi A gọi tập tập hỵp B nÕu A(x) ≤ B(x), ∀x ∈ X Điểm mờ x gọi thuộc tập mờ A X nÕu λ ≤ A(x), ký hiÖu x ∈ A Hợp hai tập mờ A B tập mờ X xác định àAB : X I x −→ max{A(x), B(x)} Giao cña hai tËp mê A B tập mờ X xác định àAB : X I x min{A(x), B(x)} Phần bù A X tập mờ, ký hiệu AC , xác định AC : X−→ I x −→ − A(x) Trong ®Ị tài này, điểm x X xem điểm mờ X 1.1.4 Định nghĩa Điểm mờ x X gọi điểm tựa trùng với tập mê A X vµ chØ λ + A(x) > 1, hay λ > AC (x) Ký hiÖu: Aq B 1.1.5 Hệ Cho A B hai tập mờ X , A ⊂ B vµ chØ A vµ B C không tựa trùng Ký hiệu AB C Chứng minh A ⊂ B ⇔ A(x) ≤ B(x) ⇔ A(x) − B(x) ≤ ⇔ A(x) + − B(x) ≤ ⇔ A(x) + B C (x) ≤ A B C không tựa trùng 1.1.6 Định nghĩa Họ tập mờ X gọi tôpô mờ thỏa mÃn điều kiện sau i) ∀λ ∈ I, Cλ ∈ τ ; ii) A ∈ τ, B ∈ τ ⇒ A ∩ B ∈ τ ; iii) {Aj } ∈ τ , víi j ∈ J th× Aj Aj ∈ τ j∈J X với tôpô mờ gọi không gian tôpô mờ Các phần tử gọi tập mờ mở , hay không nhầm lẫn ta gọi tắt tập mờ mở Với A Ac gọi tập đóng X Tập mờ A X gọi lân cận điểm x tồn B cho xλ ∈ B ⊂ A L©n cËn A x gọi mở A 1.1.7 Định nghĩa Tập mờ A không gian tôpô mờ (X, ) gọi q-lân cận x tồn B mà x tùa trïng víi B vµ B ⊂ A 1.1.8 Định nghĩa Bao đóng tập mờ A X giao tất tập đóng chứa A, ký hiƯu A PhÇn cđa tËp mê A X hợp tất tập mở mờ tập A, ký hiệu intA 1.1.9 Hệ Điểm mờ x A q-lân cận x tựa trùng với A Chứng minh Giả sử x A B q-lân cận xλ ta chøng minh B tùa trïng víi A ThËt vậy, B q-lân cận x nên tồn lân cận mở B B x cho B tùa trïng víi xλ Lóc nµy ta cã λ + B (x) > ⇒ A(x) + B (x) > ⇒ A(x) + B(x) > Từ ta có B tựa trùng với A Ngược lại, q-lân cận x tựa trùng A, ta chøng minh xλ ∈ A Gi¶ sư xλ / A x AC A đóng ⇒ AC ∈ τ Víi q -l©n cËn bÊt kú B cđa xλ th× F = B ∩ AC q-lân cận x, lúc F AC ⇒ F ⊂ AC ⇒ Fφ A, v« lý 1.1.10 Định nghĩa Cho A tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) Khi i) A gọi tập nửa mở mờ X tån t¹i B ∈ τ cho B ⊂ A A ii) A gọi tập nửa đóng mờ X tồn tập đóng B X cho intB ⊂ A ⊂ B 1.1.11 Định lý A tập nửa mở mờ AC tập nửa đóng mờ không gian tôpô mờ (X, ) Chứng minh A tËp mê më kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) tồn tập mở B thuéc τ cho B ⊂ A ⊂ B ⇔ B C ⊂ AC ⊂ B C V× B tập mở không gian tôpô mờ (X, ) nên B C tập đóng không gian tôpô mờ (X, ) B C = intB C Từ ta có điều phải chứng minh 1.2 tiên đề tách không gian tôpô mờ 1.2.1 Định nghĩa Trong không gian tôpô mờ (X, ) hai điểm phân biệt x yà gọi tách yếu nếu: Trường hợp Với x = y, tồn lân cận mở x không tựa trùng với yà tồn lân cận mở yà không tựa trùng với x Trường hợp Víi x = y vµ λ < µ tån q-lân cận yà không tựa trùng với x 1.2.2 Định nghĩa Trong không gian tôpô mờ (X, ) hai điểm phân biệt x yà gọi tách mạnh nếu: Trường hợp Với x = y, tồn lân cận mở x yà không tựa trùng với Trường hợp Với x = y < à, tồn lân cận mở q-lân cận yà không tựa trùng với x Nhận xét: Hai điểm x yà không gian tôpô mờ (X, ) tách mạnh tách yếu 1.2.3 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ (X, ) gọi T0không gian mờ với hai điểm mờ x yà phân biệt (x = y) X , tồn lân cận mở x không tựa trùng với yà tồn lân cận mở yà không tựa trùng với x 1.2.4 Định lý Một không gian tôpô mờ (X, ) T0-không gian mờ với cặp điểm x yà phân biệt (x = y) X x / {yà } yà / {x } Chứng minh Nếu không gian tôpô mờ (X, ) T0-không gian mờ x yà hai điểm phân biệt (x = y) X Không tính tổng quát ta giả sử tồn lân cận mở A x không tựa trùng với yà Vì yà A không tựa trùng nên yà AC tập đóng không gian tôpô mờ (X, ), {yà} AC Lại A lân cËn më cđa xλ nªn xλ ∈/ AC Tõ suy x / {yà} Ngược lại, giả sử cặp điểm x yà phân biệt (x = y) X x / {yà } yà / {x } ta cần chứng minh không gian tôpô mờ (X, ) T0 -không gian mờ Thật vậy, không tính tổng quát ta giả sử x / {yà}, lúc {yà} tập đóng nên đặt A phần bù {yà} X AC lân cận mở x rõ ràng AC không tựa trùng với yà Từ kết ta có điều phải chứng minh 1.2.5 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ (X, ) gọi T1không gian mờ cặp hai điểm phân biệt x yà X tách yếu 1.2.6 Định lý Không gian tôpô mờ (X, ) T1-không gian mờ cặp điểm đóng X Chứng minh Nếu x điểm T1-không gian tôpô mờ (X, ), ta chứng minh {x} đóng Thật vậy, xét phần bù {x} X B := {x }C , giả sử yà B x yà hai điểm phân biệt, (X, ) T1 -không gian tôpô mờ nên tồn lân cận mở A yà không tựa trùng víi xλ, tõ ®ã xλ ∈/ A ⇒ A ⊂ B B tập mở mờ không gian tôpô mờ (X, ), hay {x} tập đóng không gian tôpô mờ (X, ) Ngược lại, tập điểm không gian tôpô mờ (X, ) đóng, với hai điểm phân biệt x yà X Đặt A, B theo thứ tự phần bù x yà A, b lân cận mở yà x x AC nên x không tựa trùng với A, tương tự B không tựa trùng với yà, từ ta có (X, ) T1-không gian tôpô mờ 1.2.7 Định lý Không gian tôpô mờ (X, ) gọi T2-không gian cặp điểm phân biệt x yà X tách mạnh 1.2.8 Nhận xét Từ định nghĩa dễ dàng có kết i) Nếu không gian tôpô mờ (X, ) T2-không gian mờ T1không gian mờ ii) Nếu không gian tôpô mờ (X, ) T1-không gian mờ T0không gian mờ 1.2.9 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi nửa-T0không gian mờ với cặp điểm x yà phân biệt X(x = y) tồn tập nửa mở chứa x không tựa trùng với yà tồn nửa mở chứa yà không tựa trùng với x 1.2.10 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi nửa-T1không gian mờ với cặp điểm x yà phân biệt X(x = y), tån t¹i tËp nưa më chøa x không tựa trùng với yà tập nửa mở chứa yà không tựa trùng với x 1.2.11 Hệ Một không gian tôpô mờ (X, ) nửa-T1-không gian mờ tập điểm nửa đóng Chứng minh Bổ sung 1.2.12 Định nghĩa Một không gian tôpô mờ (X, ) gọi nửa-T2-không gian mờ với hai điểm phân biệt yà(x = y) X , tồn hai tập nửa mở chứa x yà không tựa trùng với 1.2.13 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi nửaR1 -không gian mờ với tập nửa mở mờ A X x A scl{x} A 1.2.14 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi nửaR1 -không gian mờ với hai điểm x yà cho O(x) = O(y) với tập nửa mở O X tồn hai tập nửa mở mờ U vµ V X cho víi mäi l ∈ (0; 1] th× scl{xl } ⊂ U, scl{yl } V U không tựa trùng với V 1.2.15 Định lý Trong không gian tôpô mờ (X, ) nửa-R1không gian mờ nửa-R0-không gian mờ Chứng minh Cho O lµ tËp nưa më X vµ xλ ∈ O Ta chØ r»ng scl{xl } ⊂ O ThËt vËy, ta xÐt hai trêng hỵp: Trêng hỵp O(x) = O(y), ®ã víi mäi l ∈ (0; 1], (X, ) gọi nửa-R1-không gian mê nªn víi mäi l ∈ (0; 1] ta có tập nửa mở U V cho U Uφ V vµ xl ∈ scl{xl } ⊂ U, yl ∈ scl{yl } ⊂ V Chän l = ta cã scl{x} ⊂ U, scl{y} ⊂ V, UφV Tõ ®ã ta cã U (y) = V (x) = 0, U (x) = V (x) = Nh vËy xλ yà không tựa trùng với V nên yà / scl{xλ} Trêng hỵp NÕu O(x) = O(y), ta cần O(x) = O(y) < Chọn l cho λ + l < < l + µ XÐt tËp më Cl mµ Cl (x0 = l x X Cl không tựa trùng với x C tựa trùng với yà, yà / scl{x} Kết hợp hai trường hợp ta có điều phải chứng minh 1.2.16 Ví dụ Cho tập hợp X, tập hợp tất tập mờ Cλ trªn X cho Cλ (x) = λ, ∀x ∈ X, λ ∈ (0; 1] th× (X, τ ) không gian tôpô mờ, từ ta có tập mở X tập đóng, tập nưa më X trïng víi tËp më Nh vËy với hai điểm x yà X(x = y) tìm tập nưa më C mµ O(x) = O(y), ta sÏ chØ (X, ) nửa-R1-không gian mờ nửa-T0-không gian mờ Thật vậy, xét , µ thuéc (0; 1] cho λ + µ > với x, y mà x = y X , không tồn tập nửa mở chứa x không tựa trùng với yà , hay tập nửa mở chứa yà mà không tựa trùng với x 1.2.17 Định lý Trong không gian tôpô mờ (X, ) mệnh đề sau tương đương (a) (X, ) nửa-T2-không gian mờ; (b) (X, ) nửa-R1-không gian mờ nửa-T1-không gian mờ; (c) (X, ) nửa-R1-không gian mờ nửa-T0-không gian mờ Chứng minh Từ (a) suy (b): Từ (X, ) nửa-T2-không gian mờ (X, ) nửa-T1-không gian mờ Chọn x yà hai điểm phân biệt X(x = y) cho O(x) = O(y) víi O tập nửa mở X Thì xl = yl , ∀l ∈ (0; 1], vËy tån tập nửa mở U V cho U V không tựa trùng với Lại (X, ) nửa-T1-không gian mờ nên {xl } = scl{xl } vµ {yλ} = scl{yl } Nh vËy (X, ) nửa-R1-không gian mờ (b) suy (c), chứng minh tương tự (c) suy (a) Vì (X, ) nửa-R1-không gian mờ nửa-T0-không gian mờ nên nửa-R0-không gian mờ, điều (X, ) nửa-T1-không gian mờ Lấy x yà hai điểm phân biệt X(x = y) LÊt tËp më V chøa xλ cho V yà không tựa trùng Vì x ∈ V ⇒ scl{xλ } ⊂ V , nh vËy scl{x} không tựa trùng với yà yà scl{x}C scl{xl }C không tựa trùng với x Cho x yà hai điểm phân biệt X(x = y) Ta có (X, ) nửa-T1-không gian mờ, {x}=scl{x} = y = scl{y} Nh vËy cã hai tËp nửa mở chứa x yà mà không tựa trùng Vậy (X, ) nửa T2-không gian mờ Bây giờ, không gian tôpô mờ (X, ), ta xÐt mèi quan hƯ hai ng«i R nh sau: xRy ⇔ U (x) = U (y) víi mäi tËp më U ∈ τ vµ x, y ∈ X Khi R quan hệ tương đương X Xét X0 tập hợp lớp tương đương, Q(x0) tôpô mờ cảm sinh tương ứng Khi (X0, Q(x0) không gian tôpô mờ, gọi tôpô phân tán X Khi có xRy ⇔ scl{xl } = scl{yl }, ∀l ∈ (0, 1] 1.2.18 Định lý Trong không gian tôpô mờ (X, ) mệnh đề sau tương đương: (a) (X, ) nửa-T1-không gian mờ; (b) (X, ) nửa-R0-không gian mờ nửa-T0-không gian mờ Chøng minh (a) suy (b): (X, τ ) lµ nửa-T1-không gian mờ nên x X, l (0; 1] {xl } = scl{xl } nên (X, ) nửa-R0 -không gian (b) suy (a), theo Định lý 1.2.15 Chứng minh Ta có pà scl{xl } với U q-lân cận pà U (x) + l > 1, tức U (y) + l > (nªn U (x) = U (y)) Tøc lµ U tùa trïng víi yl hay pµ ∈ scl{yl } ⇒ scl{xl } ⊂ scl{yl } T¬ng tù, cho scl{yl } ⊂ scl{xl }, ta cã scl{xl } = scl{yl } Ngược lại, scl{xl } = scl{yl } mà x y không tương đương tồn tập mở O cho U (x) = λ > U (y) = µ LÊy l = xl tựa trùng U xl scl{xl } Nhưng U không tựa trùng y µ ⇒ xl ∈ / scl{yl } ⇒ scl{x1 } = scl{y1 } (mâu thuẫn) 1.2.19 Định lý X0 = {scl{x} : x ∈ X} Chøng minh LÊy C X0 x C Đầu tiên ta chØ r»ng C(z) = scl{x}(z) víi ∀z ∈ C NÕu kh«ng, C(y) = scl{x}(y), ∀y ∈ C VËy víi ∀z ∈ C, C(z) = scl{x}(z) Víi z ∈/ C, C(z) = 0, chóng ta chØ scl{x}(z) = ThËt vËy z∈ / C ⇒ zl ∈ / scl{x} với l (0, 1] scl{x} < l, ∀l ∈ (0, 1] ⇒ scl{x}(z) = NÕu tån t¹i ∈ (0, 1] cho zl ∈ scl{x} th× víi mäi U nưa më U (z)+l > 1 / scl z, 1, U (x) > Ta chän l cho l < Ta chØ zl ∈ 2 ThËt vËy, ta chän w(z) = − l víi mäi z X w mở, nên nửa mở X vµ w(z) + l > ⇒ w tùa trïng víi zl ∈/ scl z XÐt tËp mê 10 c) Vì tập mở mờ tập nửa mở mờ, tập đóng mờ tập nửa đóng mờ nên hiển nhiên ta có c) Bổ đề A tËp mê cđa kh«ng gian t«p« mê (X, τ ), SclA hợp tất điểm mờ x1 cho mäi tËp nưa më mê U víi xr tùa trùng với U q-lân cận A 2.1.4 Định nghĩa Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ Khi f gọi a) Không giải mờ f 1(U ) nửa mở mờ X với U nửa mở mờ Y b) Nưa liªn tơc mê nÕu f −1(U ) nửa mở mờ X với U mở mờ Y 2.1.5 Định nghĩa Cho A tËp mê kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) A gọi a) Mở yếu mờ tồn t¹i tËp më mê X cho U ⊆ A SclU b) Đóng yếu mờ phần bï cđa nã lµ më u mê NhËn xÐt Râ ràng không gian tôpô mờ, tập mở mờ lµ më yÕu mê vµ tËp më yÕu mê lµ tập nửa mở mờ Nhưng điều ngược lại không Ví dụ sau điều 2.1.6 VÝ dô Cho X = {a, b, c}; A, B, C tập mờ xác định A(a) = 0, 5; A(b) = 0, 4; A(c) = 0, B(a) = 0, 6; B(b) = 0, 7; B(c) = 0, C(a) = 0, 5; C(b) = 0, 4; C(c) = 0, 1) XÐt t«p« mê τ1{0X , 1X , C} X C B ⊆ SclC = 1X VËy B lµ më yÕu mờ B không mở mờ 17 C 2) Xét tôpô mờ = {0X , 1x, A} X A C SclA C không mở yếu mờ ClA, A 2.1.7 Định nghĩa Cho A tập mở không gian tôpô mê (X, τ ) Khi ®ã: a) Bao ®ãng yÕu mờ A giao tất tập đóng u mê chøa A Ký hiƯu F clA; b) PhÇn yếu mờ A hợp tất tËp u mê A Ký hiƯu F intA T¬ng tự tập mở đóng mờ nưa më mê, ta cã c¸c tÝnh chÊt F clA = A A tập đóng yÕu mê vµ F intA = A vµ chØ A tập mở yếu mờ 2.1.8 Định nghĩa TËp mê A kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) gọi q-lân cận yếu mờ điểm mờ xr tồn tập U mở gần mờ X cho xr tùa trïng víi U vµ U A 2.1.9 Bổ đề Cho A, B hai tËp mê kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) Khi A B A clB clA B Chứng minh 2.1.10 Định lý Cho A tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) Khi F clA tập hợp tất điểm mờ xr cho q-lân cận yếu mở gần mờ xr tựa trùng với A Chứng minh Gọi F giao tất tập đóng gần mờ chứa A, xr F Giả sư cã mét q-l©n cËn më u mê V cđa xr cho VφA th× A ⊆ − V Do V đóng gần mờ nên F ⊆ − V Nhng xr ∈ r − V Vậy xr / F , điều mâu thuẫn với xr F Ngược lại, giả sử xr / F , tồn tập đóng gần mờ G chứa A với xr G nên GC mở gần mờ với xr tựa trùng GC A không tựa trùng 18 với GC Vây xr / F clA (vô lý) Kết hợp lập luận ta có điều phải chứng minh 2.1.11 Bổ đề Cho A tập mờ không gian tôpô mờ (X, τ ) th× ta cã a) Int cl IntclA = IntclA vµ clInt clIntA = clIntA; b) Int clAC = clIntAC vµ (clIntA)C = IntclAC Chøng minh a) Ta chøng minh IntclA = Int clInt clA Tõ IntclA lµ tËp mê mê vµ Int clA ⊆ cl Int clA ta cã Int clA = Int(Int clA) ⊆ Int(cl Int clA) Ngược lại, Int clA clA clA đóng mờ cl(Int clA) cl = clA ⇒ Int(clIntclA) ⊂ IntclA VËy IntclIntclA = IntclA PhÇn sau ta chøng minh t¬ng tù b) Chøng minh t¬ng tù 2.1.12 Bổ đề Chọn xr Int clA r ≤ Int clA(x), ∀x ∈ X Nh vËy r clA(x) xr clA Vậy với tập mở mờ V q-lân cận xr V tựa trùng A Hơn nữa, cho V tập mở mờ nên V nửa mở mờ xr SclA 2.1.13 Định lý Nếu A tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) A tập mở gần mờ A ⊆ Int cl IntA Chøng minh NÕu A lµ tËp mở gần mờ X tồn tập U më mê cho U ⊆ A ⊆ SclU Theo Định lý 2.1.13 U A Int clU , U tập mở mờ nên U = IntU ⊆ IntA VËy ta cã A ⊆ Int clU Int cl IntA 19 Ngược lại, lấy A ⊆ Int cl IntA Theo Bỉ ®Ị 2.1.12 ta cã IntA ⊆ A ⊆ Scl(Int)A, vËy A lµ tËp më gần mờ X 2.1.15 Định lý Nếu A tập mờ không gian tôpô (X, ) a) IntA ⊆ F IntA ⊆ S IntA ⊆ A ⊆ SclA ⊆ F SclA = clA; b) F cl(1 − A) = − F IntA; c) F int(1 − A) = − F clA Chøng minh a) Ta ®· cã IntA ⊆ S IntA ⊆ A ⊆ SclA clA, ta cần chứng minh SclA F clA Chọn xà F clA nên tồn V q-lân cận mở yếu mờ xà cho V A nên tồn U mở gần mờ cho xàq U, U V U A Do U mở gần mờ nên U nửa mở gần mờ Vậy xr / SclA Scl F clA b) Theo định nghĩa bao đóng gần mờ phần gần mờ ta có Ta có F clA = {F |F tập đóng gần mờ chứa A} F Int = {U |U tËp më gÇn mê A} − F intA = − U {U |U më gÇn mê trongA} = ∩{1 − U |U më gÇn mê A} = {V |V đóng gần mờ chứa A} = F cl(1 − A) c) Chøng minh t¬ng tù b) 20 2.1.16 Định lý Nếu A tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) A tập đóng gần mờ clInt clA A Chứng minh Suy từ Định lý 2.1.14 Định lý 2.1.15 2.1.17 Bổ đề Nếu A tập mờ không gian tôpô mờ (X, τ ) a) cl(F clA) = clA; b) cl Int clA ⊆ F clA Chøng minh a) Ta cã A ⊆ F cl ⊆ clA, clA ⊆ cl(F clA) ⊆ cl ⇒ clA = cl(F clA) b) Do F clA đóng gần mờ nên clInt clF clA F clA (theo Định lý 2.1.16) Vậy clInt clA F clA (theo a) 2.1.18 Định lý Nếu A tËp më mê kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) th× F clA = clInt clA Chøng minh Theo Bổ đề 2.1.17, clInt clA ta cần chøng minh F clA ⊆ clInt clA Chän xµ ∈/ clInt clA, ta cã xµ tùa trïng víi Intcl IntAC lại A mở mờ nên A clInt clA ⇒ AC = − A ⊇ − clInt clA = Int clIntAC Ta l¹i cã IntAC ⊆ Intcl IntAC Scl(IntAC ) (do IntclAC mở gần mê vµ xµ tùa trïng víi Intcl IntAC vµ A không tựa trùng với Intcl IntAC ) Do xà ∈/ F clA ⇒ F clA ⊆ clInt clA 21 2.1.19 Định lý Cho A, B tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) Các mệnh ®Ị sau lµ ®óng a) F cl(0) = 0; b) A ⊆ B ⇒ F clA ⊆ F clB ; c) Nếu U tập mở gần mờ U tùa trïng A vµ chØ U tùa trïng víi F clA; d) F clA = F clF clA; e) F cl(A ∪ B) = F clA ∪ F clB Chứng minh a) b) hiển nhiên c) Nếu U tập mở gần mờ UA U AC F clA F clU = U U F clA Ngược lại, UF clA th× F clA ⊂ U c ⇒ A ⊆ U U A Kết hợp lập luận ta suy điều phải chứng minh d) Do F clA ⊆ F clF clA Chän xµ ∈/ F clA, tồn U q-lân cận mở yếu mờ xr cho U kh«ng tùa trïng A Theo c) tồn U q-lân cận mở yếu mờ xµ cho UφF clA VËy ta cã xµ ∈ F clF clA ⇒ F clF clA ⊆ F clA e) Do A ⊆ A ∪ B vµ B ⊂ (A ∪ B), F cl ⊆ F cl(A ∪ B) 2.1.20 Định lý Cho A, B hai tập mờ không gian tôpô mờ (X, ) Khi a) F int(0) = 0; b) NÕu A ⊆ B th× F intA ⊆ F intB ; c) F intF intA = F intA.; d) F int(A ∩ B) = F intA ∩ F intB 22 2.2 TËp F C -compăc mờ 2.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi F C compăc mờ víi mäi hä phđ më u mê {Uα, α ∈ I} X tồn hữu hạn tập I0 cña I cho ∪{F clUα |α ∈ I0 } = C1 2.2.2 Định lý Không gian tôpô mờ (X, ) gọi F C -compăc mê vµ chØ víi mäi hä {Vα|α ∈ I} tập đóng gần mờ thỏa mÃn {V| I} = C0 Chứng minh Điều kiện cần Nếu X F C -compăc mờ Lấy {V| I} họ tập đóng gần mờ cho ∩{Vα |α ∈ I} = C0 th× hä {1−Vα |α I} họ tập mở gần mờ cho ∪{1−Vα |α ∈ I} = C1 Do X F C -compăc mờ nên tồn tập hữu hạn I0 I cho {F cl(1 − Vα )|α ∈ I0 } = C1 VËy ∩{F IntVα |α ∈ I0 } = − ∪{F cl(1 − Vα )|α ∈ I0 } = C0 Điều kiện đủ Lấy {V| I} phủ mở gần mờ X họ {1 V | I} họ tập đóng gần mờ X tháa m·n ∩{1 − Vα |α ∈ I} = C0 Theo giả thiết, tồn họ hữu h¹n I0 cđa I cho ∩{F Int(1 − Vα )|α ∈ I0 } = C0 , tøc lµ ∪{F clVα |α ∈ I0 } = C1 23 VËy X F C -compăc mờ 2.2.3 Định nghĩa Họ tập mờ B không gian tôpô mờ (X, ) gọi sở lọc mờ X với nhóm hữu hạn mathcal B0 mathcal B có B0 = C0 2.2.4 Định nghĩa §iĨm mê xr cđa kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) gọi điểm F C -cụm mờ sở lọc mờ B với q-lân cận mở yếu mờ U x B B th× B tùa trïng víi F clU 2.2.5 Định lý Không gian tôpô mờ (X, ) F C -compăc mờ së läc mê X ®Ịu cã mét ®iĨm F C -cụm mờ X Chứng minh Điều kiện cần Nếu X F C -compăc mờ Giả sử có sở lọc mờ B = {B| I} điểm F C -cụm mờ X , với x X r(0 < r < 1), xr điểm F C -cơm mê B VËy tån t¹i mét q-lân cận mở yếu mờ Ux xr tồn t¹i Ux cho Ux (x) > − r vµ hä {Ux |x ∈ X} lµ phđ mê u mờ X Do X F C -compăc mờ nên tồn họ hữu hạn {Ux , Ux ; , Ux } n cho Ux = C1 i=1 n i ⇒ tồn họ hữu hạn {B(x1 ) ; Bα(xn ) } cđa B cho kh«ng tựa trùng với C1 Điều thiết B sở lọc mờ n (B(xi ) ) = C0 , i=1 n i=1 (Bα(xi ) ) tr¸i víi giả Điều kiện đủ Lấy {V| I} họ tập đóng gần mờ cho {V | I0 } = C0 Giả sử I0 họ hữu hạn I {F IntV | ∈ I0 } = C0 VËy hä B = {F IntV| I0} lập nên sở lọc mờ X , tồn x ®iĨm F C -cơm mê X Do x / {V| I} nên tồn 24 I cho xλ ∈/ Vα VËy xλ tùa trùng với V , từ ta có V q -lân cận mở yếu mê cđa xλ cho F IntVα tùa trïng víi 0 0 − F IntVα0 = F cl(1 V0 ) Điều x không điểm F C -cụm mờ, mâu thuẫn giả thiết Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi là: a) Compăc mờ với phủ më mê {Uα}α ∈ I} cđa X , tån t¹i họ hữu hạn I0 I cho {V| I0} = C1; b) Hầu compăc mờ với mäi phñ më mê {Uα|α ∈ I} cña X , tồn họ hữu hạn I0 I cho {clV| I0} = C1; c) Gần compăc mờ nÕu víi mäi phđ më mê {Uα|α ∈ I} cđa X , tồn tập hữu hạn I0 I cho ∪{Int clVα|α ∈ I0} = C1 2.2.7 Định lý Mọi không gian compăc mờ F C -compăc mờ Chứng minh Lấy {V| I} phủ më u mê cđa kh«ng gian t«p« mê (X, τ ) Với I, A Int clIntV0, {Int clIntV| I} phủ mở mờ X , lại cho X compăc mờ nên tồn họ hữu hạn I0 I cho ∪ {Int clIntVα |α ∈ I0 } = C1 ⇒ ∪ {clInt clIntVα |α ∈ I0 } = C1 ⇒ ∪ {F clIntVα |α ∈ I0 } = C1 (theo Bỉ ®Ị 2.1.17) ⇒ ∪ {F clVα |α ∈ I0 } = C1 Vậy X F C -compăc mờ 2.2.8 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi f -chính quy mờ tập hần mờ A X hợp VC δ X cho F clUα ⊆ A víi 25 2.2.9 Định lý Nếu không gian tôpô mê lµ F -chÝnh quy mê vµ lµ F C -compăc mờ X compăc mờ Chứng minh Lấy {V| I} phủ mở mờ X {Vα|α ∈ I} lµ phđ më u mê cđa X Do X f -chính quy nên V = U với U I tập mở gần mờ cho F clUβ ⊆ Vα, ∀β ∈ I Do X F C -compăc mờ nên tồn tập hữu hạn I0 I cho F clU = C1 ; β∈I0 (Do Vα = α∈I β∈I Uβα = C1 ) VËy F clUβα ⊆ α∈I0 β∈I0 α∈I0 V V = C1 , X compăc mờ 2.2.10 Cho không gian tôpô mờ (X, ), X không gian gần compăc X F C -compăc mờ Chứng minh Giả sử {V| ∈ I} lµ phđ më u mê cđa X Với I, V Int clIntV nên {Int clIntVα |α ∈ I} lµ phđ më cđa X Do X F C -compăc mờ nên suy tồn âập hữu hạn I0 I cho ∪ {Int cl(Int clIntVα )|α ∈ I0 } = C1 ⇒ ∪ {Int clIntVα |α ∈ I0 } = C1 (theo Định lý 2.1.11) {clInt clV |α ∈ I0 } = C1 ⇒ ∪ {F clVα |α ∈ I0 } = C1 VËy X lµ F C -compăc mờ 2.2.11 Định lý Mọi không gian F C -compăc mờ hầu compăc mờ Chứng minh Do tập mở mờ tập mở gần mờ nên định lý hiển nhiên 2.2.12 Định nghĩa Không gian tôpô mờ (X, ) gọi không gian liên thông cực trị mờ bao đóng mäi tËp më mê X lµ 26 më mê X 2.2.13 Bổ đề Cho A tập mờ không gian liên thông cực trị mờ Khi A tập mở gần mờ A nưa më gÇn mê Chøng minh Cho mét tập mở gần mờ nửa mở mờ nên ta cần chứng minh tập nửa mở mờ mở gần mờ Thật vậy, A tập nửa mở gần mờ không gian liên thông cực trị A clIntA = Int(clIntA) A tập mở gần mờ 2.2.14 Định lý Nếu A tập mở gần mờ không gian liên thông cực trị mê (X, τ ) th× F clA = clA Chøng minh Theo Định lý 2.1.15 ta có F clA clA (1) Nếu A tập mở gần mờ X , lấy x F clA, tồn q-lân cËn më yÕu mê U cña xλ cho UφA nên UIntA Do X không gian liên thông cực trị mờ nên theo Bổ đề 2.1.9 ta có clIntU không tựa trùng với clIntA nên xr / clIntA Nhưng A ⊆ Intcl IntA = clIntA nªn clA ⊆ clIntA ⇒ xr ∈ / clA nªn clA ⊆ F clA (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 2.2.15 Định lý Mọi không gian tôpô mờ (X, ) liên thông cực trị mờ hầu compăc F C -compăc mờ Chứng minh Lấy {V| ∈ I} lµ phđ më u mê cđa X Víi α ∈ I, Vα ⊂ Intcl IntVα nªn {Int clIntVα |α ∈ I} lµ mét phđ më cđa X Do X hầu compăc mờ nên tồn tập hữu hạn I0 I cho {cl(Int clIntV )| I0 } = c1 27 Theo Định lý 2.2.14, F clV = clV, với I0 VËy ∪{F clVα |α ∈ I0 } = C1 ⇒ X F C -compăc mờ 2.1.16 Định lý Cho không gian tôpô mờ (x, ), X không gian liên thông cực trị mờ F C -compăc X gần compăc mờ Chứng minh Lấy {Vα|α ∈ I} lµ phđ më cđa X ta cã {Vα|α ∈ I} lµ phđ më u mê cđa X Do X F C -compăc mờ nên tồn tập hữu hạn I0 I cho {F clV| I0} = C1 Lại X không gian liên thông cực trị mờ nên F clV = clVα vµ clVα, víi mäi α ∈ I0 Tõ ®ã ta cã C1 = ∪{F clVα |α ∈ I0 } = ∪{clVα |α ∈ I0 } = ∪{IntclVα |α I0 } Vậy X compăc gần mờ 2.2.17 Định nghĩa Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ ánh xạ f : X Y gọi a) Không giải mờ f −1(U ) lµ nưa më mê X víi mäi tËp U nöa më mê Y b) Nöa liên tục mờ f 1(U ) nửa mở mê X víi mäi U më mê Y Từ định nghĩa, rõ ràng ánh xạ không giải mờ nửa liên tục mờ 2.2.18 Định nghĩa Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ, ánh xạ f : X Y gọi a) Không giải yếu mờ f 1(U ) mở gần mờ X với U mở gần mờ Y 28 b) Liên tục gần mờ f 1(U ) mở gần mờ với U tập mpr gần mờ Y 2.2.19 Nhận xét a) Mọi ánh xạ không giải gần mờ liên tục gần mờ b) Mọi ánh xạ liên tục mờ liên tục gần mờ ánh xạ liên tục gần mờ nửa liên tục 2.2.20 Định lý Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ, f : X Y ánh xạ Khi mệnh đề sau tương đương: a) f ánh xạ không giải gần mờ; b) f 1(U ) đóng gần mờ X với U đóng gần mờ Y ; c) Với A tập mờ Y th× f (F clA) ⊆ F cl(f (A)) d) Víi mäi tËp B mê Y th× F cl(f −1(B)) ⊆ f −1(F cl(B)) Chøng minh (b) ⇒ (c) NÕu A lµ tËp mê X ta cã F cl(f (A)) đóng gần mờ Y Do b) nên f 1(F clf (A)) đóng gần mê X Do A ⊆ f −1 f (A) ⊆ f −1 (F cl(f (A)), F clA ⊆ F cl(f −1 (F clf (A))) = f −1 (F clf (A)) VËy f (F clA) ⊆ f (f −1 (F clf (A))) ⊆ F cl(f (A)) (c) ⇒ (d) NÕu B lµ tËp mê Y Do c) nªn f (F cl(f −1 (B))) ⊆ F cl(f (f −1 (B))) ⊆ F clB VËy Tøc lµ f −1 (f (F cl(f −1 (B))) ⊆ f −1 (F clB) F clf −1 (B) ⊆ f −1 (F clB) 29 (d) (b) Lấy U tập đóng gần mờ Y th× F clf −1 (G) ⊆ f −1 (F clU ) = f −1 (U ) nªn F clf −1(U ) = f −1(U ) ®ã f 1(U ) tập đóng gần mờ X (a) (b) Lấy U tập đóng gần mờ Y U mở gần mờ Y nên f 1(1 G) mở gần mê X Tøc lµ − f −1(U ) mở gần mờ X hay f 1(U ) đóng gần mờ X Điều ngược lại hiển nhiên 3.2.21 Định lý Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ f : X Y ánh xạ Khi mệnh đề sau tương đương a) f ánh xạ liên tục gần mờ; b) f 1(U ) tập ®ãng gÇn mê X víi mäi tËp ®ãng gÇn mê U Y ; c) f (F clA) ⊆ cl(f (A)), víi mäi tËp mê A X ; d) F cl(f −1(B)) ⊆ f −1(cl(B)), víi mäi tËp mê B Y Chøng minh T¬ng tù nh §Þnh lý 3.2.20 3.2.22 §Þnh lý Cho (X, τ ) (Y, u) hai không gian tôpô mờ, f : X Y ánh xạ toàn ánh không giải gần mờ Khi X F C -compăc mờ Y F C -compăc mờ Chứng minh Chọn {V| I} ánh xạ không giải mờ Y f : X Y ánh xạ không giải mờ nên {f 1(V)| ∈ I} lµ phđ më u mê cđa X Lại X F C -compăc mờ nên tồn họ hữu hạn {f 1(V )|i = 1, n cho i n F cl(f −1 (Vαi )) = X i=1 30 Tõ ®ã ta cã n F cl(f −1 (Vαi ))) Y = f (X) = f i=1 n = i=1 n = (f (F cl(f n −1 (Vαi )))) ⊆ F cl(f (f −1 (Vαi )))) i=1 F clVi i=1 nên Y F C -compăc mờ 3.2.23 Định lý Cho (X, ), (Y, u) hai không gian tôpô mờ, f : X Y toàn ánh liên tục gần mờ Khi X F C -compăc mờ Y hầu compăc mờ Chứng minh Giả sử {V| I} phủ mở mờ Y Vì f ánh xạ liên tục gần mờ nên tồn họ hữu hạn {f 1(V )|i = 1, n} cho i n X= (F cl(f −1 n (Vαi ))) = F cl i=1 f −1 (Vαi ) i=1 ⇒ Y = f (X) = f (F cl n f −1 (Vαi )) ⊆ clf i=1 n = cl f (f −1 n (f −1 (Vαi )) i=1 (Vαi )) ⊆ cl i=1 n Vi = i=1 Vậy Y hầu compăc mờ 31 n clV i i=1 ... đóng mờ b) Nếu A tập nửa mở mờ hiển nhiên A = SintA Ngược lại, A = SintA, hợp tùy ý tập nửa mở mờ tập nửa mở mờ nên A tập nửa mở mờ 16 c) Vì tập mở mờ tập nửa mở mờ, tập đóng mờ tập nửa đóng mờ. .. cực trị mờ nÕu bao ®ãng cđa mäi tËp më mê X 26 mở mờ X 2.2.13 Bổ đề Cho A tập mờ không gian liên thông cực trị mờ Khi A tập mở gần mờ A nửa mở gần mờ Chứng minh Cho tập mở gần mờ nửa mở mờ nên... tập nửa mở mờ mở gần mờ Thật vậy, A tập nửa mở gần mờ không gian liên thông cực trị A clIntA = Int(clIntA) A tập mở gần mờ 2.2.14 Định lý Nếu A tập mở gần mờ không gian liên thông cực trị mờ