Phương pháp tính
Chương 3: Phương pháp số giải phương trình đại số và siêu việt1. Đặt vấn đề: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đại số, hàm số siêu việt là một bài toán thường gặp trong kỹ thuậtThí dụ: f(x) ≡ x3 – 6x + 2 = 0f(x) ≡ x + ex = 0Những phương trình này khá phức tạp, ít khi ta tìm được nghiệm đúng. Ngoài ra trong nhiều trường hợp, ngay các hệ số của phương trình cũng chỉ gần đúng, nên việc tìm nghiệm đúng của phương trình này cũng không cần thiết. Bởi vậy việc tìm nghiệm gần đúng và ước lượng sai số là rất quan trọng.Trong chương này ta xét việc tính gần đúng của nghiệm thực phương trình f(x) = 0 với giả thiết f(x) xác định và liên tục trên [a, b] (hữu hạn hoặc vô hạn)• Số thực ξ thoả mãn f(ξ) = 0 gọi là nghiệm thực của phương trình f(x) = 0• Giả thiết f(x) = 0 chỉ có nghiệm thực cô lập, có nghĩa là mọi nghiệm đều tồn tại một lân cận, trong đó không có nghiệm khác.• Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình được tiến hành theo 2 bước:Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (a, b) chứa một và chỉ một nghiệm thực của phương trình.Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm, tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phương pháp giải gần đúng.2. Khoảng cách ly nghiệm: Định lý: Cho hàm số f(x) liên tục trong (a, b)Nếu f(a).f(b) < 0; f’(x) tồn tại và giữ dấu không đổi trong (a, b) thì trong (a, b) chỉ có một nghiệm thực ξ duy nhất của phương trình f(x)=0 Ý nghĩa hình học: Một đường cong liền nét y = f(x), chỉ tăng hoặc giảm, nối liền 2 điểm A(a, f(a)) và B(b,f(b)) nằm ở 2 phía khác nhau của trục Ox, cắt trục Ox tại một điểm duy nhất x = ξ.Ta có hai cách tìm khoảng cách ly nghiệm:* Phương pháp giải tích:Xác định dấu của hàm số f(x) tại các điểm mút của miền xác định và tại các điểm trung gian x = α1, x = α2, …x = αn. Những điểm này thường được lựa chọn căn cứ vào đặc điểm của hàm số. Mỗi khoảng, ở đó 2 điều kiện trong định lý được thoả mãn là một khoảng cách ly nghiệm của phương trình.Chú ý: Phương trình a0xn + a1xn-1 + …+ an = 0 ( a0 ≠ 0) có không quá n nghiệm, do vậy nếu ta tìm được n+1 điểm đổi dấu thì ta đã tìm xong khoảng cách ly nghiệm.Thí dụ: Tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) ≡ x3 – 6x + 2 = 0* Phương pháp hình học:Áp dụng trong trường hợp đồ thị hàm số y = f(x) dễ vẽ. Hoành độ giao điểm của các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox cho ta các giá trị thô của các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.Nếu đồ thị của hàm số y = f(x) khó vẽ, ta đưa phương trình f(x) = 0 về phương trình tương : g(x) = h(x)sao cho đồ thị 2 hàm số y = g(x) và y = h(x) dễ vẽ.Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị cho ta các giá trị thô của các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. Từ đó, ta cũng dễ dàng tìm được khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0.Thí dụ: Dùng phương pháp đồ thị tìm những khoảng cách ly nghiệm của phương trình :f(x) ≡ x3 – 3x –1 = 03. Phương pháp chia đôi: Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0Ta chia đôi (a, b) bằng chính điểm chia (a +b)/2* Nếu f((a + b)/2) = 0 thì x0 = (a + b)/2 là nghiệm đúng của phương trình.* Nếu f((a + b)/2) ≠ 0, ta chọn 1 trong 2 khoảng (a, (a + b)/2) hoặc ((a + b)/2, b) mà tại 2 mút của khoảng hàm số f(x) có dấu khác nhau lam khoảng cách ly nghiệm mới, ta gọi khoảng này là (a1, b1) có độ dài bằng nửa khoảng (a, b)b1 – a1 = (b – a) /2 Nếu ta thực hiện vô hạn lần phương pháp chia đôi đối với khoảng (a, b) thì tại một lần nào đó, điểm giữa của khoảng là nghiệm của phương trình f(x) = 0 (trường hợp này ít xảy ra ) hoặc ta nhận được 1 dãy vô hạn các khoảng chồng lên nhau và thu nhỏ dần(a1, b1); (a2, b2); … (an, bn) sao cho f(an).f(bn) < 0và bn – an = (b – a) /2n ( n = 1, 2, …, )Các nút trái a1, a2, …, an… là dãy không giảm và bị chặn trên bởi b, suy ra {an} có giới hạn ( a1 ≤ a2 ≤ a3 …≤ an ≤ b)Các nút phải b1, b2, …, bn… là dãy không tăng và bị chặn dưới bởi a, suy ra {bn} có giới hạn ( b1 ≥ b2 ≥ b3 …≥ bn ≥ a)Do bn – an = (b – a)/2n → 0 khi n → +∞ nên==+∞→+∞→nnnnba limlimξcho n → +∞ trong bất đẳng thức f(an).f(bn) < 0, do tính liên tục của hàm số f(x), ta có: |f(ξ)|2 ≤ 0 . Vậy f(ξ) = 0, và ξ là nghiệm của phương trình f(x) = 0.Trong thực hành ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi vô hạn mà chỉ có thể áp dụng n lần phương pháp chia đôi ( n: nguyên, dương, hữu hạn), dừng lại ở lần thứ n, ta có:an ≤ ξ ≤ bn và bn – an = (b –a )/ 2nTa có thể lấy nghiệm gần đúng là (an + bn)/2 với sai số của nghiệm gần đúng là:| (an + bn)/2 - ξ| ≤ (bn – an )/2 = (b – a)/ 2n+1Ưu điểm của phương pháp chia đôi là đơn giản, dễ lập trình trên máy, nhược điểm là tốc độ hội tụ chậmThí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) ≡ x3 – x – 1 = 0bằng phương pháp chia đôi, biết khoảng cách ly nghiệm là (1, 2)4. Phương pháp dây cung: Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0Nội dung của phương pháp dây cung là trên (a, b) thay cung cong của đường cong y = f(x) bằng dây trương cung của cung cong ấy và xem hoành độ x1 của giao điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ.Để xây dựng công thức tính x1, ta xét 2 trường hợp:* Trường hợp 1: f’(x).f”(x) > 0Dây cung AB đi qua 2 điểm A(a, f(a)) và B(b, f(b)) nên có phương trình : abaxafbfafy−−=−−)()()( suy ra x1 = a - )()())((afbfabaf−−Nghiệm ξ bây giờ nằm trong khoảng (x1, b). Nếu x1 chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (x1, b) và lại áp dụng phương pháp dây cung đối với (x1,b) ta nhận được x2 xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x1.x2 = x1 - )()())((111xfbfxbxf−−Tiếp tục ta được trường hợp tổng quát:xn+1 = xn - )()())((nnnxfbfxbxf−−* Trường hợp 2: f’(x).f”(x) < 0Dây cung AB có phương trình :abbxafbfbfy−−=−−)()()( suy ra x1 = b - )()())((afbfabbf−−Nghiệm ξ bây giờ nằm trong khoảng (a, x1). Nếu x1 chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (a, x1) và lại áp dụng phương pháp dây cung đối với (a,x1) ta nhận được x2 xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x1.x2 = x1 - )()())((111afxfaxxf−−Tổng quát :xn+1 = xn - )()())((afxfaxxfnnn−−Kết hợp 2 trưòng hợp trên ta có công thức sau:xn+1 = xn - )()())((dfxfdxxfnnn−− ( n = 0,1, 2…)và d = b nếu f(b) cùng dấu với f”(x); x0 = a d = a nếu f(a) cùng dấu với f”(x); x0 = bChú ý: Khi ta áp dụng liên tiếp phương pháp dây cung trên (a, b), có một trong 2 mút của (a, b) cố định, đó là mút có dấu của hàm số f(x) trùng với dấu của đạo hàm cấp hai f”(x).Ta nhận thấy trong trường hợp 1, các giá trị gần đúng x0, x1, x2… tạo nên 1 dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên:a = x0 < x1 < x2 <…< xn< xn+1<…< ξ < b hoặc trong trường hợp 2, các giá trị gần đúng x0, x1, x2… tạo nên 1 dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới:a < ξ < …< xn+1 < xn <…< x2 < x1 < x0 = bnên tồn tại giới hạn =+∞→nnxlimξ’Dễ dàng nhận thấy rằng ξ’ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (a, b), nghĩa là ξ’ = ξĐánh giá sai số của nghiệm gần đúng.Giả sử f’(x) liên tục trên [a, b] giữ dấu không đổi và thoả mãn:0 < m1 ≤ | f’(x) | ≤ M1 < +∞Ta có 2 đánh giá:1)(mxfxnn≤−ξHoặc1111−−−≤−nnnxxmmMxξƯu điểm của phương pháp dây cung là biết xn, để tính xn+1 ta chỉ phải tính một giá trị của hàm f tại điểm xn. Nhược điểm của phương pháp dây cung là tốc độ hội tụ chậm.Thí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình :F(x) ≡ x3 – 0,2x2 – 0,2x – 1,2 = 0bằng phương pháp dây cung với độ chính xác 0,003biết khoảng cách ly nghiệm là (1,1; 1,4)5. Phương pháp tiếp tuyến: ( phương pháp Newton)Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nội dung của phương pháp tiếp tuyến là trên (a, b) thay cung cong AB của đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm A hoặc điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ. Để xây dựng công thức tính x1, ta xét 2 trường hợp:* Trường hợp 1: f’(x).f”(x) > 0Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm B(b, f(b)) có dạng:y- f(b) = f’(b)(x – b) suy ra x1 = b - )(')(bfbfNghiệm ξ bây giờ nằm trong (a, x1). Nếu x1 chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (a, x1) và áp dụng phương pháp tiếp tuyến đối với (a, x1) ta nhận được x2 xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x1. x2 = x1 - )(')(11xfxfTiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:xn+1 = xn - )(')(nnxfxfQuá trình dừng lại khi ta nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác yêu cầu.* Trường hợp 2: f’(x).f”(x) < 0Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm A(a, f(a)) có dạng:y- f(a) = f’(a)(x – a) suy ra x1 = a - )(')(afafNghiệm ξ bây giờ nằm trong (x1, b). Nếu x1 chưa đạt độ chính xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng (x1, b) và áp dụng phương pháp tiếp tuyến đối với (x1, b) ta nhận được x2 xấp xỉ nghiệm ξ tốt hơn x1.x2 = x1 - )(')(11xfxfTiếp tục quá trình trên, trong trường hợp tổng quát ta nhận được:xn+1 = xn - )(')(nnxfxf Kết hợp 2 trường hợp trên, ta được:xn+1 = xn - )(')(nnxfxf ( n = 0, 1, 2…)x0 = b nếu f(b) cùng dấu f”(x)x0 = a nếu f(a) cùng dấu f”(x)Ta nhận thấy trong trường hợp 1, các giá trị gần đúng x0, x1, x2… tạo nên 1 dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới:a < ξ < …< xn+1 < xn <…< x2 < x1 < x0 = bhoặc trong trường hợp 2, các giá trị gần đúng x0, x1, x2… tạo nên 1 dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên:a = x0 < x1 < x2 <…< xn< xn+1<…< ξ < bnên tồn tại giới hạn =+∞→nnxlimξ’Dễ dàng nhận thấy rằng ξ’ là nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (a, b), nghĩa là ξ’ = ξĐánh giá sai số của nghiệm gần đúng.Giả sử trên [a, b] f’(x) và f”(x) thoả mãn:0 < m1 ≤ | f’(x) | ; |f”(x)| ≤ M2 Ta có 2 đánh giá: 1)(mxfxnn≤−ξHoặc21122−−≤−nnnxxmMxξƯu điểm của phương pháp tiếp tuyến là hội tụ nhanh, nhược điểm của phương pháp tiếp tuyến là biết xn để tính xn+1 ta phải tính một giá trị của hàm f và một giá trị của đạo hàm f’ tại điểm xnThí dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) ≡ x3 – 0,2x2 – 0,2x – 1,2 = 0bằng phương pháp tiếp tuyến , biết khoảng cách ly nghiệm là (1,1; 1,4) . khoảng cách ly nghiệm của phương trình :f(x) ≡ x3 – 3x –1 = 03. Phương pháp chia đôi: Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0Ta. của phương trình :F(x) ≡ x3 – 0,2x2 – 0,2x – 1,2 = 0bằng phương pháp dây cung với độ chính xác 0,003biết khoảng cách ly nghiệm là (1,1; 1,4)5. Phương pháp