Phương pháp tính với C++ - Chương 3 pot

0010 0001 Phương pháp loại trừ để nhận được ma trận nghịch đảo A‐1 được thực hiện qua nhiều giai đoạn n, mỗi một giai đoạn gồm hai bước.. Đối với giai đoạn thứ k: ‐ chuẩn hoá phần tử a

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12

aaaa

aaaa

aaaa

aaa1

 

Lấy hàng 2 trừ đi hàng 1 đã nhân với a21, lấy hàng 3 trừ đi hàng 1 đã nhân với a31 và lấy hàng 4 trừ đi hàng 1 đã nhân với a41 (thay hàng bằng tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại) thì định thức vẫn là D/p1 và ma trận là: 

34 33 32

24 23 22

14 13 12

aaa

0

aaa

0

aaa

0

aaa1

34 33 32

24 23

14 13 12

aaa

0

aaa

0

aa10

aaa1

 

Lấy hàng 1 trừ đi hàng 2 đã nhân vớia′ , lấy hàng 3 trừ đi hàng 2 đã nhân 12với a′32và lấy hàng 4 trừ đi hàng 2 đã nhân với a′  thì thì định thức vẫn là 42

34 33

24 23

14 13

aa00

aa00

aa10

aa01

0

010

0

001

0

000

0010

0001

   Phương pháp loại trừ để nhận được ma trận nghịch đảo A‐1 được thực hiện qua nhiều giai đoạn (n), mỗi một giai đoạn gồm hai bước. Đối với giai đoạn thứ k: 

   ‐ chuẩn hoá phần tử akk bằng cách nhân hàng với nghịch đảo của nó  

 ‐ làm cho bằng không các phần tử phía trên và phía dưới đường chéo cho đến cột thứ k. Khi k = n thì A(k) sẽ trở thành ma trận đơn vị và E 

trở thành A‐1

Ví dụ:  Tính ma trận nghịch đảo của ma trận  

112

010

001E2

11

121

112

010

0021E2

11

121

21211

0121

0021E23210

21230

21211

03231

0021E23210

3110

21211

03231

03132E3400

3110

3101

03231

03132E1

00

3110

3101

hàng 3 nhân 1/3 

341

414143E100

010

001

4/14

/34/1

4/14/14

/3

9102

12

kj ik

22

1

11148

10

5

343

22

1

35

01

31

12

có vô số vectơ riêng. Nếu X là một véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ thì cX cũng là vec tư riênh ứng với λ. Có nhiều thuật toán tìm giá trị riêng 

−

⋅⋅

⋅λ

−

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

aa

a

aa

a

aa

a

  Như  vậy  do  (2)  là  hệ  phương  trình  tuyến  tính  thuần  nhất  nên  điều kiện cần và đủ để λ là giá trị riêng của ma trận trên là định thức của nó bằng không: 

Phương trình (4) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Định thức det(A ‐ λE) được gọi là định thức đặc trưng của ma trận A. Định thức PA(λ) của ma trận trên được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A. 

2

11

3

31

3

 Trước hết ta tính đa thức đặc trưng của ma trận A: 

  (4 )( 4) 

22

11

3

31

3)(

−

−λ

−

=λ

Nghiệm của PA(λ) = 0 là λ1 = 4, λ2 = 2j và λ3 = ‐2j. Vì trường cơ sở là số thực nên ta chỉ lấy λ = 4. Để tìm vec tơ riêng tương ứng với λ = 4 ta giải hệ  

02

2

11

3

31

3

3 2

−

−λ

n 1 n

n 2 22

21

n 1 12

11

aa

a

aa

a

aa

  p1 = vet(B1)  với   B1 = A 

  p2 = (1/2)vet(B2)   với   B2 = A(B1‐p1E) 

  p3 = (1/3)vet(B3)   với   B3 = A(B2‐p2E) 

∑

=

=+

⋅⋅

⋅++

1 i

i i n

n 2

2 1

i i i n

1 i

i i

vAV

= n

1 i

i

p i

vAV

λ+

⋅+

λ+

λ+λ

p

1

n n 3

p

1

3 3 2 p

1

2 2 1 1

p 1 p

Xv

Xv

Xv

XvV

⋅

⋅+

λ+

λ+λ

=

+ +

+ +

+

n

1 p

1

n n 3

1 p

1

3 3 2

1 p

1

2 2 1 1 1 p 1 1

p

Xv

Xv

Xv

XvV

1 1

1 p

VA

  ‐ tính Vp+1 =AVp′ với vp+1,j là phần tử thứ j của Vp+1. Ta có: 

1 p p

vlim

XVlim

4323

68

102

720

138

1730

2417

A

 

Chọn V= {1, 1, 1, 1}T ta tính được  

649

012

ta nhận được giá trị riêng là 3.0000 và vec tơ riêng là x = { ‐0.75 ; 0.75 ; 1 }T

  Như  chúng  ta  đã  nói  trước  đây,  phương  pháp  Mises  (hay  còn  gọi  là phương pháp lặp lũy thừa) chỉ cho phép tìm giá trị riêng lớn nhất và vec tơ riêng tương ứng của ma trận. Để xác định các giá trị riêng khác, ma trận A được biến đổi thành một ma trận khác A1 mà các giá trị riêng là λ2 >  λ3 >  Phương  pháp  này  gọi  là  phương  pháp  xuống  thang.  Sau  đây  là  phương pháp biến đổi ma trận:  

Giả sử X1 là vec tơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λ1 

và W1 là vec tơ riêng của ma trận AT tương ứng với giá trị riêng λ1. Từ định nghĩa AX1 = λ1X1 ta viết: 

(A ‐ λE)X1 = 0 

Ta tạo ma trận A1 dạng:  

 

W X X W A

1 1 1 T 1

1 1

λ

−

Ta chú ý là X1W1T   là một ma trận còn W1TX1 là một con số.Khi nhân hai vế của biểu thức (7) với X1 và chý ý đến tính kết hợp của tích các ma trận ta có:  

0

X AX

X W X W X AX

X W X X W AX X

A

1 1 1

1 T 1 1 T 1 1 1 1

1 T 1 1 1 T 1

1 1 1

X W X X W AX X

A

1 T 1 2 T 1 1 1 2

2 T 1 1 1 T 1

1 2 2

  ‐  khi  đã  có  λ1  và  X1  ta  tìm  W1  là  vec  tơ  riêng  của  AT  ứng  với  giá  trị riêng λ1 (ví dụ tìm W1 bằng cách giải phương trình (AT ‐λ1E)W1 = 0). Từ đó tính ma trận A12 theo (7). 

  ‐ tìm giá trị riêng và vec tơ riêng của A1 bằng cách lặp luỹ thừa và cứ thế tiếp tục và xuống thang (n‐1) lần ta tìm đủ n giá trị riêng của ma trận A. 

4323

68

102

720

138

1730

2417

717

548

2030

4310

1324

232

817

8681492

1390586

00

00

434746

695293

434746

695293

120

7X

W

WX

1

T 1

T 1 1

.330833

.381833

.11

68

102

3167.185167

.235417

.270917

.9

3167.85167

.135417

.160917

.0

Từ ma trận A1 ta tìm tiếp được λ2 theo phép lặp luỹ thừa và sau đó lại tìm 

ma trận A3 và tìm giá trị riêng tương ứng. 

Chương trình lặp tìm các giá trị riêng và vec tơ riêng của ma trận như sau: 

32540

16423

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

l

01l

001L

321 31

13 12 11

r00

rr0

rrrR

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

23 22 21

13 12 11

cbb

bbb

bbbB

23 22 21

13 12 11

ccc

ccc

cccC

với   c11= a11b11 + a12b21 + a13b31

  c12= a11b12 + a12b22 + a13b32

  c13= a11b13 + a12b23 + a13b33

  c21= a21b11 + a22b21 + a23b31

kj ik

l

01l

001

321 31

13 12 11

r00

rr0

rrr

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

r

rla

21

2R1

65.3

015.1

001L3

57

113

21

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaaA

13 12 11

r00

rr0

rrrRTích hai ma trận RT và R là : 

13 12 11 T

33

23 22

13 12 11

r00

rr0

rrr

r00

rr0

rrr

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

a

as

;a

1 i 1 k

2 ki ii

69106

8

45657

678710

  

00

0

0707107

.00

00

414214

1121320

2414214

10

0R