Phương pháp tính với C++ - Chương 4 potx

Chương trình giải phương trình ma trận tam giác dưới là :... Chương trình giải phương trình ma trận tam giác trên là :... Như vậy số hạng chứa x3 biến mất và ta nhận được ma trận tam giá

22 21

11

aaa

0a

a

00a

13 12 11

a00

aa0

aaa

+

=+

+

=+

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 2

22 1 21

1 3 2

1 11

bxaxax

a

bx0xax

a

bx0x0x

a

Với phương trình dạng này chúng ta sẽ giải phương trình từ trên xuống. Chương trình giải phương trình ma trận tam giác dưới là : 

=+

+

=+

+

3 3 33 2 1

2 3 23 2 22 1

1 3 13 2 12 1 11

bxax0x

0

bxaxax

0

bxaxax

a

Với phương trình này chúng ta giải từ dưới lên. 

Chương trình giải phương trình ma trận tam giác trên là : 

 

=+

+

=+

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

bxaxax

a

bxaxax

a

bxaxax

21 2 12 11

21 1

a

axaa

axaa

ax

Số hạng đầu của phương trình bằng số hạng đầu của hàng thứ hai trong hệ phương trình ban đầu. Khi trừ hàng một đã được biến đổi cho hàng 2 ta nhận được hàng 2 mới  

11

21 2 3 13 11

21 23 2

12 11

21 22

a

abxaa

aaxaa

aax

3 2 1

33 32

23 22

13 12 11

bbbx

xx

aa0

aa0

aaa

a

aa

11

21 23

a

aa

11

31 32

a

aa

  13

11

31 33

a

aa

11

21 2

a

ab

11

31 3

a

ab

Ta  loại  trừ  số  hạng  chứa  x3  trong  dòng  thứ  3  bằng  cách  tương  tự.Ta 

nhân hàng thứ 2 trong hệ A ʹ X = B ʹ với a,32/a,22 và đem trừ đi hàng thứ 3 trong 

hệ mới. Như vậy số hạng chứa x3 biến mất và ta nhận được ma trận tam giác trên. 

3 2 1

33

23 22

13 12 11

bbbx

xx

a00

aa0

aaa

a

aa

a

abb

  Xét  hệ  phương  trình  AX=B.  Khi  giải  hệ  bằng  phương  pháp  Gauss  ta đưa  nó  về  dạng  ma  trận  tam  giác  sau  một  loạt  biến  đổi.  Phương  pháp  khử Gauss‐Jordan cải tiến khử Gauss bằng cách đưa hệ về dạng  : 

  EX = B*

và khi đó nghiệm của hệ chính là B*. Trong phương pháp Gauss‐Jordan mỗi bước tính phải tính nhiều hơn phương pháp Gauss nhưng lại không phải tính nghiệm. Để đưa ma trận A về dạng ma trận E tại bước thứ i ta phải có aii = 1 

và aij = 0. Như vậy tại lần khử thứ i ta biến đổi : 

  1.aij = aij/aii  (j = i + 1, i + 2, , n) 

xxxx

9440

45.652

4510

4

0248

4 3 2 1

lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 1 vừa nhận được với 2 và lấy hàng 3 trừ đi; giữ nguyên hàng 4 vì phần tử đầu tiên đã bằng 0 ta có  

xxxx

9440

4640

448

0

025.05.0

1

4 3 2 1

 

 

và lấy hàng 1 trừ đi; nhân hàng 2 vừa nhận được với 4 và lấy hàng 3 trừ đi; nhân hàng 2 vừa nhận được với 4 và lấy hàng 4 trừ đi ta có : 

5.2

75.1

xxxx

72

0

0

24

0

0

5.05.01

0

25.00

0

1

4 3 2 1

 

Biến  đổi  lần  3:  Ta  chia  hàng  3  cho  a33  =  4;  giữ  nguyên  hàng  1;  nhân  hàng  3 vừa nhận được với 0.5 và lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 3 vừa nhận được với 2 

và lấy hàng 4 trừ  đi ta có : 

75.1

xxxx

60

0

0

5.010

0

25.001

0

25.000

1

4 3 2 1

 

 

0.25 và lấy hàng 1 trừ đi; nhân hàng 4 vừa nhận được với 0.25 và lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 4 vừa nhận được với 0.5 và lấy hàng 3 trừ đi ta có : 

xxxx

100

0

010

0

001

0

000

1

4 3 2 1

2 max b

 

2 / 1 n

1 i

n

1 j

2 ij

=+

+

=++

8x10x

x

12x

2x10x

10x

x2x

10

3 2

1

3 2

1

3 2 1

1x10

1x

5

6x5

1x10

1x

1x10

1x5

1x

2 1

3

3 1

2

3 2

1101

5

1010110

15

10

1

Dễ thấy  B 1 =3/10;  B 2 =3/10 và  B 3 =12/100nên phép lặp hội tụ. Chương trình lặp đơn là: 

cho hệ : AX = B và ta có nghiệm :   

n, ,1ix

n

1 j ij i

i =β +∑α =

Lấy xấp xỉ ban đầu tuỳ ý x1(o) , x2(o) , , xn(o) và tất nhiên ta cố gắng lấy chúng tương ứng với x1, x2 , , xn (càng gần càng tốt). Tiếp theo ta giả sử rằng đã biết xấp  xỉ  thứ  k    xi(k)  của  nghiệm    Theo  Seidel  ta  sẽ  tìm  xấp  xỉ  thứ  (k+1)  của nghiệm theo các công thức sau : 

  (jk)    

n

1 j ij 1

n

2 j ij )

1 k ( 1 21 1 )

   

n

i j ij

1 i

1 j

) 1 k ( j ij i

   

n nn )

1 k ( j

1 n

1 j ij n

+

=++

=++

14x

10x2x

2

13x

x10x

2

12x

xx

10

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3

3 1

2

3 2

1

x2.0x2.04.1x

x1.0x2.03.1x

x1.0x1.02.1x

Lấy x1(o) = 1.2 ; x2(o) = 0 ; x3(o) = 0; 

06.101.02.12.03.1x

2.101.001.02.1x

000536

12.09992.02.04.1x

00536

1948.01.09992.02.03.1x

9992.0948.01.006.11.02.1x

⋅++

⋅⋅

⋅

=+

⋅⋅

⋅++

=+

⋅⋅

⋅++

n n nn 2

2 n 1 1

n

2 n n 2 2

22 1 21

1 n n 1 2

12 1 11

bxax

ax

a

bxax

ax

a

bxax

ax

Ax

) i (

i = =      

trong đó  A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i  bởi cột B. 

Như  vậy  để  giải  hệ  bằng  phương  pháp  Cramer  chúng  ta  lần  lượt  tính  các định thức của ma trận và ma trận  thay thế  rồi tìm nghiệm  theo  công  thức Cramer. Chương trình sau mô tả thuật toán này: 

E

= DZ

‐ 

CY

Như vậy chúng ta nhận được một hệ gồm 2n phương trình số thực. Giải hệ này  và  kết  hợp  các  phần  thực  và  phần  ảo  ta  nhận  được  nghiệm  của  hệ phương trình ban đầu. Chương trình giải hệ phương trình như vậy cho ở  dưới đây:  

 

−

=+

−

−++

++

+

=+

−++

+

−

+

=++

−++

−++

j610r

)j32(y

)j1(x)j42

(

j313r

6z)j5(y)j21(x)j54

(

j104r)j3(z)j52(x

)j65

(

j368r)j24(z)j31(y)j42(x)j73