Phương pháp tính
Chương 2 : Lý thuyết nội suy1. Đa thức nội suy: Trong thực hành ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà không biết biểu thức giải tích cụ thể f của chúng. Thông thường, ta chỉ biết các giá trị y0, y1, …, yn của hàm số tại các điểm khác nhau x0, x1, …, xn của [ a, b ]. Các giá trị này có thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc. Khi sử dụng những hàm số trên, nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại các điểm không trùng với xi (i=0,1,2,…n).Muốn thế, ta tìm cách xây dựng một da thức:Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + anthoả mãn : Pn (xi) = f(xi) = yi (i = 0, 1, 2…, n)Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x)Các điểm xi (i = 0, 1, 2…, n) gọi là các nút nội suyVề mặt hình học, có nghĩa là tìm đường congy = Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an đi qua các điểm Mi(xi,yi) (i = 0, 1, 2…, n) của đường cong y = f(x).Sau đó ta dùng đa thức Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ xi (i = 0, 1, 2…, n)Sở dĩ ta chọn đa thức Pn(x) vì trong tính toán, đa thức là hàm số dễ tính nhất.Nhằm giảm bớt khối lượng tính toán, người ta cũng dùng đa thức nội suy Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x ≠ xi (i = 0, 1, 2…, n) trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã biết nhưng tương đối phức tạp.Đa thức nội suy Pn(x) cuả hàm số f(x) nếu có, thì chỉ có một mà thôi. (Chứng minh sự duy nhất của đa thức nội suy xem như bài tập)2. Tính giá trị của đa thức: sơ đồ Horner: Cho đa thức bậc n :Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + anv ới hệ số thực ak (k = 0,1, 2…, n), cần tính giá trị đa thức tại x = c Pn (c) = a0cn + a1cn-1 +…+ an-1c + anCách tính Pn(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau: ta viết dưới dạng:Pn(c) = (…((((a0c + a1)c + a2)c + a3)c +…an-1)c + an )Vậy để tính Pn(c), chỉ cần lần lượt tính:b0 = a0b1 = a1 + b0cb2 = a2 + b1c b3 = a3 + b2c. .bn = an + bn-1c = Pn(c)Để tiện tính toán, Ta dùng sơ đồ Hornera0a1a2 ………… an.b0c b1c ……… bn-1cb0b1b2 ………….bn = Pn(c)Thí dụ: Dùng sơ đồ Horner, tính giá trị:P3(x) = 3x3 + 2x2 -5x + 7 tại x = 33 2 -5 7 39 33 843 11 28 91 = P3(3)3. Đa thức nội suy Lagrange: Giả sử trên [a, b] cho n + 1 giá trị khác nhau của đối số: x0, x1, …, xn và biết đối với hàm số y = f(x) những giá trị tương ứng f(xi) = yi ( i = 0,1,2, ,n)Bây giờ ta xây dựng đa thức nội suy Ln(x) bậc không cao hơn n, thoả mãn điều kiện:Ln(xi) = yi ( i = 0,1,2, ,n)Theo cách của Lagrange, trước hết ta xây dựng đa thức li(x) thoả điều kiện:li(x) =01Vì đa thức li(x) phải tìm triệt tiêu tại n điểm x0, x1, …,xi-1, xi+1,… xn nên li(x) có thể được viết dưới dạng:li(x) = ci(x – x0)(x – x1)…(x – xi-1)(x – xi+1)…(x – xn) trong đó ci là hằng số phải tìmĐặt x = xi trong hệ thức trên ta được:ci = 1/[(xi – x0)(xi – x1)…(xi – xi-1)(xi – xi+1)…(xi – xn) ]Suy ra li(x) = [(x – x0)(x – x1)…(x – xi-1)(x – xi+1)…(x – xn)]/[(xi – x0)(xi – x1)…(xi – xi-1)(xi – xi+1)…(xi – xn)]li(x) : đa thức Lagrange cơ bảnBây giờ ta xétnếu j = inếu j ≠ i ∑==ninxx0iiy)(l)(LDễ thấy rằng Ln(x) bậc không cao hơn n và ∑==nijjnxx0iiy)(l)(L= lj(xj)yi = yi ( j=0,1,2,…,n)Suy ra Ln(x) là đa thức nội suy phải tìmTa có công thức:iniiiiiiniiyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)) .()() .()(()) .()() .()(()(L11101110n−−−−−−−−−−=+−+−Ln(x) : đa thức nội suy LagrangeTa xét hai trường hợp hay sử dụng của đa thức nội suy Lagrange• Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính: Khi n = 1, ta có 2 nút nội suy x0, x1101001011)(L yxxxxyxxxxx−−+−−=Phương trình L1(x) chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M0(x0,y0) và M1(x1,y1)• Nội suy bậc hai: Khi n = 2, ta có 3 nút nội suy x0, x1, x22120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(L yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx−−−−+−−−−+−−−−=Phương trình L2(x) chính là phương trình đường parabol đi qua 3 điểm M0(x0,y0), M1(x1,y1) và M2(x2,y2)Thí dụ: Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = sinπx, chọn các nút nội suy là:x0 = 0 ; x1 = 1/6 ; x2 = 1/2Thí dụ: Cho bảng giá trị hàm số y = lgxx 300 304 305 307y 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871Tính giá trị gần đúng lg301 bằng đa thức nội suy Lagrange. • Đánh giá sai số: Nếu y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [a, b] chứa tất cả các nút nội suy xi ( i = 0,1,2,…,n) thì sai số nội suy cho bởi công thức:)(1)!(nM)(L)()(R11nnnxxxfxn++Π+≤−=trong đó =+1nM)(max)1(xfnbxa+≤≤Πn+1(x) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn)Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = sinxx 0 π/4 π/2y 0 0,707 1Tính gần đúng sin (π/3) bằng đa thức nội suy Lagrange và đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được.4. Đa thức nội suy Newton: A/ Trường hợp các nút nội suy không cách đều:• Tỷ hiệu: Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảngx x0x1x2… xixi+1…y y0y1y2… yiyi+1…trong đó yi = f(xi) (i = 0, 1, 2,…, n) và ∆xi = xi+1 – xi ≠ 0 (i = 0, 1, 2,…, n) không bằng nhau.Tỷ số :f[xi, xi+1] = iiiiiiiixxyyxxxfxf−−=−−++++1111)()( (i = 0, 1, 2,…, n)gọi là tỷ hiệu cấp một của hàm số f(x)Tương tự, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x)f[xi, xi+1, xi+2 ] = [ ] [ ]iiiiixxxfxxf−−++++2i121x,, (i = 0, 1, 2,…, n)Tổng quát, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ hiệu cấp n-1 [ ][ ] [ ]ininiiniiniiixxxxfxxfxxxf−−=+−+++++111, .,, ., .,,, với n = 1,2, … và i = 0,1,2, Chú ý:- Tỷ hiệu cấp n của 1 đa thức bậc n bằng hằng số- Tỷ hiệu cấp lớn hơn n của 1 đa thức bậc n thì bằng 0• Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy không cách đều: Giả sử trên (a, b) chọn n+1 giá trị khác nhau của đốI số x0, x1, …, xn (các xi không cách đều) và biết f(xi) = yi (i= 0,1, ,n)Ta xây dựng được đa thức:Pn(x) = y0 + (x – x0)f[x0, x1 ] +…+ (x- x0)(x – x1)…(x- xn-1)f[x0,x1,…,xn ]Đa thức Pn(x) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) với sai số nội suy là:Rn(x) = ( x – x0 )(x – x1)…(x – xn)f[x, x0, …, xn ]Tương tự, ta xây dựng được đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn của hàm số f(x) Pn(x) = yn + (x – xn)f[xn, xn-1 ] +…+ (x- xn)(x – xn-1) (x- x1)f[xn,xn-1,…,x0 ]với sai số nội suy là:Rn(x) = ( x – xn )(x – xn-1)…(x – x1)(x – x0)f[x, xn, …, x0 ]Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x) x 0 2 3 5 6y 1 3 2 5 6- Xây dựng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0 của hàm số y =f(x) - Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f(1,25) B/ Trường hợp các nút nội suy cách đều:• Hiệu hữu hạn: Giả sử hàm số f(x) được cho dưới dạng bảng:x x0x1x2… xixi+1…y y0y1y2… yiyi+1… trong đó yi = f(xi) (i = 0,1,2…) là các nút xi cách đều, nghĩa là: xi = x0 + ih ( h hằng số .>0, i = 0,1,2…)khi đó∆yi= yi+1 – yi gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp một của hàm số f(x) tại điểm xi∆2yi = ∆(∆yi) = ∆yi+1 - ∆yi gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp hai của hàm số f(x) tại điểm xiTổng quát, ta định nghĩa hiệu hữu hạn tiến cấp n của hàm số f(x) tại điểm xi ∆nyi = ∆(∆n-1yi) = ∆n-1yi+1 - ∆n-1yiBây giờ ta định nghĩa hiệu hữu hạn lùi∇yi = yi – yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp một của hàm số f(x) tại điểm xi∇2yi = ∇(∇yi) = ∇yi – ∇yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp hai của hàm số f(x) tại điểm xiTổng quát :∇nyi = ∇(∇n-1yi) = ∇n-1yi – ∇n-1yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n của hàm số tại điểm xi• Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy cách đều: Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy không cách đều, do đó để xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều xi = x0 + ih (i= 0,1, n) ta thay các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tương ứng trong Pn(x) và đặt x = x0 + ht, ta có công thức:Pn(x) = Pn(x0 + ht) = 00200!)1) .(2)(1( .!2)1(ynnttttyttytyn∆+−−−++∆−+∆+Đó là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đềuTương tự ta nhận được công thức của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn trong trường hợp các nút nội suy cách đềuPn(x) = Pn(x0 + ht) = nnnnnnynnttttyttyty ∆−+++++∆++∇+!)1) .(2)(1( .!2)1(• Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều:Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n +1 trên (a, b) chứa tất cả các nút nội suy cách đều xi : xi = x0 + ih ( i= 0,1,2, n) Sai số của đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của f(x) :)) .(1()!1()()()1(1ntttncfhxRnnn−−+=++ trong đó c là giá trị trung gian của các nút nội suy và điểm x, t = (x – x0)/hSai số của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn của f(x) :)) .(1()!1()()()1(1ntttncfhxRnnn+++=++ trong đó c là giá trị trung gian của các nút nội suy và điểm x, t = (x – xn)/hThí dụ:Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x) x 150200250300y 0,258819 0,342020 0,422618 0,50000- Dùng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 150 để tính gần đúng sin160- Đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được5. Phương pháp bình phương bé nhất: Phương pháp bình phương bé nhất thường dùng để lập công thức thực nghiệm. Giả sử cần tìm quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y. Muốn thế, ta tiến hành thí nghiệm, rồi quan sát, đo đạc ta nhận được bảng các giá trị tương ứng sau:x x1 x2x3… xi…xny y0y1y2… yi…ynViệc từ bảng trên tìm ra quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm. Nói chung không có khả năng hàm số f(x) đúng hoàn toàn. Ngay việc tìm hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương bé nhất cũng rất phức tạp nếu không biết trước dạng của hàm số xấp xỉ. Ở đây, để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp dạng của hàm số xấp xỉ đã biết, đó là nhiững dạng sau:a) y = ax + bb) y = a + bx + cx2c) y = a + bcosx + csinxd) y = aebx (a.> 0)e) y = axb ( a > 0)Trong đó a, b, c là những hằng số được xác định bằng phương pháp bình phương bé nhất.Xét các trường hợp:a) y = ax + b: Vì các cặp số (x1, y1); (x2, y2),…(xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ là những giá trị xấp xỉ của x, y nên chúng không hoàn toàn nghiệm đúng phương trình y = a + bx, nghĩa là:y1 – a – bx1 = ε1y2 – a – bx2 = ε2 yn – a – bxn = εntrong đó ε1, ε2, ε3,…, εn là các sai số , phương pháp bình phương bé nhất nhằm xác định a, b sao cho tổng các bình phương các sai số nói trên là bé nhất, nghĩa là:( )∑=−−=niiibxayS12bé nhấtNhư vậy a, b phải thoả mãn:=∂∂=∂∂00bSaSTính toán và rút gọn, ta được:=+=+∑ ∑∑∑ ∑= === =niniiiniiininiiiyxxbxayxbna1 1121 1Đây là 1 hệ phương trình hai ẩn số a và b. Giải hệ phương trình này ta nhận được a và b phải tìmb) y = a + bx + cx 2 Làm tương tự, ta được hệ phương trình:=++=++=++∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑= ==== ==== ==niniiiniiniiininiiiniiniiininiiniiiyxxcxbxayxxcxbxayxcxbna1 12141321 113121 112Đây là 1 hệ phương trình ba ẩn số a,b và c. Giải hệ phương trình này ta nhận được a, b và c phải tìmc) y = a + bcosx + csinx Làm tương tự, ta được hệ phương trình: =++=++=++∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑= ==== ==== ==niiniiniiniiiiniiniiniiiniiininiiniiixyxcxxbxaxyxxcxbxayxcxbna1 11211 11121 11sinsinsincossincossincoscoscossincosĐây là 1 hệ phương trình ba ẩn số a,b và c. Giải hệ phương trình này ta nhận được a, b và c phải tìmd) y = ae bx ( a>0)Lấy logarit hai vế, ta có:lgy = lg(aebx) = lga + lgebx = lga + (blge)xĐặt lgy = Y, lga = A, blge = BTa suy ra : Y = A + BXTa đưa về trường hợp a), tìm được A, B và tính ra a, be) y = ax b (a>0)Lấy logarit 2 vế, ta được:lgy = lga + lgxb = lga + blgxĐặt Y = lgy, lga = A, b = B, lgx = XTa suy ra Y = A + BXTa đưa về trường hợp a), tìm được A, B và tính ra a, bThí dụ: Cho bảng các giá trịx 0,56 0,84 1,14 2,44 3,16y -0,80 -0,97 -0,98 1,07 3,66Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng: y = a + bx + cx2Thí dụ: Cho bảng các giá trịx 10 20 30 40 50 60 70 80y 1.06 1,33 1,52 1,68 1,81 1,91 2,01 2,11Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng: y = axb . Khi n = 2, ta có 3 nút nội suy x0, x1, x 221 2 021 0 121 0 120 020 1 021 2))(())(())(())(())(())(()(L yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx−−−−+−−−−+−−−− =Phương trình L2(x) chính. nội suy là:x0 = 0 ; x1 = 1/6 ; x2 = 1/2Thí dụ: Cho bảng giá trị hàm số y = lgxx 300 304 305 307y 2, 4771 2, 4 829 2, 4843 2, 487 1Tính giá trị gần đúng lg301 bằng